Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Trường THPT Yên Hòa

TRƯỜNG THPT YÊN HÒA NHÓM TOÁN ------o0o----- ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN: TOÁN, LỚP 12 PHẦN TT NỘI DUNG

1 NGUYÊN HÀM

GIẢI TÍCH 2 TÍCH PHÂN& ỨNG DỤNG

Trang 2 2 3 5 7 9 9 11 13 14 14 15 15 16 17 18 19 20 22

25

27 27 29

3 30 SỐ PHỨC

31 32

34 36

1 39 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN HÌNH HỌC 42

48 2 CÁC DẠNG TOÁN Các câu hỏi lý thuyết nguyên hàm Nguyên hàm của hàm số đa thức Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ Nguyên hàm của hàm số chứa căn thức Nguyên hàm của hàm số lượng giác Nguyên hàm của hàm số mũ và logarit Nguyên hàm tổng hợp Các bài toán nguyên hàm có điều kiện Nguyên hàm của hàm ẩn Bài toán ứng dụng của nguyên hàm Câu hỏi lý thuyết Tích phân hàm đa thức Tích phân hàm số hữu tỉ Tích phân hàm chứa căn thức Tích phân hàm lượng giác Tích phân của hàm số mũ và logarit Tích phân tổng hợp Tích phân dùng tính chất Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Ứng dụng tích phân để giải quyết bài toán thực tế Câu hỏi lý thuyết về số phức Các phép toán số phức Phương trình bậc nhất, bậc hai trong tập số phức Điều kiện của bài toán hàm số có chứa module, số phức liên hợp Điểm biểu diễn của số phức Vận dụng các tính chất hình học để giải toán về số phức Hệ tọa độ trong không gian Phương trình mặt phẳng trong hệ trục tọa độ Oxyz Phương trình mặt cầu trong hệ trục tọa độ Oxyz Phương trình đường thẳng trong hệ trục tọa độ Oxyz Tọa độ hóa bài toán hình học trong không gian. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1

F x là một nguyên hàm của hàm số





 f x trên K . Khẳng định nào sau đây



PHẦN I. GIẢI TÍCH A. NGUYÊN HÀM. Vấn đề 1. Các câu hỏi lý thuyết. Câu 1. Giả sử hàm số

y F x C ( )

 là một nguyên hàm của hàm f trên



.K

đúng? A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số

G x ( )

F x C ( )





x thuộc K .

y F x ( )



.K với mọi x thuộc K và C bất kỳ.

với B. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho

F x C ( )





C. Chỉ có duy nhất hàm số D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì là nguyên hàm của f trên G x ( )

f x trên K . Mệnh đề nào sai? ( )

f x dx ( )

f x ( ).



Câu 2. Cho hàm số

( )

( )

.

f x dx F x C 



 



f x dx ( )

'

F x ( )



A.

f x dx ( )

f x

( ).



 





C.



 

( )F x là một nguyên hàm của hàm số B.  D. 

f x g x là hàm số liên tục, có

( ),

F x G x lần lượt là nguyên hàm của

( ),

( )

( ).



( )

là một nguyên hàm của

( )

( ) g x f x kf x với k  f x g x ( ). ( ).

. 

Câu 3. Cho hai hàm số ( ) f x g x Xét các mệnh đề sau: ( ). ( ), (I). ( ) F x G x ( )  k F x là một nguyên hàm của (II). ( ) . (III). F x G x là một nguyên hàm của ( ). Các mệnh đúng là A. (I). B. (I) và (II). C. Cả 3 mệnh đề. D. (II).

g x dx ( )

f x dx ( )

f x ( )







  B. Nếu

  g x dx ( ) ( )G x đều là nguyên hàm của hàm số

( )F x và

f x thì

( )

( )

C

F x G x ( ) 



A. . Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?  là hằng số.

( )F x

f x ( )

2

x

.



C. là một nguyên hàm của

( )F x

x 2 x

f x ( )

x 2 .

D. là một nguyên hàm của

Câu 5. Trong các khẳng định sau khẳng định nào SAI?

 x d

x

1   x

C









1

1  

B. ( C là hằng số). ( C là hằng số). A. 0dx C

d

x

ln



x C 

x C

 



1 x

3

2

C. ( C là hằng số). ( C là hằng số). D. dx 

d

x

4

x

C







  f x



3

3

4

4

2

2

x

Cx







x



12

x

2

x C

12

x

2

x

Câu 6. Nếu thì hàm số Vấn đề 2. Nguyên hàm của hàm số đa thức.   f x bằng x





 . C.





 f x



 f x



  f x

  f x

x 3

x 3

3

2

x

x

A. . B. . D. .





  f x

4

3

2

4

3

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số là

23 x

2

x

x

C

x

x

C



x C 









x

3 x C





1 4

1 3

3

2

A. B. C. D.

x

2

x

2019



x  

f x  ( )

1 3

2

2

4

3

4

3

x

x

x

x

2019

x C











Câu 8. Nguyên hàm của hàm số là

C  .

 .

4

3

4

3

x

x

2019

x C

x

x

2019

x C













A. B.

 .

 .

1 9 1 9

2 3 2 3

x 2 2 x 2

1 12 1 12

2 3 2 3

x 2 2 x 2

C. D.

2

x

x

2

x

F x của hàm số









 f x





 1



 3 ?



4

3

2

4

3

2

6

x

x

6

x C









x

6

x

11

x

6

x C

Câu 9. Tìm nguyên

 .









 .

 F x



  F x

3

2

3

2

2

2

x

x

6

x C









x

6

x

x 11

6

x C

A. B.

 .









 .

 F x



  F x

 11 2 11 2

x 4 4 x 4

C. D.

2

x

3





 f x





5

2

x

3

2

3

x



6

là







C  .

C  .

 F x



 F x



Câu 10. Họ các nguyên hàm của hàm số 6 B. A.

3

 6 x

3

C





 . C







  F x

 5 2

4

 F x



 12  x 10 2

4

D. C.

dx

2 7



2

2

2

2

Câu 11. Tìm nguyên hàm ? .  x x 

x

7

x

7

x

7

x

7



 C





 C



 C



 C

15 



16

16



16



16

1 32

1 2

1 16

1 32

3

x

x



2 1 

A. B. C. D.

 f x





2021

2023

2022

2023

2022

2

2

2

2

x

x





x

x

















Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số là

 1 2023

1 2

 1 2022

 1 2021

 1 2020

   

   

2023

2022

2022

2023

2

2

2

2

x

x





x

x













C

C









A. . B. .

 1 2023

 1 2022

1 2

 1 2023

 1 2022

   

3

2

4

x

3

    là một nguyên hàm của hàm số

C. . . D.

F x mx 









 m n x 3 

4

10

x





   . Tính mn .

Câu 13. Biết rằng hàm số

2

0

3

23 x 1mn  .

mn  .

mn  .

mn  .

  f x A.

B. C. D.

Vấn đề 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ.



 f x



5

2

1 x 

Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số .

ln 5

x

C

ln 5

x

C



2  



2  





5

2

1 5

5

2

A. B.

ln 5

x

C

5ln 5

x

C

 

2  



2  





5

2

1 2

5

d x x  d x x 

C. D.

;



 f x



x

d x x  d x x  1 2

1 1 2 

  

2   

1x

C

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số trên .

  .

ln 2

x

C

1

ln 2

x

C

1

  .



 .



  .

 ln 1 2

 x C

1 2

1 2

1 2

2

A. B. C. D. ln 2

x





  f x

2 2 x

3

3

x d

C

x d

C





Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số .

 f x



 f x







x d

C

x d

C





A. . B. .

 f x



  f x



x 3 3 x 3

1   x 1   x

x 3 3 x 3

3

x

 

C. . . D.



2   x 2   x trên khoảng 

 2;  là

 f x



x

2





2 2

Câu 17. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

3ln

x

2

C

3ln

x

2

C





















x

2

x

2

2 

2 

A. B.

3

3ln

x

2

C

3ln

x

2

C





















x

2

x

4 

4 

dx

a

ln

x

b

ln

x

C



1  

2  

D. . C.



x

2 2 x   1 





. Câu 18. Cho biết

13 x 2  Mệnh đề nào sau đây đúng? B. A.

8

8

8

a

a b  .

a b  .

a b  .

 . 8

b 2



D. C. 2 Câu 19. (Đề tham khảo đánh giá năng lực 2021-ĐH Quốc Gia Hà Nội) Họ nguyên hàm của hàm số

 2;   là

  f x

2

ln

x

ln

x

ln

x

2







1 2 x   x 2 

x  ln





C  .

trên khoảng 

C  .

2

ln

x

ln

x









ln

x

2

ln

x C

C  .

A. B.





 .





2 2 2

C. D.

a b

2P 

 .

dx

a

ln

x

x

b

ln









x C 



 1

 1

3



x

x

1 

Câu 20. Cho biết . Tính giá trị biểu thức:

1 2

A. 0. B. -1. C. . D. 1.

t

x  thì 1

x 4 d



(

4

x x  1) t (

1)

1

t

1

t

t

1

t d .

Câu 21. Đổi biến trở thành

t d .

t d .

t d .









 t

 4 t

 4 t

 t

A. B. C. D.



 f x



5

9

x

1 3x 

4

4

Câu 22. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số

ln

C

ln

C

 





 





  f x d x

  f x d x

4

4





1 3x

1 36

x

3

1 12x

1 36

x

3

x 4 

x 4 

4

4

A. B.

ln

C

ln

C

 





 





  f x d x

  f x d x

4

4





1 3x

1 36

x

3

1 12x

1 36

x

3

x 4 

x 4 

2022

b

x



C. D.

,a b

dx

.

C x ,

1





 

2024

  . Mệnh đề nào sau đây đúng?



1 a

1 1

  

x



 

 1  1

Câu 23. Biết với

a

a

b 2018

b

2018

a

b 2

x   x  a 2 b





a b c

   bằng

b

ln

x

c

x

C

I

dx









 . Khi đó S



A. . . B. C. . D. .

a 2

 2 ln 1

2

3

2



 x

x

x

1  1 



Câu 24. Cho

1  4

3 4

7 4

A. . B. . C. . D. 2.

2

x



  f x

Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số Vấn đề 4. Nguyên hàm của hàm số chứa căn thức. 1. 

2

x

2

x

C

.

2

x

2

x

C

.





1  





1  

  f x dx



 1

  f x dx



 1





2 3

A. B.

2

x

C

.

2

x

C

.

 

1  



1  

  f x dx

  f x dx





1 3

1 3 1 2

3 3

x



1  là

3

C. D.

d

3

3

x

x

x

  f x . C

d

x

3

x

C





1  



1  

  f x

 3 1

  f x





A. . B.

C

d

3

x

x

d

x

3

x

3

x

C

1  







1  

 f x



  f x



 3 1





1 4

C. . . D. Câu 26. Nguyên hàm của hàm số  31 3

4



 f x



1 x 2 2

1



Câu 27. Nguyên hàm của hàm số là

d

x

2

x

C



1  

x

2

x

C



1  

 f x



  d f x





1 2

x d

C





A. . B. .

x

2 2

x

C



1  

 f x



 f x

 d





2

x

2

x

1





1  1



C



a x b x 

2  

C. . D. .



2  



dx  x

Câu 28. Biết với a, b là các số nguyên dương và C là hằng số

22

2P 

46

2 x x x    là: thực. Giá trị của biểu thức P a b 8P  B.

P 

x

'f

A. C.

P  

dx

0;  . Khi đó

f x có đạo hàm liên tục trên khoảng   





x

2 f

2 f

f



D.  Câu 29. Cho hàm số bằng

f

x

C

 x C



 x C 



 x C





1 2

x d

u

1

x

A. C. D. B.

 ta được nguyên hàm nào?



2

2

2

Câu 30. Khi tính nguyên hàm , bằng cách đặt

u

u

u

u

2

u

u









 3 d

 u u 2

 4 d

 4 d



 4 d







2

3

 x

dx 1

P

x .

 x 3  x 1   2 u  



C. . D. . B. . A. .

2

2

2

2

là Câu 31. Nguyên hàm

P

x

x

P

x

x

1





   1 C





  C



 3 1

 1



3

2

2

2

A. B.

P

x

1

P

x

x

1



  C





  C

 3 1



3 8 3 8

3 8 3 4

R

dx



C. D.



1 x x

1



Câu 32. Nguyên hàm là

R

ln

C





1 2

x x

1 1 1 1

   

R

ln

C





1 2

x x

1 1 1 1

   

A. B.

R

ln

C

R

ln

C









x x

1 1 1 1

x x

1 1 1 1

   

   

3

C. D.

S

x

x

dx



2 9 

2

4

2

2

2

2

9

x

x

 9

x

9

x

9









là







2

2

2

2

S

3

x

9

x

9

S

3

x

9

x

9













C   B.

C  









5

2

2

2

2

x

9

x

9

x

9

x

9









2





2

2

2

Câu 33. Nguyên hàm  A.

S

3

x

9

x

9

S

3

x

9







C  





C  





 5

5 2 5

1

C. D.

I

dx





x



 1

2

Câu 34. Nguyên hàm là

32 x

 C

C

 C



 3 1 x 

22

2

1 x  x

1

x



 1

32

x B. A. C. D. C  x 

5

3

u

x

2 1  , khẳng định nào sau đây sai?



3

2

Câu 35. Cho . Bằng phép đổi biến I dx  x x 2 1 

I



u C  



x

u

2 1 

I

u

udu





 2 1 . 



u 3

dx

C. D. A. B. xdx udu

I



2

2



x

9

x



2

2

2

2

x

x

I

I

I

C

I

Câu 36. Nguyên hàm là

 

 C



 C



 D.

 

 C

9 9

x  2 x

9  9 x

9  9 x

9 9

x  2 x

3

A. B. C.

2



2

2

2

2

x Câu 37. Nguyên hàm là I dx  1 x 

I

x

2

1

x

I

x

2

1

x

 





 C







 C









2

2

2

2

A. B.

I

x

2

1

x

I

x

2

1

x

 





C 







C 









1 3 1 3

1 3 1 3

C. D.

x

  2sin f x 

xdx

2 cos

xdx

2 cos

 

x C 



x C 

2

Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số Vấn đề 5. Nguyên hàm của hàm số lượng giác. .

2sin

xdx

sin

xdx

sin 2



x C 



x C 

 A. 2sin 

 B. 2sin  D. 2sin

C.

y

x





 6

 cos 3  

  

Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số là

x

C

x

C







 





  f x dx

  f x dx





1 3

 6

 sin 3  

  

A. B.

C

x

x

C













  f x dx

  f x dx





 6  6

 6

 sin 3    sin 3  

     

 sin 3  

  

1 3 1 6 Câu 40. Phát biểu nào sau đây đúng?

x

C. D.

xdx

cos 2

x C C

,

sin 2

xdx

C C ,

















 B. sin 2



cos 2 2

x



A.

sin 2

xdx

C C ,







xdx

2 cos 2

x C C

,











 C. sin 2



cos 2 2

D.

d

x

x

5

C

x







  f x



Câu 41. Biết . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

5

x

C

x

x

f

f

x

x

x

5

C













A. B.

5

x

C

x

x

f

f

x

x

x

5

C













  x 3 d  x 3 d

 

 3 cos 2  

 3 cos 6  9 cos 2

 

 x 3 d  x 3 d

 9 cos 6  3 cos 2

 

 

 

C. D.

sin 2

x

cos 2

cos 4



x  

x C 



2 x dx



a b

a b

Câu 42. Biết , với a, b là các số nguyên dương, là phân số tối

x cos 3 cos





  f x

x

x

  y F x x

x

giản và C   . Giá trị của a b bằng A. 5. Câu 43. Nguyên hàm , biết đồ thị D. 3. đi qua gốc tọa độ là C. 2. x





  F x 

  F x 

x

x

x

x

A. B.





  F x 

  F x 

sin 4 4 cos 4 8

sin 4 8 sin 8 8

sin 2 2 sin 4 4

2

2

C. D. B. 4.  F x của hàm số sin 2 2 cos 2 4

,

cos

x

sin

sin 4

xdx

x

C



 



5



,m n p   và C là hằng số thực. Giá trị



m nx cos p

Câu 44. Biết , với

  là p



của biểu thức T m n

6

16

18

T 

T 

9T 

14

T 

B. C. D. A.

M

dx



x

Câu 45. Nguyên hàm là

M

M



ln 1 3cos 



ln 1 3cos 

x C 

x 2sin  1 3cos  x C 



1 3

2 3

A. B.

M

M

 

ln 1 3cos 

 x C

 

ln 1 3cos 

 x C

2 3

1 3

2

C. D.

3

3

Câu 46. Nguyên hàm của hàm số là x cos x

sin x C

3 cos x C



sin x C .

cos x C .



 .

B. A. C. D. ( ) 3sin f x  3  .

f x ( )



x

x sin 1 3cos 

Câu 47. Tìm nguyên hàm của hàm số .

f x

x ( ) d



ln 1 3cos 

x C 

f x

( ) d

x



ln 1 3cos 

x C 





1 3

A. . B. .

f x

x ( ) d

 

ln 1 3cos 

x C 

f x

( ) d

x



3ln 1 3cos 

x C 





1 3

C. . D. .

' f x ( )



f x biết

( )

2

cos x x (2 sin ) 

x

Câu 48. Tìm các hàm số .

f x ( )

C

f x ( )

C









2

A. . B. .

f x ( )

C

f x ( )

C

 







x

x

sin (2 sin ) x  1 2 sin 

1 (2 cos ) x  x sin 2 sin 

5

C. . D. .

tan

x



 f x



4

2

4

2

Câu 49. Tìm họ nguyên hàm của hàm số .

x d

tan

x

tan

x

ln cos

x d

tan

x

tan

x

ln cos







x C 







x C 

 f x



 f x







4

2

4

2

A. . B. .

x d

tan

x

tan

x

ln cos

x d

tan

x

tan

x

ln cos







x C 







x C 

 f x



 f x







1 4 1 4

1 2 1 2

1 4 1 4

1 2 1 2

C. . D. .

u

cos 2

x



I

dx



4



cos

x

sin 2 4 x 

Câu 50. Cho nguyên hàm . Nếu đặt thì mệnh đề nào sau đây đúng?

I

du

I

du

I

du

I

du









x sin 1 2









u

1

u 2

1

1 2

u

1

u

1

1  2 



1 2 

2 2 

m

A. B. C. D.

3

n

,m n   và C là hằng số thực. Giá





 



 1  2

sin x cos x   cos 2 x Câu 51. Cho dx C , với    sin x x 2 sin x cos x   



5A 

3A 

2A 

4A 

  7 x f x 

x

x

x

cos trị của biểu thức A m n   là B. C. D. A. Vấn đề 6. Nguyên hàm của hàm số chứa hàm số mũ, hàm số logarit. Câu 52. Tìm nguyên hàm của hàm số .

C

x x 7 d

x x 7 d

C









x

7

x 7 d

x

7 ln 7

C



1 x C









 D. 7 d

7 ln 7

x

B. A. C.

17 x  x 1  e f x ( ) 

2

x

x

Khẳng định nào dưới đây x 2 . 

f x dx ( )

e

.

f x dx ( )

.

x C 







e C 

2

x

x

2

B.

f x dx ( )

C

x

e

.

f x dx ( )

e

2

x

C

.













 Câu 53. (Đề thi thử THPT Sở GD Hà Nội 2022). Cho hàm số đúng?  A. 

 

1 

C. D.

Câu 54. Nguyên hàm của hàm số là y e x 2 

7

2

x

2e x 2

e x 2

1 C  .

1 C  .

e

e

1 C  .

x C .

1 2

1 2

2, 718

A. B. C. D.

e 

( )F x

2 e dx

 

3

F x ( )

F x ( )





Câu 55. Tính .

C  .

C  .

F x ( )

2

ex C

2 e x C



 .

2x

2 2 e x 2 Câu 56. Hàm số

A. B. C. D. ( )F x   . , trong đó e là hằng số và e 3

e

  F x

2

2

2

x

2

x

là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau

f x ( )

f x ( )



( ) 2 x xe f x 

2 x e

 . 1

xe x 2

x



A. . B. C. . D. . f x ( ) e

5





  f x

 x 2 2



x

Câu 57. Nguyên hàm của hàm số là

x

5

C





x

x 5.2 ln 2



 . C

2 ln 2

  

x

x

x

A. . B.

x

5

x

C

C







1 5 



2 ln 2

2 ln 2

2 ln 2

     

  

  

  

C. . D. .

F

10





 f x



 F x là một nguyên hàm của

 0

 F x là

2

e

x

x

Câu 58. Cho thỏa mãn . Hàm số

x

3

10

x

3













 e ln 2



 10 ln 2 e 







ln 5 3

x

x

A. B.

x

3

10









 e ln 2





ln 5 ln 2  3

1 3 1 3

   

x

   ln 2 e     Câu 59. Hàm số

1,

2

f



x f ,

  0

x

x

x

C. D. x    ln 5 ln 2    

22e  x 2e

 . Hàm 2e

  f x là   . x

1 3x  1 3 1  3   x y 

A. B. D. C. y 2e 2 3 2   f x có đạo hàm liên tục trên  và: . 2e x 2 x y 1   y    . 



  f x

x

x

Câu 60. Nguyên hàm của hàm số là  . 2 ln x x

C

C 

C

2ln x C

1 ln x  2 x

ln 2

2ln 2

A. B. C. D.

T

dx





x

1 x ln

1



Câu 61. Nguyên hàm là

T

C





1



A. B. T 2 ln x 1    C

ln

x

T

ln

x

1





  C



 1

1 2 ln x 2 3

3

2

1 

C. D. T ln x 1    C

x

.e x



 f x



3

3

x

Câu 62. Tìm họ nguyên hàm của hàm số .

x d

.e



1 C 

d

x

3ex



3 1 C 

 f x



 f x







x 3

x

A. . B. .

d

x

x d

e

3 1 ex C





3 1 C 

 f x



 f x







1 3

2

sin

x

C. . D. .

x e sin 2 .



 f x



2

2

sin

x

sin

x

1 

1 

2

2

sin

x

2 sin x

là Câu 63. Nguyên hàm của

1 C  .

C

C





2

2

e sin

1

e sin

x

1



2

A. . C. B. D. . sin x e . e C .

ln

x

x

1







x    f x

Câu 64. Nguyên hàm của hàm số là





2

2

2

2

x

ln

x

x

1

x

C

1

x

ln

x

x

1

x

C

1









  .









  .

  F x

  F x

A. B.









8

2

2

2

x

ln

x

x

1

x

ln

x

x

1







 . C







 . C

  F x

  F x

C. D.









2ln



 1



2

u

2 2 u 





x Câu 65. Xét nguyên hàm . Đặt , khẳng định nào sau đây sai? V dx u x  1   1 ln  x ln x 1  

V

2

du





u 2

2

du









 u . 2



dx x

5

3

2

3

2

5

4

V

u









A. B.

u C 4 

u

u 4

u

u

V



C 







5 2

3

x

2

2

x

x

2

x

x



C. D.

2

2 x e

2

xe

d

pe

C

16 3 2 nxe









 u 5 x me 

u 4 u 2 3 2  



 f x





2 16 3 5 Câu 66. Cho hàm số  f x thức m n

p

, ta có . Giá trị của biểu

7 6

2

  1 3 Câu 67. Biết

bằng A. C. D. B. 2

f

2

x

x d

sin

x

ln

x

x









13 6   d f x





2

2

. Tìm nguyên hàm .

x d

sin

ln

x d

2sin

2ln





x C 





x C 

  f x

 f x



x 2 2

2

. A. B. .

d

x

2sin

x

2 ln

x

ln 2

C

d

x

x 2 2sin 2

x

2 ln

x

ln 2

C

















  f x

  f x

 

 

x

. C. D. .

e

x  là



2

Câu 68. Họ nguyên hàm của hàm số Vấn đề 7. Nguyên hàm tổng hợp.   f x

xe

xe



x C 



2 x C 

1xe

xe

x

  C



 C

21 2

x

1

1 2

1 

A. B. C. D.

x



 x x sin 2 d

2

2

2

x

x

2

. Câu 69. Tính  

sin

x C

cos 2

x C



 .



 .



C  .

x



 . C

cos 2 2

x 2

x 2

x 2

cos 2 2

2

A. B. C. D.

y

x

3x





1  . x

3

x

3

x

C C ,

3

C C ,













Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số

  .

  .

1 2 x

1 2 x

x

B. A.

ln

x C C

,

ln

x C C

,













  .

  .

x 3 3 x 3

3 ln 3 x 3 ln 3

x 3 3 x 3

3 ln 3

23 x

sin

x

D. C.





  f x

3

3

Câu 71. Họ nguyên hàm của hàm số là

x

cos

x C

x

x C

cos

x C

x

cos

x C

x

cos



 .



 .



 .



 . Câu 72. Công thức nào sau đây là sai?

C. A. D. 6 B. 6

ln dx x

C

d

x

tan



x C 

x

A. . B. .

cos

x

e

C

1   x  

x C 

x 



  C. sin d x x

1  2 cos x  D. e d

. .

e

1 

Câu 73. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

e x x d

C





cos 2

dx x

sin 2



x C 





1 2

x x e d

C





A. . B. .

dx

ln



x C 





x 1 e  1e x  x 1 

1 x

C. . D. .

sin

x

 f x



1   x

x

cos

x C

x

cos

x C

Câu 74. Họ nguyên hàm của hàm số là



 .



 .

x

cos

x C



 .

cos x C





 .

1 2 x

B. C. ln D. ln A. ln

9

x



x

e

2022





  f x

2023 e 5 x

  

  

Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số .

d

x

2022 x e

C

d

x

2022 x e

C













 f x



 f x







x

x

A. . B. .

d

x

2022

e

C

d

x

e 2022

C













 f x



 f x







2023 4 x 2023 4 x 4

2023 4 x 2023 4 x 4

x



x

C. . D. .

y

e



2

e cos

x

 2  

  

Câu 76. Họ nguyên hàm của hàm số là

xe

tan

xe

tan



x C 



x C 

2

xe

2

xe



 C



 C

1 cos

x

1 cos

x

x

x

cos

x

C. D. A. 2 B. 2





 2 ln sin



2

x

x

x



.



Câu 77. Hàm số

cos

x

x

x







 f x



 2 ln sin

  f x



 cos

sin x



x



cos

x

x

x







A. B. .



 2 ln sin

  f x



 f x



  F x x sin x   2 sin x x sin

x cos x

sin

x

cos

x



2 .x



C. . D. . là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?  2 cos sin x 2 x 

cos x  cos   f x

  f x ?

ln 2 x



Câu 78. Cho hàm số . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số



 C

  F x

  F x

C



A. B.

 2 2 2 x



 1x C   1 C 

  F x

  F x

 1x  

2 x  2 2

3

C. D.

2 1 x x e 



  f x

3

x

Câu 79. Tìm họ nguyên hàm của hàm số

x d

3 x e

x d

3

2 x e



3 1 C 



1 C 

  f x

  f x





3

3

x

x

B. . A. .

x d

e

1 C 



d

x

e



3 1 C 

 f x



  f x



1 3

 Câu 80. Biết

x

x x cos 2 d

ax

sin 2

cos 2

x 3 với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ?



x b 

x C 



D. . . C.

ab  .

ab  .

ab   .

ab   .

1 8

1 4

1 4

1 8

x

x

A. B. C. D.





 4 1 ln

2

2

2

2

Câu 81. Họ nguyên hàm của hàm số là

 C.

2

x

ln

x

2

2 lnx

2

x

ln

x

3

2 x C

2

2 lnx

x

2 x C

x 3



 .



 .

2

x

  f x x x f x ( )

x

x

A. . B. D. Câu 82. Họ nguyên hàm của hàm số là . x e .

F x ( )

x

2

F x ( )

x

C





 C











21 e 2

21 e 2

1 2

  

  

2

x

2

x

F x ( )

2

e

x

2

A. B.





 C

F x ( )

e 2

x

C











1 2

  

  

C. D.

2

x

2

x

2

2

x

x

2

x

2

x

2

e

x

2

x

2

e

x

Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số e )x 















 1 x e





x

ln

x

. x 2 (1 2 . x . .   A.  B.  f x ( )  1 x e là C.  D. 



 f x



2

2

Câu 84. Họ nguyên hàm của là kết quả nào sau đây?

x

ln

x

2 x C

ln

x

2 x C

x





 .





 .

  F x

  F x

2

2

A. B.

x

ln

x

x

ln

x

x C





 . C





 .

  F x

  F x

1 2 21 x 2

1 4 1 4

1 2 1 2

1 2 1 4

C. D.

10



 0; là

 f x



2

x s in

x

cot

x

x

Câu 85. Tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng 

x B. cot x



 .





x

 ln s in ln s in

x

cot

x

A.



 x C  . x C





 .

ln s in  ln s in

 . x C  x C

2

C. cot x D.



 nx l x

2

2

2

2

x

x

C

x

x

x

C

x

x  



x  



  .

  .

2 x x 1   Câu 86. Họ nguyên hàm của hàm số là y 

 1 ln

 1 ln

2

2

x

x

C

x

x

C

x

x

x  



x  



  .

  .

A.  B. 

 1 ln

 1 ln

x 2 2 x 2

x

x 2 2 x 2  x a 

C.  D. 

sin 3

x

2023

 





  F x

 cos 3 b

1 c

x

x





2 sin 3

Câu 87. Biết là một nguyên hàm của hàm số

   f x A. 14 .

3

x

2

x

, (với a , b , c   ). Giá trị của ab c bằng

3 2 

2

x

d

nxe

pe

C

x me 







2

2

xe







 f x



D. 18 . x 2 , ta có . Giá trị của biểu B. 15 . 2 x 2  x e C. 10 . 

p

  1 3

x

2

2

Câu 88. Cho hàm số  f x thức m n bằng A. C. D. B. 2

( )F x là một nguyên hàm của

f x ( )

x

4

x

3

x

13 6 2025













7 6  Khi đó số điểm 2 .

Câu 89. Cho hàm số

( )F x là

cực trị của hàm số

2

A. 5.

e

x

x



3 4 

x









Câu 90. Cho . Hàm số có bao B. 4. F x là một nguyên hàm của hàm số C. 3.   x f x D. 2.  2F x

F

1

nhiêu điểm cực trị? A. 6 . C. 3 . D. 4 . B. 5 . Vấn đề 8. Các bài toán nguyên hàm có điều kiện.

 thì giá trị của



 1

 4F

   F x

2

1

1 x 

Câu 91. Nếu và bằng

1

ln 7.



1 2



f

2022

f

2023

B. A. ln 7. C. ln 3. D. 1 ln 7. 





f

x



  f x xác định trên

 \ 1R

 0

 2





x

1

1 

S

f

f

Câu 92. Cho hàm số thỏa mãn , , .





  . 1

Tính

 .

  3 ln 4035

ln 2

S 

S  . 4

S 

2



f 

f

A. B. C. . D.

 , 3

 , 2

f

ax

f





 

  f x thỏa mãn

 1

 1

  x

b 3 x

1S  . 1 12

1 2

  

  

Câu 93. Cho hàm số , . Khi đó 2a b

bằng

3  . 2

3 2

2 x

A. D. . B. 0 . C. 5 .

F

0

F

ln 3

e



 0





Câu 94. Biết và bằng

F x là một nguyên hàm của hàm số B. 6.

 . Giá trị của D. 4.

x



f

xe

f



A. 2. và .

f

5

f

f

8 2

e

 . 3

  x e .

 1f   . e

 

  f x thỏa mãn  1f

  f x C. 8.  0  .Tính 2  1 C.

 1

F



 . 1

 0

x





A. B. D. . Câu 95. Cho hàm số  1

  f x B.

x

x

F x là một nguyên hàm của hàm số  

 . 2







1 e

 

e x x    F x

F x biết  1 e 1x  .

A. Câu 96. Gọi   F x . Tính 

11

x





x

x





 . 2

 



1x  .

  F x



1 e

  F x



1 e

2x

C. D.

F



F x là một nguyên hàm của hàm số



  f x 

  0

1 ln 2

F

2022

F

2023

F

Câu 97. Gọi , thỏa mãn . Tính giá trị biểu

T F 



...  



  0









1

1

1

2022.2023

T

1009.

T

T







thức .

2T 

  1 20232  ln 2

20222  ln 2

cos 3

x

A. B. . C. . . D. .

F

F





F x là một nguyên hàm của hàm



 f x



2 3

20242  ln 2   

  9 

Câu 98. Biết và . Tính .

    2   3 6  6

sin

x

cos

x

A. F B. F C. F D. F      9 3 2  6  9 3 2  6  9  9 3 6  6                        

2

F







F x của hàm số



  f x

cos

x

sin

x

cos

x

Câu 99. Tìm nguyên hàm thoả mãn .

 



 3

    2    x 1 sin

 



cos

x

sin

x

cos

x

sin

x

A. B.

 



 1





 3

  F x   F x

C. D.

F

k







F x là một nguyên hàm của hàm số



  f x

k   .

  F x   F x 1 2 cos

x

 4

  

 k   

F

F

F

F

. Biết Câu 100. Cho với mọi





...  

  



  

 10

 

  0 A. 55.

Tính .

3

sin

x .cos

x

B. 44. C. 45. D. 0.



 . Tính

F

F x là một nguyên hàm của hàm số



 f x



 0F

  

Câu 101. Biết và .

F

F

F

F

 











 2

 2

1    4

 2

  2  1   4

 2

  

  

  

  

  

  

  

  

2

3

x sin 2 .cos 2

x

A. . B. . C. . D. .



F

0



F x là nguyên hàm của hàm số



  f x

  4 

  

F

2023



  là

Câu 102. Gọi thỏa . Giá trị

F

2022

F

2022

F

2022

F

2022



   0



   



   



  

1 15

1 15

2 15

sin 2

x

A. B. C. D.



F

2

F

 . Giá trị của

  f x

F x là một nguyên hàm



 0

cos x

x  1 sin 

  







Câu 103. Biết và là

2 2 8 3

2 2 8 3

  2  4 2 8  3

4 2 8 3

A. B. D. C.

0;  thỏa mãn

( )F x là một nguyên hàm của hàm số





 f x



4

2

x

1 

F

F

F

2023

Câu 104. Cho trên khoảng 

S F 





 

F

 . Giá trị của biểu thức

  1

  2

  3

2 x  3 2 x  

x 

  1

bằng

2022



1 2 2022 2023

2021.2023 2022

2022 2023

ln

1 2024 



A. . B. . D. . . C.



F

F

0

 . Giá trị của

 f x



 F x là một nguyên hàm của



 2  

  1

3x  2 x

F

F

Câu 105. Giả sử sao cho



  2

bằng

ln 2

ln 5

ln 2

ln 2

ln 5





x

g

a

ln

b

 1   10 3 Câu 106. Gọi

5 6 g x là một nguyên hàm của hàm số

7 3 ln 

 . Cho biết

2 3  và 1



 

  f x



3 6  3 g

 2

2

2

b



A. . C. . D. . B. 0 .

 1 ,a b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của 3T a  17

13

T  

8T  .

T   .

2

T  .

C. B. . trong đó A. D.

12

.

F

 , 3



 1

 F x nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số .

Vấn đề 9. Nguyên hàm của hàm ẩn    f x g x , biết

d

x

2 x C 

 

x C 1



2

2

 A.

  g x B.

và

x

2 1 

2 2 3 

x

x

 2

x

 4

   F x

  F x

  F x

3

C. D. Câu 107. Hàm số   f x d x   F x

d

x

4

x

2

I

x





x C 

  f x

0

 xf x

2 d



 

6

6

6

2



4







I



Câu 108. Cho . Tính .

C  .

I

2

x

2 x C

I

x

2

2 x C

I

12

x



 .



 .

2 

x 6



y

0,

f

0;

0;

x

,

f

A. C. D. B.

10 x 10 liên tục thỏa mãn





   

 và 4

 f x



  x





  2



2



Câu 109. Hàm số

x

f





 1f



21 

 f x

 f x 

 

. Khi đó giá trị bằng

1 16

3 4

  x   9 16

4

2

y

f

'

.

x

x

f

2

f

B. . D. . A. . C. 0 .







 . Tính

 f x



  x

 f x



 0

  2 2

2

2

2

2

Câu 110. Cho hàm số thỏa mãn . Biết .

f

f

f

f









  2

  2

  2

  2

313 15

332 15

324 15

323 15

,

,

A. . B. . C. . D. .

F x G x xác định và có đạo hàm lần lượt là

 

 

 



 f x g x trên  . Biết rằng

3

2

2

.



.

Câu 111. Cho hai hàm số

x

ln

x



  F x g x .





 





  và 1

2 2 x

1

x 

2

2

2

2

2

x

2

.

x

x

2

.

x

2 x C 



x C 



2

2

2

2

2

2

x

x

C

.

x

C

.

x







 1 ln  1 ln

 

 1    1  

 1 ln  1 ln

   F x G x . A.  C. 

x

  f x G x là  1    1   ,

0

f

Họ nguyên hàm của

  1    





x    0





và thoả mãn B.  D.  x  f x

x

2

x

x

f

 . Tính

2 1  

  f x



3

  A. 9.

. Câu 112. Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên  , f 1

2

2

f

(0) 1

 và

f x xác định trên đoạn  ( )

B. 7. Câu 113. Cho hàm số . f x 3 x D. 0.  ( ) 1 2 x f x ( ).   

3

3

3

3

1; 2 f x trên  ( ) B.

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là

43

40









1;2

1;2





f x min ( )   

f x 2 ; max ( )  1;2



f x 2 ; max ( )  1;2



3

3

43

40

3  



3  



A. . C. 3. thỏa mãn 1; 2 f x min ( )   

1;2

1;2





f x min ( )   

f x min ( )   

f x 2 ; max ( )  1;2



f x 2 ; max ( )  1;2



C. . D. .

f

0

  ,

  1



  f x  với mọi x và thỏa mãn

 f x liên tục trên  ,

1 2

2



f

2

f

a b ,

,

a b ,

1

Câu 114. Cho hàm số





f

f

f

2022



...  

  với 1



 x 



 1x 

  x





  1

  2







a b

.Biết .Khẳng định nào

2022

2019

ab 

a b 

A. . B. . C. 2 sau đây sai? b a 

2 2,

2022 f



  f x liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện:

b   f x 

2020  0,

2



Câu 115. Cho hàm số D. .  0 . x   và

.

f

x

2

x

1

f

x

,







 1f

 f x









 1





bằng x   . Khi đó giá trị

2

y

A. 26 . C. 15 . D. 23 . B. 24 .

2

xf

'

3

x

x



0;  thỏa mãn





f

 . Tính

 f x





  x

 f x



  1

1 2

Câu 116. Cho h/s ; liên tục trên 

 4f

?

D. 16 . B. 14 . C. 4 . A. 24 .

13

2

3

f

f

 . 1

f

'

''

x

x

2

x







  0

  ' 0

  x

  f x f .









T

f

  f x thỏa mãn   2 2 .

Câu 117. Cho hàm số , x   và Tính giá trị của

43 30

16 15

43 15

26 15

. A. B. . C. . D. .

Vấn đề 10. Một số bài toán ứng dụng của nguyên hàm.

/

 t m s



, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng

Câu 118. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10( / )m s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô   chuyển động chậm dần đều với vận tốc 10 2 v t   giây kể từ lúc đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng. A. 50 .m B. 25 .m C. 55 .m D. 10 .m

tv

t m s 8 ( / )  Câu 119. (Đề theo cấu trúc bài thi ĐGNL ĐHQG 2022). Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều . Đi được 5( )s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp với vận tốc

a

75

m s /

S m đi được của ô tô từ

(

)

 



2

tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc . Tính quãng đường

94, 00 (

m

S

S

)

)

m

S

)







)m . Câu 120. Số lượng của một loại vi khuẩn được tính theo công thức

87,50 ( m 

95, 70 ( N x , trong đó x là số ngày kể từ

C. A. . D. lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. . B. 110, 7(



  N x '

2000 x 1 

thời điểm ban đầu. Biết rằng và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Hỏi ngày thứ 12

số lượng vi khuẩn gần nhất với kết quả nào sau đây? A. 10130. B. 10120. C. 5154. D. 10132.

b ) và

 F x là một nguyên hàm của

  f x trên

;a b (với a

f x là hàm số liên tục trên   

B. TÍCH PHÂN. Vấn đề 1. Câu hỏi lý thuyết.

b

b

f

2

x

2

3







Câu 1. Cho ;a b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 



 3 d

 x F x



a



a b

x d





A. .

  k f x .

  k F b

 F a



 

 



a a

B. .





 f x



  x F b d

 F a





b

y

C. .



x

a x b

,



 , đồ thị hàm số

 f x



và D. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng



 F a



y





 f x

  F x là một nguyên hàm của hàm số

  S F b  2; 9 .

f x trên   

 2; 9 và

5;

F

F

4



trục hoành được tính theo công thức .

  2

9

9

9

9

liên tục trên  . Mệnh đề nào sau đây đúng ? Câu 2. Hàm số   9

  f x dx  

  f x dx 

  f x dx 

  f x dx  









2

2

2

2

4

A. . B. . C. . D. . 1 1 20 1

  f x x d

  f x liên tục trên  và



2 

6

3

2

2

2

1









Câu 3. Cho hàm số Mệnh đề nào sau đây là sai? 2. 

 f x

 x 1 d

 f x

 x 2 d



 x x 2 d



 x x 2 d









1 2

1

1

0





3 

A. . B. . C. . D. . f 1 f 2  

14

y

y

,





 g x

 f x



;a b   và

c

 . Khi đó biểu thức nào sau đây là biểu thức sai.

 ; a b

b

b

b

b

b

.g

x

x d

x d

dx

dx





Câu 4. Cho hai hàm số , số thực k   là các hàm số khả tích trên 

  f x





 f x





 k f x .



  d . x g x

   k f x







a

a

a

a

b

a b

c

b

0

x d

x d

x 





0,

x

a b ;

A. . B. .

  

 f x

 d

 f x



 f x



  f x

 f x















c

a

a

C. thì . D. .

a Câu 5. (Đề tham khảo, đề ĐGNL ĐHSP Hà Nội – 2022). Cho hàm số x '( ) y cho bởi hình vẽ

f x ( )

y

f





2;3

H f  B. D.

có đồ thị hàm số

H  H 

0

bên. Giá trị của biểu thức 15. 16. trên đoạn  f ( 2) (3)  là  10. H  H  8. A. C. Vấn đề 2. Tích phân hàm đa thức



 1



1



Câu 6. Tính tích phân I 2 x dx .  

I  . 0

I  . 1

I  . 2

I   .

1 2

1

3

x

x





A. B. C. D.



 1

 x 3 d



0

Câu 7. Tích phân bằng

b

2

3

x

2

ax





A. 12 . B. 9 . D. 6 .

,a b là các tham số thực. Giá trị tích phân

 x 1 d



0

3

2

3

2

3

2

Câu 8. Với bằng C. 5 . 

b

b a b

b

b a b

b

23 b

2

ab



 .



 .



b  .



1  .

ba 2

1

3

8

x  d

x  d

A. B. C. D.

 thỏa mãn

 f x



 f x



  f x mx n 





0

0

4

2

2

Câu 9. Biết rằng hàm số , . Khẳng định nào dưới đây

m n   .

m n  .

m n   .

2

3

x

2

x

6







B. C. D. là đúng ? A.

 x 1 d

4 m n  . m 



Câu 10. Cho . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây ?

0 .

; 0 .

0; 4 .

3;1

1; 2

1

n

2

I

x x d

x



. B.  C.  D.  A. 



  1

theo n. Câu 11. Cho n là số nguyên dương khác 0, hãy tính tích phân

I

I

I

I









1

2

2

1

2

2

0 1 n 

1 n 

1 n 

1 2 n Vấn đề 3. Tích phân hàm số hữu tỉ.

2

B. . C. . D. . A. .

 1 2

Câu 12. bằng 3 dx x 

ln

ln

2 ln

ln 35

7 5

1 2

7 5

7 5

1 2

3

B. C. D. A.

S

a b c .   

a b c , ,

9.

c , 



1

x 2 Câu 13. Biết dx a b c ln , với Tính tổng    x

S  . 7

S  . 5

S  . 8

S  . 6

A. B. C. D.

15

e



1

Câu 14. Tính tích phân I  1 2 x 1   x 

e

I

I

I  1

1  e

2

a

ln 2

b

ln 3

c

ln 5







C. A. B. D. I  dx   1   1 e

  bằng



x

x





x d  1 2



1

Câu 15. Biết . Khi đó giá trị a b c

0

2

D. 0 . A. 3 . C. 1.

 1 B. 2 . 1 

b 4a

 b a b ,





1



3 x Câu 16. Biết bằng I dx a ln ,      . Khi đó giá trị của 2 3 5 x  x 2 

1

2

2

2

dx

ln

b

a  

C. 59 D. 40 A. 50 B. 60

b

P a 



,a b là các số nguyên dương. Tính



2 x 2 x

3 x  2 x 

3  1 

0

Câu 17. Biết với .

1

7

D. 10 . A. 13 . C. 4 .

2

1t

x

 

I

d

x





0

x



 1

52 

3

2

2

4

t

t

t

t









B. 5 . x Câu 18. Cho tích phân , giả sử đặt . Tìm mệnh đề đúng.

I

d

t

I

t d

I

d

t

I

d

t

3 1  5

3 1  5

3 1  4

3 1  4

 

t

1   2

t

1   2

t

3   2

t

1

1

1

1 1

dx

1



A. . B. . C. . D. .

2

x  a x

0

. Câu 19. Có bao nhiêu số thực a để

2

2

C. 0 D. 3 A. 2 B. 1 Vấn đề 4. Tích phân hàm vô tỉ.

u

2 1

x

 , mệnh đề nào dưới đây đúng?



1

3

3

2

2

I

udu

I

udu

Câu 20. Tính tích phân bằng cách đặt I 2 x x dx 1  

  2

 

1

1

0

0

21

A. B. C. D. I udu I udu   1   2

a

ln 3

b

ln 5

c

ln 7







,a b c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

,



4

Câu 21. Cho , với

a b

c 2

a b

  

c   

dx x x  5 c 2   

1

B. A. D. a b C. a b c  



1

d x x  3

0

Câu 22. Tích phân bằng

1 3

2 3

4 3

3 2

2

C. . D. . A. . B. .

,a b c là các số nguyên dương. Tính

,

 1 (

với Câu 23. Biết dx a   b c  x 1) x x 1 dx x   

46

P 

P a b c    P  18 A.

24

12

P 

P 

2 2

2

B. C. D.

I

16

x

x d





x

4sin

t





0

 4

 4

 4

 4

2

2

Câu 24. Cho tích phân và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

I

t

I

t t 16 sin d

I

t

I

t t 16 cos d







   8 1 cos 2 d t

   8 1 cos 2 d t

  



0

0

0

0

5

A. . B. . C. . D. .

  bằng

)

,

a b c Q . Giá trị của a b c



1

Câu 25. Biết dx a b ln 3 c ln 5 ( ,    1 3 1 x 1  

16

7 3

5 3

8 3

4 3

3

x

I

x d



A. . B. . C. . D. .

 2

a x 

x

1



0

2

2

2

2

Câu 26. Tính .

I

a

a





 

I

a

a





  . 1 1

 1



 1

 

 1 1 

2

2

2

2

A. B. .

I

a

a

I

a

a





  . 1 1





 

 1



 1

1 3 

 

 1 3

 1 1  1 2

x d

C. . D.



1

x x

0

2

2

1 2

 4

 4

 2

2

2

2sin

dyy

x d

dy

2sin

dyy

Câu 27. Giá trị của tích phân bằng tích phân nào dưới đây?









sin cos

x x

y sin cosy

0

0

0

1

0 x d

I



B. A. . . C. . D. .

x

t t 2sin ,



2



  ; 2 2

   

  

4

x



0

 3

 6

 6

 4

I

d

t

I

d

t

I

t t d

I

Câu 28. Cho tích phân nếu đổi biến số thì ta được.

 

 

 

 

dt t

0

0

0

0

1

3

x

2

dx

A. . B. . C. . D. .



P a b  

c  .

0b  . Tính

2



x

1

x





0

là các số nguyên và Câu 29. Biết với a,b,c

7

P   .

5P  .

3P  .

a b c  15 7P  .

2

C. D. A. B.

P a

b c 2

 

7  

2



1

x Câu 30. Biết , a, b, c là các số hữu tỷ, tính d x a b 2 c 35    3 x 9 x 1  

1  . 9

86 27

67 27

A. B. . D. . C. 2 .

 4

2

f

f

'

2 sin

x

x

Vấn đề 5. Tích phân hàm lượng giác.

x d

 và 4



  f x . Biết

 0

  x

 f x



    , khi đó 1,



0

4

16











Câu 31. Cho hàm số bằng

.

.

.

.

2 16  16

2 4   16

2 15  16

2 16  16

 4

2

f x dx ( )

A. B. C. D.

f x .Biết

( )

f

(0) 4

 và



0

2

8

2

8





 



Câu 32. Cho hàm số bằng?  ( ) f x 2cos x 3, x      , khi đó

2 8   8

2 8   8

6 8

2 2   8

 2

A. . B. . . C. D. .

sin xdx



0

Câu 33. Giá trị của bằng

 2

 2

A. 0. B. 1. C. -1. D. .

dx

ln 2

b

ln 3









 c b c Q ,





11  3

x cos x 3sin  3cos x x 2sin 

b c

0

Câu 34. Biết . Tính ?

22 3

22  3

22  13

22 3

A. . B. . C. . D. .

17



3

I

cos

x x .sin d x

 

0

Câu 35. Tính tích phân .

4 I  

I  0

I

I  

1 4

41   4

 2

I

x x 2 cos .sin d x





A. B. C. D.

t

2 cos

x

 



0

2

2

3

 2

Câu 36. Cho tích phân . Nếu đặt thì kết quả nào sau đây đúng?

I

t t d

I

t t d

I

t

d

t

 

 

  2

2

0

3

3

2

 4

A. . B. . C. . D. . I t d t  

I

x d

u

tan

x



4

 

sin cos

x x

0

2

1

1

 4

I

u d

I

2 u u d

I

2 u u d

Câu 37. Tính tích phân bằng cách đặt , mệnh đề nào dưới đây đúng?

I

2 u u d

 

 

 

 

1 2 u

0

0

0

a

5

A. . B. . C. . D. .

sin

x

sin 2 d

x x 

a

0; 20





 



0 2 7

0

Câu 38. Có bao nhiêu số sao cho .

 6

a



A. 10. C. 20. D. 19.



,a b c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị

,

0

x d  1 sin x của tổng a b c   bằng

Câu 39. Biết , với a b ,  , c   và B. 9. b 3  c

 2

A. 5 . C. 7 . B. 12 . D. 1 .

,a b   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?



 3

Câu 40. Cho tích phân số với x a ln 5 b ln 2   cos d 2 x s in x 

a

0.

a

b 2

0. 

a b  .

b 2

0.  .

a b  0.  2

x

B. D. A. 2 C. 2

x d

a

ln

b





0c  . Tính tổng m.

sin 2



4 c

cos

x

5cos

6



0





Câu 41. Cho , với a , b là các số hữu tỉ,

x B.

S  . 3

1S  .

S  . 4

 S  . 0 Vấn đề 6. Tích phân hàm mũ và logarit.

F

A. C. D.







F x là một nguyên hàm của hàm số



  I F e

 1

 f x



ln x x

Câu 42. Cho . Tính: ?

e

I

I  1

1 I  2

1  e

1

1 dxe 3 x

C. A. B. D. I



0

4

4









Câu 43. bằng

3e

4e

e

e

e

e

e

e

1 3

1 3

2

3

p

q

A. B. C. D.

  bằng

1 dx 

 x m e





1

Câu 44. Cho e e   với m , p , q   và là các phân số tối giản. Giá trị m p q

22 3

C. . A. 10 . B. 6 . D. 8 .

18

ln 6

x

e

x d

a b

ln 2

c

ln 3

 



x



1

e

3





0

2

Câu 45. Biết tích phân , với a , b , c là các số nguyên. Tính

T  .

1T  .

0T  .

T a b c    . T   . A. 1 e

B. C. D.

a b   .

,a b là các số hữu tỷ. Tính S



1

Câu 46. Biết với dx a b 2   x x ln x 1 ln 

1S  .

3 S  . 4

2 S  . 3

e

A. B. C. D.

1 S  . 2 1

t

ln

x



1

1

1

e

e

1

3ln  Câu 47. Cho tích phân . Nếu đặt thì I x d   x x

I

d

t

I

t 3







 t 1 d



 1 d

 





t 3  et

0

0

1

1

e

ln

x

t 3 1 A. . B. . C. . D. . I d t I t 3 t      t

I

dx

a

ln 3

b

ln 2









,a b c   . Khẳng định nào sau đâu đúng. ,



c 3

ln

x

2

x



1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 48. Cho , với

2 B.

a

b

c

a

c

a

b

c

a

b

c







2 11 





9  .





3  .

 1  . ln 2

A. . C. D.

ln

a

ln

b

ln

c

I













x

x

x d  3e

4

b  1 c





 e 0 a b c   .

Câu 49. Biết với a , b , c là các số nguyên dương.

2P  P   . 3

3P 

P   .

4P  .

1 Vấn đề 7. Tích phân tổng hợp.

1

2

x

2

c

b



xe

x d

e

e





Tính A. B. C. D.

  bằng





,a b c   . Giá trị của a b c ,



0

a 2 B. 7 .

Câu 50. Biết rằng với

e

C. 5 . D. 6 . A. 4 .

,a b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức





2



2

T

Câu 51. Biết với dx ln  ae b   x 1 ln x x 

1 ab b 

a   A. 3.

2

x



p q

1 x

x 2. C. 0. D. 8. B. 1.

m n p q là các số nguyên dương và

,

,

,

n

x

e

dx me 







21 

p q

p q

   .

Câu 52. Biết , trong đó là phân số tối

 1  .

10

7T  .

T 

y

f

5



f

8T  .  . Tính tích phân

 f x

  0

T  có đạo hàm trên  đồng thời thỏa mãn

1



. C. A. giản. Tính T m n 11 Câu 53. Cho hàm số B.  D.   1

f

  df x x

I



 x e

 

.

0 A.

10

I 

I   5

I  0

I  5

4

2

I

a

ln 5

b

ln 3

c

x

x

ln

x











C. D.

,a b c là các số thực. Giá trị của biểu thức

,





0

   là: A.

Câu 54. Biết trong đó B.  9 d

T a b c 11.

10.

T 

T 

T  8.

3

C. D.

x

x







3

T  9. 2 1 x d

a . e

b c

.ln

e



 



,a b c là các số nguyên và ln e 1 .

,



 1

 e 3 

x

1

n l

x

 1 ln 

2

2

2

B. x 3 Câu 55. Cho với

1 b

c



10

P a   9P  .

P 

3P  .

14

P 

. B. . C. . D.

Tính A. 19

2

2



 g x

 f x



  f x

  g x





1

1

Vấn đề 8. Tích phân dùng tính chất. 2 Câu 56. Biết và , khi đó bằng d 2 6 d x x  x  d     

 1 B. 4 .

1

1

1

3

g x dx   4



A. 8 . D. 8 . C. 4 .

  f x dx 

 

  f x

 

  g x dx  







0

0

0

Câu 57. Biết tích phân và . Khi đó bằng

4

2

  t

 f x



 f y







2

2 

A. 7 . D. 1. C. 1 . B. 7 . 4 Câu 58. Cho. , . Tính . f t d d x 1 y d  4  

5

I   .

I  . 5

2

D. A.

3

7

3

dx 



  f x dx 

 g x dx



 

 

0



Câu 59. Cho và , khi đó bằng

 2  I   . 3 B. 2    xg 0 B. 18 .

I  . 3 C. 2    f x 0 C. 24 .

8

12

 f x



 f x



  f x

  f x liên tục trên  thoả mãn







1

4

4

12

A. 16 . D. 10 . 8 Câu 60. Cho hàm số , , . Tính d 9 d 3 d 5 x  x  x 

 f x



. I d x

I  . 1

I 

17

I  . 7

I 

B. . D.   1 A. .

3

3

3

C. 11 1;3 thoả mãn Câu 61. Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 

 f x



 g x



 f x



  g x

 f x



 g x





1

 1 B. 6.

, . Tính . 2 3 10 6          d x   d x   d x    

 1 A. 7.

 2

 2

C. 8. D. 9.

x d

5

I

2sin

x

x d

5









 f x



  f x

 

 





0

0

Câu 62. Cho . Tính .

I

5

I  3

 

I  7

I

5  

 2

2

2

2

B. C. D. A.

 f x



 g x



 f x



  g x







1

1





1 

Câu 63. Cho và . Tính . d x 2 d x 1 I x 2 3 d x          

I 

I 

5 I  2

7 I  2

11 2

17 2

2

x

B. C. D. A.



 f x



2 d t t  2 t 1

2

x

Câu 64. Số điểm cực trị của hàm số là

2

y



 f x



 f x







6; 6





1

1



6

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3 Câu 65. Cho . Biết rằng ; . d x 8 f 2 x d x 3    là hàm số chẵn, liên tục trên 

 f x



1



Giá trị của là I x d  

I  . 5

14

11

I  . 2

I 

I 

2 



x d .

I

A. B. C. . D. .

d

x

2018



 f x



 xf x

2

  f x liên tục trên  và

 



0

0

Câu 66. Cho hàm số , tính

1008

2017

1009

I 

I 

I 

I 

2

4

f

x

2019 

A. . B. C. . D. . .

2

x

 d

  f x x  d





x

1

1

Câu 67. Cho . Khi đó bằng

D. 8 . A. 1. B. 4 . C. 2 .

20

5

2

2

 f x



 f x

 x x 1 d



2

1

Câu 68. Cho . Khi đó bằng 2 I x d    

7

7

4

I

x d

x  d

f

x

f x liên tục trên R thỏa mãn

A.2 B. 1 C. 4 D. -1





 f x



  xf x

 f x



 10





 

3

3

và . Tính Câu 69. Cho  

1

 6

9

x  d

A. 80. B. 60. C. 40. D. 20.

I

f

x

 f x





 x x sin 3 cos 3 d



 

0

Câu 70. Cho . Tính .

0 I  . 9

I  . 5

I  . 2

1

2

I  . 3  2

x

1





B. C. D. A.

I

2

sin

x

cos

x x d

3

f

x

d

x

f





3 2 

y











  f x





1

23 ; x x x x ; 



0

0

   5 

Câu 71. Cho hàm số . Tính .

31

32

I 

I 

I 

I 

32 3

71 6

2

 2

sin

xf

3cos

x

1





B. . C. . D. . A. .

d

x

I

d

x

2





 f x







 3cos

x



0

1

Câu 72. Cho . Giá trị của bằng

4  . 3

1 4 3

2

ln 2

5

4

2

x

B. C. . D. -2 A. 2

f

4

x

3

dx

2 x e dx





  f x dx 

  f x dx 





 f e











4

1

1

0

Câu 73. Biết và . Tính . 5 20

15

25

I 

I 

I 

15 4

2

B. . C. D. . A. .

5 I  . 2 (2

f

f x ( )

x

)

x e .

,x

x







f x là hàm số liên tục trên  thỏa mãn ( )

   . Tính tích phân

2

Câu 74. Cho

I

f x dx ( )

 

0

1

2

e

.

I

4 2

I

e

 .

e

4 1  .

I



I



4 1  4

e  2

1

 4

d

x

f

tan

10.

x d ?



B. . C. D. A. .

 f x



x 2





 cos

 x

0

0

Câu 75. (Đề theo cấu trúc Đề ĐGNL – ĐHQGHN – 2022). Cho Tính

1

 4



A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 10 .

f

tan

x

x d

3



d

x

1.







  f x liên tục trên  thỏa mãn





 2 x f x 2 x 1 

0

0

1

I

x d .

Câu 76. Cho hàm số và Tính

 f x



 

s

0 A.

I  . 2

I  . 6

I  . 3

16

B.

I  . 4 

2





  f x liên tục trên  và thỏa mãn





1

 4

1

f

x

4



C.  2 x f D.  Câu 77. Cho hàm số . Tính tích cot x f . sin x d x x d 1   x

d

x



 x

1 8

phân .

I  . 3

I  . 2

3 I  . 2

5 I  . 2

A. B. C. D.

21

f

f

 . 1

  f x thỏa

  0

  5

5

x

5

2022

2022

e

f

'

x

x d

a e

b







Câu 78. (Đề theo cấu trúc Đề ĐGNL – ĐHQGHN – 2022). Cho hàm số

 f x







 

 

,a b   . Tính biểu thức



Biết , . b Q a  

0 A. 2 .

f

2

x



x



B. 3 . C. 4 .





 f x



f x liên tục trên đoạn   

1; 4 và thỏa mãn

ln x

x

4

I

x d

D. 5 .  1 Câu 79. Cho hàm số . Tính tích

 f x



 

2

phân .

3 I   3 2ln 2

2 ln 2

I 

22 ln 2

2ln 2

I 

I 

. B. . C. . D. . A.

3

C. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Vấn đề 1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Câu 80. Diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây?

 x ( ) d





2  3

A. . f x ( ) g x 

 f x dx ( )





3

2  0

f x ( )

g x

x

x g( )

f x







B. . g x ( ) 

 ( ) d

 x ( ) d









0 3

2  0

g x ( )

f x ( )







C. .

 f x dx ( )

 g x dx ( )









0

2 

D. .

3

3

2

2

Câu 81. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?



 3 d

 x 11 d







1 3

1 3

2

2

A. . B. . x 4 x x x 2 x      

 11 d



 3 d







1

1

C. . D. . x 2 x x x 4 x x    

1

1

3

2

3

2

Câu 82. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

2

x

3

x

2

x

x

2

x

x















 x 1 d

 3 d











1 2 1

1 2 1

3

2

3

2

A. . B. .

2

x

3

x

x

x

x

2

x

x





2 









 1 d

 3 d











1 2

1 2 Câu 83. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

3

3

3

2

2

C. . D. .

3 x  

 7 d

 7 d









1 3

1 3

2

3

2

A. . B. . x 5 x 9 x x 5 x 9 x x     

3 x  

 9 d

 9 d









1

1

C. . D. . x 9 x x x x 9 x x     

22

y

2

2

x

  và trục hoành là:



 f x



Câu 84. Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn  x g x ; bởi hai đồ thị hàm số

S 

x

O

2

4

. B. A.

S 

S 

 10 3 13 3

7 S  . 3 11 3

2 x

y

e

. D. C. .

,Ox Oy và đường thẳng

2

, trục

1

4 e 

4 e 

4 e 

Câu 85. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số x  . Tính S hình phẳng trên.



 1



 1

1 2

41 e 2

1 2

e

A. . B. . C. . D. .

x  . Mệnh

y  , 0

1x  ,

y



ln x 2 x

2

2

, Câu 86. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

e

e

S

d

x

S

d

x



x 2

x 2

ln x

ln x

  

    

  

e   1

1

1

1

x

0;

x

đề nào dưới đây đúng? e A. S x d . B. S d x . C. . D. . x 2 x 2     ln x ln x

y

sin 2 ;

x y

cos

x









    2

Câu 87. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường và là

.

.

.

1 6 .

3 2

1 4

1 2

A. D. B. C.

y

1

x 2



y



3x 

6 x

4 6ln 6.

Câu 88. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; là:



.

.



2 4 6 ln . 3

25 6

x

A. B. C. D.

1x 

Câu 89. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là:

e y C.

.e

2.e

. e

2

1 D. và trục Ox

A.

443 24 1y  ; 1.e y 

4 x x 

34 3

32 3

C. B. . . D. . A. 11.

26 x

Câu 91. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường x y y là   và 6

1 2

C. . D. . A. 52 . B. 14 . B. Câu 90. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 31 3 3 11 x  1 4



 H y :

x x

1 1

 

và các trục tọa độ. Khi Câu 92. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

2ln 2 1

ln 2 1

S 

 .

S 

 .

S 

S 

2

đó giá trị của S bằng A. B. C.

P

: y

x

8

x

7





 





 H y :

ln 2 1  . 1  3

2ln 2 1  . 7 x  x 3 





. Câu 93. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị  ,  D. 



4 ln 3 8ln 2 

y

3

x 

y

4

x

3

x





161 9 2 

. C. 3 ln 4 . D. . A. 3, 455 . B. 9 8ln 2

.

.

.

.

Câu 94. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và là:

55 6

205 6

126 5

109 6

A. B. D. C.

23

y



 f x



2

Câu 95. (Đề tham khảo đánh giá năng lực 2021_ĐH Quốc Gia Hà Nội) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện

  2 x f x dx .

1

tích lần lượt là 4 và 1. Tính I 4  

6 I  . I  . 8

y

I  I  2

2

2

y

 8

A. C.

 C x :

B. D.  P y :

10 . . 12 chia đường tròn  x 2 1S ,

2S (như hình vẽ). Khi đó

S1

S2

Câu 96. Biết rằng parabol  thành hai phần lần lượt có diện tích là

S

,a b c nguyên dương và

,





a 

 với

2

S 1

x

b c

b c

O

S

là phân số tối giản. Tính

16 14

B. D. . .

y

23 x



S  S  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol

H bán kính bằng 2 nằm phía trên trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Diện

a b c    . S  13 . A. S  15 C. Câu 97. Cho  đường tròn tâm  tích của 

H được tính theo công thức nào dưới đây?

1

2

2

S

2

x

3

x

dx







và nửa



 

 

0

1

2

2

A. .

S

4

x

3

x

dx







 2.

 

 

0

1

2

2

S

3

x

4

x

dx







B. .



 

 

0 1

2

2

S

4

x

3

x

dx







C. .



 

 

0

cos

x

y mx 

D. .

x

0;



x  

Ox

3

; ; bằng . Khi đó

3.

 m

 m

Câu 98. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường m là: A. D.

3.m 2  và đường thẳng 1

 m 4.  với m là tham số. Gọi 2

 P y :

3. 0m là giá trị

B. x

0m nằm trong khoảng nào?

Câu 99. Cho Parabol  của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C. : d y mx P và d là nhỏ nhất. Hỏi

(

;3)

)

(

2;





)

( 1; 

0;1 .

1 2

1 2

D. . . . C. A. B. 

n chia

3

x x 4 

(4 (4 m T n )    

T 

T 

1 2 )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số Câu 100. Gọi ( 2 và trục hoành. Hai đường thẳng y m và y y   )H thành 3 phần có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ). Giá trị ( 3 của biểu thức ) 320 9

A. B. . .

T 

405

T 

x 

O x

0x 

sin

y

x



C. D. . .



H

 Câu 101. Gọi O x

bằng 512 15 75 2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; ; ; . Quay xung

H ta được khối tròn xoay có thể tích là

2

2

quanh trục

 .

 2

 2

B. . C. D. . A. .

24

x

y

)H là hình phẳng giới hạn bởi các đường

Ox x ,

1,

x

e .



 Tính thể tích

x .ln , .Ox

trục

 e 

1

 )H quanh trục 1  e 

 e 

 2 1

 e 

 2 1

Câu 102. Gọi ( khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (

3

3

2

. D. . A. . B. C. . 4 4

y

x

cos

x

sin

x y ;

0;

x

0;

x

,











 2 4)

4

4)

4)

(3  

(5  

(3  

Câu 103. Thể tích của khối tròn xuay được giới hạn bởi là

5

(3   4

4

4

y

O x

D. A. B. C.

x ln

, trục và đường thẳng

2 ln 2

O x B.

2 A.





2

2ln2 1 x



Câu 104. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi x  . 2 ln 2 C. . . . . quay xung quanh trục 2ln 2 1 Câu 105. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường D.  :P y

x 2

d y : 2

2

O x 2

2

2

2

thẳng quay quanh trục bằng

2 4x dx

4 x dx

x

2

2 4x dx

4 x dx

x

2







2  x dx



 x dx

 

  0

  0

0

  0

2   0

2   0

A. . B. . C. . D. .

Câu 106. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

3b.e



y

x

ln

, yx

,0

x

e









 a

có giá trị bằng trong đó a, b là hai số thực nào dưới đây?

a

27, b 5.

a

a

27, b 6.

a

24, b 5.

 24, b 6.

















A. B. C. D.

x

2.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox và y x

Câu 107. (Đề tham khảo đánh giá năng lực 2021_ĐH Quốc Gia Hà Nội) Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường y bằng

3  10

3 10

9  70

9 70

2

2

1

A. B. D. C.





2

2

x a

y b

2

2

Câu 108. Thể tích khối tròn xoay khi cho Elip quay quanh trục Ox bằng

.

.

2 a b .

ab

2 a b .



ab

4 3

4 3

2 3

2 3

A. B. C. D.

t

Vấn đề 2. Ứng dụng tích phân để giải quyết bài toán thực tế Câu 109. Một tàu lửa đang chạy với vận tốc

200   200 20 t v t  giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn di chuyển được

1000 m.

500 m.

1500 m.

2000 m.

m/s thì người lái tàu đạp phanh ; từ thời điểm đó, tàu  chuyển động chậm dần đều với vận tốc khoảng thời gian tính bằng m/s. Trong đó

A. B. C. D.

t 8 (m/s)

a  

  v t

Câu 110. (Đề thi thử đánh giá năng lực 2022-ĐH Bách Khoa Hà Nội) Một ô tô đang chạy thì người ta đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc trong đó t

25, 28

23, 25

a 

a 

a 

a 



 15,18









A B ,

(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh và a là một hằng số dương. Biết rằng từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được 36m. Khẳng định nào sau đây đúng ? . B. A. C. D. . .

2 ( ) 12 4 t v t 

  18, 21 Câu 111. Hai người đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di chuyển tiếp với vận tốc 1( ) 6 3 t mét trên giây. Tính khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn.

v t   mét trên giây, người còn lại di chuyển với vận tốc 

25

22

24

20 km / h

A. mét. B. D.

1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một

I

Câu 112. Một vật chuyển động trong mét. 3 giờ với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ C. v mét.  mét. h t 

2;5



thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn

25

3 giờ đó.

lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong

A.

B. .

C. .

km km

km 15  . 32 km  3 12  35  3

/

  v km h phụ thuộc

I

D. .

t h có đồ thị như hình dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ 3;9



Câu 113. Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc vào thời gian   khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có đỉnh và

có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận

1 4

tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng . Tính quãng đường s mà vật di

chuyển được trong 6 giờ?

 9 km .



  40 km .



 km .



 km .

130 3

134 3

1

x

 (người/tháng). Số dân tăng thêm của thành phố trong 4 tháng tới gần nhất với kết





A. B. C. D.

Câu 114. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ   10 2 2 v x quả nào sau đây? A. 77 . B. 47 . C. 57 . D. 67 .

3 m s /

500

10

t





  v t



. Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ chứa nước của nhà Câu 115. Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện Hố Hô đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng  nước tại thời điểm t giây là

0,5

t

100

e

máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?





  q t

A. 25 triệu khối nước. B. 45 triệu khối nước. C. 35 triệu khối nước. D. 30 triệu khối nước. đơn vị Câu 116. Sau t giờ làm việc một người công nhân có thể sản xuất với tốc độ là

sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 8 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 9 giờ sáng và 11 giờ trưa?

3

26 x

40

x

A. 201, 76 đơn vị sản phẩm. C. 202, 76 đơn vị sản phẩm. B. 200, 76 đơn vị sản phẩm. D. 203, 76 đơn vị sản phẩm đồng.









USD/ sản phẩm. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu sản phẩm sản Câu 117. Một công ty sản xuất sản phẩm A, giả sử chi phí cận biên khi x sản phẩm được sản xuất là  q x

xuất ra tăng từ 3 sản phẩm đến 7 sản phẩm? B. 160 USD . A. 180 USD . C. 108 USD . D. 106 USD .

,A B O

AB

m 12





Câu 118. Bạn An xây một bể cá hình tròn tâm O bán kính 10 m và chia nó thành 21m 2 phần như hình vẽ sau. Bạn An sẽ thả cá cảnh với mật độ 4 con cá cảnh trên ở phần bể giới hạn bởi đường tròn tâm O và Parabol có trục đối xứng đi qua O và chứa O. Gọi S là phần nguyên của diện tích phần thả cá. Hỏi bạn An thả được bao nhiêu con cá cảnh trên phần bể có diện tích S, biết và ?

GH

AB

m 4

m 4

0,9

m



A. 560. C. 460. B. 650. D. 640. , chiều rộng , .Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000

Câu 119. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao AC BD  đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m2.

26

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? C. 4077000 (đồng). B. 7368000 (đồng). A. 11445000 (đồng).

v m s phụ thuộc vào thời gian ( )

t s có đồ thị như hình vẽ sau:

/ )

D. 11370000 (đồng) Câu 120. (Đề thi thử tốt nghiệp THPT sở GDĐT Hà nội – 2022). Một vật chuyển động trong 10( )s với vận tốc (

Quãng đường vật chuyển động được trong 10 giây bằng

m .

m

m .

m .

67 2

61 2

65 2

63 2

z a bi a b

,

,

 

 để

a b a b ,

,

,



  b i a b



B. C. D. A.

 . Điều kiện giữa

0

a a

0  .

b b  .

a bi

 

D. SỐ PHỨC. Vấn đề 1. Câu hỏi lý thuyết.   z a    và Câu 1. Cho hai số phức z là một số ảo là z ' ' a 0 a a a 0   D. . B. A. C. . ' 0 0 '  b b     

2

2z

Câu 2. Cho số phức z    b b    ,a b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

z

a bi

.

;M a b  Câu 3. Cho số phức z

,a b là các số thực bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

2

2z bằng

  A. Mô đun của z là một số thực dương. B. C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của số phức iz . là điểm biểu diễn của z . D. Điểm   với

a

b D. Số z và z có môđun khác nhau.

z không phải là số thực. a b ,

a b ,





. A. Phần ảo của z là bi . B. Môđun của C. z

a bi

 

 0

2

2z

. Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 4. Cho số phức z

,  2 z

1

.z z

z z   . 1 .

z

z   .

















z

z

A. z C. D. .  B. .

z  



z

z



z  

z z .

z z .



a bi

 

Câu 5. Cho hai số phức z và z . Trong các mệnh đề sai, mệnh đề nào sai?  A. z . . . D. z . C.

2

2

z z .  a bi

Câu 6. Cho số phức z

.z z là số thực.

z

a

b





. z z ,a b . Khẳng định nào sau đây sai? 2z là số thực.   Vấn đề 2. Các phép toán số phức.

A. . B.  B. z C. . D.

z

i



18 12 

Câu 7. Xác định phần ảo của số phức . . B. 18 . D. 12i  C. 12. A. 12 .

27

25

z 

A.1 2i D. 1 2i   C. 2 i .

7z  .

5z  .

A. Câu 9. Tính môđun của số phức B. C. D. .

w

3

4

4

3

i

i

2

i

  . Tìm số phức liên hợp của số phức w 1  

1   



z 1 2 i   là Câu 8. Số phức liên hợp của số phức B. 1 2i   z 4 3 i   z  7 . w z z i  và 2 2 3 i z   ? 2 1 D. . w w   Câu 11. (KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA – ĐỢT 1 – NĂM 2020 -2021)

i 5 4

 

iz

C. A. B. . . . Câu 10. Cho số phức 1 1z i 2 

z

z

z

i 4 5

 

 

  

B. . C. Cho số phức i 4 5 A. . Số phức liên hợp của z là i 4 5 D. z=-4-5i

z

i 1 2

  và w 3 .i

  Môđun của số phức wz

Câu 12. (KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2020) Cho hai số phức bằng

D. 50. A. 5 2

z

2

i

i  

 1 2 i 





 

160

Câu 13. Tính môđun của số phức B. 26 

2 10

4 10

z 

z 

z 

C. 26   . 3 2 i   z  . D. . A. . . C.

bi

a  

4 5  ,a b . Tính ab.

3

4

i

1 

Câu 14. Biết B. , 





12 25

12 625

12 25

B. . C. . A. . D. .

1z

i

12 625   . Khi đó

3z

Câu 15. Cho số phức bằng

2 .

A. B. 2 2 . D. 1.

 i 1 2  

2

. C. 4. Câu 16. Tính môđun của số phức là nghịch đảo của số phức z

1 5

2

z

i

B. 5 . . A. . . C. 1 25 D. 1 5

1w

z

z

  

1    2

3 2

i

3i

Câu 17. Cho số phức . Tìm số phức .

1   2

3 2

2022

2022

P

i 3

i 3

1  

1  

A. 2 . D. . C. 0. B. 1.

Câu 18. Tính .

20232P 

20212P 

2P 

2

2021

1

i

i

  



A. C. D. 2022

S

1

i

  .

i .

2023

i

1012 A. S 2022 2023i.



10112P  B. i ... i   S 1 i   . B. 3 2 ... 2023 2 i 3 i    B. 2022 2023 .i 

16

9

4

48

4

C. A. S D. S . Câu 19. Tính S i  . Câu 20. Tính S  

 z  , 2

z z 2 3

z z 1 2

z  , 1

 . C. 2023 1012 .i  z  và 2 3 3 D. 1012 1011 .i  z z   1 3

i   Câu 21. Cho các số phức 1z , 2z , 3z thỏa mãn: P z  Giá trị của biểu thức 1

z 3

z   2 B. 8.

bằng:

2023







z 3 0.   

z 2

A. 1

z 2

z 3

z z 3 1

D. 6 z và 1 C. 2 Câu 22. Cho các số phức 1z , 2z , 3z thỏa mãn 2 điều kiện z 1

P

.



z z   2 3 z z  

2

3

Tính

z z 1 2 z 1 2023.

6061.

P 

P 

2 2023 .

P 

1008, 5.

P 

A

1  

A. B. C.

1z  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn .

A. 5. C. 6. D. 5 i z D. 8. B. 4.

28

P

1

z

3 1

  

1z  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

z . 

Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn

A. 3 15 . B. 6 5. D. 2 20.

z i

z

C. 20. i 2 3 Câu 25. Trong các số phức z thỏa mãn

z

i

z

z

z

i

i

i





27 5

6 5

6    5

3   5

5

z

    . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 6 27 27 5 5 5 

6    5 i 3 4  

A. . B. D. C. . . .

2

2

z

2

i   bằng

M z

2

z

i

 

  đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức

và biểu thức Câu 26. Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện

i 6 8 |

A. 5 . C. 25 . B. 9. D. 5. Câu 27. (KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA – ĐỢT 1 – NĂM 2020 -2021)

   đạt giá trị nhỏ nhất, z w bằng z iw

,z w thỏa mãn |

| 1

| 2

z  và |

w 

Xét các số phức . Khi |

221 5

29 5

A. . B. 5 . C. 3. D. .

2

Vấn đề 3. Phương trình bậc nhất - bậc hai trong tập số phức

az

bz

c

0











a b c . Chọn kết luận sai. , ,

0 2 b

ac

4

0



b  thì phương trình có hai nghiệm mà tổng bằng 0.  

 thì phương trình có hai nghiệm mà môđun bằng nhau.

i 2 2 3



   . Môđun của z là:

Câu 28. Trên tập số phức, cho phương trình:

z 

z 

5

z 

A. Nếu B. Nếu C. Phương trình luôn có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau. D. Phương trình luôn có nghiệm. Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn  2

5z  .

 i z 5 3 3

5 5 3

. A. B. . C. D. .

(3

2

iz 



i)(1 i) 



z 

z 

z 

z 

. Câu 30. Tìm mô đun của số phức z thoả 3

3 3 2

2 2 3

3 2 2

2 3 3

1 2 

3 4 i   .

 2 i z

2 5

5

z 

z 

z 

. A. . B. . C. D. .

5z  .

2

z

z 3

S z z  1 2

A. C. B. . . D.

12

12

S 

z z   . 2 1 S   D.

z

C. A. . . Câu 31. Tính mô đun của số phức z biết  4 5 . có hai nghiệm phức 1z , 2z . Tính 9 0   S  . 6 B. Câu 32. Phương trình S   . 6

3

0

  . Giá trị của biểu thức

z 4

z 1

2

Câu 33. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình bằng 24 z

2

z

11

0

z 6



 . Giá trị của biểu thức

z

B. 2 3. D. 3 . A. 3 2 .

bằng

2

T

z

2

  . Tính 0

C. 2 1 1 . C. 3. Câu 34. Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 3z 1 2 A. 22. B. 11.

20192

2018 2 10102

D. 11 . 2018 z   1

T 

T 

0T  .

z 2 z 1T  .

Câu 35. Gọi 1z , 2z là hai nghiệm phức của phương trình C. B. A. . D. .

2

Câu 36. (KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2020)

z

13

0.

z 6





0z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

Gọi Trên mặt phẳng tọa độ,

1 z là 0

điểm biểu diễn số phức

 N 

2; 2

4;2M 

  P  4; 2

 Q  2; 2



A. B. C. D.

29

2

z

0

5

mz

  có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm

Câu 37. Cho mlà số thực, biết phương trình có phần ảo là 1. Tính tổng môđun của hai nghiệm.

2

2

z

3

z

a

0







2

z  . 0

B. 5 C. 2 5 A. 3 có nghiệm D. 4 a 2 

Câu 38. Tìm tổng các giá trị của tham số thực a sao cho phương trình phức 0z thỏa A. 0. C. 6. B. 2. D. 4.

y bằng

 1 4 i 





i 1 24 x y 3 2 i     thì x Vấn đề 4. Điều kiện của bài toán có chứa modul, số phức liên hợp 

D. 3 . A. 4.

m

i





 1

 2 1  

C. 2. là số ảo.

1

0m  .

1m  .

m   .

2





m   . 1 i 13 2 

Câu 39. Nếu 2 số thực x, y thỏa: B. 3. Câu 40. Tìm số thực m sao cho  m B. A. D.

 i z



? Câu 41. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn  1

z

z

B. 3. D. 1 . A. 4.

z    ?

C.  i z   C. 2. 1 Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

1

i

2z 

A. 0. D. 3.

 là số thực

B. 1. z Câu 43. Tìm số phức z thỏa mãn

z

2z 

z

 

A.

82

  .

   và  z 3 2 2 i      thỏa mãn

Câu 44. Cho số phức D. không có z . Tính giá trị của P a b z z  .

z i

z

0

A. 10

 . Tính

a bi

S

 

C. 4.   z 2 2 z i   C. i 5 2 5  và   C. 35 i 1 3    Câu 45. Cho số phức z D. 7 b a 3   . B.  z a bi a b , B. 8 

5

 , a b thỏa mãn S   .

S  . 5

S   .

7 S  . 3

A. B. C. D.

a bi

 

7 3  ,a b thỏa mãn

z

2

i

i

z

  

0   và

1z  . Tính P a b

  .



Câu 46. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho số phức z 

5

P   .

 1 P   . 1

3

z

A. B.

z  , 1 1

3P  . z 1

2

7P  . z z 1 2 D. 3.

D.  . Giá trị của là Câu 47. Cho hai số phức 1z , 2z thỏa mãn

z

z

4

z

A. 0. B. 1.



 1 i   

 4 3 i

. Câu 48. Tìm môđun của số phức z biết C. z  và 2 2 C. 2.   

2z  .

4z  .

1z  .

z 

1 2

z z 3 .

2017

z

z

i 48 2016 .









A. . B. C. D.

2016

 2017

z 

Câu 49. Tính môđun của số phức z thỏa mãn:

4z  .

 C.

2z  .

m

0m là một giá trị của m

2z   với m   . Gọi

z  . Câu 50. Cho số phức z thoả mãn 1 i  là số thực và z

A. B. . D.

0;

;1

;2

1;

để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:

m 0

m 0

m 0

m 0

1 2

1 2

3 2

3 2

  

  

  

  

  

  

  

  

A. . B. . C. . D. .

Vấn đề 5. Điểm biểu diễn của số phức

z

z

Câu 51. Giả sử

,A B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức 1z , 2z . Khi đó độ dài đoạn AB bằng z C. 1

z . 1

z 1

2

2

z 2

z . 1

z z

D. . . B. A.

a bi

 

với z

2

z 2 Câu 52. Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức   a b ,

 0

, b 

. Chọn kết luận đúng.

30

B. M thuộc tia O y . D. M thuộc tia đối của tia O y .

 3; 1

A. M thuộc tia O x . C. M thuộc tia đối của tia O x . 

z z

M  là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây? Câu 53. Điểm 1 3 z i    i z 3  

1 3 i   i 3   

B. D. A. C.

OCB

z z

1 2 i   . i 1 2   .

 

B. D. . Câu 54. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Điểm 1 trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức i z 2    . A. OAC C. OAB    Câu 55. Trong hình vẽ dưới đây, M là điểm biểu diễn của số phức z .

. B. 1 2i D. 2 i . Số phức z là A. 2 i . C. 1 2i .

2

i

 i  ?

  1   A. P . B. M . C. N . D. Q .

i 10 5

  . Hỏi điểm biểu diễn

 i z

Câu 56. Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z

z

2  

Oxy

A. Điểm Q . C. Điểm P . Câu 57. Cho số phức z thoả mãn  2  số phức z là điểm nào trong các điểm M , N , P , Q trong hình vẽ sau ? B. Điểm M . D. Điểm N . i . Trên mặt phẳng tọa độ , tìm điểm biểu diễn số

Câu 58. Cho số phức phức A. . B. .

0

  M  2; 1 1; 2M  . iz i 2    . Khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa

C. D. . w iz  1; 2 M  2;1M  .

 M  là 3; 4



Câu 59. Cho số phức z thỏa mãn độ Oxy đến điểm

z

2 3

A. 2 5. B. 13. D. 2 2 .

  

 i z

Câu 60. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện C. 2 10 . i 1 9   . Số

w



5 iz

A B C D ở hình vẽ sau?

,

, , A. Điểm D . C. Điểm B .

phức có điểm biểu diễn là điểm nào trong các điểm

B. Điểm C . D. Điểm A . Câu 61. Số phức z được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ:

31

 

i z

y

y

1



1

x

1

O

x

O

1



Trong các hình dưới đây, hình nào có thể là điểm biểu diễn của số phức ?

y

y

1

1



O

x

x

O

1

1



A. B.

z

  ,

C. D. Vấn đề 6. Vận dụng các tính chất hình học để giải toán về số phức

  . Số phức z biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là C. 1 5i

i   , 3 2 4 z i 2 5 A. 1 7i   .

3 4 ,

3 ,

i

  

 

,  . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

Câu 62. Cho A , B , C tương ứng là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số 1 1 2 i z 2 . B. 5 i . D. 3 5i . ,A B C theo thứ tự là điểm

z biểu diễn của các số phức 1

i z 3

Câu 63. (Đề thi ĐGNL – ĐHQGHN – 2022). Trong mặt phẳng Oxy , gọi i z 2

0;2 .

 0; 2 .

2;0 .

1 5 ; 3 3

3

5

   z

 . Gọi A , B lần lượt là các

   z  , 4 2

z  , 1

z 1

2

C. . A.  B.  D. 



với O là gốc tọa độ. Câu 64. Cho các số phức 1z , 2z thỏa mãn điểm biểu diễn số phức 1z , 2z trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích S của OAB

12

S  . 6

S 

5 2

S 

S 

25 2

2

2

1

C. . A. . B. D. .

z

z







z 1

z 2

z 1

2

z 1

2

bằng Câu 65. Cho hai số phức 1z , 2z thỏa mãn

 . Khi đó C. 1.

D. 0. A. 2. B. 4.

z z 0 1

. Tam giác OAB là tam giác gì? Chọn phương án đúng nhất.

Câu 66. Cho A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự 0z , 1z khác 0 và thỏa mãn đẳng 2 thức 2 z z   1 0 A. Đều



 . Gọi

,M N là các điểm biểu diễn cho 1z và

2iz .

z 26,

2

C. Vuông tại O D. Vuông cân tại O 2 Câu 67. Cho hai số phức 1 B. Cân tại O 2,z z thoả mãn z 1

MON  . Tính

T





2 z 1

z 29

24 3

36 3

T 

T 

. Biết  60

18

T 

36 2

T 

z

i

A. . B. . C. . D. .

0

x

x

3

0

i y   . 1

y 2

z

2

i

0

i

  

Câu 68. (Đề tham khảo đánh giá năng lực 2021-ĐH Quốc Gia Hà Nội) Xét các số phức z thỏa mãn 2z     . Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình A. C. B.

yi

x  

x 

x   . 1 0  z 1



y   . 1 0  ,x y thỏa mãn

D. 2   .   . Trong mặt phẳng tọa độ

x

0

x

2

0

x

2

0

x

0

y   . 5

y





y





y   . 1

Câu 69. Cho số phức z Oxy , điểm M là điểm biểu diễn của số phức z . Hỏi M thuộc đường thẳng có phương trình nào sau đây? A. B. . C. . D.

32

iz

 

là

2

y 

y   .

I

A. Đường thẳng B. Đường thẳng .



1 y  . 2

D. Đường tròn tâm C. Đường thẳng . Câu 70. Trên mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i 1 2 0; 1

2

4

i

z

   là đường tròn có tâm I

I

I

Câu 71. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

4R  .

2R  .

4R  .

2R  .



 2; 1  ;



 2; 1  ;

z

i 3 4

2.

 

 Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn

  I   ; 2; 1 Câu 72. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện i

1

A. B. C. D. và bán kính R lần lượt là   I   ; 2; 1

  là hình tròn có diện tích là S

S

S

z w 2  S  9 .

12 

16 

25 

3



số phức A. B. . C. . D. .

z

1

z 

Câu 73. Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

2

2

2

2

là

x

y

x

x

y

x







 . 0







 . 0

9 8

9 4

9 8

2

2

I

0;

A. Đường tròn B. Đường tròn

x

y

x







 . 0

9 4 9 8

1 R  . 8

9 4

9 8

  

  

5

C. Đường tròn D. Đường tròn tâm và

z i  . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức

w iz

i

1    là

Câu 74. Cho các số phức z thoả mãn

9

a   .

r  . 5

r  . 4 . Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức

đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. B. A. D.

z

i

i

2  





w

2

3

i





22 . 2   ;

  bằng

r  Câu 75. Cho số phức z thỏa mãn  z   I a b và bán kính c. Giá trị của a b c là đường tròn tâm B. 20 .

2 z  A. 17 .

C. 25

z

2 10

2

z    

C. 10 . D. 18 .

2

2

2

2



Câu 76. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện .

1  .

x

2

y

2

100















2

2

. B. Elip A. Đường tròn 

1  .

x

2

y

2

10















iz

i

x y 4 25 2 2 y x  25 21 2

1   

. D. Elip C. Đường tròn 

z

i

z

2

1



  

  C. Có vô số số.

? Câu 77. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện

1 2

z   . Gọi M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z . Tính

A. 2. D. 1.

i 1 2

3

 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức

B. 0. Câu 78. Cho số phức z thỏa mãn M m . A. 3. C. 4.

i

.  

B. 2. z Câu 79. Cho số phức z thỏa mãn D. 5. z 1

2 .

w

i 1 2

2z  . Đặt

  . Tìm giá trị nhỏ nhất của w .

  2 . Câu 80. Cho các số phức z thoả mãn

D. A. 4. B. 2

C. 2.   i z 1 2  

D. 5 . C. 2 5. A. 2.

i 2 1

z

    . Trong mặt phẳng Oxy , z được biểu diễn bởi điểm

B. 3 5. z Câu 81. Cho số phức z thỏa mãn:

M . Tìm z sao cho độ dài đoạn MA ngắn nhất với

i 1,3A 

.

i

z

. A. 3 i . B. 1 3i

z

z

2

i





Câu 82. Nếu z là số phức thỏa C. 2 3i . thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức D. 2 3i   . z 4    là

33

z i

i 1 3

z

3

i

z

B. 3 . D. 5. A. 2.

    

2 3 i   ?

  . Tìm giá trị lớn nhất M của

1

13

4 5

M  

M 

C. 4. z 1 Câu 83. Cho số phức z thỏa mãn 5

9M 

M 

10 3

5

 . Giá trị nhỏ nhất của

A. B. C. D.

z  và 1 12

z 2

là Câu 84. Cho số phức 1z , 2z thỏa mãn

2 3 4i z   C. 7

z 1 D. 17

z

i

P



A. 0. B. 2

 z

, với z là số phức khác 0 và Câu 85. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2z  . Tính tỷ số

M m

thỏa mãn .

 5

 3



M m

M m

M m

3 4

M m

1  3

A. B. C. D.

 2 i

 j

4

6

PHẦN II. HÌNH HỌC

 9 i

 k

4









Vấn đề 1. Hệ tọa độ trong không gian.  OB

 7; 3; 10

  

7; 3;10 

 OA  7;3;10 .

 k và B. 

 j 7   .



. Câu 1. Cho A.  D. 

A

I



Câu 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . Biết . Khi đó điểm B có tọa độ là . 

  .



A

. A. 

 1; 1; 1 Câu 3. Cho hình bình hành

 3;0; 2 . , biết

 1;1;1 D

1;1;1  

B  

5; 2; 2 

2;3; 4

8; 1; 4

B.  ABCD , , D.  . Tọa độ điểm là





A

 . Hình chiếu của điểm

   là điểm

A



 3; 1;1 

Oyz

P

N

P

M

3;0; 0

0; 1; 0 

 .

. B. C. D. . . A.

 0; 1;1 



M

Oz

C. B. . D. . A. .

 0;0;1 . Điểm đối xứng với

 . Vectơ AB có tọa độ là C.   11;11; 2    , 1; 2;0 2;1; 1  C.  0;3;1 . C   2; 2;3   2;3;0 .    trên mặt phẳng   M

 H



 1; 2;3 có tọa độ:

1; 2;3

2; 3;0     Câu 4. Cho điểm   Câu 5. Cho điểm H M 0; 0;3

1; 2; 3   

 

. Gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục







BC

MC

B. . C. . D. . qua  A.

 sao cho

 ( 3;6; 4)

(0;3;1)

M

 . MB 2

 1;2; 3 C 

, . Gọi là điểm nằm trên đoạn .

(1; 4; 2)

( 1; 4; 2)

M  

M  

A

B Câu 6. Cho hai điểm M Tính tọa độ điểm . M  ( 1; 4; 2) .  Câu 7. Cho ba điểm

  . Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng

. C. . D. . A.

M   B

( 1; 4; 2)  3; 2; 1



B.  2; 1;1 ; 

0; 1; 3

;

;0



   0; 3; 1

 0;1;5

  

5 2

3 2

  

A. B.  C.  D.  (yOz)?   

 a

 b

  



 a

Câu 8. Cho véc tơ Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

2; 2; 4 ,   và a

1; 1;1 .      cùng phương. C. b

A

,

B

C

A. B. 3.  b 

 0

, A B C 





  D. . a b .    A A B B C C   







 b    3; 3; 3 .   1; 2;3 ,  

; ;

c

Câu 9. Cho sáu điểm . Gọi thỏa mãn







G a b c  A.

là trọng tâm tam giác bằng

3;3; 3 ,   b 3 a    C.

1; 1;0

B

 11 . Oy

6 Câu 10. Cho

.

M

3 . A B ,

 A  



2; 1;1 ,     A B C . Giá trị  1 . B.   3;1; 1 

M

;0

M

0;

;0

M

;0

;0

M

0;

, . Điểm thuộc trục D. và cách đều hai điểm

9 4

9 2

9 2

 0;  

  

  

  

 0;  

  

  

  

A. . B. . C. . . D. có tọa độ là: 9 4

34

C

;

B

A

1;1; 0 , 

3;1; 1   

M a b c ; 



Oxz 

. Điểm trên mặt phẳng cách đều 3 Câu 11. Cho ba điểm

c

, ,A B C 6

điểm . Giá trị

1;1;1 ,   b 3 a    B.

3

1

OMN

;

;

M

(2; 2;1)

C. . D. . . A.

   

8 4 8 3 3 3 .

, Câu 12. Cho hai điểm . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

  bằng  1 . N     (0;1;1)

I

I

(1;1;1)

I

(1;0;1)

A

D a b c

; ;

ABC

A. . B. C. . D. .





B   a

B

2; 1;3  b  

Câu 13. Cho tam giác , có , . Gọi là chân đường phân



A

0;0;0

D

a 0;2 ;0

 A

1; 2; 1    ABC của tam giác . Giá trị của 4 . B.    ABCD A B C D .

0a 

giác trong góc 5 . A.





I   (0; 1; 1) C  4;7;5   c 2 bằng 14 C. .  B a ;0;0







15 . D.  a 0;0; 2



AC

có , Câu 14. Cho hình hộp ; , với . Độ

a

a

dài đoạn thẳng là:

2 a

3 a

3 2

 i

B. C. . D. . A. .

 3; 0;1

60

150

120

A

C

4; 2; 2

B

Câu 15. Góc giữa hai vectơ và là .   u   B. C. . D. . A. .

 

BAC

 0;3;1 ;





30  1; 2;3 ;



Câu 16. Cho ba điểm . Côsin của góc bằng . 

9 35

9  35

A

B

C

Ox

ABC

9  2 35 sao cho tam giác

. B. C. . D. . A. .

9 2 35  2; 1;1 

 1; 2;0





Câu 17. Cho , . Tìm có hoành độ dương trên vuông

3;0;0

C

2; 0; 0

C

C

5;0;0

C . C A.

tại







1; 2; 4

0;0; 4

 ABC

. B. D. .

 là tam giác

 .  A 



 1;0;0  1;1; 4

 .  C



Câu 18. Cho ba điểm không thẳng hàng , , . Tam giác C.  B 

M

gì?

m

 1;1;1

 P m  1;



, , C. Tam giác đều. 1;3 . Tìm thì tam giác vuông tại A. Tam giác tù. Câu 19. Cho ba điểm D. Tam giác nhọn. N MNP

 2m 

0m 

3m 

B. Tam giác vuông.  N   . . C. D. . A.

  ,a b

 2;3; 1 1m   0

B. khác . Kết luận nào sau đây sai?

  , a b

A. . B. . Câu 20. Cho hai vecto   a b ,3   , a b 3   2 , a b   , a b 2        

.sin

  , a b



 v

1;

m m ;

    a b .     3 ,3 a b C.     a b , . 3 D. .  .                

  , u v

14



1;1; 2 



  

2 

  

   

1,

m

m

m

Câu 21. Cho , . Khi đó thì    u 

m

 

 

 

3  

m 1,

m 1, A

m n

; ).

m  1 Trong các hệ thức liên hệ giữa

. B. A. . C. D. . .

,m n

dưới đây,

m n

13.

2

10.

ABCD

11 5 (1; 2; 0),  Câu 22. Cho hệ thức nào để bốn điểm   Câu 23. Trong không gian

11 3 B (1;0; 1), D C (0; 1; 2), ( 2;    A B C D , , , đồng phẳng? B. m n 13. 2   Oxyz cho tứ diện

A.

2 m n 3   1;1;0 và 

D

ABCD

, có C. 2 m n 13.   B  1; 0; 2 A 0;1;1 ,     D. C  





5

. Tính thể tích khối tứ diện .

2;1; 2  5 6

A

B

C

D

ABCD



. A. B. . . C. D. .

5 3 . Tính độ dài đường cao

AH



 0;1; 1 ; 

  1;1; 2 ;



 0;0;1

5 2   1; 1;0 ;

có

Câu 24. Cho tứ diện .A BCD của hình chóp .

35

2 2

3 2

B

A. . B. . C. . D. .

3 2 2 và có thể tích bằng

ABCD

5

D Oy

3;0; 1   

2; 1;1 

2 2 C  2; 1;3  

, có Câu 25. Cho tứ diện , , .

6

4

; ;

A. . D. .

7 lần lượt là giao điểm của đường thẳng

AB



 Oxy Oxz Oyz

,M N P ,

C. ,M N P , . Câu 26. Cho hai điểm . Gọi





đều nằm trên đoạn AB sao cho

A   D . Tính tổng tung độ của các điểm 2 B. .   B a b c A 9; 3; 4 ,       , , . Biết các điểm  . Giá trị của 17

9

 17 A.

)P là mặt

A

12 D. . . Gọi (

ab bc ca . Câu 27. (Đề thi TNTHPT năm 2022)Trong không gian Oxyz , cho điểm phẳng chứa Ox sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (

(1; 2; 2) )P lớn nhất. Phương trình mặt phẳng (

)P là:

bằng với các mặt phẳng AM MN NP PB   . B. C. .

0

0

y

y

z  .

z  .

B

0 . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho:



C. D.

z  . y  3; 3; 2 



 2; 2; 4 ;

B. 2  C





M

2;1;0

0; 1;3

M

ngắn nhất? A. 2 z  . 0 y   Câu 28. Cho A 1; 2;3 ;    MA MB MC







C

4; 0;3





  3; 1; 2 ,  



 C. M  2; 0;3 . Tọa độ điểm I trên mặt phẳng  

 Oxz sao

A. B. D.

 Câu 29. Cho ba điểm A  IB

 IA

2

 M  2; 1;0   1; 2; 2 , B   IC

3





cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là

I

I

;0;

I

;0;

;0;

; 0;

I







19 2

15 2

19 2

15 2

  

  

2

   1;1; 0

A

19 2 Câu 30. Cho

19 2 , C

   đạt giá trị

3

2 MA

2



   2 MB MC 

      . Tìm điểm M sao cho

15   2    , 0; 0; 1



15 2   1;0;1

 B 



A. . B. . C. . D. .

M

M

M

M

; 2

; 1 



; 1 

; 1 



3 1 ; 4 2

3 1 ; 4 2

  

  

  

  

1; 2;3

B

A. . B. . C. . D. . nhỏ nhất.   

   ,

  và OM ai

3 1 ; 4 2  bk



   

 A 



3 3 ; 4 2 

    6; 5;8 

Câu 31. Cho các điểm với a , b là các số thực luôn thay đổi.

  2MA MB 

Nếu đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của a b bằng

1 0

. C. 0 . A. 25 . B. 13

z 2

Oxy .

 : P x P đi qua gốc tọa độ O . P vuông góc với trục Oz .

D. 26 . Vấn đề 2. Phương trình mặt phẳng trong hệ trục tọa độ Oxyz .   . Chọn câu đúng nhất trong các nhận xét sau: Câu 32. Cho mặt phẳng 

A.  C. 

P song song với  P song song với trục Oy . z 3

16 0

x

y

z

x

y

x

2

3

2

z



y  

   , 2 6 0

 , 3









 cắt nhau tại điểm M .

1; 2;3

M

B.  D.  13 0

 M  1; 2;3

 M  





 1; 2;3 2



 y nz 

  và 1 0

 : mP mx

x my nz

2

0

6

x

z

A. C. B. . D. .

y  





  vuông góc với mặt phẳng 

mQ

Câu 33. Ba mặt phẳng Tọa độ của M là:    . . M  1; 2; 3 ,m n là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng    . 3 0 

 : 4 C.

0

2

1

m n  .

m n  .

m n  .

m n  .

2;1; 2

Câu 34. Gọi  :  A. D.

3 P , số đo

11 0

y 

 .

 : Q x

B. , H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng 

  Câu 35. Cho điểm H P và mặt phẳng  góc của mặt phẳng  060 . B. 2; 0; 0

A

0;3; 0

C

0; 0; 6

090 . Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt

030 .   , B







045 .   D 1;1;1

A. D. Câu 36. Cho các điểm , C.  ,

đi qua 3 trong 5 điểm O , A , B , C , D ? A. 10 . B. 5 . C. 7 . D. 6 .

36

Oxy có phương trình là

0x  .

0

y  . 0

(1;1;1)

A

A. B. D. Câu 37. Mặt phẳng  z  . 0

y  . x có phương trình là z   1 0.

z

B

A. B. D. Câu 38. Mặt phẳng song song với mặt phẳng  1 0

y   . 1 0  Câu 39. Cho 1; 1;5 A 



    . y x . Mặt phẳng   0;0;1



, C. Oxz và đi qua điểm x   . 1 0 C. P chứa ,A B và song song với trục Oy có phương

1 0

x

5 0

x

z   .

z   .

z 4

1 0   .

A

D. trình là x A. 4 C. 2

    . y z  B  1; 2; 2 2 2

1 0  z z

12 12

z z

x x

y y

2 2

12 12

Câu 40. Cho hai điểm . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

x x

 

 

 

 . 17 0  . 0 17

 

 

3;0; 0

0;1;0

C

A

B

A. 4 C. 4 B. 4 x    , 1;3; 4  . B. 4 17 0  . D. 4 17 0

,Oxyz cho ba điểm

y  y  Câu 41. (KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2020)  0; 0; 2 . 











 ABC có

Trong không gian và , Mặt phẳng 

1.

1.

1.







  1.



y 1

x 3 

A

y 1 3

z

y

5 0

z 2 2 







Q đi

A. B. C. D. phương trình là y z x   1 2 3  Câu 42. Cho điểm và mặt phẳng 

z   2   . Một mặt phẳng  cz

11 0



ax by 



 . Khẳng định nào sau là

z y x   1 2 3    B  1;1;3 2; 4;1 ; ,A B và vuông góc với mặt phẳng 

x 3  : P x P có dạng

qua hai điểm

a b c

5

a b c

15

    .

   

0;3; 3

   B 

đúng? A. C. D. .

a b c  ,

15 

P là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ

B.  2; 0; 2 

. . Gọi   A  P là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng 

4 14

2 14

P bằng 3 14 z

y

0

7

    ,

 : P x

12

z



3

y

15

5

2

x

y

z

z











 :10

15

x

3

5

z

0

y

x





 đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với 2 mặt phẳng    có phương trình là 5 0   . B.  0   . z y 2 0







  .

a b c 5    . Câu 43. Cho điểm B đến mặt phẳng  1 14 Câu 44. Mặt phẳng   2 y Q   : 2 x  :10

 : 3 x A.  C. 

 : 2 z

1 0

) : 2

x

. A. D. . B. . C. .

) :

x

y



z    

Câu 45. Cho 2 mặt phẳng (

) và (

) và khoảng cách từ

  . 0 D.      . Viết phương trình mặt phẳng (P) y  2; 3;1

3 0; (   M 

2

y

3

z

16

2

y

3

z

12











 0

x

3

z

16

3

z

12

x

y  



y  



 0

x

3

z

16

3

z

12

y  



y  



 0

2

y

3

z

16 0

x

3

z

12







y  



 0

đến mặt phẳng (P) bằng 14 . Có hai mặt phẳng

vuông góc với ( thỏa mãn là: 1 A.  P x  1 2 B.  P 1 2 C.  P 1 D.  P x

10 0

 và  2 0 P x  và 2 2 0 P  và  2 2 0 P x 2 2  và  P z y x 2 2  



 . Phương trình mặt phẳng (Q) với (Q) song song với (P)

Câu 46. Cho mặt phẳng (P):

7 3

và khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng là

x x

2 2

y y

2 2

z z

3 0; 3 0;

x x

2 2

y y

2 2

z z

17 0 17 0

x x

2 2

y y

2 2

z z

x x

2 2

y y

2 2

z z

17 0 17 0

 

 

   

 

 

 

 .  .

 

 

 

 

 

 .  .

   

A. C. B. D.

C

0;0;

A

(1; 0; 0)

B

(0; 1;0) 

3 0; 3 0; 1 2

  

  

Câu 47. Phương trình của mp đi qua ba điểm , , là

x

1 0.

x

2

z

1 0.

x

2

z

x

2

z

y   

y  

 

y  

 . 0

y  

  1 0.

z 2

A. B. C. D.

37

G

Ox Oy Oz lần lượt tại

,

,

P đi qua điểm

 1; 2;3



và cắt ba trục

,

Câu 48. Viết phương trình mặt phẳng  ,A B C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC .

x

2

y

3

z

14 0.

  D. 1.









 B.

z    1 9

y 2

z 3

M

y 3 ,

,A B C sao

,

x y 3 6 . Mặt phẳng 

z x x    1 9 6 1 P đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox Oy Oz tại ,

 1; 2;5



A. C.

1

0

30 0

8 0

2

5

y

y

x

x

z

z

    .

 . C.







x 5

z    . 1

y 2

P là z y    . 1 2

A

2

3

D. A. B. Câu 49. Cho điểm cho M là trực tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng  x 5 . Gọi , , A A A lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các mặt phẳng 1

2

( Câu 50. Cho điểm (1; 2; 3) (Oyz), (Ozx), (O )xy . Phương trình của mặt phẳng

1

1

1

0

x 3

z    . 9

y 6

x 1

z    . 3

M

A. B. C. D.

y 2 d cùng đi qua điểm N và

y 4 

3

Câu 51. Cho điểm , d d , 1

'M cắt

2 d lần lượt tại

,

A B C sao ',

',

'

2

3

lần lượt song song với , d d , 1

'

'



'M là trực tâm

, . Phương trình mặt phẳng 

cho A A A là: ) 1 3 x z z y x    .    . 2 6 1 3 2    và các đường thẳng ' 4; 7; 5 , N 3; 9; 10     'P đi qua Ox Oy Oz . Mặt phẳng  A B C '

1

0

x

2

y

5

z

35 0

x

2

y

5

z

35 0



















 . B.







 . C.

'P là x 4

x 4

y 7 

z 5 

y 7 

z 5 

. A. . D.

(3; 1;1)

A 

Câu 52. Cho điiểm

12

A

y

0

4

z

A. 1. D. 2.



 . Gọi H là hình chiếu của

 2 ; 1; 1



C. 0.   và điểm . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng Oxy . B. 3.  :16 x 

P 15  P . Tính độ dài đoạn thẳng AH .

Câu 53. Cho mặt phẳng  điểm A lên mặt phẳng 

11 25

22 5

M

. B. C. . D. . A. 5 .

11 5 gọi

,A B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục

,

 1; 2;3



O

0; 0;0

ABC có giá trị bằng

Ox Oy Oz . Khi đó khoảng cách từ điểm

,

,







Câu 54. Cho điểm

1 2

1 14

C. . A. . D. . B. 6 .

C

A

B

D





  1; 2;3 ,



 3;0; 0 ,



 0;0; 6 .

Tính độ dài đường cao hạ đến mặt phẳng  6 7  0; 3;0 , 

x

5

y

5

z

1 0

y

z





    . Khoảng cách giữa hai mặt

Câu 55. Cho tứ diện ABCD với từ đỉnh A của tứ diện ABCD . A. 9 . D. 3 .

  và 1 0

B. 1.  : 5 P C. 6 .  : Q x

Q bằng

Câu 56. Cho hai mặt phẳng  phẳng 

P và  2 3 15

. A. . B. D. C. . .

0; 0;

C

b

0

c 0,



 1;0; 0



 : P y



b c

S

A B   biết mặt phẳng 

2 3 2 5 15 và mặt phẳng    c ,   z   . Tính 0; 1 0  P và khoảng cách từ O đến  ABC vuông góc với mặt phẳng  ABC bằng

2 5  ;0 b 

Câu 57. Cho , ,

1 3

.

2

1S  .

S  . 0

S 

A

 1; 2; 2

P là mặt

A. B. . C. D.

P lớn nhất. Phương trình của  D.

Câu 58. (Đề thi tốt nghiệp THPT 2022). Trong không gian Oxyz , cho điểm phẳng chứa trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến 

0

y

y

0

y

0

0

z  .

z  .

z  .

3 S  . 2   . Gọi  P là: z  . y

C. A. 2 B. 2

38

3; 2;5

P

5z 13 0



 . Tìm tọa



 A 



 : 2x 3 y

Câu 59. Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng 

A

A

A

A

 ' 1;8; 5

 

 ' 2; 4;3 



 ' 7;6; 4

 

 ' 0;1; 3

 

z

x

2

A

 

 : 2

 3; 0; 1



độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). A. B. C. D.

Câu 60. (Đề thi ĐGNL – ĐHQGHN 2022). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   . Gọi H hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng 

( 1; 1;1)

H  

0;1; 2

0;1;0

A

5 0

y

    . Xét điểm M thay đổi

H  (1; 1;1)   , C

B. . D. . C.





 3;1;1

2

2

2

H    . ( 1; 1; 1)  : z Q x bằng

. 

và điểm P y 1 0   P . Tọa độ của H là A. H (1;1;1) Câu 61. Cho thuộc  , B Q . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z

B

0;1; 2

0; 0;3







;

A.12 . , và . Điểm và mặt phẳng  MA MB MC   C. 8 .   A 1; 2;1 D.10 .  C

3

4





 sao cho

z

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức B. 0 .  :      và ba điểm 4 0 y x    MA MB MC

Câu 62. Cho mặt phẳng  M x y z thuộc    ;    . y P x

5 3

x

2

z

8 0

A

P

y  

  . Xét M là điểm

1  . 3  B 2; 2; 4 ,





 : 2

2

 và mặt phẳng  bằng:

2 MA

MB

3

2

 3;3; 1 

  P , giá trị nhỏ nhất của

B. C. . A. 3 . D. 4 .

ABCD

A

B

2;0; 2

1; 1;0

D

0;3; 4

AB

Câu 63. Cho hai điểm thay đổi thuộc  A. 135 .

  1;1;1



 C  





B C D

4







AC AD ,

B. 105 . có điểm , Câu 64. Cho tứ diện , , . Trên các cạnh , D. 145 .  C. 108 . 

AB  AB

AC  AC

AD  AD







 B C D

AB C D

lần lượt lấy các điểm , , thỏa: . Viết phương trình mặt phẳng



 x 16 x 16

z z

y y

0 0

40 40

39 39

44 44

16 16

x x

44 44

z z

39 39

0 0

 

 

 

 

 

 

 

biết tứ diện có thể tích nhỏ nhất.

y

z

    và hai điểm

y 40 y 40  : P x

7; 4; 3

B

2

;

 3; 4;1 ;







2 0 P sao cho tam giác ABM vuông tại M và có

 .  . Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng      . Điểm A M a b c a  ; diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức T

 thuộc  a b c    bằng

A. C. B. D. . .

6T  .

8T  .

0T  .

4

T  .

2

A. B. C. D. Câu 66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;m;0),C(0;0;n) với m,n là các số

mn 3

4

2 m n 

. Mặt phẳng qua A vuông góc với OA cắt đường thẳng qua O thực dương thoả mãn  vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm H. Tính OH ?

5 4

4 5

3 4

4 3

A. C. D. B.





Vấn đề 3. Phương trình mặt cầu







0

là Câu 67. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn hệ thức   MA MB MC a a 

.

R 

.a

B

B. Đường tròn bán kính A.Mặt cầu bán kính

2; 1; 2 

a R  3 D. Đoạn thẳng có độ dài bằng . Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là







a 3 R a .  A  2;1; 0

2

2

2

2

,

x

y

z

6

y

x

z

24

















2

2

2

2

B. . A. .

x

z

y

x

z

24







 . 6









 

1; 2; 0

A

D. C. . C. Mặt cầu bán kính Câu 68. Cho hai điểm 2 1 2 1

  2; 2;0 

 I 



2 1 2 1  là

y 

Câu 69. Phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm

39

2

2

2

2

2

2

z

y

x

2

100.

x

y

2

z

5.





















2

2

2

2

2

2

y

2

10.

z

x

2

y













 

 1  1

D

2;0;0

B

A.  C. 

 

  1   1   C  1;0;3

  

z  1; 2;3

25. 



, , , . Tính bán kính R B.  D.   1;3;0

6R  .

  x   S là mặt cầu đi qua 4 điểm  Câu 70. Gọi  A S của  A. R 

2

2

x

2

. D. . 6 R 

y



 cắt các trục

Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm

,

,

 S x :

,

2 2 Câu 71. Cho mặt cầu  ,A B C ( khác

6 z  ABC là

C. 0

1

1

0

1

3R  . B. 2 z y 4     )O . Phương trình mặt phẳng  z    . 6

z    . 6

x 2

y 4

x 2

y 4

z    . 6

y 4

x 2

z    . 6

y 4

,Oxyz cho mặt cầu

2

2

2

6.

2

S

y

x

z

:









x 2 Câu 72. (Đề thi Tốt nghiệp THPT 2022). Trong không gian 

 1





 Đường kính của 

S bằng

  A. 6.

A. C. B. D.

2

2

2

3

y

z

2

m

4











D. 3.





S tiếp

S :  x Oyz là:

B. 12. 2  C. 2 6.  . Tập các giá trị của m để mặt cầu 

A

. D.  . C.  0 . Câu 73. Cho mặt cầu  xúc với mặt phẳng  5 . B.  A. 

 1; 2;3



3

2

2

y

x

z





2

2

2

2

2

2

2

3

1

1

y

x

z

z

y

x

2

3

 . 2





















 . 2

2

2

2

2

2

2

1

1

x

z

x

2

3

y

 . 4















5 Câu 74. (Đề thi TNTHPT năm 2022)Trong không gian Oxyz cho điểm mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng  

  là 0 B.  D. 

M

I

  0;1;0

  N

. Phương trình của

  3R  và hai điểm

  3  bán kính

 . 4 

z 

cz d



    1; 2;3   là mặt phẳng qua MN và cắt 

 :

      , 2; 0;0 S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r lớn

  A.    C.  y 2   Câu 75. Cho mặt cầu  S tâm  X x by 0  nhất. Tính T b c d    .

.

2

x

4

z

12 0







 . Khẳng định nào sau

S

:

x

z

2

1

D. 3 . A. 1 .







2

 : 3

B. 4 . 2 y   C. 2 .  và mặt phẳng 

S .

S theo một đường tròn.

Câu 76. Cho mặt cầu  đúng?

 đi qua tâm mặt cầu   tiếp xúc mặt cầu  S .  cắt mặt cầu   không cắt mặt cầu 

S .

2

2

A. Mặt phẳng  B. Mặt phẳng  C. Mặt phẳng  D. Mặt phẳng 

2 2 

x z mx 4 y 2 z 6 m 0       là phương

m 





1;

Câu 77. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y trình của một mặt cầu trong không gian với hệ tọa độ Oxzy. m B. A.

 

2

2

2

x

3

y

z











 1







 5; ;1        m       ; 5 Oxy cắt mặt cầu  Mặt phẳng 

S theo một

 1;5   m    5; 1 Câu 78. Cho mặt cầu  S thiết diện là đường tròn 

  2 :   .C Diện tích của đường tròn 

C. D.

I

P

x

25. C là C. 16 0 4

 : 2

  . Mặt cầu 

S tâm I cắt 

P theo một

4

y 2 z   S là

2

2

2

2

2

2

D. 4 A. 8 Câu 79. Cho

16

x

y

z

x

y

z























 . 5

 1

 1





 1



 1



 1

. B. 12 và mặt phẳng    1;1;1 r  . Phương trình của  đường tròn bán kính  1 A.  B. 

40

2

2

2

2

2

2

z

x

y

y

z

25

x

















 . 9





 1



 1

 1

2

2

2

S

15.

2

y

z

z

y

2

5 0











. C. 

 1   :

 1



 



D.     và mặt cầu 

A

2;

C

B

2; 0

P song x  S theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 6 đi qua điểm nào sau đây? B. 



  1  Câu 80. Cho mặt phẳng  song với   A.

 1   : Q x Q và cắt mặt cầu   0; 1; 5  



2

2

2

5 0

2

6

4

y

:

z

x

y

S







 x 

 2; 1   . Phương trình mặt phẳng 

  2; 2; 1 D   Q chứa trục Ox



Q

0

y

Q

0

y

 . 0

z  .

 : 2

D. C.

: 2

2

x

z

: 2

2

x

y  

y  

2 z 2 

z  . 1 

B. 

 1;1;1   

 . Tính diện

2

1

 1; Câu 81. Cho mặt cầu  z  S theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là và cắt  C.   :  : 2  : 2 A.  z  . Q y Q 0 x   ,  Câu 82. Cho hai mặt phẳng song song  1 0 z  nằm trong khoảng giữa của hai mặt phẳng đó. Gọi  A   ,  . Biết rằng khi  tích hình tròn giới hạn bởi 

S thay đổi thì tâm I của nó nằm trên một đường tròn cố định   .

D.    và một điểm 5 0 S là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với

.

.

.

.

8 9

16 9

C

A

B

0;0; 2

2 3 Câu 83. Cho

C. D. A. B.

4 9  0; 2;0 ,





 2; 0; 0 ,





M không trùng với các điểm

,A B C và    90 

. Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn

  ?

3;1; 2

C

B

S

A. 0 .

, B. 1. .S ABCD với

 1; 1; 6 









 1; 2;3



, . Gọi I AMB BMC CMA  C. 2 .  ,

Câu 84. Cho hình chóp là tâm mặt cầu  D. 3 .   , , D A 4; 2;3 2;3; 4  S ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng  SAD .

d 

d 

d 

d 

3 2

6 2 2

2

2

0

:

z

y

x

S

2

2

A

z

. A. B. . C. . D. .

21 2  và điểm















. Viết phương trình mặt

3 3 2 Câu 85. Cho mặt cầu  phẳng  A. x

0

y

2

0

2

y

z

z

y  

 . 0

2

0; 2;3 

3

1

S

x

y

z









 . Xét điểm M

2 x y 2; 2; 0  OAB , biết rằng điểm B thuộc mặt cầu  S , có hoành độ dương và tam giác OAB đều.  .    . 0 z 2  1

C. B.



x   ,



2

y     : bằng

   . z   Câu 86. Cho hai điểm 3;1; 3 A B S , giá trị lớn nhất của thay đổi thuộc mặt cầu 

x và mặt cầu  2 2 MB MA  C. 84 .

D. x 2 

A. 102 .

2

z

I



5; 3;5 

  và mặt cầu 

S tâm



4

AB  .

. Từ 2 5 R  B. 78 .  : y P x 2 

5

3 0 P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  OA  . 3

11

A. . B. . Câu 87. Cho mặt phẳng  một điểm A thuộc  OA  6 D. 52 .  , bán kính S tại B . Tính OA biết OA 

x

z

y

   và mặt cầu 

2

2

2

;

C. 2 D. S có phương trình

OA  . P có phương trình M a b c thuộc giao tuyến giữa   ;



P và 

S . Khẳng định nào sau đây là

min

y 2 

b 

c

2; 2

a

min



 c  

I

 bán kính

  . bán kính



A. . B. . . D. max C. max Câu 88. Cho mặt phẳng   . Gọi điểm z x  khẳng định đúng?  1;1 min

1

     2 1;0;1 I I có dạng

R  , mặt cầu 

 1; 2  2 I 1 3; 2; 2 P đồng thời tiếp xúc với 

1S và 

b 2S có tâm 2S và cắt đoạn 1 2

cz d

  . Tính T b c d

1S có tâm Câu 89. Cho mặt cầu  R  . Phương trình mặt phẳng  2 x by 0 2   A. 5 .

1

   . B. 1 .

C. 3 .

D. 2 . Vấn đề 4. Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz . Câu 90. (KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2020)

41

x

3

z

1

d

:

.





 2

 3

4 y  5 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ

2; 5;3 



 3; 4;1







 u  1

A

 và

C. A. B. phương của d ?   u  3; 4; 1  2

 u  3 

 2;5;3  7; 2;1

 u  D. 4  B    , 5; 4; 3



Câu 91. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm

y

2

z

3





 10 0

Chọn đáp án sai?  A. AB không đi qua điểm    1, 1, 1 B. AB vuông góc với mặt phẳng: 6 x

t 1 2

C. AB song song với đthẳng

5   

t 3

 1 12 t x     t 1 6 y         z 1 4 t  x   y    z

x

2

z

1

D. AB vuông góc với đường thẳng

d

:





 1

 3

y 1  2 

M

P

. Câu 92. (Đề thi TNTHPT năm 2022)Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

 2;1;1

 1; 2;3





  . 2;1; 1

 N  1; 2;3



d

:

t

A. . B. . C. D. . Điểm nào dưới đây thuộc d ?  Q



 không đi qua điểm nào dưới đây?

t

1 2 t x     t 2 3 , y       3 z  B.

Câu 93. Đường thẳng

Q

(1; 2;3)

(3; 1; 2)

P

( 1;5; 4)

M 

A. . . C. .

x

x

2

y

3 0

z

   và đường thẳng

d

:





 :  

(2; 2;3)   4

y 1  1 

. 3 . Mmệnh đề nào Câu 94. Cho mặt phẳng  D. N  z 4  2 đúng?

 . B. d vuông góc với 



1

A. d song song với  D. d cắt 

:





d 1

 .  . C. d nằm trên  z y 3

 1

x 1  2 

x

1

y

2

; Câu 95. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng

d

:





2

 1

 2

z 7  3 

có vị trí tương đối là:

y

d

:





A

B

C

2; 0; 2

A. song song B. trùng nhau C. cắt nhau



4; 1; 1 ,  







 3; 1; 2 ,









 3

x 1

ABC

Câu 96. Cho ba điểm và đường thẳng . Gọi M D. chéo nhau z 3 2  1 



d





2 2

là giao điểm của và mp . Độ dài đoạn OM bằng

C

D. A. 6 3

2; 1; 4 



 1;1; 4

3 B.  1; 2;1



 A 

B và .Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mp , C. 

Câu 97. Cho ba điểm 













z  . 1

y 1

y 1

y 1

x 1

z 2

 ABC x 1 

z 1 

z x  . 2 2 Câu 98. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm

A. C. B. . D. .

A

B

  1; 2; 3 , 



t

x

t

x

t

x

x

t

1  

2  

3  

y x 2 1  2; 3;1  1  

.

t 3 5

t 8 5

t 2 5

   1 4 t

t 3 4

  2 5 t y        3 2 t z 

  y     z 

  y        5 4 t z 

  y       z 

A. . B. . C. . D. .

42

1;5; 2



1

m m m 5 ;

;

t

t

2 t t 10 ;

Câu 99. Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) qua và song song với trục Ox.











 D. A và C đều đúng

2

2

m

t 4

x t     y 5     z

x     y     z

 I  x     y     z

A. B. C.

C

B

,Oxyz cho ba điểm

 3; 4; 1 . 

  1; 0;1 ,

 1;1;0





Trong không gian và Đường thẳng đi qua A và song Câu 100. (KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2020) A

x

1

x

1

x

1

x

1

song với BC có phương trình là

.

















 2

y 5

 4

y 5

 2

y 3

z 1  1 

z 1  1 

z 1   1 4  và vuông góc với mặt

z 1 y  3 1  M  (1; 2;5)



x y

2 z

1

5

z

C. D. A. B.









5

z

. B. A. .









3 y  2  3 y 2  3 

z  2 z 5  2 

x

y

 2  2 2

z

C. . . D. Câu 101. Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm phẳng ( ) : 4  x 1  4 x 1  4 

:P

d

:

x

1 0

y

z





    . Viết phương trình

  là 5 0 x 5  4 x 1  4  1  2

y 2  3  y 2  3  1  1

 3

y

1

y

x

1

1

Câu 102. Cho đường thẳng và mặt phẳng

:

:













2

A. B.

:

:













 5 y 1  5 

x

 2 x 1  2  z 3

2

y

x

z

2 0



   .

y  

 : 2

)P và vuông góc với đường thẳng d . z 2  3  z  3  :  

 5 y 1  5    và  7 0

D. C. đường thẳng  đi qua x 1  2 x 1  2 

 , song song với mặt phẳng ( (1;1; 2) A z 2  3  z 2  3 Câu 103. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng  Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? (1; 0; 3)

(2; 1;3)

M

( 1;0;3)

(1; 2;1)

Q 

 .

P 

N 

1

x

y

2

C. A. B. . . D. .

2; 2;3

d

:

.





,Oxyz cho điểm



 3

3 z  1 

Trong không gian và đường thẳng Mặt phẳng đi Câu 104. (KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2020)   M  2 qua M và vuông góc với d có phương trình là

x x

2 2

y y

z z

x x

2 2

y y

 

   1 0    1 0

 

 

z

1

A. 3 C. 3 B. 2 D. 2

d

:





 2

 0 17 z 3   17 0 z 3  y x 1 2   1 1 

và điểm Câu 105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

2;1; 0

 A  A.

. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa d?

 7

x

y

4

z

x

7

y

4

z

x

6

y

4

z

z





  9 0





  8 0





  9 0

x 1

4 2

B. C.

3; 2; 3

:

 và hai đường thẳng





 A 



d 1

y   y  1

  3 0 z 3  1 

3

x

y

1

z

5

Câu 106. Trong không gian Oxyz, cho điểm và D. x  1

d

:





2

 1 A. 5

 3 16 0

x

16 0

4

4

y

x

x

y

16 0

4

 2 z y  



 C. 5

 B. 5

z  

z  



z  



 16 0

y x và mặt phẳng

4  Câu 107. (Đề thi TNTHPT năm 2022)Trong không gian, Oxyz cho diểm

 D. 5 M  (2; 2;1)

(

P

) : 2

x

3

y



1 0 t 2 2 t 2 3

t 2 2 t 2 3

t 2 2 t 3 2

    

    

. Phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 có dạng:

t

t

t

t

   . Đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng ( z t 2 2 x     t 2 3 y       z 1 

x   y     1 z 

x   y     1 z 

)P có phương trình là x     y         1 z 

C. B. . . . D. A.

43

:

x y

;

d

:

t 3 2   1 t  

3 x m   2 2 m y  







d 1

2

z

t

z

1 4

m

2   

 

    

. Phương trình tổng quát của mặt Câu 108. Cho hai đường thẳng 

7

y

20 0

z

y

5

z

x

7

y

5

z



     2d là: 1d và song song với y x 5 9 z   

 B. 2



 0







 20 0

A. D. phẳng (P) chứa x 5 

x

2

z





y  

  . 1 0

y 1

  C. x 5 0 7  z x 1 1   1 2 

Câu 109. Cho đường thẳng ∆ có phương trình và mặt phẳng (P): 2

3 0

13

2

x

x

y

z

z

6

y

4

z

  C. 2

  1 0

y  



x  



  5 0

D. A. 2

y t

d

:

t

t 3 2



  

d

d

B. 10 x Phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tạo với (P) một góc nhỏ nhất là:    x z 0 7  2  







  y     1 3 t z 

d 

Câu 110. Cho đường thẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt

0

t

x

t

x

Oxz t

x

2  

2  

 2  

t

t

t 3 2

t

t 3 2

t

t 3 2





  



  



phẳng tọa độ . Viết phương trình đường thẳng .

























0

x   y     1 3 t z 

  y    z

  0 y      1 3 t z 

3

z

d

:





. B. . C. . D. A.

 4 5 0

Câu 111. Cho đường thẳng . Phương trình nào dưới đây là phương trình hình

d

  y       1 3 t z  y x 1 5   1 2   :  P x  

1

1

5

5

chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .

t

t

t 5 2

t

7   

7   

  

t

t 3 4

11 4 t 

11 4 t 

x   y     3 z 

x   y 5        z 

x   y    z 

x   y    z 

A. . B. . C. . D. .

P ,

Câu 112. Phương trình đường thẳng d  là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng 

P

x

5

y

0

2

z

d

:



   . Đường thẳng d là giao tuyến của hai mphẳng nào?

 : 3

t

 .

 .

z z

y y

5 5

z z

x x

7 3

y y

biết và 

x 12 4 t     y t 9 3       1 z  y x 5  y x 5 

   và 8 2 0    và x 2 0

y x 7 z 11    y z 11 22 0   

22 0  .

   và 4 2 0    và 8 2 0

 

z 22 0      . z 2 0

A



Oxyz

A. 3 C. 3



9 0

P

2

x

y

z

  



, cho điểm B. 3 x  D. 3 x   1; 2; 3

d

A

3; 4;

4





090

đi qua và có vectơ chỉ phương cắt tại và mặt phẳng  u  Câu 113. Trong không gian với hệ tọa độ 

 dưới góc

 . Khi độ dài

M

M

AB

P MB

 : 2 B



thay đổi trong điểm . Điểm sao cho luôn nhìn đoạn . Đường thẳng P

MB

2; 19;3

3;0;15

3; 20;7

 



lớn nhất, đường thẳng













A. . B. . . D. . đi qua điểm nào trong các điểm sau ?   18; 2; 41 

y

z

2

5

Câu 114. Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt đường thẳng C.   A  1; 1;1

d

:





x 4  1  x

 1 y

1

1

x

1

y

1

x

1

y

1

x

1

z

1

















.

 5

 1

 1

 5

 5

 5

 5

 8

 1 z 1  8 

z 1  4 

y 1  1 

x

z

2

2

y

4 0

z



  

d

:

.





A. . B. .C. . D. .



 : P x

z 1  4  1  2

y 1

 3

.d



Câu 115. Cho mặt phẳng và đường thẳng Viết phương trình



x

1

1

x

1

z

1

x

1

z

1

x

1

















đường thẳng nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng

 5

 5

 2

 5

 3

P y  1

 5

1 y  1 

1 z  3 

1 z  3 

y 1  1 

1 y  1 

A. B. C. D.

44

z

2

y

1

z

2

:

d

:









d 1

2

 1

3 x  1 

3 y  2 

2

y

3

z

5 0





 

,A B

Câu 116. Cho 2 đường thẳng ; và mp

 1 lần lượt tại



P

x 5  3  1d , cắt

 2 2d

  : P x AB là

5

14

. Đường thẳng vuông góc với . Độ dài đoạn và

D. 15 . . . A. 2 3

 u 

3

4

x

z

(1; 3; 2), d :

M

.

và đi qua điểm . C. (1;0; 2) 

)P cách đều hai đường thẳng







1d và

2d có

2

 3

Phương trình mặt phẳng (

3b c 

cz



by .

bằng dạng ax B. Câu 117. Cho đường thẳng 1d có vectơ chỉ phương y 1   1 2  11 0. 

 Giá trị a 2  B. 32 .

 A. 42

z





1;2; 1 A   

x 1 d  : 2

 1

1 0

y

D. 20 . C. 11. y 1 Câu 118. Cho điểm , đường thẳng và mặt phẳng

d

2  1  AB thỏa mãn đường thẳng

B

 P

. . Điểm vừa cắt vừa vuông góc với thuộc

P x  : 2 z     B Tọa độ điểm 6; 7;0  

3; 2; 1   

3;8; 3    



x

1

d





là: . A. B. . C. . D. .



P

0;3; 2  z 2  1

y 1

Câu 119. Cho đường thẳng và mặt phẳng lần lượt có phương trình và

 2 )P lần lượt tại M và N sao

z

2

8 0

(2; 1;3)

y  

A 

  , điểm

x

1

5

5

y

2

x

z

3

y

1









. Phương trình đường thẳng  cắt d và (

3

5

5

x

y

z

5

x

z

5

y

3









A. . B. .

x cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN là z  2  2

 4  1

 3  6

2

y

2

z





0; 1;3 

C. . D. .

 6  3 và hai điểm



 : P x

 A 

 2  2  B



Câu 120. Cho mặt phẳng , . Viết phương trình

d

 1  4  3;0;1 B

A

5 0   P 

đường thẳng đi qua và song song với sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng đó là nhỏ

x

t 3 2

t 3 2

t 3 2

x

t 3 2

 

  

 

  

t

t

t  

t  

nhất.

1

1

1

1

  y    z

x   y    z

1;3;0

A. . B. . C. . D. .

x   y    z Câu 121. Trong không gian Oxyz cho 2 điểm  A

  y    z  B 



 2;1;1

x

1

y

1

:







và và đường thẳng

 ?





 2

z 2 

 1 2

2

2

2

2

2

. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B có tâm I thuộc đường thẳng 

x

y

z

x

y

z

























2 5

13 10

3 5

521 100

13 10

3 5

25 3

2 5

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

2

2

2

2

2

2

A. B.

x

y

z

x

z

y

























2 5

13 10

3 5

521 100

13 10

3 5

25 3

2 5

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

d

:

C. D.

t

      x t   y 1       z 

x

y

2

2

2

7

2

x

y

z

0





  ; 3 0





  . Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d), tiếp

2

2

2

2

2

2

3

3

y

x

z

x

3

y

z

3

























Câu 122. Trong mặt phẳng Oxyz, cho đường thẳng và 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có

 1











 1





2

2

2

2

2

2

x

3

y

z

3

x

3

y

z

3























phương trình z xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình  A.  B. 





 1









 1





4 9 4 9

4 9 4  9

C.  D. 

45

x

4

y

4

I

 và đường thẳng

:







 1;3; 2



 2

 1

z 3  1 

2

2

2

2

2

2

3

S

2

3

S

x

y

y

x

z

z

 9

 9



















2

2

2

2

2

2

2

S

3

3

S

y

x

x

y

z

z

 9

 9



















Câu 123. Trong không gian Oxyz, cho điểm . Phương

  :   :

 



2

2

2

x

2

y

E

3 0

0; 1; 5  



S

x

4

y

z

25











trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4 là:   A.  :   C.  : B.  D. 

 1  1 

  

 

 1  1 

    :

  

  

   1

E



Câu 124. Cho , mp và mặt cầu .

 2  : 2 P P 

z    S 

là đt đi qua , nằm trong và cắt tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Phương trình của

t 11

t 50

t 11

t 50

Gọi  là

t 1 2

t 1 23

t 1 2

t 1 23

t 5 26

5 7

t

t 5 26

5 7

t

x   y         z 

x   y         z 

x   y         z 

2

2

2

S

:

x

y

z

2

x

4

y

6

z m

3 0

d

:











x   y         z  1 t   1 t  

   . Tìm m để

A. . B. . C. . D. .



S tại

2

x   y    z

Câu 125. Cho mặt cầu  cắt 

hai điểm phân biệt

m 

m 

m 

m 

31 2

31 2

31 2

31 2

z

z

3

1

A. . B. . . C. D. .

:

:

d









d 1

2

x 1

y 1

 1

y 1  1 

x 1  1 

Câu 126. Góc giữa hai đường thẳng và bằng:

 2 C. 60o

x

t

d

:

A. 45o B. 90o D. 30o

z   là: 1 0

 : P y

t

5     y 6      2 z 

Câu 127. Góc giữa đường thẳng và mp 

B

A



 6; 2;1 



A.300 B.600 D.450 Câu 128. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho . Viết phương trình mặt phẳng C.900  3; 0;1 ,

cos

mp Oyz góc thỏa mãn





(P) đi qua A, B và (P) tạo với

2  ? 7 y 3

2 x 3 y 6 z x 6 z 2    12 0     A. B. 2 x 3 y 6 z 0 12 0  1 0 3 y 6 z x 2       

:

d

:

2 x 3 y 6 z 3 y 6 z x 2    12 0     C. D. 2 x 3 y 6 z 0 12 0  1 0 3 y 6 z 2 x             

d 1

2

2

s

t

Câu 129. Cho điểm A(1;1;1) và hai đường thẳng . ;

x s 5 3     y 1     z 3  ;d d . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =AB +BC +CA là: 1

2

      x t 2 2     y 1      z  Gọi B,C là các điểm lần lượt di động trên

2

A

0;1;9

S

x

y

4

3

z

4

25.













A. 2 29 10 





  :



2 5

BC

2 985 và mặt cầu Gọi là đường tròn B.  D. 5  C   2  C. 5  29 2 

C



 mp Oxy





B có thể tích lớn nhất thì đường thẳng

giao tuyến của ; điểm với và di chuyển trên sao cho . Khi tứ diện Câu 130. Cho điểm S

BC

OABC

10  C có phương trình là

46

t 4

x

t 3

x

t 4

x













x

t 21 4 



t 3

t 4

t 3

y

y

y













t 28 3 

0

  y     z

21 5 28 5 0

21 5 28 5 0

21 5 28 5 0

      z   

      z   

E

2;1;3

P

x

2

y

3 0

z



  

      z    và mặt cầu

A. . B. C. . D. . .







 : 2

2

2

2

S

x

3

y

2

z

5

36













Câu 131. Cho điểm , mp





S



  :











2018;

và cắt tại . Gọi là đường thẳng đi qua





0

0.

E , nằm trong  u .

. Tính T z y hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Biết có một vec-tơ chỉ phương  

1009

2018

P   y z ; 0 0 D. T 

T 

A

y

0;1; 2 

. . A.

 : P x

2

2

2

2

S

y

z

x

4

y







 

C. T  z 1 0     và mặt cầu . T   2018  , mặt phẳng

A



0 Câu 132. Cho điểm 





P

I

,B C

IB C

B.  7 0.   Gọi là đường thẳng đi qua nằm trong mặt phẳng

: 

x S





cầu tại hai điểm sao cho tam giác có diện tích lớn nhất với là tâm của mặt cầu . và cắt mặt S

t

t

t

t

:

:

t

t

:

:









Phương trình của là

2

t

2

t

x   1 y      z 

x   y 1       z 2 

x   y 1      z 

2

2

S

x

:









15 0

z  





1

2

A. . B. . C. . D. .

;





x 

 : 2 2;

  ,M M là hai điểm thuộc    d M P T 1

2 y  

đạt giá trị lớn nhất và Câu 133. Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt cầu    . Gọi P  d M P đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của

x   1 y       z 2  2 và mặt phẳng z y 1 25   S sao cho  1; d M P       là: d M P ; 2 17 3

34 3

2

2

2

S

:

x

y

z

8.







M

; 0

C. D. . . A. 10 . B. 5 .

d





   

.A B ,

Câu 134. Cho điểm và mặt cầu Đường thẳng thay đổi, đi qua

S

.OAB

,M

 1 3 ;   2 2  S



điểm cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn nhất của tam giác

A

A. . . 7 S 

S

x

2

y

S  2 2 10 0 





  1;1;1



P

,A B

. 2 z S  2  2 7 2 y  D. z 4  Câu 135. Cho điểm và mặt cầu là C.  x :

AB

2  C



 C

mặt phẳng đi qua và cắt theo một thiết diện là đường tròn . Đường thẳng cắt tại . B. S  4   2; 2; 2 B , S  . Gọi 

C

CEF

C

cân tại là đường cao ứng . Điểm thuộc đường tròn sao cho tam giác hai điểm , C CH

x

x

t

t

CH t

t

 . Khi thiết diện có diện tích nhỏ nhất thì phương trình của 1 1     

1  

1  

là với cạnh

:

t

:

t

:

:



1  



1  





0

t

t

1

  y    z

x   y 1     z 2 

,E F EF x   y 1     1 z 

2

z

B. . C. . D. . A. .

d

:





P là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với

 1

  y    z y 1  2 

x

2

z

A

Q

x 1 2 0

y  

  một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm

 1; 2;3



Câu 136. Cho đường thẳng . Gọi 

P một khoảng

 : 2

cách 

mặt phẳng  bằng

5 3 3

7 11 11

A. 3 . B. . C. . D. .

4 3 3 I

bán kính

Câu 137. (Đề thi TNTHPT năm 2022)Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( )S tâm (9;3;1) bằng 3. Gọi M , N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox , Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với

47

( )S ,đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng

13 2

.AM AN bằng

( )S , giá trị

. Gọi A là tiếp điểm của MN và

B. 18. A. 12 3 . C. 28 3 .

2  

2

2

2

d

:

S

:

x

y

z

1











D. 39. t







 1



 1

x   y t     t z 

;

d

T

'T

'TT

Câu 138. Cho mặt cầu và đường thẳng . Hai mặt phẳng

  ,P Q



S

 H a b c ;



tại và . Điểm là trung điểm của đoạn , giá trị

  

  của biểu thức

0

1

chứa T , tiếp xúc với a b c là

1 3

2 3

ABCD

3,

AB a

, BD

A. . B. . C. . D. .

BC a và mặt phẳng

SA .

SA a (

sin

sin

sin

sin









Câu 139. Cho hình chóp ABCD vuông góc với đáy Vấn đề 5. Tọa độ hóa bài toán hình trong không gian .S ABCD . Tính là hình chữ nhật, là góc tạo bởi đường thẳng và SBC ) có đáy sin  với

2 4

7 8

3 5

3 2

SA

a 2

A. B. . . C. . D. .

vuông góc với đáy. của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).

5 5

3 2

ABCD

SO

2 3 SO a

. A. C. B. . . D. .

,SA BC

,M N

a là hình vuông cạnh bằng  . Gọi

và



là trung điểm của . Gọi , biết là góc giữa đường thẳng

MN

cos



Câu 141. Cho hình chóp  vuông góc với mặt đáy SBD và mặt phẳng . Tính . Câu 140. . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên cos Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tính 5 3 .S ABCD có đáy ABCD 

2 7

2 5 SA

ABCD là điểm thuộc cạnh

A. . B. . . C. D. .

21 7 có đáy N

5 10 là hình vuông cạnh sao cho SD

.S ABCD và SB

2

a SA a , ND SN 

M ACMN

V

V

V

V





và vuông góc với . Tính thể tích khối tứ Câu 142. Cho hình chóp đáy. Gọi diện

31 a 8

31 a 6

31 a 36

A. . B. . C. . D. . là trung điểm . 31 a 12 ---- HẾT----

48