1
Trƣờng THPT Chuyên Bảo Lộc
Tổ Toán
ĐỀ CƢƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II LỚP 12 NĂM HỌC 2023-2024
PHẦN 1: LÝ THUYẾT
A-GIẢI TÍCH
1.Nguyên hàm
+ Khái niệm nguyên hàm, biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm, biết bảng các nguyên hàm cơ bản
+ Phương pháp tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản, phương pháp tính nguyên hàm từng phần,
đổi biến
2. Tích phân
+ Khái niệm tích phân, biết các tính chất cơ bản của tích phân.
+ Ý nghĩa hình học của tích phân.
+ Tính tích phân của một số hàm đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản. Tính được tích phân bằng
phương pháp tích phân từng phần, đổi biến.
3. Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích-thể tích.
+Công thức tính diện tích hình phẳng, công thức tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân
+ Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân.
3. Số phức
+Các khái niệm về số phức: Dạng đại số; phần thực; phần ảo; mô đun; số phức liên hợp.
+ Biểu diễn hình học của một số phức
+ Phép cộng, trừ, nhân, chia số phức.
+ Khái niệm căn bậc 2 của số phức
+Biết được dạng phương trình bậc hai ẩn phức với hệ số thực và cách giải.
B- HÌNH HỌC
1 Hệ tọa độ trong không gian
+ Khái niệm về hệ tọa độ trong không gian, tọa độ của một véc tơ, tọa độ của một điểm, biểu thức tọa độ của các
phép toán véc tơ, khoảng cách giữa hai điểm.
+ Khái niệm và một số ứng dụng của tích véc tơ (tích véc tơ với một số thực, tích vô hướng của hai véc tơ).
+ Tọa độ của véc tơ tổng, hiệu của hai véc tơ, tích của véc tơ với một số thực, tính được tích vô hướng của hai
véc tơ, tính được góc giữa hai véc tơ, tính được khoảng cách giữa hai điểm.
2.Phƣơng trình mặt phẳng
+Khái niệm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, biết dạng phương trình mặt phẳng, nhận biết được điểm thuộc mặt
phẳng.
+Điều kiện hai mặt phẳng song song, cắt nhau, vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng và cách xác định.
3. Phƣơng trình đƣờng thẳng
+ Véctơ chỉ phương của đường thẳng, xác định được véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
+ Viết phương trình đường thẳng, xét được vị trí tương đối của hai đường thẳng khi biết phương trình.
PHẦN 2: BÀI TẬP MINH HỌA
A. GIẢI TÍCH
I.NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
1.1 Tự luận
Bài 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện cho trước:
a)
3
( ) 4 5; (1) 3f x x x F
b)
( ) 3 5cos ; ( ) 2f x x F
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
a)
21
( ) – 3f x x x x

b)
21
() 2
xx
fx x

c)
2
45
() 2
x
fx xx

d)
27
(2 1)x xdx
e)
3 4 2
( 5)x x dx
f)
25
xdx
x
g)
Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau:
a)
22
1
() sin .cos
fx xx
b)
22
cos2
() sin .cos
x
fx xx
c)
( ) 2sin3 cos2f x x x
d)
4
sin cosx xdx
e)
.sinx xdx
f)
cosx xdx
g)
2
( 5)sinx xdx
h)
.cos
x
e xdx
Bài 5: Tính các nguyên hàm sau:
2
a)
21.x xdx
b)
2
3
3
52
xdx
x
c)
5
sin
cos
xdx
x
d)
23
(1 )
dx
x
1.2 Trắc nghiệm
Câu 1: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(a).Mọi hàm số liên tục trên
[ ; ]ab
đều có đạo hàm trên
[ ; ]ab
.
(b). Mọi hàm số liên tục trên
[ ; ]ab
đều có nguyên hàm trên
[ ; ]ab
.
(c).Mọi hàm số có đạo hàm trên
[ ; ]ab
đều có nguyên hàm trên
[ ; ]ab
.
(d). Mọi hàm số liên tục trên
[ ; ]ab
đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
[ ; ]ab
.
A.2 B.3 C.1 D.4
Câu 2: Cho hàm số
( ), ( )f x g x
liên tục trên
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
. B.
( ). ( ) ( ) . ( )f x g x dx f x dx g x dx
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
D.
( ) ( ) 0;kf x dx k f x dx k k

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
2
2
2
()f x x x

.
A.
31
() 3
x
f x dx C
x
B.
32
() 3
x
f x dx C
x
C.
31
() 3
x
f x dx C
x
D.
32
() 3
x
f x dx C
x
Câu 4: Tìm nguyên hàm
32
2
2 6 4 1
32
x x x dx
xx

A.
21
ln 2
x
xC
x

B.
2
12
ln
21
x
xC
x

C.
2
11
ln
22
x
xC
x

D.
22
ln 1
x
xC
x

Câu 5: Tìm nguyên hàm
2
21
( 1)
xdx
x
A.
3
2ln | 1| 1
xC
x
B.
3
2ln | 1| 1
xC
x
C.
3
ln | 1| 1
xC
x
D.
1
ln 1
xC
x
Câu 6: Tính
1
dx
x
thu được kết quả là:
A.
1
C
x
B.
21 xC
C.
2
1C
x
D.
1xC
Câu 7: Cho
( 2) 2 ( 1) 1
21
dx a x x b x x C
xx
. Khi đó
3ab
bằng:
A.
2
3
B.
1
3
C.
4
3
D.
2
3
Câu 8: Tính
1 cos
dx
x
.
A.
2tan 2
xC
B.
tan 2
xC
C.
1tan
22
xC
D.
1tan
42
xC
Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) cos 2f x x
là:
A.
1 sin 4
28
xC
B.
sin 4
22
xx
C
C.
1 sin 4
22
xC
D.
sin 4
28
xx
C
Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) tanf x x
là:
A.
cot x x C
B.
tan x x C
C.
cot x x C
D.
tan x x C
Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số
1
() sin
fx x
là:
A.
ln cot 2
xC
B.
ln tan 2
xC
C.
ln tan 2
xC
D.
ln sin xC
Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số
2
( ) 2 .2x
f x x
là:
A.
2
1
2 ln 2
xC
B.
2
12
ln 2
xC
C.
2
ln 2
2xC
D.
2
2 .ln 2
xC
3
Câu 13: Tìm
2
sin sin 2
x
e xdx
?
A.
2
sin x
eC
B.
tan
sin x
xe C
C.
tan x
eC
D.
sin2x
eC
Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số
3
( ) 3 1f x x x
là:
A.
75
33
11
(3 1) (3 1)
21 15
x x C
B.
64
33
11
(3 1) (3 1)
18 12
x x C
C.
33
3
1(3 1) 3 1
9x x C
D.
43
3
11
(3 1) 3 1
12 3
x x C
Câu 15: Tìm
3
cos .sin
dx
Ixx
.
A.
2
1
ln | cot | cot
2
I x x C
B.
1
ln | sin | cot
2
I x x C
C.
2
ln | cot | cotI x x C
D.
2
1
ln | tan | cot
2
I x x C
Câu 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
.
A.
31
() x
f x dx e C

B.
31
( ) 3. x
f x dx e C

C.
31
1
( ) .
3
x
f x dx e C

D.
3
31
( ) .
3
x
x
f x dx e C

Câu 17: Nguyên hàm
2
2
4
x
I dx
x
là:
A.
2
4
arcsin 24
x x x C

B.
2
4
2arccos 22
x x x C

C.
2
4
arccos 24
x x x C

D.
2
4
2arcsin 22
x x x C

Câu 18: Nguyên hàm của
lnI x xdx
bằng với:
A.
2
ln
2
xx xdx C
B.
21
ln
22
xx xdx C
C.
21
ln 2
x x xdx C
D.
2lnx x xdx C
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ln( 2)f x x x
.
A.
22
4
( ) ln( 2)
24
x x x
f x dx x C
B.
22
44
( ) ln( 2)
24
x x x
f x dx x C

C.
22
4
( ) ln( 2)
22
x x x
f x dx x C
D.
22
44
( ) ln( 2)
24
x x x
f x dx x C

2. Tích phân
2.1 Tự luận
Bài 1: Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
19
0
(1 )x x dx
b)
13
23
0(1 )
x
x
c)
1
32
0
1x x dx
d)
1
2
2
01
dx
x
Bài 2: Tính các tính phân sau:
a)
ln 2
01
x
x
edx
e
b)
ln3
3
01
x
x
e dx
e
c)
ln5
ln3 23
xx
dx
ee

Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)
4
0
sin 2x xdx
b)
22
0
( sin )cosx x xdx
c)
2
2
0
cosx xdx
d)
ln 2
0
x
xe dx
e)
1
ln
e
x xdx
f)
3
2
2
ln( )x x dx
g)
2
0
2x dx
h)
2
2
0
x x dx
Bài 4: Cho hàm số
()fx
liên tục trên
thỏa mãn
16
1
6
fx
dx
x
và
2
0
(sin )cos 3f x xdx
. Tính
4
0
()f x dx
.
4
Bài 5: Cho hàm số
()y f x
liên tục trên
2;2
và thỏa mãn
2
1
2 ( ) 3 ( ) 4
f x f x x
. Tính tích phân
2
2
()f x dx
.
Bài 6: Cho hàm số
()y f x
liên tục và có đạo hàm trên
0;1
và thỏa mãn
11
22
00
2
( ) 2ln 2 ( )ln( 1)f x dx f x x dx
e




. Tính
1
0
()I f x dx
.
2.2 Trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số
( ), ( )y f x y g x
liên tục trên
[ ; ]ab
và số thực
k
tùy ý. Trong các khẳng định sau, khằng
định nào sai?
A.
0( )d ( )d
ba
b
f x x f x x

. B.
0( )d ( )d
bb
a
x f x x x f x x

C.
( )d 0
a
ak f x x
D.
(( ) ( d) ( )d )d
aa
b b b
a
x f x x g x xf x g x 
Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai?
A.
(( ) ( d) ( )d )d
aa
b b b
a
x f x x g x xf x g x 
B.
d ( )d ( d( ))
b
ca
bc
a
x f x x f x xfx 
C.
(( d)d)
ba
ba f xx f xx

D.
d ( )dt()
b
a
b
a
f x f tx

Câu 3: Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
. Khi đó hiệu số
(0) (1)FF
bằng:
A.
1
0()f x dx
B.
1
0()F x dx
C.
1
0()F x dx
D.
1
0()f x dx
Câu 4: Tính tích phân
1
2018
0
(1 )I x x dx
A.
11
2018 2019
I
B.
11
2020 2021
I
C.
11
2019 2020
I
D.
11
2017 2018
I
Câu 5: Cho hàm số
2 khi 0 1
() 1
2 1 khi 1 3
x
y f x x
xx


. Tính tích phân
3
0
()f x dx
.
A.
6 ln 4
B.
4 ln 4
C.
6 ln 2
D.
2 2ln2
Câu 6: Biết
1
1
3
5ln
22
xdx a b
x

với
,ab
là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
8
81
ab
B.
7
24
ab
C.
9
8
ab
D.
3
10
ab
Câu 7: Tính tích phân
2
2
1
1 3 4 3 2
ln ln
3 2 5 3 5 3
ax dx
xx


. Giá trị của a là:
A.
1
5
a
B.
2
5
a
C.
3
5
a
D.
4
5
a
Câu 8: Cho
1
0
3
9
3 1 2 1
x a b
dx
xx
, với
,ab
là các số thực. Tính tổng
T a b
.
A.
10T
B.
4T
C.
15T
D.
8T
Câu 9: Biết
62
0
3
3 4sin 6
ac
x dx b
, trong đó
,ab
nguyên dương và
a
b
tối giản. Tính
abc
.
A.8 B.16 C.12 D.14
Câu 10: Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với
2
32
1
1I x x dx
A.
2
1
11
2t t dt
B.
4
1
1t t dt
C.
3
22
0
1t t dt
D.
3
22
1
1x x dx
5
Câu 11: Giả sử
64
3
1
2
ln 3
dx
I a b
xx
với
,ab
là số nguyên. Tính giá trị
ab
.
A.
17
B.
5
C.
5
D.
17
.
Câu12:Tính tích phân
3
3
0
sin
cos
x
I dx
x
.
A.
5
2
I
B.
3
2
I
C.
9
3 20
I

D.
9
4
I
.
Câu 13: Cho
2
1
1
0
.x
I x e dx
. Biết rằng
2
ae b
I
. Khi đó
ab
bằng:
A.1 B.0 C.2 D.4.
Câu14:Biết
2
2
1
1ln ln
ln
xdx a b
x x x

với
,ab
là các số nguyên dương. Tính
22
P a b ab
.
A.10 B. 8 C. 12 D. 6.
Câu15:Biết rằng
1
2
1
2
43
I x dx a
. Khi đó
a
bằng:
A.
2
B. 1 C.
3
D. 2.
Câu16:Tính tích phân
2
0
cos2I x xdx
bằng cách đặt
2
cos2
ux
dv xdx
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
00
1sin 2 sin 2
2
I x x x xdx

B.
2
00
1sin 2 2 sin 2
2
I x x x xdx

C.
2
00
1sin 2 2 sin 2
2
I x x x xdx

D.
2
00
1sin 2 sin 2
2
I x x x xdx

Câu 17: Biết
22
66
cos2 3 sin 2I x xdx a b xdx



, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
a
b
là:
A.
1
12
B.
1
24
C.
1
12
D.
1
24
Câu 18: Biết tích phân
2
1
4 1 ln ln 2x xdx a b
với
,ab
. Tổng
2ab
bằng
A.
5
B. 8 C.
10
D. 13
Câu 19: Tích phân
2
2
1
I x x dx

có giá trị là:
A.
3
2
I
B.
1
6
I
C.
3
2
I
D.
1
6
I
Câu 20:Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0; 
thỏa
2
23xf x f x x x

. Biết
1
12
f
. Tính
4f
?
A.
24
. B.
14
. C.
4
. D.
16
.
Câu21:Cho
()y f x
thỏa mãn
24
'( ) ( ). "( ) 15 12 ,f x f x f x x x x
và
(0) '(0) 1ff
. Tính
2()fx
A.
9
2
B.
5
2
C.10 D. 8
Câu22:Giả sử hàm số
fx
có đạo hàm cấp 2 trên
thỏa mãn
1 1 1ff

và
2
1 . 2f x x f x x

với mọi
x
. Tính tích phân
1
0
dI xf x x
.
A.
1I
. B.
2I
. C.
13
I
. D.
23
I
.