SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN ĐỘI TUYẾN HƯNG YÊN DỰ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP QUỐC GIA NĂM HỌC 2023 - 2024
m Môn thi: TOÁN ĐÈ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: I8U phút (không kể thời gian giao đê) (Đề thi có 01 trang, gôm 04 câu)
Ngày thi thứ nhất: 28/8/2023
Xạ=xị = Câu 1: (%0 điềm) Cho đây số (x,) dương ngơ chủ 1y uy „ BÚ! tU§N Ly eNÝ X„ Xn_IẤ„
a) Xác định công thức số hạng tổng quát của (x„).
b) Đặt w„ =—Ÿ`x,. Tính lim(ø, 9, C ¡=|
Câu 2: (5,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương lẻ (a,b) , a;Ö <2”” thỏa mãn a°+b:2 và Ù“ + H2, Câu 3: (5,0 điểm) Tam giác nhọn không cân 4BC có trực tâm #7 và đường tròn ngoại tiếp (O), đường phân giác trong của góc BAC cắt BC tại K. Điểm Q nằm trên đường tròn (Ø) sao cho 4@.LOK. Đường tròn ngoại tiếp tam giác A4QH cắt AC,4B lần lượt tại Y,Z. Gọi 7 là giao điểm của BY và CZ , P là giao điểm của YZ và BC. a) Chứng minh rằng cố c
PFố H b) Chứng minh rằng TH L KA. Câu 4: (5,0 điểm) Cho a,ö,e >0 thỏa mãn ab+ be+a =1. Chứng minh rằng:
l l l
——-#—>
a+b b+c c+a qa+b+c

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỶ THỊ CHỌN ĐỘI TUYẾN
HUNG YÊN DỰ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP QUỐC GIÁ S S— NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐẺ CHÍNH THÚC Môn thì: TOÁN
Thời gian làm bài: ISU phút (khỏng kẻ thời gian giao đẻ) (Đè thi có (0E trang, gồm 03 cáu) Ngày thị thứ hai: 29/8/2023
Câu I. (6,0 điểm)
Tìm tắt cả các hàm số ƒ : (0;+ œ) — (0;+ œ) thỏa mãn
ƒZ(#(y))+/(y°/())=xv+xy””, Yx,y e(0:+). Câu 2. (7,0 điểm) Cho tam giác 4BC nội tiếp đường tròn (Ó). Đường tròn nội tiếp (1) của tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với 8C, CA, 4B tại D, E,£. Biết 47 cắt 8C tại $ và cắt (Ø) tại điểm thứ hai là A⁄. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác 8SÄ⁄, CSM⁄ cắt Ä⁄E, MF tương ứng tại K và L (K,L khác Àí). a) Chứng minh rằng bốn điểm 7, L, Š, K cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi 7 là giao điểm thứ hai của AZD với (OØ). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác 7K tiếp xúc với (O). Câu 3. (7,0 điểm)
Cô giáo có tất cả 2278 viên kẹo thuộc về & loại kẹo khác nhau. Cô chia cho các học sinh của mình mỗi người một số viên kẹo và không có học sinh nào nhận nhiều hơn một viên kẹo ở cùng một loại kẹo. Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bắt Kỳ so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số loại kẹo mà cả hai cùng có lên bảng, Biết rằng mỗi cặp học sinh bát kỷ đều được lên bảng đúng một làn. Gọi tống các số được viết lên bảng là A⁄. Xác định giá trị nhỏ nhất của Ä/ trong mỗi trường hợp sau:
a) k=67. b) k=ó8. ———HỆT —_