CHUYÊN HẠ LONG ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LẦN 1

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN

3

2

= -

Thời gian làm bài:: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang)

y

+ x

2

6

x

5

- Câu 1(4 điểm). Cho hàm số:

x

3

+

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số đă cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(-1;-13)

dx

2

∫

1 +

  ex 

  

1

x

Câu 2 (2 điểm). Tính nguyên hàm

Câu 3 (2 điểm).

1. Giải phương trình:

x

log3

27

10

0

log 3

x

2. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 9 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8 người đi hát đồng ca. Tính

+ = -

=

++

xác suất để trong 8 người được chọn có số nữ nhiều hơn số nam.

)( xf

3

x

631

x

- Câu 4 (2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

)a

đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Câu 5 (2 điểm). Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC và SBC là những tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600 . Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Câu 6 (2 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1), B(3;2;2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 5z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( Xác định hình chiếu vuông góc của A xuống (P).

1. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

2. Tìm trên các cạnh AB, BC, CA các điểm K, H, I sao cho chu vi tam giác KHI nhỏ nhất.

Câu 7 (2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;6), B(1;1), C(6;3).

y

2

y

3

xy

12

3

2

3

28 =

10 +

y

2

x

8

6

y

xy

2

x

+ - ++ x =+ x Câu 8 (2 điểm). Giải hệ phương trình - - -  3    5

ta đều có

+

+

+

+

D Câu 9 (2 điểm). Chứng minh rằng: Với mọi ABC

sin

sin

sin

cot

cot

cot

A 2

B 2

C 2

A 2

B 2

C 2

9 3 2

  

  

  

-----------------HẾT-----------------

1

‡

SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

2

3

Câu Câu 1

Cho hàm số:

3

2

+ - -= y 6 2 x

Nội dung C ( 5 ) x Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

-= + - y 2 x 6 x 5

1. TXĐ = R lim y fi= x

2

+

x

x

-= y '

6

y

(cid:219)= 0'

12 = =

x x

0 2

  

+¥= ¥= - y ¥ - ¥ fi lim; x

0 2

¥+

0 + 0 -

-

………………………………………………………………………………….. x y’ y

¥ -

¥+ 3 -5

¥ -

)2;0(

)2;

(-

, hàm số nghịch biến trên

và (

+

-=

"

x

12

(cid:219)= 0

x

đồ thị hàm số có điểm uốn U(1;-1)

3 -5

0 -5

-1 3

2 3

…………………………………………………………………………………… …. )+¥;2 Hàm số đồng biến trên Đồ thị hàm số có điểm cực đại là A(2;3), có điểm cực tiểu là B(0;-5) = y 12 1 y” đổi dấu khi x qua 1 Chính xác hóa đồ thị: 1 x y -1 Đồ thị hàm số nhận U(1;-1) làm tâm đối xứng

Điểm 0,5 0.5 0,5

2

¥

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(-1;-13) ..........................................................................................................................

0

; ))

( -=

+

)

( )

12

6

x

x

y

x

x

6

x

5

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị hàm số tại Phương trình tiếp tuyến tại B: 2

2 0

0

0

D - - - xB ( 0 + 3 0 xf ( 2 0

)( x =

x

2

(

)

+

) ( 1

2

(cid:219)= 0

x

x

đi qua A(-1;-13)

0

0

2

x

1 0 -= 0

  

…………………………………………………………………………………….

- (cid:219)

1

0,5 0,5 0,5 1

Có hai tiếp tuyến cần tìm:

= - D 7 x : y

3

x

+

dx

Câu 2 Tính nguyên hàm

2

∫

2 1 +

  ex 

  

1

x

3

x

+

=

+

dx

A=

3 x xe dx

dx

2

∫

∫

∫

1 +

  ex 

  

1

x

x

x + 2 1

=

du

dx

=

x

⇒

xe x3

dx

3

x

3

x

=

=

đặt

TÍnh A1 = ∫

e

e

dx

dv

 u  

   v 

1 3

3

x

3

x

3

x

3

x

=

=

+

6 -= - D 48 x 61 : y

xe

e

dx

xe

e

C 1

∫

1 3

1 3

1 3

1 9

…………………………………………………………………………………….

2

2

=

=

ln

x

+ + 1

C

2

- -

∫

∫

+ +

1) 1

1 2

1 2

3

x

3

0,25 0,25 0,5 0,5 0,5

+ x

=

e

xe

x

C

A

ln

+ + 2 1

xdx + 2 1 x 1 9

( d x 2 x 1 2

Tính A2 = 1 3

Vậy

3

-

Câu 3

x

1. Giải phương trình „< x

1

0

Điều kiện:

+

=

+ = - x log3 27 10 0 log 3

log

x

10

0

Phưng trình trở thành:

3

x

9 log 3 =

1

log

x

3

-

=

9

x

3

log =

3

x

(cid:219)   

9

=

3

x

2. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 9 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8

người đi hát đồng ca. Tính xác suất dể trong 8 người được chọn có số nữ nhiều hơn số nam.

=C

6435

Số cách chọn ra 8 người là:

8 15

+

=

540

5 CC . 6

3 9

6 CC . 6

2 9

Số cách chọn ra 8 người mà số nữ nhiều hơn số nam là:

…………………………………………………………………………………….

Xác suất để chọn được 8 người thỏa mãn là:

++

(cid:219)   

12 143 = )( xf

3

x

631

x

540 = 6435 Câu 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

.................................................................................................................................

6;

TXĐ =

-  

  

3

1 3 3

=

-

f

x )('

6;

xác định trên

+

1 3

  

62

32

1

x

x

 -   .................................................................................................................................

(cid:219)= 0

6;

f

x )('

x

5 ˛= 4

1 3

-  

  

…………………………………………………………………………………….

f

57

 = 

1 3 =

f

 -   ( ) 6

19

2

19

f

5 4

  

 = 

=

=

.......................................................................................................... xf )(

)6(

19

f

Vậy

- -

0,25 0.25 0.5 0,25 0.5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5

x

  

min - 1 6;  3 

)( xf

2

19

˛

5 4

 = 

=  f 

x

max - 1 6;  3 

  

Câu 5

Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC và SBC là những tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600 hình chiếu vuông góc của S

4

˛

xuống (ABC) nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

Gọi M là trung điểm của BC Lập luận được góc giữa (SBC) và (ABC) là góc — SMA = 600

2a

a

3

=

D⇒ dt

SAM

SAM đều cạnh bằng

33 16

2

3

a

3

=

=

.

BC

.

dt

SAM

V ABC . S

16

1 3

…………………………………………………………………………………….

3

39

a

a

2a

=

=

D

.

.

dt

SAC

1 2

2

3

.3

16 3 a

13

=

=

=

SAC

Bd (

(;

))

2

D

B SAC . SAC

a 3 13

13 4 V 3 dt

39

a

0,5 0,5 0,5 0,5

.16

16

Câu 6 Cho A(2;1;1), B(3;2;2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 5z – 3 = 0. Viết phương trình

đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng (P). Xác định hình chiếu

=

D

n

AB

)1;6;7(-=

b

n a

)

(

+

(cid:217)

) 0 = 1

7:

( 6

) 1

( 1

2

x

y

z

=++

+

- - - -

7

0

7

6

x

y

mặt phẳng ( )a vuông góc của A xuống (P). Chọn ............................................................................................................................... ) ⇒ phương trình mặt phẳng ( + a Hay z …………………………………………………………………………………… Gọi A’(x0;y0;z0) là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (P),Ta có: A

'

cùng phương. =

-

0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) ', P AA n 5 3 z

và 2 y

0

- -

⇒

;

;

'

A

0 1

1

2

0 x

y

z

0

0

0

=

=

32 15

19 15

1 3

  

  

0,5 0,5 0,5 0,5

(cid:219) - - -

P˛ ) ( +  x    

1

2

5

5

-

Câu 7 Cho tam giác ABC có A(2;6), B(1;1), C(6;3).

2

2

2

2

+

+

+

+

2

ax

by 2

+ = c

- > c

0,(

0).

b

+ =

+

+

0

12 b c + =

2 b c +

0 + =

0

6 b c

a

a)Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là a y x Ta có +  4 36 4 a  + + + 1 1 2 a   + + 36 9 12 

=

=

⇒ = a

;

b

;

c

(thỏa mãn)

139 46

147 46

240 23

2

+

- -

Vậy pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

x

y

x

0.

2 139 23

147 + y 23

240 = 23

b) Tìm trên các cạnh AB, BC, CA các điểm K, H, I sao cho chu vi tam giác KHI nhỏ nhất.

=

=

- -

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

26;

AC

5;

BC

29

A(2;6), B(1;1), C(6;3) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) Ta có: (4; 3); AC ( 1; 5); (cid:3) (cid:3) (cid:3) > ⇒ > > A C B

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC (5;2) > , mà cos

⇒ = AB 0A >

ABC nhọn.

=

EAF

, suy ra tam giác AEF cân tại A và (cid:4) (cid:3)2 A=

.

+

- - -

IF EF

BC AB AC ................................................................................................................................ Gọi E, F lần lượt đối xứng với H qua AB, AC. Ta có: = AE AH AF + = Chu vi HIK KE KJ

.

Gọi M là trung điểm EF, trong tam giác vuông AME, ta có = ME AE

= A AH

A

.sin

sin

,

Suy ra: Chu vi tam giác HKI là

0,5 0,25 0,25 0,25

6

D ‡

2

+

=

+ KE KJ

IF EF

EF 2sin .

A AH

2sin . (

A d A BC

,

= )

dt ABC R

= .

0

0

=

=

D ‡ ‡

(cid:3) A

(cid:3) (cid:3) + = 2 ) A C

(180

90

1 2

+

- - - - -

= , suy ra tứ giác ABHI nội tiếp, suy

=

-

Dấu “=” xảy ra (cid:219) H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC và K,I là giao điểm của EF với AB, AC. …………………………………………………………………………………… Ta chứng minh: (cid:4) (cid:4) (cid:3) + IHF CHF A Có: (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) = IHF AHF AHI AHF AFI AHF , suy ra : (cid:4) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:3)090 = IHF CHF A C FHC ra (cid:4) (cid:4) 090 = , suy ra I là chân đường cao tam giác ABC kẻ từ B. Tương AIB AHB tự có K là chân đường cao của C xuống AB. .............................................................................................................................. Phương trình các đường thẳng + ) : 3 x (

= 30 0;(

3 0

- = y

) : 5

BC

AC

AB

4

y

x

4 0;( =

+

- - -

) : 2 + CK x ) :

+ = y x 5 = y

5

21 0

(

AH

) : 5

x

BI

) : 4

x

- = 3 y

1 0;(

H

;

y 2 104 29

22 0;( 59 29

0,25 0,25 0,25

Suy ra:

K

;

41 26

101 26

I

;

94 25

117 25

        

        

- - -

Câu 8

Giải hệ phương trình

3

2

3

+ - y 2 ++ x =+ x y 3 xy 12

]2;2- [

˛x

3

3

28 = 10 + - - - y 2 x 8 6 y xy 2 x  3    5

)

(

Điều kiện: Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2)   

3 +

= + - - (cid:219) x x 23 )2( (*) 2 2 y 2 y  +    3    

............................................................................................................................... Xét hàm số

trên R

=

(

thế vào (1)

hàm số đồng biến trên R 2 y

tf )( ) = - = - (cid:219) f 2 (*) x f 2 x 2 y t    3 t  (cid:219) 

.............................................................................................................................. )1(

+ - (cid:219) ++ x =+ x 12 10 xy 3 2 8 2 3 y y

2

+ = + - - - (cid:219) 23 ++ x 24 2 x 10 3 x 26 x x

2

2

+ + = - - - (cid:219) 23 26 44 3 10 0 (**) -+ x x x x

=⇒=

-+ x

22

10

2

3

x

x

x

t

t

............................................................................................................................... Đặt 44

0,5 0,5 0,5

7

- - - -

2

Phương trình (**) trở thành

.............................................................................................................................

0,25 0,25

=

=

x

y

5

- Với t=0:

6 5 + - x

- = x

- Với t=3: 2

, phương trình vô nghiệm, vì vế trái 2£

= 0 - t t 3 (cid:219)= 0 = 3  t  t 

+

+

+

+

cot

cot

cot

sin

sin

sin

2 2 Câu 8 Chứng minh rằng: Với mọi ABC B B 2 2

39 2

C 2

A 2

A 2

D

p

     

>

0;

,

,

,cos

,cos

,sin

,sin

sin

0

, os c

A B C 2 2 2

2

3 ta đều có   C ‡  2   .................................................................................................................................. B 2

C 2

A 2

A 2

B 2

A 2

  

3

+

+

˛

sin

sin

sin

3

sin

sin

sin

0

Ta có : A 2

B 2

C 2

   nên A 2

B 2

C 2

……………………………………………………………………………………

+

+

cot

cot

cot

A 2

C 2

+

sin

(sin

cos

sin

cos

)

B 2 B 2

C 2

A 2

B 2

=

2sin

sin

sin

A 2

B 2

+

sin

(sin

cos

sin

cos

)

A 2

C 2

B 2

A 2

+

2sin

sin

sin

A 2

B 2

+

sin

(sin

cos

sin

cos

)

A 2

B 2

C 2

A 2

+

2sin

sin

sin

A 2

+

+

sin

cos

sin

cos

sin

cos

A 2

B 2 B 2

C 2 C 2 C 2 C 2 B 2 C 2 B 2

A 2

C 2

C 2

=

2sin

sin

sin

A 2

B 2

C 2

3

sin

cos

.sin

cos

.sin

cos

C 2

C 2

A 2

A 2

B 2

B 2

‡ ‡

3

2sin

sin

sin

A 2

B 2

C 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3

+

+

+

+

sin

sin

sin

cot

cot

cot

cot

cot

cot

A 2

B 2

C 2

9 2

A 2

B 2

C 2

C 2

A 2

B 2

‡

0,5

8

 ‡          

cot

cot

cot

33

Lại có

A 2

B 2

‡C 2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

+ + + + sin sin sin cot cot cot A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 39 2  ‡       

ABC đều

0,5 0,5 0,5

9

   Dấu “=” xảy ra