-----hoc247.vn-----

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn TOÁN – LỚP 11

ĐỀ SỐ 1

Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề.

I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm)

Câu 1: (2,0 điểm)

a) Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm

của hàm số

. (1,0 điểm)

b) Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C) của hàm số

tại giao điểm của (C) với trục tung.

(1,0 điểm)

Câu 2: (1,0 điểm) Tính:

.

Câu 3: (1,5 điểm) Cho hàm số

.

Xác định giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó.

Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và O là tâm

của nó. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO =

. Gọi M là

trung điểm của CD.

a) Chứng minh rằng CD

mp(SMO).

(1,25 điểm)

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD); tính theo a khoảng cách từ điểm

O tới mp(SCD).

(1,25 điểm)

II. PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm)

1. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn:

Câu 5.a: (2,0 điểm)

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

a) Cho hàm số

. Chứng minh rằng:

. (1,0 điểm)

b) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

thực m:

.

(1,0 điểm)

Câu 6.a: (1,0 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, BC = b, CC1 = c.

Chứng tỏ rằng tất cả các đường chéo của hình hộp đều bằng nhau và tính độ dài của

các đường chéo đó. Từ đó suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh a.

2. Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao:

Câu 5.b: (2,0 điểm)

a) Cho dãy số (un) với

. Chứng tỏ (un) là một cấp số nhân. Hãy tính

.

(1,0 điểm)

.

b) Cho hàm số

Xác định m để hàm số f có đạo hàm tại điểm

. Khi đó tính đạo hàm của hàm số

tại điểm

(1,0 điểm)

Câu 6.b: (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính góc giữa hai mặt

phẳng (AB'C') và (AC'D').

------------------------ Hết ------------------------

Đáp án

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

Nội dung 1

. Câu Ý a Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số Điểm 2,0 đ 1,0 đ

Hàm số xác định

.

0,25 0,25 0,25

0,25

Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C) của hàm số b 1,0 đ , tại giao điểm của (C) với trục tung.

0,25 0,25 (C) cắt Oy tại M(0; 1).

.

Hệ số góc của tiếp tuyến: Vậy phương trình tiếp tuyến  của (C) tại M là: .

Tìm giới hạn: . 2 0,25 0,25 1,0 đ

0,25

0,50

. 0,25

Xác định giá trị của a để hàm số 3 1,5 đ

liên tục trên tập xác định của nó ? TXĐ: D = .

Với mọi x < 2 , hàm số liên tục trên khoảng (; 2). 0,25 0,25

liên tục trên khoảng (2; +).

0,25 Với mọi x > 2 , hàm số f(2) = 2a + 1;

0,25

Để hàm số liên tục trên , đk cần và đủ là nó liên tục tại điểm x = 2; tức là:

0,50

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

.

Vậy là giá trị cần tìm.

4 mp(SMO). a Chứng minh rằng CD

2,5 đ 1,25 đ 0,50

b

0,25 0,25 0,25 1,25 đ 0,25 Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO  (ABCD), suy ra CD  SO (1) CD  BC (gt), BC // OM  CD  OM (2) Từ (1) và (2), suy ra CD mp(SMO). Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD); tính khoảng cách (theo a) từ điểm O tới mp(SCD). Gọi  là góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD). Vì SO  (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA lên mp(ABCD).

Do đó Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có:

. 0,50

mp(SMO) nên 0,25 mp(SOM), suy ra OH  (SCD). Vậy góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD) bằng 600. Từ O ta kẻ OH vuông góc với SM (H thuộc SM). Vì CD mp(SCD) Do đó d(O; (SCD)) = OH.

0,25

Vậy .

a Cho hàm số . Chứng minh rằng: .

2,0 đ 1,0 đ 0,25 5.a TXĐ: . Ta có ;

0,25 ;

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

Do đó: 0,50

(đpcm).

b 1,0 đ Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực m: .

0,25 Đặt . Ta có: .

0,25 suy ra:

0,25 liên tục trên đoạn [1; 0]

Mặt khác hàm số Do đó theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại số sao cho 0,25 . Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;

0) với mọi m. 6.a

2 =

1,0 đ

2 = AB2 + BC2 + CC1

2 = AC2 + CC1

. Ta có các mặt chéo ACC1A1 và BDD1B1 là hai hình chữ nhật bằng nhau nên các đường chéo AC1, A1C, BD1 và B1D bằng nhau. Áp dụng định lý Pithagore, ta được: AC1 0,25 0,25 0,25 . Vậy AC1 = A1C = BD1 = B1D =

0,25 .

Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương có cạnh a là 5.b . Chứng tỏ (un) là một cấp số nhân. Hãy tìm a Cho dãy số (un) với 2,0 đ 1,0 đ

giới hạn .

Ta có: ; . 0,25

và công bội . Vậy (un) là một cấp số nhân, với u1 =

Ta có: ; 0,25 0,25

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

Do đó: (vì ). 0,25

Chú ý: Học sinh có thể giải như sau: Do |q| = 2/3 < 1 nên (un) là một cấp số nhân lùi vô hạn, do đó:

. Xác định m để hàm số Cho hàm số b 1,0 đ

có đạo hàm tại điểm . Khi đó tính đạo hàm của hàm số f tại điểm .

0,25 Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 thì điều kiện cần là nó phải liên tục tại điểm đó, tức là .

f(0) = m;

0,25

Vậy khi thì hàm số liên tục tại điểm x = 0.

Lúc đó , ta có: .

0,25

.

0,25

Vậy thì hàm số có đạo hàm tại điểm và .

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (AC'D'). 6.b

1,0 đ

Gọi M là hình chiếu vuông góc của B' lên đường thẳng AC'.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

0,25

Do AB'C' = AC'D' (c.c.c) nên D'M = B'M và D'M  AC'. Suy ra AC'  mp(B'MD'). Do đó góc  giữa hai mp(AB'C') và mp(AC'D') bằng góc giữa hai đường thẳng B'M và D'M.

Tính ? Ta có: 0,25

0,25

0,25 Vậy .