ðỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KÌ II LỚP 11 CƠ BẢN.
*CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN LƯU Ý
1/ ðại số và Giải tích:
1/ Tìm giới hạn của hàm số (
x
).
hoặc x fi
x 0
2/ Khảo sát tính liên tục của hàm số tại 1 ñiểm, trên tập xác ñịnh 3/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số ñể chứng minh sự tồn tại nghiệm. 4/ Dùng các qui tắc, tính chất ñể tính ñạo hàm của một hàm số, làm việc với các hệ thức ñạo hàm. 5/ Vận dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (tại hoặc biết hệ số góc k)
fi – ¥
2/ Hình học:
1/Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc với nhau. 2/Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng 3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau. 4/ Xác ñịnh và tính góc giữa ñường thẳng và ñường thẳng, ñường thẳng và mặt phẳng; mặt phẳng và mặt phẳng. **MỘT SỐ DẠNG TOÁN MẪU: I/ ðại số và giải tích: Bài 1: Tính giới hạn các hàm số sau:
2
x
4
(
x
3
1)
=
=
- - -
1)
x
- = 1)
2
lim x 3
lim x 3
lim( x 3
+ x 3
x 3
x 2
3)( x +
+
+
+
fi fi fi - -
2
x
3
1
=
=
=
=
-
2)
+ 2
lim 1 x
lim 1 x
lim 1 x
x
x 1
x ( x (
1)(2 x + x 1)(
1) 1)
2 x x
1 1
1 2
1 2
fi - fi - fi - - - - -
3)
=
=
=
= -
2
3
- 2(x 1) 2
2
lim ® x 1
lim ® x 1
lim ® x 1
2x -
- 4x
2 +
x
3
(x 1)(x
-
+ -
x 3)
x
2 + - x 3
2 1
-
2
4
(2
+ )(2
x
+ + x 7
3)
(2
+ + )( x
x
7
3)
=
=
= -
24
- -
4)
lim x 2
lim x 2
- + lim x 2
)( x + -
x + -
x
7 9
1
x
7 3
fi fi fi
- - x + + x ( x = = =
5)
3
3
fi fi fi lim x 2 lim x 2 + lim x 2 - - 9 8 x 2 + - 1 3 4 x - + 2 x ( (4 2)( 4 x + + - x x 1 9)( 1 3) x 2) 1)( 4 x + + x x + 4( 1 3) 2)
x (4 ) + 2 - 4 1 = =
6)
3
3
fi+¥ )
1
1
1
1
1
4 = fi+¥ lim fi+¥ x lim x lim x x x 3 x + - x 3 + - - x (1 + 1 3 - + x 1 2 x 1 3 x 3 3 x 3 - + 4 x 1 2 x 1 3 x 3 3 x
1
x
2
x
(
2
)
2
2
+
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
- - - - - - -
7)
lim x
lim x
lim x
lim x
2
2
x
2 3
3
2 3
x
x
(
3)
3
x
x
2
2
fi - ¥ fi - ¥ fi - ¥ fi - ¥ - - - -
2
x - x + 2x 2x
8)
- x - 2x = =
)
2
2
( lim x ® + ¥ x
2
2
=
lim ® + ¥ x lim ® + ¥ x + - + - x x 2x x x 2x
=
lim ® + ¥
x
1
+
2
2
+
-
1
2
x
.
Bài 2: 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các ñiểm ñược chỉ ra:
2
Õu x
2
n
- „
a)
( ) f x
4 2
x x 4
Õu x=2
n
=
tại ñiểm xo = 2. -
2
(
2)
x
=
=
=
+
= =
2) 4
(2)
x
f
2
lim ( ) f x x
lim 2 x
lim 2 x
lim( 2 x
4 2
x x
+ 2)( x 2 x
- - + f(2) = 4; + fi fi fi fi - -
Vậy hàm số liên tục tại x = 2.
x
1
<
khi x
1
=
-
b)
f x ( )
taïi x
1
x
1
2 x 2
khi x
1
= -
=
- - ‡
2
+ 1
+ 1
lim ( ) f x x
= - lim( 2 ) x x
- +
- Ta có: + f(1)= -2; + fi fi
1
(
- + 2
1)
1
x
=
=
=
= -
2
1
lim ( ) f x x
lim 1 x
lim 1 x
lim 1 x
x 1
x 1
1)( 2 2 x
x 2
x
=
= -
1 =
(1)
2
- - + - - - - fi fi fi fi - - - - -
Vì
suy ra hàm số liên tục tại x = 1.
f
+ 1
1
lim ( ) f x x
lim ( ) f x x
- fi fi
2. Tìm m ñể hàm số sau liên tục tại các ñiểm ñã chỉ ra:
2
3 x
khi x
1
=
=
1
( ) f x
taïi x
=
1
khi x
2 2 + x x 1 x + 3 x m Ta có: + f(1)= 3 + m;
3
2
+ 2
- - „ -
2
(
2)
x
x
x
=
=
=
+
= 2) 3
x
1
lim ( ) f x x
lim 1 x
lim 1 x
lim( 1 x
2 1
x 1
x x
+
= (cid:219) 3
m
+ 1)( x = m
0
.
nÕu x < 2
- - - + . fi fi fi fi - -
liên tục tại x = 2.
f x ( )
nÕu x 2
1
2
‡
ðể hàm số liên tục tại x = 1 thì 3 Vậy khi m = 0 thì hàm số liên tục tại x = 1. 3. Tìm số thực m sao cho hàm số: 23 x = + mx 2 =
=
=
Ta có:
x
12,
mx
+ = 1)
4
m
+ = 1
f
(2)
f x lim ( ) x
2
lim 3 x 2
+ 2 =
f
(2)
f(x) liên tục tại x = 2 khi
- - fi fi fi fi
f x lim ( ) x f x lim ( ) x
lim (2 + 2 x = f x lim ( ) x
+ 2
2
=
=
- fi fi
= 12
+ (cid:219) 4 m
1
m
suy ra
f x lim ( ) x
2
f x lim ( ) x
+ 2
11 4
Với m =
thì f(x) liên tục tại x = 2.
11 4
(cid:219) - fi fi
Bài 3: Chứng minh phương trình sau có ñúng 3 nghiệm phân biệt:
+
+
26 x
9
x
+ = 1 0
=
=
a) Ta có
a) 3 3 + = x x - = - ( 2)
-
1 0 f 1; (0) 1; (1)= -1; (2) 3.
b) 3 x
f f f
3 3 + x
x
1
- là hàm ña thức nên liên tục trên các khoảng [-2; 0], [0; 1], [1; 2].
Vì hàm số y = Mà : + f(-1).f(0)=-1.1=-1 <0 nên hàm số có ít nhất một nghiệm trên (-2; 0); + f(0).f(1) = 1.-1=-1<0 nên hàm số có ít nhất một nghiệm trên (0; 1); + f(1).f(2)=-1.3= -3<0 nên hàm số có ít nhất một nghiệm trên (1; 2). Suy ra hàm có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trên R mà hàm số là hàm bậc 3 nên có nhiều nhất là 3 nghiệm. Vậy hàm số có ñúng 3 nghiệm phân biệt. b) tương tự xem như bài tập. Bài 4 :ðạo Hàm 1. Cho hàm số f(x) = x5 + x3 – 2x - 3. CMR: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0) Ta có: f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2. VT = f’(1) + f’(-1) =(5 + 3 - 2) + (5+ 3- 2) = 12 VP = -4f(0) = -4.(-3) = 12 = VT , Suy ra ñiều phải chứng minh.
2
+ + x 2 5
2. Cho hàm số y =
- x 1
2
+
+
x a) Tính y’ . b) Giải bất phương trình y’<0.
(
x
2
x
5) '(
x
+ 2 x
5)(
x
1) '
=
2
2
2
+
- - - a) y’ = -
1) ( x + x 2
+ 2 x ( 2 1) 5)
(2
x
2)(
x
2(
x
2
x
5
x
7
2
=
=
=
2
2
- - - - - - - -
(
+ 2 x ( 2 1)
x 1)
x 1)
(
1) x
1) ( x
x
2
- - -
x
1
x
x
2
7 < (cid:219)
b)
y
< (cid:219) ' 0
0
2
2
x
1 0 - < x
2
7 0
x 1)
(
x
1 2 2
< < + x
1 2 2
+
„ - „ - - (cid:219) - - -
.
\
-
3 x
=
=
a)
y
1).sin
b) y
2( x
+ x 3
x
- -
Vậy nghiệm của bất phương trình là: (1 2 2; 1 2 2) {1} 3. Tính ñạo hàm các hàm số sau: 2 +
2
x
5
2
3 2
x
+ - 5
+
+
+ x
13
2
x
5
=
=
y'=
a)
+
x 3(2 +
5) 2 +
6 +
+
x
2
5
x
x
x
x
5) 2
5
2
(2 2
-
5 + x
5) 2 + 3 x
b) y
.
(2 ⇒ = y 4
= - - - ( x + x 3 1).sin x ( x 1) cos x (2 x 3)sin '
=
+
( ) f x
+ x
2
1
′ -
4. Cho hàm số :
. Tính f (1)
.
x 2
35 x 3 x (2 )'
3
2
2
⇒
Ta có:
3 x
sin x
sin 3x
+
sin 5x
. Tính
+
= A f '
3f 2
( ) p -
( ) p .
5. Cho hàm số ( ) = f x
1 1 + + = + + = + f x f ′ = x ( ) 2 x 5 2 x 5 ′ (1) 5 2 x 2 2 x
2 5
,
cos3x
+
2 cos 5x
Þ
f '( )
p = - + -
1 ( 1)
+
- 2.( 1)
= -
4
cosx
Ta có : ( ) = f ' x + f(2p ) = 0 nên A= - 4.
2
2 2 1 3
+3 y x
Bài 5: Cho hàm số =
x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
x5=
. : x – 5y -9 = 0.
2
3
+
x ' 3 2 y
1) Tại ñiểm có hoành ñộ bằng -1. 2) Tại ñiểm có tung ñộ bằng 2. 3) Biết hệ số góc k = 1 4) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng d: y 5) Biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng D 2 Giải: Ta có =
+ ⇒ = =
, suy ra phương trình tiếp tuyến là:
x .
1)
x 0
=
1(
x
y
=
⇒
y = 5x – 3.
2) Ta có
2
1
'(1) 5
y
(
là
x 0 toạ ñộ của
= . Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = 5(x – 1) + 2 (cid:219) tiếp
tiếp ñiểm. Vì
tuyến có hệ
số góc k = 1
y x x y 0 = - ⇒ 0 1 - = y '( 1) 1 + + (cid:219) = + x 1) 0 = (cid:219) y 2 0
3) Gọi Gọi
y . 1 + = (cid:219) 3 2 x x 0 0 ) ; x y0 0
= -
= (cid:219) ) 1
2
1
nên:
+ 2 x 3 0
- = (cid:219) x 0
y x '( 0
+ 2 x 3 0
= x 0
=
= - ⇒ =
1 x 0 (cid:219) 2 1 0 x 0 1 3
+ Với
.
⇒ PTTT: = +1
1 0 y x x 0 y 0
= ⇒ =
y
1(
x
(cid:219) = - y
x
+ Với
⇒ PTTT: =
x 0
y 0
1 3
4 27
1 + ) 3
4 27
5 27
-
y
Vậy có hai tiếp tuyến có k =1 là = +1
.và = - 5 x 27
nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5
x5=
;
) là toạ ñộ của tiếp ñiểm.
x y
4) Vì tiếp tuyến song song với d: y ( Gọi x y0 0
=
1
x 0
2
5 0
= (cid:219) ) 5
2
5
.
'( y x 0
+ 2 x 3 0
= x 0
+ 2 x 3 0
- = (cid:219) x 0
= -
x 0
5 3
=
(cid:219)
.
x5
3
= ⇒ = ⇒ PTTT: y 2
1
+ Với x 0
y 0
=
+
= - ⇒ = -
5 x
⇒ PTTT: y
+ Với x 0
y 0
5 3
50 27
175 27
=
+
=
-
5 x
và y
.
Vậy có hai tiếp tuyến song song với d là : y
x5
3
175 27
+
-
- (cid:219)
5) Ta có:
x
= 5 9
y
0
= - + (cid:219) = - 5 9
y
x
+ y
x
⇒ = - kD
1 5
1 5
9 5
= -
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, Vì tiếp tuyến vuông góc với D
nên ta có :
1
(cid:219) = 1
5.
k k .
k
k
1 = - . 5
(
;
) là toạ ñộ …).
(Có k = 5 làm giống câu 4: Gọi x y0 0
- (cid:219) D
II. Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh
(ABCD) và SA =
. 1) Chứng minh BD ^
SC.
bằng a và SA ^
a 6 3
(SCD).
2) Chứng minh BC^ (SAB). 3) Chứng minh (SAD) ^ 4) Tính góc giữa SC và (ABCD). 5) Tính góc giữa (SBD) và (ABCD).
S
A
D
O
B
C
1) (ðể chứng minh ñường thẳng vuông góc với ñường thẳng ta chứng minh ñường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa ñường thẳng kia).
BD AC
(ABCD là hìn ô
h vu ng
)
^
⇒ ^ BD
(
SAC
)
⇒ ^
Ta có :
BD SC
.
^ ^
BD SA = SA AC A
(SA (ABCD)) trong (SAC)
˙
m SC à
(
SAC
)
(cid:204)
2) (ðể chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh ñường thẳng này vuông góc với hai ñường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng).
BC AB
h vu ng
)
^
Ta có
.
BC SA
⇒ ^ BC
(
SAB
)
(vì ABCD là hìn ô ( vì SA (ABCD)) =
^ ^
trong (SAB)
SA AB A
˙
3)(ðể chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này có chứa một ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia).
CD AD
( vì ABCD là hìn ô
h vu ng
)
^
CD SA
⇒ ^ CD
(
SAD
)
⇒
Ta có :
.
(
SCD
)
(
SAD
).
( vì SA (ABCD)) =
trong (SAD)
SA AD A
^ ^ ^ ˙
m CD à
(
SCD
)
(cid:204)
^
4) (Tính góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm hình chiếu của ñường thẳng trên mặt phẳng, khi ñó góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng là góc giữa ñường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng). Ta có :Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC nên: = (SC,(ABCD))=(SC,AC)= SAC ( vì SA (ABCD))
(cid:1) SCA . Trong tam giác vuông SAC ta có
a
6
3
=
:
(cid:1) tan (SCA)=
(cid:1) = 0 SCA 30 .
SA AC
3 = ⇒ 3
a
2
Vậy (SC,(ABCD)) = 300. 5)(ðể xác ñịnh góc giữa hai mặt phẳng ta: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, trong mỗi mặt phẳng tìm ñường vuông góc với giao tuyến. Khi ñó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai ñường vuông với giao tuyến ñó). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có:
(
(cid:1)
=
=
˙
⇒
.
SBD ABCD ), (
))
(
AO SO SOA )
,
SBD ) (
((
(cid:204) ^
( AO SO
), ),
= ) ABCD BD ABCD AO BD SBD SO BD ( Trong tam giác vuông SAO ta có:
a
6
3
=
=
=
=
⇒
.
(cid:1) SOA
(cid:1) SOA )
tan(
0 49 6 '
SA OA
2 3 3
a
2
(cid:204) ^
2 ***CÁC ðỀ THI THỨ HỌC KÌ II ðỀ 1: Bài 1: Tính các giới hạn sau:
2
3
2
x
2)
1)
lim 1 x
lim 2 x
+ x 1
x
x 2 + - x 7 3
1
- - fi fi -
khi x
3
f x ( )
tại x = 3.
„ -
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số
3
=
+ x x 3
khi x
3
- 2 =
3
2
Bài 3: Cho hàm số
y
=
2x
+
4x
-
1
( ) = f x
có ñồ thị ( )C .
0³
.
1) Giải bất phương trình ( ) f ' x
2= .
2) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C tại ñiểm có hoành ñộ
0x
.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C tại ñiểm có tung ñộ bằng 1-
.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2-
4
4
=
+
=
sin
cos
và
f x ( )
x
x
Bài 4: Cho hai hàm số :
g x ( )
cos 4
x
1 4
=
Chứng minh rằng:
.
'( ) (
)
f
x '( )
g x
x
" ˛ ´
=
=
=
=
=
(cid:1) BAC
(cid:176)30
,
SA SB SC SD a . a. Chứng
(
^SO
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, tâm O, minh rằng:
) ABCD .
^
(
SMN
) SBD .
b. Tính góc giữa SC và (ABCD). c. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và BC. Chứng minh rằng: ) ( ðỀ 2: Bài 1: Tính các giới hạn sau:
2
2
+
+ 2
1)
2)
x
2
x
x
1
- -
(
)
lim fi+¥ x
lim x 3
9 + -
1 2
x x
+
fi
22 x
3
x
5
>
khi x
1
=
-
f x ( )
-
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số
tại x0 = 1
x
1
7
khi x
1
y
=
£
Bài 3: Cho hàm số
có ñồ thị ( )C .
( ) = f x
- 2x 1 + 2 x
3
1) Tính
A
=
+
1
0> .
. 2) Giải bất phương trình ( ) f ' x
( 2f ' - ( - f
) 1 + ) 3
3) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C tại giao ñiểm của ñồ thị ( )C với trục hoành.
-
4y
+ = .
3
0
4) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C , biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng d :5x
+
5y
-
4
= . 0
5) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C , biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng d ' :x
a
3
=
=
(cid:176)60
(cid:1) BAD
,
. Hình chiếu H của S
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
SA (
2 )
^BD
SAC . Tính SH, SC.
