Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12

Chia sẻ: Pham Linh Dan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 mời các phụ huynh hãy tham khảo để giúp con em mình củng cố kiến thức cũng như cách giải các bài tập nhanh nhất và chính xác1 nhất. Chúc các em thành công!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12

Së Gi¸o dôc - §µo t¹o §Ò thi chän häc sinh giái líp 12 THpt Th¸i B×nh M«n thi: To¸n ®Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Câu 1. (3 điểm) 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y  x  3 x  2 () 2. Gọi d là đường thẳng đi qua M(2;0) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d cắt () tại 4 điểm phân biệt. Câu 2. (4 điểm)  x1  1  1. Cho dãy số (xn) xác định bởi:  2008 với n  1 .  x n 1  1  1  x  n Chứng minh rằng (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó. 2. Tìm m để phương trình: x  y  2x(y  1)  m  2 có nghiệm. Câu 3. (2 điểm) 1 Cho  a, b,c, d  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4  1  1  1  1 F  log a  b    log b  c    log c  d    log d  a    4  4  4  4 Câu 4. (3 điểm) 1. Giải phương trình: x 2  x  2008 1  16064x  2008 2. Tìm nghiệm của phương trình cos x  sinx  cos2x 1  sin 2x  0 thỏa mãn: 2008  x  2009 Câu 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC biết A(1; 2), hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt có phương trình là: (d1 ) : 3x  y  3  0 và (d 2 ) : x  y  1  0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. Câu 6. (4 điểm) Cho một tam diện vuông Oxyz và một điểm A cố định bên trong tam diện. Gọi khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz, Ozx, Oxy lần lượt là a, b, c. Một mặt phẳng (α) qua A cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P. a b c 1. Chứng minh rằng:   1 OM ON OP 2. Xác định vị trí của mặt phẳng (α) để thể tích của tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ nhất. Khi thể tích tứ diện OMNP nhỏ nhất, hãy chỉ rõ vị trí điểm A. 2 3. Chứng minh rằng:  MN  NP  PM   6  OM 2  ON 2  OP 2  0  a  b  c  d Câu 7. (2 điểm) Cho  . Chứng minh rằng: a b .bc .cd .da  a d .d c .cb .ba  bc  ad --- Hết --- Họ và tên thí sinh: ................................................................. Số báo danh: ................
– 2010 Bµi 1: (6 ®iÓm) Bµi 2: (3 ®iÓm) Bµi 3: (4 ®iÓm) Bµi 4: (5 ®iÓm) Bµi 5: (2 ®iÓm)
3®
3®
ài 2 Cho c¸c gãc cña tam gi¸c ABC tho¶ m·n: 3® 2 2 2005 sin sin sin BiÕt gãc A, B nhän. TÝnh gãc C. + Do C là gãc cña tam gi¸c nªn 0 sin C 1 2005 sin C sin C 1 2 (1) sin 2 A sin 2 B sin 2 C 4R 2 sin 2 A 4R 2 sin 2 B 4R 2 sin 2 C a2 b2 c2 a 2 b 2 a 2 b 2 2.a.b.cosC cosC 0 (2) 1 + Chøng minh: sin 2 A sin 2 B sin 2 C 2.cos A.cos B.cosC 1 2 Do ®ã: sin C sin 2 C 2 2.cos A.cos B.cosC (*) 2005 Cã: 2005 sin C sin 2 C 2 2 2.cos A.cos B.cos C 2 cos A.cos B.cosC 0 1 cosC 0 (3) (v× A, B nhän cosA>0, cosB>0) 2 Tõ (2) vµ (3) cos C 0 C 90 0 1 2 Bµi 3: Trong hÖ trôc to¹ ®é 0xy cho 3 ®iÓm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) víi 2® a>0, b>0. 1/ ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn tiÕp xóc víi AB t¹i B. Gi¶ sö ®êng trßn (C): (x )2 (y )2 R 2 tho¶ m·n ®Çu bµi 1 + Cã AB, AC ®èi xøng nhau qua 0y I( ; ) 0y nªn =0 2 b2 IB.AB 0 + (C) tiÕp xóc víi AB t¹i B a R AB R b2 2 b2 a b4 R b2 a2 1
2 b2 2 b4 1 VËy ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh: x y b a a2 2 2- Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®êng trßn ë c©u 1/. Gäi d1 , d 2 , d 3 2® lÇn lît lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn AB, AC vµ BC x y + Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB: 1 ax by ab 0 b a x y Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AC: 1 ax by ab 0 1 b a Ph¬ng tr×nh BC: y=0 2 2 2 b2 2 b4 + Gäi M(x 0 ;y 0 ) (C) x 0 y0 b a a2 b2 x2 0 y2 .y 0 b 2 0 0 2. a 1 a 2 .x 2 a 2 y 2 2a.b 2 .y 0 a 2 .b 2 0 0 0 (1) 2 | ax 0 by 0 ab | | ax 0 by 0 ab | d1 ;d 2 ;d3 | y 0 | 2 2 2 2 a b a b Khi ®ã: 2 2 2 2 2 2 | a 2 x 2 (by 0 ab)2 | | a x 0 b y 0 2a.b 2 .y 0 a .b | 0 d1 .d2 (2) a2 b2 a2 b2 Tõ (1) a 2 x 2 a 2 y 2 2.a.b 2 .y 0 a 2 b 2 0 0 0 a 2 x2 0 2.a.b 2 .y 0 a 2 b 2 a2y2 0 (3) | a2 y2 b2 y2 | Thay (3) vào (2) ta cã: d1 .d 2 2 0 2 0 | y 0 |2 d3 2 a b Bµi 4 1- Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2004 2006 x 2.2005x x 2® Gi¶ sö x0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2004 x0 2006 x0 2.2005 x0 1 x0 x0 x0 x0 2006 2005 2005 2004 2 x0 x0 §Æt: f(t) (t 1) t f(t) liªn tôc trªn R Nªn f(t) liªn tôc trªn 2004;2005 vµ cã f(2005) f(2004) 1 Vµ: f '(t) x 0 (t 1)x0 1 x 0 t x0 1 x 0 (t 1) x0 1 t x0 1 2 Nªn 2004;2005 ®Ó f'( )=0 x0 ( 1)x0 1 x0 1 0 x0 0 x0 0 x0 0 1 ( 1) x0 1 x0 1 x0 1 0 x0 1 2
Thö l¹i x 0 0, x 0 1 tho¶ m·n. 1 KÕt luËn: NghiÖm ph¬ng tr×nh: x=0, x=1 2 2- Víi gi¸ trÞ nµo cña m bÊt ph¬ng tr×nh: 3® log 2 x 2 2x m 4 log 4 (x 2 2x m) 5 nghiÖm ®óng víi x 0;2 x 2 2x m 0 §iÒu kiÖn: x 2 2x m 1 1 2 log 4 (x 2x m) 0 4 Bpt log 4 (x 2 2x m) 4 log 4 (x 2 2x m) 5 (1) §Æt t log 4 (x 2 2x m) ®k: t 0 t2 4t 5 0 1 Bpt (1) 0 t 1 t 0 2 2 log 4 (x 2 2x m) 0 0 log 4 (x 2x m) 1 log 4 (x 2 2x m) 1 x 2 2x m 1 1 2 x 2x m 4 2 Do ®ã ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho nghiÖm ®óng x 0;2 x 2 2x m 1 nghiÖm ®óng x 0;2 x 2 2x m 4 x 2 2x 1 m 1 2 nghiÖm ®óng x 0;2 x 2x 4 m 4 M in f(x) 1 m x 0;2 (víi f(x)=x 2 2x) Max f(x) 4 m x 0;2 XÐt f(x) x 2 2x víi 0 x 2 Cã: f '(x) 2x 2 f(x) 0 x 1 B¶ng biÕn thiªn: x - 0 1 2 + f’(x) - 0 + f(x) 0 0 1 -1 2
M in f(x) 0 x 0;2 Max f(x) 1 x 0;2 1 1 m m 2 Do ®ã (*) 2 m 4 0 4 m m 4 1 KÕt luËn: 2 m 4 2 Bµi 5: XÐt c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n: 2® x 3 x 1 3 y 2 y H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P x y Gi¶ thiÕt (1): x y 3 x 1 y 2 x y P XÐt hÖ: (I) 1 3( x 1 y 2) P 2 u x 1 0 §Æt: v y 2 0 P u v 3(u v) P 3 HÖ (I): (II) u2 v2 P 3 1 P2 1 u.v P 3 2 9 2 HÖ (I) cã nghiÖm khi vµ chØ khi hÖ (II) cã nghiÖm u,v: u 0, v 0 2 P 1 P t2 t P 3 0 3 2 9 1 2 2 18t 6Pt P 9P 27 0 cã 2 nghiÖm kh«ng ©m 2 ' 0 c 9 3 21 0 P 9 3 15 a 2 b 0 a 9 3 21 1 KÕt luËn: Min P , MaxP 9 3 15 2 2
Câu I: ( 3 điểm) 1 x Cho hàm số y có đồ thị (C). x 2 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A,B ( A B) sao cho OA = 3 OB. 2. Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận, đường thẳng d qua I có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng khi đó I là trung điểm của A, B. 3. Tìm 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho khoảng cách MN nhỏ nhất. Câu II: ( 2 điểm) log 2 ( x 2 3x ) log 1 ( x 2 2 3x ) 2 Giải phương trình: 2 2 1. Câu III: ( 2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB. M là trung điểm của AB và cạnh bên tạo với đáy góc 450. 1. Chứng minh rằng SM (SAB) và tam giác SAB đều. 2. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Câu IV: ( 2 điểm) 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x – lnx trên ; e . 4 Câu V: ( 1 điểm) a b a Cho a b 0. Chứng minh rằng: 2 1 2b 1 . ------------------------ Hết -----------------------
SỞ GD & ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ LỚP 12 TRƯỜNG THPT Năm học 2005-2006 MAI ANH TUẤN Môn: Toán. Bảng A-B (Thời gian làm bài 180 phút) x 2  2x  2 Câu I. (5 điểm). Cho hàm số y x 1 1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. x y 2, Chứng minh đường thẳng (d):  2 1 1 có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó. Câu II. (4 điểm). 1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình  x  my  m  2 2 x  y  x Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2) tìm m để P  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 lớn nhất.
1 x 2 1 2 x 1 1 2, Giải phương trình: 2 x2 2 x2   2 x Câu III. (5 điểm) 1, Đường thẳng (d) cắt Parabol (P): y  x 2  2x  3 tại hai điểm phân biệt A, B lần lượt có hoành độ x1; x2 giả sử x1
Câu V. (2 điểm). Qua đường cao hình tứ diện đều dựng một mặt phẳng cắt ba mặt bên tứ diện theo ba đường thẳng tạo với đáy tứ diện lần lượt góc ỏ, õ, ó. Chứng minh: tg 2  tg 2   tg 2   2 .