SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT BỈM SƠN

Đề đề nghị: BẢNG A

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN

TOÁN LỚP 12

NĂM HỌC 2005 - 2006

(Thời gian làm bài 180 phút)

Bài 1: (4 điểm)

1) (Đề 48 I2 trong 150 đề tuyển sinh Đại học)

2

Tìm trên đồ thị hàm số y =

hai điểm A và B đối

x x

1

xứng nhau qua đường thẳng y = x -1

2) (Tự sáng tác)

Cho a, b, c  R với a  0 và m N* thoả mãn:

0

.

a 

m

4

m

2

b 

c m

Chứng minh rằng:

1

Đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c luôn cắt trục ox tại

ít nhất một điểm thuộc khoảng (0;1).

Bài 2: (5 điểm)

1) (Tự sáng tác)

Tìm tổng tất cả các nghiệm x  [1;100] của phương

trình:

4

4

)

sin

(

x

)

Sin

4

x

Sin4x + Sin4 ( x +

 ) + Sin4 (x + 4

 2

 3 4

3 2

2) ( Toán học tuổi trẻ năm 2003)

Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:

(cos

3

A

cos

B )3

(cos

2

A

cos

B )2

cos

A

cos

B

1 3

1 2

5 6

Hãy tính các góc của tam giác đó.

Bài 3: (4 điểm)

1) (Toán Bồi dưỡng giải tích tổ hợp của Hàn Liên Hải -

Phan Huy Khải)

5

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =

4

x 3 2  x

x

2

2)

(Tự sáng tác)

2

6

x

Giải phương trình: 3x2 + 1 + log2006

4 6

x 

 2 x

2 

x

1

Bài 4: (4 điểm)

2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy

1) ( Đề thi tuyển sinh vào ĐHXD - Hà Nội năm học

2000-2001)

Cho điểm A(4;0) và đường thẳng : 4x - 9 = 0. Chứng

minh rằng tập hợp các điểm M có tỷ số khoảng cách từ

đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng  bằng

4 là 3

một Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó.

2) ( Chuyên đề về hình học giải tích của Cam Duy Lễ -

Trần Khắc Bảo)

Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) và đường thẳng d di động

nhưng luôn đi qua tiêu điểm F của Parabol. Gọi M, N là

các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng

minh rằng đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với

một đường thẳng cố định.

Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa

Phan Huy Khải -Tập II)

3

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi

K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các

cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V1, V thứ tự là

thể tích của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số

V1 . V

4

5

6

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I ĐỀ THI HỌC

SINH GIỎI LỚP 12

MÔN: TOÁN – BẢNG A

Thời gian: 180 phút

Bài1: ( 4 điểm)

2

y

 2

xmx

2

x

2

Cho hàm số

1. Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi m =

3

2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực

đại tại một điểm xo<-2

Bài 2: ( 4điểm)

1. Tìm m để nghiệm của bất phương trình sau chứa

2;1

đoạn 

2

2

xm

3

x

 1

0

2

x

3

x

1

2. Giải bất phương trình:

2

2

2

x

4

x

6

2

x

4

x

6

2

x

4

x

6

m )2(

 1(

m

)

1(

m

)

Với 0 < m < 1

Bài 3: ( 4điểm)

1. Giải phương trình:

log

cos

x

log

sin

x

ãgonx

cos

x

1(

cos

x

)

1(

sin

x

)

2. Cho ABC. Tìm giá trị lớn nhất của sinC biết:

sin2A + sin2B = k sin2C Với k

>

1 2

Bài 4: ( 2 điểm)

Tìm các đa thức f(x) thoả mãn:

x.f(x-1) = (x-3) f(x)

Bài 5: ( 6 điểm)

1. Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm

F(3;2) và đỉnh S(2;1).

2. Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông. Gọi

H là hình chiếu của O lên đáy ABC. Chứng minh

rằng:

a)

2

2

2

2

1 OH

1 OA

1 OB

1 OC

2

2

2

2

ABC

OBC

OAC

OAB

S

S

S

S

b)

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC

SINH GIỎI KHỐI 12

Trường THPT Quảng Xương 1 MÔN: TOÁN-

BẢNG A - NĂM HỌC 2005 - 2006

(Thời gian 180 phút,

không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm)

4

2

y

3

x

(

C

)

(C

)

Cho hàm số:

và điểm M

có hoành độ

x 2

5 2

xM = a. Với giá trị nào của a thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại

M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.

2. Tìm m để phương trình

(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 2m +1 =0

Có nghiệm thoã mãn: x2 +6x + 7  0

Câu 2: (4 điểm)

1.Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn [-1; 2]

biết f(0) = 1 (1)

1

và f2(x).f’(x) = 1+ 2x +3x2 (2)

3

3

sin

x



2.

x 3sin. tg x  (

1 8

x cos   tg x ) ( 6

x . 3cos   ) 3

Câu 3: (4 điểm)

1. Giải phương trình :

2

2

log

(

x

2

x

)2

log

(

x

2

x

)3

2

3

22

3

x

2

x

3

2

3

x

(

)

2. Tìm:

lim  x

 x

 x

Câu 4: (4 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại

A AB = a,

các cạnh bên SA = SB = SC = a và cùng tạo với đáy một

góc .

Xác định cos

để thể tích hình chóp lớn nhất.

2. Tính các góc của ABC

biết

sin

sin

sin

A 3 2

CA  2

BA  2

3 2

2

Câu 5: (4 điểm)

2

x

x

I

ln

tg

e

 1(

 dx

2 )

1. Tính:

0

y



2. Trên trục toạ độ Oxy: Cho parabol (P):

và đường

2x 16

thẳng

)( : 3x – 4y + 19 = 0. Viết phương trình đường tròn

có tâm I thuộc đường thẳng

)( có bán kính nhỏ nhất và

tiếp xúc với parabol (P)

-------------------HẾT---------------------

Họ tên thí sinh: ................................................. Số báo

danh: ............................

3

4

THPT Qu¶ng X­¬ng 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

KỲ THI HỌC

SINH GIỎI LỚP 12 THPT

-----------------

---------------------

-------------------------

MÔN THI TOÁN BẢNG A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

-------------------------

Bài 1 (4 điểm)

1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm

2

y

số

hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450.

x  x

1

2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục

y

log

x

Ox của hình giới hạn bởi:

; x + y = 3; y = 0.

2

Bài 2 (4 điểm)

2

x

2

0

1. Tìm m để hệ

có nghiệm.

2

x

7

mx  7

0

 m  m

 mx 2  

   

2

x

2

x

 3

x

3

2. Giải phương trình

.

1

THPT Qu¶ng X­¬ng 3

Bài 3 (4 điểm)

1. Giải phương trình cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0.

2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:

cos

A

cos

B

cos

C

.

1 cos

cos

A

B

cos

C

13 6

Bài 4 (4 điểm)

x

x

log

x

3

x 

2

  5

  3 log

 

1. Giải phương trình 

.

3

5

3

 21

x

x

1

2. Tính

.

lim  0 x

 31 x

Bài 5 (4 điểm)

1. Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua

đường thẳng

có hai mặt phẳng vuông góc với

2 x

x 

 2

2 y

y 

 2 

03 01

z z

  

nhau tiếp xúc với mặt cầu.

2. Với a, b, c dương và 1 ≤   R, chứng minh rằng:

  1

 1

  1 b 1 

 c 1 

  1

 a   b

 c

 b   c

 a

c   a

 b

a 1   b

c

 c

  1 a

 a

  1 b

...........Hết...........

2

THPT Qu¶ng X­¬ng 3

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh ......................................... số báo danh

.........................

3

THPT Qu¶ng X­¬ng 3

4

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP

SỞ GD & ĐT

12 THPT

THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT

Bảng A

QUẢNG XƯƠNG II

(Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề).

Bài1: (4 điểm)

Cho hàm số f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C).

Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

1.

Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x=2 ta có

2.

thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C).

(Đại học ngoại thương khối A năm 2000).

Bài2: (4 điểm).

3

3

2

x

x2

x

1.

dx.

Tính I= 

0

2.

Cho f(x) = 2x + m + log2mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-

1.

Tìm m để f(x) có tập xác định là R.

Bài3: (4 điểm).

Giải phương trình: ln(sinx+1) = esinx-1.

Bài4: (2 điểm).

1z 

Giải hệ phương trình:

1y 

1x 

 x  y   z  

Bài5: (4 điểm).

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a.

Lấy M trong đoạn AD', N trong đoạn BD với

AM=DN=x, (0

1.

Chứng minh với x=

thì MN ngắn nhất.

2a 3

Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn

2. vuông góc chung của AD' và DB.

Bài6: (2 điểm).

Cho x,y,z

Chứng minh:

 ; 6 2

 

 

2

xsin

ysin

ysin

zsin

zsin

xsin

1

 xsin

 ysin

 zsin

1 2

  

  

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 =========***=========

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút

Câu1: (6 điểm)

Cho hàm số y= x3 + 4x2 + 4x +1.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b) Cho M(x0;y0) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị

tại M1 và M2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M1M2.

c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi

các tiếp điểm là M3 và M4. Viết phương trìng đường thẳng chứa M3 và

M4.

Câu 2: ( 5 điểm)

Giải các phương trình sau:

2

a) tgxsin2x - 2sin2x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1)

4 X = (2x2 – x +1)2x (2)

b)

Câu 3: ( 4 điểm)

 2

dx

Tính tích phân sau:

3

3

sin x 

x cos

x

sin

0

I =

Câu 4: ( 5 điểm)

Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong

không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách

đều điểm O.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12

MÔN: TOÁN

Câu 1: ( 6 điểm)

a) ( 2 điểm)

 TXĐ: D =R (0,25đ)

 Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 8x + 4

2 3

 (

;



)

 ;2(

)

y’ = 0 <=> x = -2; x= -

2 3

2 3

Hàm số đồng biến (-  ; -2) , nghịch biến (0.25).

 Cực đại, cực tiểu:

5 27

y





Cực tiểu tại: xCT = - Cực đại tại :) xCĐ = -2; yCĐ = 1. 2 ; yCT = - 3

lim  x

lim y x

Giới hạn ; (0.25đ)

 Tính lồi lõm và điểm uốn:

4 3

;

y’’ = 6x + 8 = 0 <=> x= -

4 3

4 ; +  ) 3

;

Hàm sô lồi từ (- ), lõm (-

4 3

11 27

Điểm uốn: I(- ) (0.25đ)

 Bảng biến thiên: (0,5đ)

4 - 3

2 +  3

x -  -2 -

y’ + 0 - - 0 +

11 27

y 1 + 

5 27

- 

4

2

A

-5

5

-2

-4

-6

 Đồ thị (0,5 đ)

b) ( 2điểm)

Gọi d qua M có hệ sô gọc k :

d: y=k(x-x0) + y0 (0,25đ)

Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng d là nghiệm của

3 + 4x0

2 + 4x0 +1

phương trình: x3 + 4x2 + 4x +1 = k(x-x0) + x0

<=> (0, 5 đ) x=x0

2 + 4x0 + 4 – k = 0 (1)

x2 + ( 4 + x0)x + x0

Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) => x1, x2 lần lượt là hoành độ

4

của M1, M2 =>

0 x 2

4

(0,75 đ) xI = -

3 0 x 2

4

) yI = y0 + k(

0 x 2

0

 I  x =

Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt <=>

3

8

x

0

f(x0) 0

2 x  0 4

2

x

4

k > (0,5)

0

x 8 0

k

c) ( 2đ)

Để thỏa mãn YCBT: <=> y’ = 3x2 + 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt (0,25đ)

4 3

7

<=> a> - (0,25đ)

4 9

8 x 9

x 8

Nhận xét: x3 + 4x2 + 4x + 1 = (3x2 + 8x +4)( )- (0,5đ)

8

x

7

)

Gọi M3(x3; y3), M4(x4; y4)

x 3 8

 3 9

4 9

7

(0,5đ) y3 = a(

x 4  8

8 4 x 9

4 9

)- y4 = a(

7

Vậy phương trình đường thẳng đi qua M3; M4 là:

x 8

4 9

8 x 9

y= a( ) + (0,5đ)

Câu 2: (4 đ)

  k (

k

z

)

 2

Đ/K : x  (0,25đ)

k

Chia 2 vế của phương trình cho cos2x (1) <=> tg3x -2tg2x = 3(1-tg2x+tgx) (1đ)

 4

k

3

<=> tgx=-1 <=> x=- (k z ) (0,5đ)

 3

tgx= x= (k z ) (0,5đ)

k

Vậy nghiệm của phương trình :

 4

k

x=- (k z )

 3

2 2 x

2

2

x 

2

x

x 

1

x= (k z ) (0,25đ)



a) (2) <=> (0.5đ)

1 8

Đặt 2x2 – x = t (t ) (0.25đ)

t

2

 t

1

t

2

 t

01

Phương trình trở thành:

t

2

 t

1

<=>

Khảo sát f(t) = (0.25đ)

1 = 2ln

f’(t) = 2tln2 – 1 =0 <=> 2t =

t 

f’(t) - 0 +

f(t)

Quan sát bản bíên thiên nhận thấy phương trình có tối đa 2 nghiệm t. (1đ )

Mặt khác f(0) = f(1) = 0

 Phương trình có 2 nghiệm t = 0; t= 1 (0.25đ)

 ; x=1 (0.25đ )

1 2

 x= 0 ; x=

 2

dx

Câu 3: (4 đ)

3

3

cos x 

x cos

x

sin

0

t

Xét J= (0.25đ)

 ) (0.75đ) 2

 4

 2

 2

Ta CM được I = J (đặt x=

2

2

2

sin

x

sin

x

cos

x

dx cos x

dtgx  x tgx

tg

1

cot

d 2 xg

cot 

gx cot

gx

1

0

0

 4

I+J = (0.75đ) =

1

1

td (

)

1 2

Đặt tgx(cotgx) = t

2

2

dt  t

1

t

0

0

t (

)

1 2

3 4

tgy

(0.75đ) =2   I + J =  2

1 = 2

3 2

4

Đặt t -

33

2

=> I + J = (0.75đ)

33

=> I= (0.75)

x

OM

4

OG

Câu 4: ( 6 điểm)

(0.5đ)

Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện MBCD;

MCDA; MDAB; MABC

4 OA '

OM

OB

OC

OD

OM

4 OG

OA

 x

OA

Ta có

(1đ)

x 

OB

Đặt

'OB =

4 OC

' x

OC

4 OD

' x

OD

4

(1đ)

Ta có: OA’ =OB’= OC’ = OD’

2

2

2

2

16

OA '

16

OB

'

16

OC

'

16

OD

'

2

2

2

2

(  x

) OA

(

x

OB

)

(

x

OC

)

(

x

OD

)

OAx

OBx

OCx

ODx

0x

O

 4

OM

OM

GM 5

GO

 (0.5đ)

=> (1.5đ)

=> => Vậy có 1 điểm M thoả mãn điều kiện đề ra. (0.5đ)