SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU
MA TRẬN KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II MÔN: Toán 11 (Bộ sách Cánh Diều) Thời gian: 90 phút, không kể thời gian phát đề Áp dụng từ năm học 2023 – 2024 (Tham khảo)
I. CHỦ ĐỀ CHÍNH A. Đại số ChươngV: Một số yếu tố thống kê và xác suất
1. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm. 2. Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập, các quy tắc tính xác suất.
Chương VI: Hàm số mũ, hàm số lôgarit
1. Phép tính luỹ thừa với số mũ thực. 2. Phép tính lôgarit. 3. Hàm số mũ, hàm số lôgarit.
B. Hình học Chương VIII: Quan hệ vuông góc
1. Hai đường thẳng vuông góc. 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện.
II. MA TRẬN
Nhận biết và thông hiểu
Chủ đề
Cộng
Nhận biết (Cấp độ 1)
Thông hiểu (Cấp độ 2)
Cấp độ cao (Cấp độ 4)
Tổng hợp chương
Nội dung kiến thức vận dụng Cấp độ thấp (Cấp độ 3) - Các quy tắc tính xác suất. - Tính xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản.
Chủ đề 1 Một số yếu tố thống kê và xác suất
- Các khái niệm: mẫu số liệu ghép nhóm, tần số, tần số tích luỹ. - Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm. - Các khái niệm: biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc, biến cố độc lập. - Các quy tắc tính xác suất. - Tính xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản.
1 0, 2 2%
8 1, 6 16% 3 2, 0 20%
Số câu TN Số điểm Tỉ lệ Số câu TL Số điểm Tỉ lệ Chủ đề 2 Hàm số mũ, hàm số lôgarit
2 0. 4 4% 1 0, 5 5% - Sử dụng được các tính chất luỹ thừa rút gọn biểu thức. - Sử dụng các tính chất phép toán lôgarit rút gọn hoặc
5 1. 0 10% 2 1, 5 15% - Các tính chất luỹ thừa với số mũ thực. - Định nghĩa và các tính chất phép tính lôgarit. - Tìm tập xác định của hàm số lôgarit.
1
Nhận biết và thông hiểu
Chủ đề
Cộng
Nhận biết (Cấp độ 1)
Thông hiểu (Cấp độ 2)
Cấp độ cao (Cấp độ 4)
- Đồ thị hàm số mũ, hàm số lôgarit, sự biến thiên.
Nội dung kiến thức vận dụng Cấp độ thấp (Cấp độ 3) tính giá trị của một biểu thức. - Bài toán thực tế.
6 1, 2 12% 3 1, 5 15%
Tổng hợp chương
Số câu TN Số điểm Tỉ lệ Số câu TL Số điểm Tỉ lệ Chủ đề 3 Quan hệ vuông góc
4 0, 8 8% 2 1, 0 10% - Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. - Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện.
2 0. 4 4% 1 0, 5 5% - Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng. - Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện. (Gợi ý câu tự luận: cho hình chóp có đáy là hình vuông hoặc chữ nhật, có cạnh bên vuông góc mặt phẳng đáy)
1 0. 2 2%
4 0, 6 6% 2 1, 5 15%
1 0. 2 2% 1 0, 5 5%
6 1, 2 12% 3 2, 0 20%
Số câu TN Số điểm Tỉ lệ Số câu TL Số điểm Tỉ lệ Bài toán tổng hợp
Sử dụng kiến thức tổng hợp trong chương trình SGK
1 0, 5 5%
Số câu TN Số điểm Tỉ lệ Số câu TL Số điểm Tỉ lệ Tổng số câu Số điểm Tỉ lệ
13TN + 6TL 6, 6 66%
5TN+3TL 2, 5 25%
1 0, 5 5% 2TN+1TL 0, 9 9%
III. CẤU TRÚC ĐỀ
1. Trắc nghiệm: 20 câu x 0, 2 = 4, 0 điểm
2
2. Tự luận: 6, 0 điểm
Bài 1. (2, 0 điểm): Chủ đề 1 Bài 2. (1, 5 điểm): Chủ đề 2 Bài 3. (2, 0 điểm): Chủ đề 3 Bài 4. (0, 5 điểm): Tổng hợp
IV. HÌNH THỨC KIỂM TRA VÀ THỜI GIAN - Hình thức tự luận và trắc nghiệm. - Thời gian làm bài: 90 phút = 30 phút trắc nghiệm và 60 phút tự luận. Lưu ý: + Các trường tự soạn đề ôn tập theo ma trận đề trên. + Trong mỗi câu tự luận có thể gồm nhiều ý. + Học sinh làm phần trắc nghiệm lên phiếu trả lời trắc nghiệm, phần tự luận làm trên tờ giấy thi.
HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN THPT
3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU
ĐỀ MINH HỌA KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II MÔN: Toán 11 (Bộ sách Cánh Diều) Thời gian: 90 phút, không kể thời gian phát đề Áp dụng từ năm học 2023 – 2024 (Tham khảo)
I. Phần trắc nghiệm (4 điểm).
) 40,5;45,5
) 50,5;55,5
) 55,5;60,5
) 60,5;65,5
) 45,5;50,5
) 65,5;70,5
[
[
[
[
[
[
Câu 1. Cân nặng của học sinh ở lớp 11A được cho trong bảng sau:
10 7 16 4 2 3
Cân nặng Số học sinh
+
Cân nặng trung bình của học sinh ở lớp 11A gần bằng với giá trị nào sau đây? B. 53,82. C. 55,80. A. 51,81. D. 49,79.
P A B
P A B
.
−
+
B. A.
P A B
( P A ( P A
). ).
) )
( ) ( ) P A P B . ( ( ) P B P A
) ( ∪ = ) ( ∩ = P A B
) ∪ = ) ∪ =
( (
C. D. Câu 2. Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng? ( P B ( P B ).
P A B∪ bằng
P A B∩ =
0, 2
0,5
) ( P A =
)
)
(
. Xác suất . Câu 3. Cho A , B là hai biến cố độc lập, biết
A. 0,3. B. 0,5.
( C. 0,6.
D. 0,7.
Câu 4. Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết
1 5
2 7
rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là và . Gọi A là biến cố:
“Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố A là:
.
.
.
.
) ( P A =
) ( P A =
) ( P A =
) ( P A =
12 35
2 35
1 25
4 49
A. B. C. D.
Câu 5. Một bình đựng 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Xác suất để
được 2 quả cầu xanh và 2 quả cầu trắng là:
.
.
.
.
4 7
3 7
1 7
1 20
20
−
−
A. B. C. D.
(0,75)
.
0, 25
.
0, 25
0,75
1
1
.
.
)20
)20
(
C. D. B. Câu 6. Bài kiểm tra môn toán có 20 câu trắc nghiệm khách quan; mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Xác suất để học sinh đó trả lời sai cả 20 câu là )20 A. ( (
.
.
.
.
1 2
4 5
3 4
A. C. D. B. Câu 7. Trong nhóm 60 học sinh có 30 học sinh thích học Toán, 25 học sinh thích học Lý và 10 học sinh thích cả Toán và Lý. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ nhóm này. Xác suất để chọn được học sinh thích học ít nhất là một môn Toán hoặc Lý bằng 2 3
Câu 8. Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Gọi P là xác
suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng
1
.
.
.
.
115 231
118 231
100 231
1 2
5
6
B. C. D. A.
x
3.
x
.
x
(
x >
0)
được viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là Câu 9. Biểu thức
2 3 .x
5 2 .x
7 3 .x
5 3.x
3
=
B. C. D. A.
I
a
loga
là Câu 10. Cho a là số thực dương khác 1. Giá trị
I = 3.
I = 0.
I =
.
I = − 3.
1 3
A. B. C. D.
x
x
x
Câu 11. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
.
2 .x
y =
.
y
y
y =
(
)0,3 .
1 π
1 2
=
=
−
+ 7 1
2
7
>
A. B. C. D.
,
a
0
(
)
+ 2 2
− 2 2
a
a (
a . )
ta được kết quả là Câu 12. Rút gọn biểu thức
4.a
3.a
5.a
.a
−
x
x
x
=
= . Biểu thức
A. B. C. D.
x−+ 4
7
P
−
x
x
+ −
2 4.2
có giá trị bằng Câu 13. Cho 4
P =
.
P = −
P = − 2.
.
P =
2.
3 2
+ 5 2 − 8 4.2 5 2
2
y
log
x
A. B. C. D.
là x 2
3
Câu 1. Tập xác định của hàm số
; 3
)
\ .
)3;1− ) ( −∞ − ∪ +∞ . 1;
)
} { 3;1− . [ ] −∞ − ∪ +∞ . 1; ; 3
B. ( D. (
A. C. (
ABC (tham khảo hình
)
.S ABC có SA vuông góc ( ) ABC là góc giữa:
Câu 15. Cho hình chóp
′
′
′ (tham khảo hình bên), góc
bên). Góc giữa SB với ( A. SB và AB . C. SB và BC . B. SB và AC . D. SB và SC .
Câu 16. Cho hình lập phương
′ . ABCD A B C D và B C′
là giữa hai đường thẳng A B′
A. 90 .° C. 30 .° B. 60 .° D. 45 .°
2
S
.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh
=
=
=
3,
2
, AB a AD a
SA
a
2 bên SA vuông góc với đáy, (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phằng (
) SAB bằng
D
A
Câu 17. Cho hình chóp
B
C
A. 30 . B. 45 .
C. 60 . D. 90 .
Câu 18. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước?
D.Vô số. B. 2. A.1. C. 3.
.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Cạnh bên
=
Câu 19. Cho hình chóp
AB a SA a ,
3
,
,
SA vuông góc với đáy, của góc nhị diện [
= ] A BC S bằng
(tham khảo hình bên). Số đo
A. 30 . B. 45 .
′
′
C. 60 . D. 90 .
′ . Gọi M , N , P lần lượt là trung ′ ′ . Góc giữa hai đường thẳng MN và AP bằng
Câu 20. Cho hình lập phương
B. 90 .° C. 30 .° D. 45 .°
ABCD A B C D . điểm các cạnh AB , BC , C D′ A. 60 .°
3
ĐỀ MINH HỌA KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II MÔN: Toán 11 (Bộ sách Cánh Diều) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU
II. Phần tự luận (6 điểm).
0,6
0,8
) ( P A =
) ( P B =
và .
b) Tính xác suất của biến cố Bài 1.(2,0 điểm) 1) Cho A và B là hai biến cố độc lập. Biết A B∩ . a) Tính xác suất của biến cố A B∩ .
2) Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một đội gồm 3 học sinh tham gia phong trào. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
=
Bài 2.(1,5 điểm)
≠ . Tính giá trị của biểu thức
3
1
a
a> 0,
P
log
.
a
1 3 a
=
−
1) Cho
y
x
1).
log (2 2
=
=
2) Tìm tập xác định của hàm số
AB a AD a ,
3
a= 2 .
, SA vuông góc với đáy và
,
.SB
3) Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được không ít hơn 150 triệu đồng? Bài 3.(2,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA 1) Chứng minh BC vuông góc với 2) Tính góc giữa SC và ( ) ABCD . ] 3) Tính tan của góc nhị diện [ A BD S . ,
Bài 4.(0,5 điểm) ,x y và 0, 6 . Biết xác Ba xạ thủ bắn vào bia, mỗi người bắn một lần với xác suất trúng đích tương ứng là suất để ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng đích là 0,976 và xác suất để ba xạ thủ trên đều bắn trúng đích là 0,336 . Tính xác suất để có đúng hai xạ thủ bắn trúng đích. ---- HẾT ----
4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I MÔN: Toán 11 Thời gian: 90 phút, không kể thời gian phát đề
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 6.D 16.B 7.B 17.A 5.B 15.A 1.A 11.B 2.A 12.C 3.D 13.D 4.D 14.B 8.D 18.A 9.D 19.C 10.A 20.D
Câu 1. Cân nặng của học sinh ở lớp 11A được cho trong bảng sau:
) 45,5;50,5
) 50,5;55,5
) 55,5;60,5
) 60,5;65,5
) 65,5;70,5
) 40,5; 45,5
[
[
[
[
[
[
Cân nặng
10 7 16 4 2 3
Số học sinh
+
P A B
.
P A B
Cân nặng trung bình của học sinh ở lớp 11A gần bằng với giá trị nào sau đây? B. 53,82. C. 55,80. A. 51,81. D. 49, 79.
)
(
B. A.
) ∪ = ) ∩ =
) ∪ = ) ∪ =
( P A ( P A
( P B ( P B
) P A P B . ( ) P B
( (
( (
) )
− + P A B P A B D. C. Câu 2. Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng? ). ( ( ). P A ).
( P A =
) 0,5
) 0, 2
) P A B∪ bằng:
(
. Xác suất . P A B∩ = Câu 3. Cho A , B là hai biến cố độc lập, biết
A. 0,3. B. 0,5. D. 0, 7.
( C. 0, 6.
P A B∩
P B⇔
(
)
(
) 0, 4 =
( ∩ = P A B
A , B là hai biến cố độc lập nên: )
) ∪ =
( P A
(
( P B
)
(
+ − . P A B Lời giải ) ) ( = P A P B . ) 0, 7
Câu 4. Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết
.
.
.
.
và rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là . Gọi A là biến cố: 2 7 1 5
) ( P A =
) ( P A =
) ( P A =
) ( P A =
4 49
12 35
2 35
C. B. D. A. “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố A là: 1 25
Lời giải
A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. “
) P X = .
1 5
Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ.“ ⇒ (
) P Y = .
2 7
Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ.“ ⇒ (
Ta thấy biến cố ,X Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
( P A
)
( P X Y .
)
( ) P X P Y .
(
)
= = = = . 1 2 . 5 7 2 35
Câu 5. Một bình đựng 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Xác suất để được 2 quả cầu xanh và 2 quả cầu trắng là:
Trang 1/7
. . . . C. D. A. B. 4 7 3 7 1 20
(
) 4 CΩ = 10
=
=
1 7 Lời giải = Ta có n 210
90
( n A
)
Biến cố A : Được hai quả xanh, hai quả trắng ⇒
( p A
)
2 2 . C C 4 6 ( n A ( Ω n
) )
20
= ⇒ = . 3 7
)20
)20
(
(
)20
− − (0, 75) 1 . 0, 25 1 . 0, 25 C. D. B. . . Câu 6. Bài kiểm tra môn toán có 20 câu trắc nghiệm khách quan; mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để học sinh đó trả lời sai cả 20 câu. A. ( 0, 75
Lời giải
=
Gọi A là biến cố: “Học sinh đó trả lời sai cả 20 câu.”
0, 75
3 4
-Trong một câu, xác suất học sinh trả lời sai là: .
0, 75
)20
) ( P A =
(
⇒ .
. . . . C. D. B. A. 1 2 4 5 3 4
Câu 7. Trong nhóm 60 học sinh có 30 học sinh thích học Toán, 25 học sinh thích học Lý và 10 học sinh thích cả Toán và Lý. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ nhóm này. Xác suất để chọn được học sinh thích học ít nhất là một môn Toán hoặc Lý bằng 2 3 Lời giải
( n A B
( n A B
) ∪ =
( n B
( n C
)
)
)
∩ = − − = + = Ta có . 45 Gọi A là tập hợp “học sinh thích học Toán” Gọi B là tập hợp “học sinh thích học Lý” Gọi C là tập hợp ” học sinh thích học ít nhất một môn “ ( ) 30 25 10 + n A
Vậy xác suất để được học sinh này thích học ít nhất là một môn Toán hoặc Lý là:
( P C
)
( n C ( Ω n
) )
= = = . 45 60 3 4
Câu 8. Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng
. . . . A. B. C. D. 115 231 100 231 1 2 118 231
=
(
462
Lời giải
6 CΩ = ) 11
n Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng là một số lẻ ta có 3 trường hợp. Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 5 thẻ mang số chẵn có:
. Gọi A :”tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ”.
200
cách. Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ và 3 thẻ mang số chẵn có:
C
5 C = cách. 56. 6 3 3 C C = . 5 6 5 = 6 .5 30
+
=
cách. Trường hợp 2: Chọn được 5 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn có:
n A = + (
) 6 200 30
236
= Do đó . Vậy . P A = ) ( 236 462 118 231
Trang 2/7
6
5
3.
2 3 .x
x x . x ( x > 0) Câu 9. Biểu thức
5 3.x
3
=
A. được viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là 7 5 3 .x 2 .x C. D. B.
I
a
loga
I =
.
là: Câu 10. Cho a là số thực dương khác 1. Giá trị
1 3
A. B. I = 3. C. I = 0. D. I = − 3.
( log 3 2
)
3
+ ∞
;
.
.
.
= − có tập xác định là y x Câu 11. Hàm số
3 2
3 2
3 2
−∞ ;
−∞ ;
−
+ 7 1
7
2
A. B. C. D. .
(
)
+ 2 2
− 2 2
> ta được kết quả là , a 0 Câu 12. Rút gọn biểu thức
a a (
4.a
3.a
5.a
.a
−
x
x
x
A. a . ) B. C. D.
x−+ 4
−
x
x
P =
.
.
P = −
= = . Biểu thức có giá trị bằng P 7 Câu 13. Cho 4 + − 2 4.2
3 2
2
2
2
2
−
−
−
x
x
x
x
x
x
x−
x
A. B. C. P = 2. D. P = − 2. + 5 2 − 8 4.2 5 2
=
x 2.2 .2
x−+ 4
7
(
)
(
( = ⇔ +
)
−
x
x
x
− ⇔ + = 2 2 7 2 2 2 7 = 9 Ta có 4 Lời giải ) ( ⇔ + 2
x−+ 2
−
x
x
2
−
=
−
+
log
y
x
2
x
3
) + 5 2 − 8 4.2 (
= = = − 2 Như vậy 2 = ⇒ 3 P + − 2 4.2 + 5 3 − 8 4.3
)
\
)3;1−
là
A. B.
( (
) −∞ − ∪ +∞
( 1;
)
)
ABC (hình bên). Góc giữa
. ; 3 Câu 14. Tập xác định của hàm số { } 3;1− ] ( −∞ − ∪ +∞ ; 3 . [ 1; . D. . C.
)
ABC là góc giữa:
.S ABC có SA vuông góc (
Câu 15. Cho hình chóp ) SB với ( A. SB và AB . C. SB và BC . B. SB và AC . D. SB và SC .
′ ′ ′ là ABCD A B C D . và B C′ ′ , góc giữa hai đường thẳng A B′ Câu 16. Cho hình lập phương
A. 90 .° C. 30 .° B. 60 .° D. 45 .°
Trang 3/7
S
Câu 17. Cho hình chóp
= = AB a AD a , SA 3, 2 a
.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh = (tham ) SAB
D
A
2 bên SA vuông góc với đáy, khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phằng ( bằng A. 30 . B. 45 .
B
C
C. 60 . D. 90 .
Câu 18. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với
B. 2. C. 3. D.Vô số. đường thẳng ∆ cho trước? A.1.
Câu 19. Cho hình chóp
,
,
= = AB a SA a , 3 .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Cạnh bên (tham khảo hình bên). Số đo
] A BC S bằng
SA vuông góc với đáy, của góc nhị diện [
B. 45 . A. 30 .
C. 60 . D. 90 .
(
)
)
=
Lời giải ∩ = SBC ABC BC
= ⇒ 3
0 = SBA 60
[
] = SBA
SA AB
⇒ , SBA tan A BC S , , Ta có : ( ⊥ AB BC ⊥ SB BC
′ ′ ′ ′ . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC Câu 20. Cho hình lập phương ABCD A B C D . ′ . Góc giữa hai đường thẳng MN và AP bằng
B. 90 .° C. 30 .° D. 45 .° , C D′ A. 60 .° Lời giải
A'
B'
//AP MC′
Ta có tứ giác AMC P′
P
C'
⇒ .
D'
là hình bình hành nên ) ′ = NMC ( MN AP ,
) ( ′ = MN MC , Gọi cạnh hình vuông có độ dài bằng a . Xét tam giác C CM′
2
2
2
2
vuông tại C có
2 + C C MC
′ = = + = . ′ C M ′ C C + BC MB
B
a 3 2
M
A
N
a
2
2
D
C
=
+
=
′ C N
′ C C
CN
5 2
. Xét tam giác C CN′ vuông tại C có
2
2
2 Mà . MN = AC a = 2 2
2 − + MC MN ′ . MC MN 2
′ ′ C N ′ = = Xét tam giác C CM′ 2 2
=
° .
45
⇒ = 45 NMC′ có cos NMC ) ° ( ⇒ MN AP ,
II. Phần tự luận (6 điểm).
Trang 4/7
( P A =
) 0, 6
( P B =
) 0,8
Nội dung Bài Điểm và . 1) Cho A và B là hai biến cố độc lập. Biết
Bài 1 (2 điểm) A B∩ . A B∩ .
=
(
(
0,25x3
)
( P B
= − = = − = , = − 1 1 0,8 0, 2 1 0, 6 0, 4
( P B
)
) ∩ = ( P A ) ∩ =
= 0,25x2 0,25 = 0, 4.0, 2 0, 08. a) Tính xác suất của biến cố b) Tính xác suất của biến cố a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên ) ) ( = 0, 6.0,8 0, 48. P A B P A P B . ) ) ( = − P A 1 ) ( ) ( P A P B . b) Ta có ( P A B
) 3 CΩ = 9
=
=
70.
( Gọi A là biến cố : ‘‘Ba học sinh được chọn có cả nam và nữ’’ ( n A
)
1 + C C C C 5
2 5
2 4
1 4
= 2) Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một đội gồm 3 học sinh tham gia phong trào. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ. Số phần tử không gian mẫu n 84.
=
=
=
.
( P A
)
70 84
5 6
( n A ( Ω n
) )
=
0,25 0,25 Xác suất của biến cố A :
≠ . Tính giá trị của biểu thức
3
a
a> 0,
1
P
log
.
a
1 3 a
1) Cho Cho Bài 2 (1,5 điểm)
−
3
=
= −
=
= −
3
log
log
9 log
9
P
a
a
a
a
1 3
a
1 3 a
0,25x2
2) Tìm tập xác định của hàm số
= − y 1). x log (2 2
− > ⇔ >
2
x
1 0
x
.
1 2
= +∞ ; Hàm số xác định khi Vậy D 1 2
n
0,25x2
1,06
= ⇔ = , ta có Với 3) Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được là không dưới 150 triệu đồng? A = ≈ 1,5 6,96. 100.1, 06 150 150 log n
=
=
AB a AD a ,
3
0,25 0,25
SA
, SA vuông góc
Bài 3 (2 điểm)
)
ABCD .
] A BD S . ,
,
Vì gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng (tức 1 năm) nên n phải là số nguyên. Vậy ít nhất sau 7 năm thì bác An nhận số tiền ít nhất 150 triệu đồng. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, a= với đáy và 2 . BC SB⊥ 1) Chứng minh . 2) Tính góc giữa SC và ( 3) Tính tan của góc nhị diện [ 1)
⇒ ⊥ BC
SAB
(
)
⊥ BC AB ⊥
⊥
BC SA do
(
SA
ABC
)
(
)
Ta có :
( ( SAB
) SAB )
⊥ BC ⇒ ⊥ BC SB ⊂ SB
(hinh vẽ 0,25) 0,25 0,25
Trang 5/7
=
∩
SC
) ABCD
⊥
ABCD
SA
) ABCD C )
( ( Suy ra góc giữa SC và (
2) Do nên AC là hình chiếu của SC lên mp (
2
2
ABCD là SCA )
⊥
= = + = 0,25 0,25 0,25 Ta có , SCA tan = ⇒ 1 0 = SCA 45 AC AB BC a 2 SA AC ⊥ ∈ 3) Kẻ
SAM
BD
(
)
] = SMA
Ta có (do . ). Suy ra BD SM⊥ A BD S , , . Khi đó [ AM BD M BD ) ( ⊥ BD SA ⊥ BD AM
AB AD a 3 = = = = Ta có , SMA tan AM 4 3 3 . BD 2 SA 2 = AM a a 3
2
0,25 0,25
Bài 4 (0,5 điểm)
=
=
=
Ba xạ thủ bắn vào bia, mỗi người bắn một lần với xác suất trúng đích tương ứng là ,x y và 0, 6 . Biết xác suất để ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng là 0,976 và xác suất để ba xạ thủ trên đều bắn trúng là 0,336 . Tính xác suất để có đúng hai xạ thủ bắn trúng. Gọi
0, 6
)
)
iA độc lập với nhau và
( P A 1
iA là biến cố ‘‘ người thứ i bắn trúng’’ với ( x P A ; 2
Ta có các i = 1, 2,3 )
( = − 1
) ( . 1
2
1
2
⇒ − = = x . .0, 4
( P A
)
)
− ( 1) = ⇔ − − = − xy = − 1 x y y x
( ( ( P A P A P A 3 )( ) 1
) ( ⇔ − 1
( P A
)
( y P A ; 3 Gọi A là biến cố ‘‘ ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng’’ B là biến cố ‘‘ ba xạ thủ đều bắn trúng’’ C là biến cố ‘‘ có đúng hai xạ thủ đều bắn trúng’’ Ta có A là biến cố ‘‘ không có xạ thủ bắn trúng’’. Suy ra ) A A A A y . 1 3 ) ( P A
) 47 50
( P B
)
(
)
(
)
2
( P A P A P A 3
1
2
= ⇒ = = Tương tự (2) . . x y . = .0, 6 0,336 ⇒ = xy 3 50 ) B A A A 1 3 14 25
x + = y 3 2 Từ (1), (2) ta có :
=
+
2
= xy
⇒
+
+
−
=
y
.0, 6
xy
= .0, 4 0, 6
x
y
0,8
xy
0, 452.
)
A A A 3 1 2 ( − + x 1
)
(
)
Ta có : 0,25 0,25 + C A A A 1 3 ( ( = − P C 1 14 25 A A A 1 2 3 ) x y .0, 6
---- HẾT ----
Trang 6/7
