UBND QUẬN HỒNG BÀNG TRƯỜNG THCS QUÁN TOAN

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian: 90 phút Năm học: 2021 - 2022

(Đề thi gồm 01 trang - Học sinh làm bài ra giấy thi)

Bài 1 (2,0 điểm). Giải các hệ phương trình sau:

a) b)

Bài 2 (2,0 điểm).

(

1. Cho phương trình:

là tham số).

a) Giải phương trình với m = 2.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

Bài 3 (1,5 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 80m. Nếu giảm chiều dài 5m và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 135m2. Tính diện tích mảnh đất đó. Bài 4 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn cố định khác đường với cạnh

kính. Các đường cao của tam giác cắt nhau tại và cắt đường tròn

lần lượt tại . Tia cắt đoạn thẳng tại .

là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại

a) Chứng minh tứ giác tiếp tứ giác .

b) Chứng minh .

c) Chứng minh // .

chuyển động trên cung lớn thì đường tròn ngoại tiếp

d) Chứng minh rằng khi tam giác luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5 (0,5 điểm). Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

…Hết đề…

UBND QUẬN HỒNG BÀNG TRƯỜNG THCS QUÁN TOAN

HƯỚNG DẪN CHẤM, BIỂU ĐIỂM BÀI KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II Môn: Toán lớp 9 NĂM HỌC 2021–2022

Đáp án Bài Biểu điểm

a)

0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = .

1 (2,0đ) b)

0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = .

a) Xét phương trình

0,25 0,25 0,25 0,25 Với m = 2 phương trình (1) trở thành: Phương trình (2) có a = 1, b ' = –2, c = 3 = (-2)2 – 1.3 = 1 > 0 Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 2 + 1= 3, x2 = 2 – 1= 1 Vậy với m = 2 thì phương trình (1) có tập nghiệm là:

2 (2,0đ) 0,25 –1. (3m – 3) = 4 – 3m + 3 = 7 – 3m

b) Xét phương trình: có: a = 1, b ' = – 2, c = 3m – 3 = Phương trình (1) có nghiệm 0,25

Với m thì phương trình (1) có nghiệm. 0,25 0,25

Gọi chiều dài của mảnh đất hcn lúc đầu là x (m) (ĐK: 5 < x < 40) chiều rộng của mảnh đất hcn lúc đầu là y (m) (ĐK: 3 < y < 40) Diện tích của mảnh đất lúc đầu là x.y (m2) Vì chu vi của mảnh đất lúc đầu là 80 m nên ta có phương trình:

0,25 0,25

2(x + y) = 80 (1)

Chiều dài của mảnh đất sau khi giảm là: (x - 5) (m)

0,25

Chiều rộng của mảnh đất sau khi giảm là: (y - 2) (m)

Khi đó diện tích mảnh đất đã giảm đi 135 m2 nên ta có phương trình:

0,25

3 (1,5đ)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

0,25

0,25

Vậy diện tích của mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu là 25.15 = 375 m2 Vẽ hình đúng cho câu a

0,5

4 ( 4,0 điểm)

là các đường cao của tam giác

nên

a.(1,5 điểm) a) Vì

0,5

Xét tứ giác

, ta có:

0,25

0,25

và

0,25

là hai góc ở vị trí đối nhau nội tiếp đường tròn

thuộc đường tròn đường kính

Mà => Tứ giác (

)

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

là trung điểm của

.

0,25

b.(1,0 điểm) Tứ giác

nội tiếp đường tròn (câu a)

0,25

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

) hay

Xét

và

, ta có

(chung)

0,25 0,25

(cmt)

(g-g)

0,25

Vậy c.(0,5 điểm)

Vì AD, BE là các đường cao của tam giác ABC nên

0,25

Suy ra tứ giác ABDE nội tiếp được đường tròn

(1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

(2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK của đường

Nên Lại có tròn (O))

0,25

Từ (1) và (2) suy ra

, mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra d.(0,5 điểm) Gọi M là trung điểm của AB. Vì A, B cố định nên M là điểm cố định

Vì tam giác ADB vuông tại D nên

0,25

cân tại M.

nội tiếp =>

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung

Do đó Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có Có tứ giác BD)

Chứng minh được tứ giác

nội tiếp

=>

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BG)

Suy ra

0,25

điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp

Do đó tứ giác GMDE nội tiếp tam giác GDE

Vậy khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp tam giác GDE luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm M của AB.

Xét bài toán phụ chứng minh bất đẳng thức

với x, y > 0

(vì x > 0; y > 0) 0,25

(luôn đúng)

Từ bất đẳng thức luôn đúng

suy ra : vì x + y + z = 1 nên suy ra

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =

5 ( 0,5 đ)

Ta có với x> 0; y> 0 (theo câu a)

Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có:

(vì x + y + z = 1)

B = 0,25

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 14 khi x = y = z =

NGƯỜI RA ĐỀ TT CHUYÊN MÔN BAN GIÁM HIỆU Hoàng Thị Phương Bùi Thị Thuận Cao Thị Hằng