ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM Trường Phổ Thông Năng Khiếu
ĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN THI: TOÁN
Lớp 11. Thời gian: 90 phút
(Đề thi chung cho các lớp 11 Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, A, D)
2
Câu 1. a)Tính
lim x 2 →
x 2 x
5 x − 6 x +
6 + 16 −
b) Tính
x
2
+
(
)
lim x →−∞
2
+ 2 x
x
x
1 +
−
(
x 4 )( 1
y
=
Câu 2. Gọi (
)C là đồ thị của hàm số
. Viết phương trình đường thẳng (
)d tiếp xúc với (
)C tại
) 1 x 3 − 2 x +
; 4
(
) MM x −
Câu 3. a) Tính đạo hàm của hàm số
3
y
x
=
1 + −
x 2
Câu 4. Cho hình chóp
x SAB
. Tam giác ABS đều có tâm I ,
cos 2 x + 3 5 1 0 x− + = có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1. ) ( ) ABC ⊥
,
=
⊥
và tam giác ASC cân.
=
=
=
. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (
) ABC
b) Chứng minh phương trình .S ABCD , ( 2 AC BC AC BC a = . ) ( ABC SI ⊥ a) Chứng minh b) Chứng minh IS IA IB IC c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB SAC và ( ) d) Tính góc tạo bởi (
) ABC
Hướng dẫn giải
Câu 1.
2
a) Ta có
=
=
=
= −
lim x 2 →
lim x 2 →
lim x 2 →
2 2
3 8
3 8
1 10
x 2 x
x x
x x
x x
5 x − 6 x +
6 + 16 −
− −
− +
− +
2 3 − 2 8 +
( (
)( )(
) )
b) Ta có
2
(
)
( x ( x
) ) ( x 1 4 2 + ) ) ( 2 x x 1 +
(
x 2 + = − = lim x →−∞ lim x →−∞ + − + 2 x 2 x x 1 + − x 4 )( 1
)
2
(
) 1
2
)( x 2 4 + + ) ( x x 1 −
x 1 4 1 4 + + + + x 1 x 1 x ⎛ ⎜ ⎝ ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ = − = − = − 2 = − lim x →−∞ lim x →−∞ lim x →−∞ x 1 1 − − 1 x 1 x 2 x ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 2 x ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
Câu 2.
y
=
x 1 3 − x 2 +
1
Nguyễn Tăng Vũ http://vuptnk.tk
(
) 1
Ta có
2
) +
( 3 2 ) 2
M
Ta có
4
) ; 4 C − ∈ ⇒ − =
)
(
( M x M
x 1 ⇒ = − M
) 1 − 2 +
( 3 x x M
7
.
Ta có
7
=
) y′ − = 1
(
1 2
− +
)2
y
x= 7
3 +
y
x
7
1; 4 M − − là:
=
4 + − hay
)C tại
)d tiếp xúc với (
(
(
) 1
)
x x 3 2 − − 7 y ′ = = x x 2 + + (
( Vậy phương trình đường thẳng ( Câu 3.
a)
3
y
x
=
1 + −
cos 2 x +
2
2
sin
x
x
x 2 cos
x
2
−
+
x 2 (
sin
2sin
x
x
x
+
Ta có
y
′ =
−
=
+
− 2
2
2
1
1
3 2 3 x
3 2 3 x
+
+
2
x
x
+
+
)( (
) ) 2
+ (
2 cos x x 2 )
x
1
=
+ . Ta có f là hàm số liên tục trên (cid:92)
b) ( ) f x Ta có
f
f
13
=
Ta có
f
f
= −
( )3 39 0 < , suy ra phương trình
f x = có nghiệm trong khoảng ( ( ) 0
)1;3
x
1 0
3 5 x−
+ = có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.
3 5 x − ( )1 3 = − và ( ) ( ) 3 1 . Vậy phương trình Bài 4.
2
Nguyễn Tăng Vũ http://vuptnk.tk
S
F
I
C
B
E
D
A
AB⊥
.
SAB
⊥
( SAB
∩
a) Vì tam giác SAB đều và I là tâm tam giác đều nên SI ) ABC ( ) ABC
)
Ta có
) ( AB
ABC
( ⎧ ⎪ AB = ⎨ ⎪ ⊥⎩ SI SI ⇒ ⊥
(
) Gọi D là giao điểm của SI và AB thì D là trung điểm AB .
2
2
a
Tam giác ABC vuông cân tại C nên
AB AC =
=
SD
a
và
Ta có
3
CD
=
=
=
= AB a
AB . 3 2
1 2
2
2
2
SC
DC
SD
a
a
a
, suy ra
3
2
Ta có
=
+
=
+
=
SD CD
SD
ABC
⇒ ⊥
⊥
(
(
)2
2
a
=
nên cân tại S
) Tam giác SAC có SA SC = b)
Tam giác ABC vuông cân tại C có D là trung điểm AB nên
CD
AB DB DA
=
=
=
ABC và DA DB DC
1 2 nên ta có IA IB IC
.
=
=
=
=
)
.
=
=
IA IB IC
Vì D là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( Mặt khác I là tâm của tam giác đều SAB nên IA IB IS Vậy IS
=
=
=
3
Nguyễn Tăng Vũ http://vuptnk.tk
ABC là (cid:110)SCD .
Vì CD là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (
ABC nên góc giữa SC và mặt phẳng (
)
)
Ta có (cid:110) SCD sin
=
(cid:110) 0 SCD 60 =
SD a = SC 2
3 a
060
) ABC bằng
DF
∈
⊥
3 = ⇒ 2 Vậy góc giữa SC và mặt phẳng ( ( c) Vẽ . SC F SC
) ( )1
Ta có
SCD
AB DF
AB ⇒ ⊥
⇒ ⊥
(
)
( )2
AB SD ⊥ AB CD ⊥
⎧ ⎨ ⎩
Từ (1) và (2) ta có DF là đoạn vuông góc chung của SC và AB .
a
3
0
Ta có
.sin
(cid:110) FCD a
.sin 60
DF CD =
=
=
2
a
3
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB là
2
AC⊥
(do tam giác SAC cân tại S ) //DE CB
AC
.
DE ⇒ ⊥
ABC là góc giữa hai đường thẳng SE và DE .
d) Gọi E là trung điểm AC , ta có SE Trong tam giác ABC có DE là đường trung bình nên Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (
)
6
Ta có (cid:110) tan SED
=
= (cid:110) 067 47 ′ SED
=
⇒
=
SAC và ( ) 2 3 2
3 2
SD a = DE a
2
067 47′
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (
SAC và ( )
) ABC là
4
