MAA American Mathematics Competitions
40th Annual
AIME II
American Invitational Mathematics Examination II
Wednesday, February 16, 2022
INSTRUCTIONS
1. DO NOT OPEN THIS BOOKLET UNTIL YOUR COMPETITION MANAGER TELLS
YOU TO BEGIN.
2. This is a 15-question competition. All answers are integers ranging from 000 to 999, inclusive.
3. Mark your answer to each problem on the answer sheet with a #2 pencil. Check blackened
answers for accuracy and erase errors completely. Only answers that are properly marked
on the answer sheet will be scored.
4. SCORING: You will receive 1 point for each correct answer, 0 points for each problem left
unanswered, and 0 points for each incorrect answer.
5. Only blank scratch paper, rulers, compasses, and erasers are allowed as aids. Prohibited
materials include calculators, smartwatches, phones, computing devices, protractors, and
graph paper.
6. Figures are not necessarily drawn to scale.
7. Before beginning the competition, your competition manager will ask you to record your
name on the answer sheet.
8. You will have 3 hours to complete the competition once your competition manager tells you
to begin.
9. When you finish the competition, sign your name in the space provided on the answer sheet.
The MAA AMC Office reserves the right to disqualify scores from a school if it determines that
the rules or the required security procedures were not followed.
The publication, reproduction, or communication of the problems or solutions of this competi-
tion during the period when students are eligible to participate seriously jeopardizes the integrity
of the results. Dissemination via phone, email, or digital media of any type during this period
is a violation of the competition rules.
A combination of your AIME score and your AMC 10/12 score is used to determine eligibility for
participation in the USA (Junior) Mathematical Olympiad.
© 2022 Mathematical Association of America
Bài 1. Trong một buổi hòa nhạc có 5
12 người tham dự là người trưởng thành. Sau đó một xe buýt
chở thêm 50 người tới tham dự buổi hòa nhạc. Khi ấy 11
25 số người tham dự buổi hòa nhạc là người
trưởng thành. Hỏi sau khi xe buýt tới nơi, buổi hòa nhạc đó có ít nhất bao nhiêu người trưởng
thành tham dự?
Bài 2. Azar, Carl, Jon và Sergey là bốn vận động viên lọt vào vòng bán kết của một giải đấu tennis.
Họ sẽ được chọn ngẫu nhiên thành hai cặp để thi đấu. Những người chiến thắng ở mỗi cặp sẽ thi
đấu với nhau để quyết định người vô địch. Khi Azar thi đấu với Carl thì xác suất Azar chiến thắng
là 2
3. Khi Azar hoặc Carl thi đấu với Jon hoặc Sergey thì Azar hoặc Carl sẽ chiến thắng với xác
suất là 3
4. Giả sử rằng kết quả của mỗi trận đấu là độc lập với nhau. Gọi xác suất để Carl vô địch
giải đấu là 𝑝
𝑞, với 𝑝 và 𝑞 là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính 𝑝+𝑞.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều có thể tích là 54, độ dài cạnh đáy là 6. Các đỉnh của hình chóp
nằm trên một hình cầu có bán kính là 𝑚
𝑛, với 𝑚 và 𝑛 là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.
Tính 𝑚+𝑛.
Bài 4. Cho một số thực dương 𝑥 khác 1
20 và 1
2 thỏa mãn log20𝑥(22𝑥)= log2𝑥(202𝑥).
Giá trị của log20𝑥(22𝑥) có thể viết dưới dạng log10(𝑚
𝑛), với 𝑚 và 𝑛 là các số nguyên dương nguyên
tố cùng nhau. Tính 𝑚+𝑛.
Bài 5. Đánh dấu 20 điểm phân biệt trên một đường tròn bằng các số từ 1 đến 20 theo chiều kim
đồng hồ. Mỗi cặp điểm có hiệu hai số là một số nguyên tố được nối bởi một đoạn thẳng. Tìm số
tam giác có cạnh là các đoạn thẳng trên và các đỉnh là các điểm đã cho.
Bài 6. Cho các số thực 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ ∙∙∙ ≤ 𝑥100 thỏa mãn |𝑥1|+ |𝑥2|+ ∙∙∙+ |𝑥100|=1 và 𝑥1+
𝑥2+ ∙∙∙ + 𝑥100 =0. Giả sử giá trị lớn nhất của hiệu 𝑥76 − 𝑥16 có thể nhận được là 𝑚
𝑛, với 𝑚 và
𝑛 là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính 𝑚+𝑛.
Bài 7. Cho đường tròn bán kính 6 đơn vị tiếp xúc ngoài một đường tròn bán kính 24 đơn vị. Tìm
diện tích tam giác được giới hạn bởi ba đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho.
Bài 8. Tìm số các số nguyên dương 𝑛≤600 sao cho 𝑛 được xác định duy nhất nếu biết trước các
giá trị ⌊𝑛
4⌋, ⌊𝑛
5⌋ và ⌊𝑛
6⌋. Trong đó, kí hiệu ⌊𝑥⌋ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng số thực 𝑥.
Bài 9. Cho hai đường thẳng phân biệt 𝑙𝐴 và 𝑙𝐵 song song với nhau. Với các số nguyên dương 𝑚
và 𝑛, ta lấy các điểm phân biệt 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3,…, 𝐴𝑚 nằm trên đường thẳng 𝑙𝐴 và các điểm phân biệt
𝐵1, 𝐵2, 𝐵3,…, 𝐵𝑛 nằm trên đường thẳng 𝑙𝐵. Đồng thời khi vẽ các đoạn thẳng 𝐴𝑖𝐵𝑗 với mọi 𝑖=
1,2,3,…,𝑚 và 𝑗=1,2,3,…,𝑛 thì không điểm nào ở giữa hai đường thẳng 𝑙𝐴 và 𝑙𝐵 nằm trên nhiều
hơn hai đoạn thẳng đã vẽ. Hỏi mặt phẳng bị chia thành bao nhiêu phần có diện tích hữu hạn khi
𝑚=7 và 𝑛=5? Hình dưới đây chỉ ra rằng mặt phẳng bị chia thành 8 phần có diện tích hữu hạn
khi 𝑚=3 và 𝑛=2.
Bài 10. Tìm số dư khi chia ((3
2)
2) + ((4
2)
2) + ⋯+ ((40
2)
2) cho 1000. Trong đó (𝑎
2) là tổ hợp
chập 2 của a.
Bài 11. Cho tứ giác lồi ABCD với AB = 2, AD = 7 và CD = 3 sao cho tia phân giác của các góc
nhọn 𝐷𝐴𝐵
và 𝐴𝐷𝐶
cắt nhau tại trung điểm của BC. Tìm bình phương của diện tích tứ giác ABCD.
Bài 12. Cho các số thực a, b, x và y thỏa mãn a > 4; b > 1 và 𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑎2−16 = (𝑥−20)2
𝑏2−1 +(𝑦−11)2
𝑏2= 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của a + b.
Bài 13. Cho đa thức 𝑃(𝑥) với các hệ số nguyên thỏa mãn
𝑃(𝑥)= (𝑥2310−1)6
(𝑥105−1)(𝑥70−1)(𝑥42−1)(𝑥30−1) với mọi giá trị 0 < x < 1.
Tìm hệ số của 𝑥2022 trong đa thức 𝑃(𝑥).
Bài 14. Bộ sưu tập tem là tập hợp các con tem có mệnh giá a, b hoặc c đồng, mỗi loại mệnh giá
có ít nhất một con tem; trong đó a, b và c là các số nguyên dương thỏa mãn 𝑎<𝑏<𝑐. Một bộ
sưu tập được gọi là ĐẸP nếu với mọi số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 1000 đồng, ta có thể
lấy ra từ bộ sưu tập một số con tem có tổng giá trị là số nguyên dương đó. Gọi f(a, b, c) là số tem
nhỏ nhất có thể của một bộ sưu tập ĐẸP với các bộ số a, b và c cho trước. Tìm tổng ba giá trị nhỏ
nhất của c sao cho tồn tại a, b để f(a, b, c) = 97.
Bài 15. Cho hai đường tròn 𝜔1 và 𝜔2 tiếp xúc ngoài với các tâm lần lượt là 𝑂1 và 𝑂2. Đường tròn
thứ ba Ω đi qua 𝑂1 và 𝑂2, cắt 𝜔1 tại B và C, cắt 𝜔2 tại A và D như hình vẽ dưới đây. Giả sử rằng
AB = 2, 𝑂1𝑂2 = 15, CD = 16 và 𝐴𝐵𝑂1𝐶𝐷𝑂2 là một lục giác lồi. Tính diện tích của lục giác đó.
MAA American Mathematics Competitions
40th Annual
AIME II
American Invitational Mathematics Examination II
Wednesday, February 16, 2022
INSTRUCTIONS
1. DO NOT OPEN THIS BOOKLET UNTIL YOUR COMPETITION MANAGER TELLS
YOU TO BEGIN.
2. This is a 15-question competition. All answers are integers ranging from 000 to 999, inclusive.
3. Mark your answer to each problem on the answer sheet with a #2 pencil. Check blackened
answers for accuracy and erase errors completely. Only answers that are properly marked
on the answer sheet will be scored.
4. SCORING: You will receive 1 point for each correct answer, 0 points for each problem left
unanswered, and 0 points for each incorrect answer.
5. Only blank scratch paper, rulers, compasses, and erasers are allowed as aids. Prohibited
materials include calculators, smartwatches, phones, computing devices, protractors, and
graph paper.
6. Figures are not necessarily drawn to scale.
7. Before beginning the competition, your competition manager will ask you to record your
name on the answer sheet.
8. You will have 3 hours to complete the competition once your competition manager tells you
to begin.
9. When you finish the competition, sign your name in the space provided on the answer sheet.
The MAA AMC Office reserves the right to disqualify scores from a school if it determines that
the rules or the required security procedures were not followed.
The publication, reproduction, or communication of the problems or solutions of this competi-
tion during the period when students are eligible to participate seriously jeopardizes the integrity
of the results. Dissemination via phone, email, or digital media of any type during this period
is a violation of the competition rules.
A combination of your AIME score and your AMC 10/12 score is used to determine eligibility for
participation in the USA (Junior) Mathematical Olympiad.
© 2022 Mathematical Association of America