PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2023 - 2024
Môn: TOÁN 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. (4,5 điểm)
1) Thực hiện phép tính:
202.25 303.9 101.67+−
2) Tìm số tự nhiên x, biết:
( )
1 3 5 7 9 ... 2x –1 400+ + + + + + =
3) Tính giá trị biểu thức:
2 3 2023
2025
A1 2 2 2 ... 2
22
=+ + + + +
−
Bài 2. (4,5 điểm)
1) Tìm số nguyên tố p sao cho các số p + 2; p + 8 và p + 28 là các số nguyên tố.
2) Cho a, b là các số nguyên, chứng tỏ rằng nếu:
(2a 3b) 7+
thì
(8a 5b) 7+
3) Chứng minh phân số
2
2
2n 3
3n 5
+
+
là phân số tối giản với mọi số nguyên n.
Bài 3. (3,0 điểm)
1) Tìm hai số nguyên x và y, biết:
2) Số học sinh tham quan của một trường THCS khoảng từ 500 đến 800 em. Nếu
thuê các xe 30 chỗ thì thừa 22 ghế, nếu thuê các xe 35 chỗ thì thừa 27 ghế, nếu thuê các xe
45 chỗ thì thiếu 8 ghế. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan (biết rằng mỗi học sinh
ngồi một ghế).
Bài 4. (6,0 điểm)
1) Trên tia Ox lấy điểm A sao cho
OA 6cm=
. Vẽ Oy là tia đối của tia Ox, trên tia
Oy lấy điểm B sao cho
1
OB .OA
3
=
a) Tính độ dài đoạn thẳng OB.
b) Vẽ điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng tỏ
AB 4.OC=
2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 76 m được
chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các chiều dài bằng nhau và
các chiều rộng bằng nhau (như hình vẽ bên). Tính chiều dài và
chiều rộng của mảnh vườn ban đầu.
3) Cho
121
điểm phân biệt trong đó chỉ có
21
điểm thẳng hàng, ngoài ra không có 3
điểm nào khác thẳng hàng. Qua 2 điểm phân biệt ta kẻ 1 đường thẳng. Hỏi kẻ được tất cả
bao nhiêu đường thẳng phân biệt từ
121
điểm nói trên.
Bài 5. (2,0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau a, b, c biết:
2 2 2
a b c 5070+ + =
_____Hết_____
Họ và tên thí sinh: .......................................................... Số báo danh:..........
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Chữ kí cán bộ coi thi 1………………..……… Chữ kí cán bộ coi thi 2……..…………………
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2023 - 2024
Môn: TOÁN 6
(Gồm 05 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh
làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.
3. Bài hình học, thí sinh vẽ hình đúng ý nào thì chấm điểm ý đó, thí sinh vẽ sai
hình hoặc không vẽ hình thì cho 0 điểm bài hình đó.
4. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm
ý trên không đúng) để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì cho 0 điểm điểm ý đó.
5. Điểm của bài thi là tổng điểm các Bài làm đúng và tuyệt đối không làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
Bài/Ý
Nội dung
Biểu
điểm
Bài 1
(4,5 điểm)
1) Thực hiện phép tính:
202.25 303.9 101.67+−
2) Tìm số tự nhiên x, biết:
( )
1 3 5 7 9 ... 2x –1 400+ + + + + + =
3) Tính giá trị biểu thức:
2 3 2023
2025
A1 2 2 2 ... 2
22
=+ + + + +
−
1)
1,5 điểm
1) Ta có:
202.25 303.9 101.67+−
101.2.25 101.3.9 101.67= + −
0,50
101.50 101.27 101.67= + −
0,25
101.(50 27 67)= + −
0,25
101.10=
0,25
1010=
0,25
2)
1,5 điểm
2) Ta có:
( )
1 3 5 7 9 ... 2x –1 400+ + + + + + =
Với mọi
x
ta có 2x – 1 là số lẻ
Đặt
( )
M = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ 2x – 1
M là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1
0,50
Số số hạng của M là:
( )
2x –1–1 : 2 1 x+=
(số hạng)
( )
2
M 2x –1 1 .x : 2 x = + =

0,50
Mà
22
M 400 x 400 20= = =
0,25
x 20=
(Vì
x
). Vậy x = 20.
0,25
3)
1,5 điểm
3) Ta có:
2 3 2023
2025
A1 2 2 2 ... 2
22
=+ + + + +
−
Đặt B = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22023
Tính được B = 22024 – 1
0,50
Đặt C = 22025 – 2
Tính được C = 2.(22024 – 1)
0,50
Tính được A =
1
2
và kết luận.
0,50
Bài 2
(4,5 điểm)
1) Tìm số nguyên tố p sao cho các số p + 2; p + 8 và p + 28 là các số nguyên
tố.
2) Cho a, b là các số nguyên, chứng tỏ rằng nếu:
(2a 3b) 7+
thì
(8a 5b) 7+
3) Chứng minh rằng phân số
2
2
2n 3
3n 5
+
+
là phân số tối giản với mọi số nguyên n.
1)
1,5 điểm
1) Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 là hợp số (không thỏa mãn)
0,25
Nếu p = 3 thì p + 2 = 5, p + 8 =11, p + 28 = 31 là các số nguyên tố
(thỏa mãn)
0,25
Nếu p > 3 thì p có dạng 3k + 1; 3k + 2 (
*
k
)
0,25
Với p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3,
mà 3(k + 1) > 3 nên p + 2 là hợp số (không thỏa mãn).
0,25
Với p = 3k + 2 thì p + 28 = 3k + 30 = 3(k + 10) chia hết cho 3,
mà 3(k + 10) > 3 nên p + 28 là hợp số (không thỏa mãn).
0,25
Vậy p = 3 là giá trị cần tìm.
0,25
2)
1,5 điểm
2) Với a, b là các số nguyên, theo bài ra
(2a 3b) 7 4(2a 3b) 7 (1)+ +
0,50
Xét
4(2a 3b) (8a 5b) 8a 12b 8a 5b 7b+ − + = + − − =
0,25
Mà
7b 7
với
b
, nên
4(2a 3b) (8a 5b) 7 (2)+ − +
0,25
Từ (1) và (2) suy ra
(8a 5b) 7+
0,25
Vậy với a, b là các số nguyên và
(2a 3b) 7+
thì
(8a 5b) 7+
0,25
3)
1,5 điểm
3) Gọi ƯCLN
22
(2n 3,3n 5) d+ + =
với
*
d
2
2n 3 d+
và
2
3n 5 d+
0,50
2
3(2n 3) d+
và
2
2(3n 5) d+
0,25
22
2(3n 5) 3(2n 3) d + − +
0,25
1 d d 1 =
0,25
Vậy phân số
2
2
2n 3
3n 5
+
+
là phân số tối giản với mọi số nguyên n.
0,25
Bài 3
(3,0 điểm)
1) Tìm hai số nguyên x và y, biết:
2) Số học sinh tham quan của một trường THCS khoảng từ 500 đến 800 em.
Nếu thuê các xe 30 chỗ thì thừa 22 ghế, nếu thuê các xe 35 chỗ thì thừa 27
ghế, nếu thuê các xe 45 chỗ thì thiếu 8 ghế. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh
đi tham quan (biết rằng mỗi học sinh ngồi một ghế).
1) Ta có:
( ) ( )
6xy 2x 3y 1 2 1− + − = −
0,25
1)
1,5 điểm
( ) ( )
2x 3y 1 3y 1 2 1− + − = −
( )( )
3y 1 2x 1 1 (1)− + =
0,25
Vì x và y nguyên nên
( ) ( )
1à3 y 1 v 2x−+
đều là số nguyên (2)
Từ (1) và (2) ta có 2 trường hợp:
2
Th 1:3y 1 =1 th x +1 =1 y = 3
ì 2−
(loại)
0,50
)Th 2:3y 1= 1 th x +1= 1ì 2 thì x = 1 (t my = 0 (t / ) /m− − − −
0,25
Vậy
x1=−
và
y0=
0,25
2)
1,5 điểm
2) Gọi số học sinh đi tham quan là a (hs), đk:
500 a 800
,
a
0,25
Theo bài ra ta có:
( )
a 22 30 a 22 30 30 a 8 30
a 27 35 a 27 35 35 a 8 35 a 8 BC 30, 35, 45
a 8 45 a 8 45 a 8 45
+ + − −
+ = + − = − = −
− − −
0,50
Tìm được:
( )
BCNN 30, 35, 45 630=
0,25
Nên
( )
a 8 B 630 0; 630; 1260;... a 8; 638; 1268;...− = =
0,25
Vì
500 a 800
nên a = 638 (thỏa mãn)
Vậy số học sinh đi tham quan là 638 học sinh
0,25
Bài 4
(6,0 điểm)
1) Trên tia Ox lấy điểm A sao cho
OA 6cm=
. Vẽ Oy là tia đối của tia Ox,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho
1
OB .OA
3
=
a) Tính độ dài đoạn thẳng OB.
b) Vẽ điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng tỏ
AB 4.OC=
2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 76
m được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các
chiều dài bằng nhau và các chiều rộng bằng nhau
(như hình vẽ bên). Tính chiều dài và chiều rộng
của mảnh vườn ban đầu.
3) Cho
121
điểm phân biệt trong đó chỉ có
21
điểm thẳng hàng, ngoài ra
không có 3 điểm nào khác thẳng hàng. Qua 2 điểm phân biệt ta kẻ 1 đường
thẳng. Hỏi kẻ được tất cả bao nhiêu đường thẳng phân biệt từ
121
điểm nói
trên.
Vẽ hình:
0,50
a) Ta có
1
OB OA
3
=
mà
OA 6cm=
nên
1
OB .6 2(cm)
3
==
Vậy
OB 2(cm)=
.
0,50
O
C
y
x
B
A
1)
2,5 điểm
b) Vì điểm O nằm giữa hai điểm A và B nên
ta có: OA + OB = AB
hay 6 + 2 = AB
suy ra AB = 8 (cm)
0,25
Vì điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên
AB 8
BC 4(cm)
22
= = =
0,25
Vì điểm O nằm giữa hai điểm B và C nên
ta có: OB + OC = BC
hay 2 + OC = 4
suy ra OC = 4 - 2
OC = 2 (cm)
0,50
Vì
AB 8(cm)
OC 2(cm)
=
=
nên AB = 4.OC
Vậy AB = 4.OC
0,50
2)
2,0 điểm
2) Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật nhỏ lần lượt là a
và b (m) (a, b > 0).
0,25
Suy ra được chu vi mảnh vườn là:
(2a a 2b).2 76+ + =
Suy ra:
(3a 2b).2 76+=
6a 4b 76+=
0,50
Theo bài ra:
2a 5b=
suy ra
6a 15b=
0,25
Từ đó:
15b 4b 76+=
19b 76=
b4=
0,25
Suy ra:
a 10=
0,25
Khi đó:
2a 2.10 20==
,
a 2b 10 2.4 18+ = + =
0,25
Vậy chiều dài mảnh vườn là
20m
, chiều rộng mảnh vườn là
18m
0,25
3)
1,5 điểm
3) Qua
121
điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng ta vẽ được:
( )
121.120 : 2 7260=
(đường thẳng).
0,50
Qua
21
điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng
ta vẽ được:
( )
21.20 : 2 210=
(đường thẳng).
0,50
Do có
21
điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là:
210 1 209−=
(đường thẳng)
0,25
Vậy số đường thẳng cần tìm là:
7260 209 7051−=
(đường thẳng).
0,25
Bài 5
(2,0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau a, b, c biết:
2 2 2
a b c 5070+ + =
Vì
2 2 2
a b c 5070+ + =
là số chẵn nên trong ba số phải có ít nhất một
số chẵn.
0,25
Giả sử
2
a
là số chẵn
a
là số chẵn, mà
a
là số nguyên tố
a2=
.
0,25