Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm 2015 môn Toán học - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

Chia sẻ: đỗ Thị Trang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

101
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các em học sinh tham khảo "Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm 2015 môn Toán học - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên" sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những dạng bài tập được đưa ra trong đề thi, hy vọng đề thi sẽ giúp các em học sinh có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm 2015 môn Toán học - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 M«n thi: To¸n häc (Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo trêng chuyªn) Thêi gian lµm bµi :120 phót Câu 1: 1) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a 2  3a  b 2  3b  2 a) Chứng minh rằng a  b  3 b) Chứng minh rằng a 3  b3  45 2 x  3 y  5 xy 2) Giải hệ phương trình  2 2 2 4 x  y  5 xy Câu 2 1) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy  1 chia hết cho  x  1 y  1 2) Với x, y là những số thực thỏa mãn đẳng thức x 2 y 2  2 y  1  0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức xy P 3y 1 Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC,IB. 1) Chứng minh rằng EF song song với BC. 2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng. Câu 4. 1) Cho bảng ô vuông 2015  2015 . Kí hiệu ô  i, j  là ô ở hàng thứ i , cột thứ j. Ta viết các số nguyên dương từ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau: i) Số 1 được viết vào ô (1,1). 1 3 6 10 … ii) Nếu số k được viết vào ô  i, j  ,  i  1 thì số k+1 2 5 9 … được viết vào ô  i  1, j  1 . 4 8 … iii) Nếu số k được viết vào ô 1, j  thì số k+1 được viết 7 … … vào ô  j  1,1 . (Xem hình 1.) Hình 1 Khi đó số 2015 được viết vào ô  m, n. . Hãy xác định m và n. 2) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ac  abc  4. Chứng minh rằng a 2  b 2  c 2  a  b  c  2  ab  bc  ac 
Hướng dẫn: Câu 1. a) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a 2  3b  2 a)  2 b  3a  2  a2  b2  3  a  b   0   a  b  a  b   3  a  b   0   a  b  a  b  3  0  a  b  0  loai    a  b  3 3  a  b   27 3 3 b)  a  b  3ab  a  b   27  a 3  b3  9ab  27 a 2  3a  b 2  3b  4 2 vì   a  b   2ab  3  a  b   4  ab  2 vậy a 3  b3  45 2 x  3 y  5 xy b). Giải hệ phương trình  2 2 2 4 x  y  5 xy Ta thấy x-y =0 là nghiệm của phương trình. Nếu y  0 nhân hai vế của phương trình với y 2 2 2 xy  3 y  5 xy  2 2 2 4 x  y  5 xy 2 x  3 y  5 xy 2 x  3 y  5 xy 2 x  3 y  5 xy 2 x  3 y  5 xy  2         x  y  2 x  y   0 2 2 2 2 2 2 2 4 x  y  5 xy 2 x  xy  y  0 4 x  y  5 xy  2 x  3 y  5 xy   x  y 1 2 x  3 y  5 xy   x  y   0    x  y  2 x  y   0  2 x  3 y  5 xy  x  2 , y   4   x  y   0 5 5  Câu 2. a) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy  1 chia hết cho  x  1 y  1 Ta có xy – 1   x  1 y  1 suy ra xy - 1  xy +1- x –y Mà xy +1- x –y  xy +1- x –y Suy ra : (x-1) + (y -1)   x  1 y  1 suy ra x-1  y -1 và y-1  x -1 Suy ra x = y x2 – 1  (x - 1)2 ta có x + 1  x - 1 suy ra 2  x - 1 suy ra x = 2 hoặc x = 3 3) Với x, y là những số thực thỏa mãn đẳng thức x 2 y 2  2 y  1  0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
xy P 3y 1  x2 y 2 1 x3 y 3  2 y  1  0.  2 y   x 2 y 2  1  y  2 xy xy P  3   x y  1  2  3x y  1 2 2 2 2  3 px 2 y 2  2 xy  p  0   4  12 p 2 Phương trình có nghiêm khi   0 suy ra 4 – 12p2  0 3  p 2  3  p   3 1  1 1 14 1 27 Vây max P = 3 khi xy   suy ra y  27  x . 3 3 2 27 3 3 14 Câu 3: A E J F M N P B D C BD AB a) Ta có: AD là phân giác   mà BED, CDF là tam giác cân, DC AC BE AB    BC FE CF AC b) Ta có : BC FE  FED  EDB  BED mà APM  180  AEM  BED  APM  DEF Tương tự : DFE  APN  APN  APM  DFE  FED  MPN mà MJN  MDN  EDF  MJN  MPN  180  MPNJ nội tiếp
c) Ta có : APM  DEF và JPM  JNM  JEM  JPM  APM  A, PJ thẳng hàng Câu 4: 1) Theo đề bài, các số nguyên dương được sắp xếp theo từng hàng chéo của bảng: Hàng chéo thứ nhất có 1 số, hàng chéo thứ hai có 2 số, ... Giả sử số x nằm ở hàng chéo thứ k thì ta có: k (k  1) k (k  1) 1  1  8 x 1  1  8x  1  1  8 x  x  k k  2 2 2 2  2   1  1  8.2015  Áp dụng x  2015 ta có k     63  2  k (k  1) Số đầu tiên ở hàng chéo thứ k  63 là  1  1954 2 Như vậy số 2015 nằm ở vị trí thứ 2015  1954  1  62 của hàng chéo thứ 63 (Vị trí áp chót) Tọa độ của nó là (2, 62) 2) Theo Cauchy 4 số ta có : 4  abc  ab  bc  ac  4 4 a 3b3c 3  1  abc  a  b  c  3 3 abc  3 3 a 2b 2c 2 BĐT tương đương : a 2  b 2  c 2  3 3 a 2b 2c 2  2  ab  bc  ac  (1) 3 Đặt a 2  x, 3 b 2  y , 3 c 2  z  x , y , z  0  1  x3  y 3  z 3  3xyz  2 x3 y 3  2 z 3 x3  2 z 3 y 3 Áp dụng BĐT Schur bậc 3: x3  y 3  z 3  3xyz  xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z   x  x  y  x  z   y  y  x  y  z   z  z  x  z  y   0 với mọi số thực không âm x, y, z Chứng minh BĐT : Do vai trò x, y, z như nhau , giả sử x  y  z  z  z  x  z  y   0 Ta xét : x  x  z   y  y  z   x 2  xz  yz  y 2   x  y  x  y  z   0  x  x  z  x  y   y  y  z  x  y   0  x  x  z  x  y   y  y  z  y  x   0  x  x  y  x  z   y  y  x  y  z   z  z  x  z  y   0  dpcm Ta có : x3  y 3  z 3  3xyz  xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z   2 x3 y 3  2 z 3 x3  2 z 3 y 3 x  y  z Dấu = xảy ra khi   a  b  c 1  x  y, z  0