KY THI OLYMPIC TRUYÊN THÔNG 30/4
LÂN TH XIII TAI THANH PHÔ HUÊ Ư
ĐÊ THI MÔN TOÁN L P 10Ớ
Th i gian lam bai: 180 phútơ
Chu y: Môi câu hoi thi sinh lam trên 01 t giây riêng biêt ơ
Câu 1 (4 đi m). ể
Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
−=+
=
+
++
yxyx
yx
xy
yx
2
22 16
8
Câu 2 (4 đi m). ể
Cho các s th c ố ự a, b, x, y tho mãn đi u ki n ả ề ệ
3=− byax
. Tìm giá tr nhị ỏ
nh t c a bi u th c ấ ủ ể ứ
aybxyxbaF +++++= 2222
.
Câu 3 (4 đi m). ể
Cho tam giác ABC có các góc A, B th a đi u ki n: ỏ ề ệ
2
cos2
2
3
sin
2
3
sin BABA −
=+
.
Ch ng minh tam giác ứABC là tam giác đ u.ề
Câu 4 (4 đi m). ể
Cho t giác l i ứ ồ ABCD. Xét M là đi m tùy ý. G i ể ọ P, Q, R, S là các đi m saoể
cho:
MPMDMCMB 4=++
;
MQMAMDMC 4=++
;
MRMBMAMD 4=++
;
MSMCMBMA 4=++
.
Tìm v trí c a đi m ị ủ ể M sao cho PA = QB = RC = SD.
Câu 5 (4 đi m). ể
Trong m t ph ng t a đ cho m t ngũ giác l i có các đ nh là nh ng đi mặ ẳ ọ ộ ộ ồ ỉ ữ ể
có t a đ nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh tọ ộ ứ ằ ặ ạ ấ
m t đi m có t a đ nguyên.ộ ể ọ ộ
-------------------H T---------------------Ế
Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêmộ ả
Đáp án Toán 10
N I DUNGỘĐI MỂ
Câu 1: Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
* Đi u ki n: x + y > 0ề ệ 0,5
* (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y)
⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0
⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0
⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0
⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0
1
⇔
2 2
x y 4 0 (3)
x y 4(x y) 0 (4)
+−=
+ + + =
0,5
T (3) ừ⇒ x + y = 4, th vào (2) ta đ c:ế ượ
x2 + x – 4 = 2 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔
x 3 y 7
x 2 y 2
= − ⇒ =
= ⇒ =
.
1
(4) vô nghi m vì xệ2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0. 0,5
V y h có hai nghi m là (–3; 7); (2; 2)ậ ệ ệ 0,5
Đáp án Toán 10
N I DUNGỘĐI MỂ
Câu 2: Cho các số thực
a
,
b
,
x
,
y
thỏa mãn điều kiện
3
=−
byax
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
aybxyxbaF +++++=
2222
.
Viết lại
( )
22
22
4
3
22 ba
a
y
b
xF
++
++
+=
.0,5
Đặt
( )
y;xM
=
,
−−=
22
a
;
b
A
,
( )
3
=−∆
byax:
. Ta có
22
2
22
++
+=
a
y
b
xMA
. Mà
( )
∆∈
M
nên
( )
[ ]
22
2
2
3
ba
;AdMA
+
=∆≥
.
Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả
M
là hình chi u c a ế ủ
A
trên
( )
∆
.
1,5
Suy ra
( ) ( )
3
4
33
2
4
33
22
22
22
22
=+
+
≥++
+
≥
ba.
ba
ba
ba
F
.1
Vậy
3
=
Fmin
đạt được chẳng hạn khi
( )
−= 2
2
2
6
02 ;;;y;x;b;a
.
1
Đáp án Toán 10
N I DUNGỘĐI MỂ
Câu 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B thỏa điều kiện :
sin
2
3A
+ sin
2
3B
= 2cos
−
2
BA
.
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Ta có: sin(
2
3A
) + sin(
2
3B
) = 2 sin(
4
)(3 BA
+
) cos(
4
)(3 BA −
) .
1
≥
sin(
4
)(3 BA
+
) > 0; cos(
2
BA
−
) > 0
0
≤
2
BA
−
≤
4
3BA
−
<
π
⇒
cos(
2
BA
−
)
≥
cos(
4
3BA
−
)
⇒
cos(
2
BA
−
)
≥
cos(
4
3)BA(
−
)
1
Từ sin(
2
3A
) + sin(
2
3B
) = 2cos(
2
BA
−
) và cos(
2
BA
−
)>0
Suy ra : 2sin(
4
)(3 BA
+
)cos(
4
)(3 BA
−
) >0
Hay cos(
4
3)BA( −
)>0.
1
Kết hợp với sin(
4
)(3 BA
+
)
≤
1, ta có sin(
4
)(3 BA
+
)cos(
4
)(3 BA
−
)
≤
cos(
4
)(3 BA −
)
Do đó: 2 sin(
4
)(3 BA +
)cos(
4
)(3 BA −
)
≤
2cos(
4
)(3 BA
−
)
≤
2cos(
2
BA
−
)
1
Vì vậy nếu sin(
2
3A
) + sin(
2
3B
) = 2cos(
2
BA
−
) thì phải có:
=
+
−
=
−
1)
4
)(3
sin(
4
3
2
BA
BABA
⇔
A = B =
3
π
.
V y ậtam giác ABC là tam giác đều.
1
Đáp án Toán 10
N I DUNGỘĐI MỂ
Câu 4: Cho t giác l i ứ ồ ABCD. Xét M là đi m tùy ý. G i ể ọ P, Q, R, S là các
đi m sao choể
MPMDMCMB 4=++
;
MQMAMDMC 4
=++
MRMBMAMD 4
=++
;
MSMCMBMA 4=++
Tìm v trí c a đi m ị ủ ể M sao cho PA = QB = RC = SD.
Gi s có đi m ả ử ể M th a bài toán. G i ỏ ọ G là đi m sao choể
MDMCMBMAMG +++=5
.
0,5
T ừ
MPMDMCMB 4=++
, ta có
GAPA 54
=
.
T ng t ươ ự
GBQB 54
=
,
GCRC 54 =
,
GDSD 54 =
.
1
Do đó PA = QB = RC = SD
⇔
GA = GB = GC = GD. 1
N u ếABCD là t giác n i ti p đ c trong đ ng tròn tâm ứ ộ ế ượ ườ O thì G
trùng O và M là đi m duy nh t xác đ nh b iể ấ ị ớ
( )
ODOCOBOAOM
+++−=
. Ki m tra l i th y th a ể ạ ấ ỏ PA = QB = RC
= SD.
1
N u ếABCD không ph i là t giác n i ti p đ c trong đ ng trònả ứ ộ ế ượ ườ
thì không t n t i đi m ồ ạ ể M.
0,5