TRƯỜNG THCS LÊ NGỌC HÂN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
MÔN: TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày kiểm tra: 21 tháng 5 năm 2021
Bài I( 2 điểm). Cho các biểu thức
4
3
x
Ax
+
=+
và
31
:
933
xx
Bxxx
+

= +

−+−

với
0; 9xx>≠
1. Tính A tại
1
9
x=
.
2. Chứng minh rằng
1
3
x
Bx
+
=+
3. Đặt
( )
1.PA B= −
. Tìm giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất.
Bài II (2,5 điểm).
1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một đơn vị vận tải dự định sử dụng một lượng xe có trọng tải như nhau để chuyên chở 420 tấn
vật liệu xây dựng. Tuy nhiên khi làm việc, có 2 xe không hoạt động, do đó mỗi xe còn lại phải
chở thêm 7 tấn nữa mới hoàn thành công việc đúng hạn được giao. Hỏi ban đầu, đội vận tải dự
định sử dụng bao nhiêu xe và mỗi xe dự định chở bao nhiêu tấn vật liệu? (Biết các xe đều chở
khối lượng vật liệu xay dựng như nhau).
2. Bài toán thực tế.
Để làm một cái mũ chú hề như hình bên, bạn An cần một tờ giấy thủ công
màu. Mũ là hình nón có đường kính đáy là 160mm, chiều cao là 400mm.
Hãy xác định diện tích tờ giấy màu mà bạn An cần chuẩn bị theo cm2? (lấy π
= 3,14 và làm tròn kết quả đến số thập phân thứ 2).
Bài III (2 điểm).
1. Giải hệ phương trình sau:
31
1
1 2 13
3
1
x
xy
x
x
xy
x
+=−
+
−
−=
+
−
2. Trên mặt phẳng tọa độ xOy, cho Parabol
2
( ):Py x= −
và đường thẳng
( ): 6 3d y xm=−++
a. Tìm tọa độ giao điểm của
và
()d
khi
2m=
.
b. Tìm
m
để
cắt
()d
tại hai điểm phân biệt
11 2 2
( ; ); ( ; )Ax y Bx y
thỏa mãn
12
0yx+=
Bài IV (3 điểm). Cho đường tròn (O), từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với
(O) (B, C là các tiếp điểm). OA cắt BC tại E.
1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
2. Chứng minh: BC vuông góc với OA và
.BA BE R
AE =
.
3. Gọi I là trung điểm của BE, đường thẳng qua I và vuông góc với OI cắt các tia AB, AC theo
thứ tự tại D và F. Chứng minh ∆DOF cân và F là trung điểm AC
Bài V (0,5 điểm). Giải phương trình:
2
32 1
5 3 32 3
22
x
xxx x+ + −+ = +
Chúc em làm bài tốt!
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN 9
Bài Câu Đáp án Điểm
1
4
3
x
Ax
+
=+
. Tính A tại
1
9
x=
.
ĐK:
0; 9xx>≠
1
9
x=
(TMĐK)
0,25
Thay vào A, ta có:
14
9
13
9
A
+
=
+
=
13
10
Vậy tại
1
9
x=
thì A =
13
10
0,25
( )( ) ( )( )
31 3 3 3
:.
933 33 33
x xx x x
Bxxx x
xx xx

+ + −−


=+= +


−+− −+ −+


0,25
I 2
( )( )
33 3 1
..
3
33
x x x xx
xxx
xx


++ − − +

= = 


+
−+ 

0,25
( )
11
.
3
xx
xx

+

=
+

0,25
1
3
x
x
+
=+
Vậy
1
3
x
Bx
+
=+
0,25
3 Đặt
( )
1.PA B= −
. Tìm giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất.
* ĐK:
0; 9xx>≠
0,25
( )
( ) ( )
2
22
4 11
( 1). 1 .
33
3
32 1 2
3
33
x xx
PA B xx
x
x
x
xx

+ ++
=−= − =


++
 +
+−
= = −
+
++
Đặt
1
3
ax
=+
⇒
2
2Pa a= −
22 2
2
11 1
2 2 2 2. .
2 4 16 16
11
248
a
P aa a a a
a


=− +=− − =− − + −





=−−+


Ta có
2
2
1
20
4
1 11 1
24 88 8
aa
aP

−− ≤ ∀



⇒− − + ≤ ⇒ ≤


Dấu “=” xảy ra khi
2
11
20
44
aa

− − =⇔=


11 3 4 1 1( D )
4
3x x x TM K
x
⇒ = ⇔ +=⇔ =⇔ =
+
Vậy
1
8
max
P=
đạt được khi
1x=
0,25
Gọi số xe ban đầu đội vận tải dự định sử dụng là x (
2;x xN>∈
, đơn vị:
xe). 0,25
II Số xe thực tế làm việc là x – 2 (xe) 0,25
Ban đầu mỗi xe dự định chở
420
x
(tấn/xe) 0,25
Thực tế mỗi xe phải chở là
420
2x−
(tấn/xe) 0,25
Vì so với dự kiến, mỗi xe phải chở thêm 7 tấn nên ta có phương trình
420
x
+ 7 =
420
2x−
0,25
420( 2) 7 ( 2) 420
( 2) ( 2) ( 2)
x xx x
xx xx xx
−−
⇔ +=
− −−
2
420 840 7 14 420
( 2) ( 2)
x xx x
xx xx
−+−
⇔=
−−
0,25
( )( )
2
2
2
420 840 7 14 420
7 14 840 0
2 120 0
10 12 0
10( )
12( )
x xx x
xx
xx
xx
xL
x TM
⇒ −+−=
⇔−−=
⇔−− =
⇔+ − =
= −
⇔=
0,25
Vậy ban đầu đội vận tải dự kiến sử dụng 12 xe
Và mỗi xe dự định chở
420 :12 35=
(tấn/xe)
0,25
Diên tích xung quanh hình nón là
2
3,14.160.400 200960( )
xq
S rl mm
π
= = =
0,25
Diện tích giấy màu cần dùng là:
22
200960( ) 2009,6( )
xq
S mm cm= =
0,25
1
Giải hệ phương trình sau:
31
1
1 2 13
3
1
x
xy
x
x
xy
x
+=−
+
−
−=
+
−
ĐK:
1
1a
x
xb
xy
=
−
=
+
; hệ phương trình đã cho trở thành
31
13
23
ab
ab
+=−
−=
0,25
III
31186631
3 6 13 3 6 13 21 7
ab a b ab
ab ab a
+=− + =− +=−

⇔⇔ ⇔

−= −= =

0,25
111 2
3. 1
311
133
3
bb
b
aa
a
=−− =−
+=−


⇔ ⇔⇔

= =

=
0,25
⇒
210
222
10
11 1 9 10
13
3
1
xxx
xy xy xy y
xx
x
x
= − 
= − =−=−
+

+++
⇔⇔⇔


=−= =
−= 
−
10 20 2 15
10 10
yy
xx
=−− =−

⇔⇔

= =

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
( ) ( )
; 10; 15xy = −
0,25
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta có
2
2
63
6 30
x xm
x xm
−=−++
⇔ − + +=
( )
2
1; 4; 4a b c mm= = = −
Với m = 2, ta có phương trình
( )( )
26 50 1 5 0
1
5
xx x x
x
x
− +=⇔ − − =
=
⇔=
0,25
Tung độ giao điểm là
2
2
1 11
5 5 25
xy
xy
=⇔=−=−
=⇔=−=−
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là
(1; 1);(5; 25)−−
0,25
3
Xét phương trình hoành độ giao điểm là
2
2
63
6 30
x xm
x xm
−=−++
⇔ − + +=
( )
( )
22
1; 6; 3
4 ( 6) 4.1. 3
36 4 12 26 4
a b cm
b ac m
mm
==−=+
∆= − = − − +
=− −=−
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
0 24 4 0 6mm∆>⇔ − >⇔ <
Áp dụng định lý Vi-ét ta có:
12
12
6 (1)
. 3 (2)
b
xx a
c
xx m
a
−
+= =
= = +
0,25
Ta có
2
11
yx= −
thay vào
12
0yx+=
được
Từ (1) ta có
21
6xx= −
, thay vào
2
12
0xx−+=
ta có
( )( )
22
1 1 11 1 2
6 0 60 3 2 0x x xx x x− +− =⇔ + −=⇔ + − =
0,25