Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
BẤT ĐẲNG THỨC
NÂNG CAO LỚP 6
(Liệu hệ tài liệu word và có đáp án SĐT (zalo) : 039.373.2038)
Tài liệu sưu tầm, ngày 20 tháng 9 năm 2024
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 1
Website: tailieumontoan.com
CHỦ ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC
A. PHẦN NỘI DUNG
Dạng 1: So sánh hai số, so sánh một biểu thức với một số
Bài 1: Cho
100
1 1 1 1
12 3 4 2 1
A= + + + ++ −
. Chứng tỏ rằng:
50 100A
Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2021-2022
Lời giải
2 3 90 93 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 3 2 5 7 2 9 15 2 2 1 2 1
A
= + + + + ++ + + ++ ++ + ++
+−
2 2 2 2 90 99 99
1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 2 2 2 2 2 2 2 2
+ + + + + + ++ + ++
99
2 99
1 1 1
1 2 4 2 1 1 1
2 2 2
= + + ++ = + ++
(Có
100
số hạng
1
)
100A
.
2 3 4 90 90 100 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 3 2 5 2 9 2 2 1 2 2 2 2
A
= + + + + ++ + ++ + + + ++ −
++
100
1 1 1 1
12 2 2 2
+ + ++ −
(Có
100
số hạng
1
2
)
100
11
100 1 50
22

= + −


(Vì
100
1
10
2
−
)
50A
.
Vậy
100 50A
.
Bài 2: Cho tổng :
1 1 1
...
31 32 60
S= + + +
. Chứng minh rằng :
34
55
S
.
Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016
Lời giải
Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
31 32 40 41 42 50 51 52 60
S
= + + + + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
30 30 30 40 40 40 50 50 50
S
+ + + + + + + + + + +
hay
10 10 10
30 40 50
S + +
từc là:
47 48
60 60
S
Vậy
4
5
S
(
1
)
Mặt khác:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S
+ + + + + + + + + + +
10 10 10
40 50 60
S + +
tức là :
37 36
60 60
S
Vậy
3
5
S
(
2
).
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 2
Website: tailieumontoan.com
Từ (
1
) và (
2
) suy ra :
34
55
S
đpcm.
Bài 3: Cho
2 3 4 12
..
1 2 3 11
5 5 5 5
A++= + +
Chứng minh rằng
1
16
A
.
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 -2016
Lời giải
Ta có:
2 3 4 12
..
1 2 3 11
5 5 5 5
A++= + +
1 2 3 11
1 2 3 11
5 5 5 .5 . 5
A= + + ++
1 2 3 11 2 3 4 12
51 2 3 11 1 2 3 11
55 .
5 5 5 5 5 5
..AA + − −− = + + −−+ −
2 11 12
..
1 2 1 11
5 5 5 5
A = + + + −
12 .
11
5
AB = −
2 11
.
1 1 1
5 5 5
B= + + +
102
1
55
11
.1 55
B= + + +
112 10 2
1 1 1 1 1
15 5 5
1
55
.
5 5 .BB− = −−+ + + −−
11
11 11
1 5 1
155
B−
−==
11
11
51
4.5
B−
=
11 12 12
12 11 12 12 12
11 5 1 11 5 5 44 5 49
5 4.5 5 4.5 4.5
AB −
− − −
=−−===
12 12
12 12 12
5 49 1 5 49 1 49 1
. . 1
4.4.5 16 5 16 5 16
A−−

= = −

=
Vậy
1
16
A
.
Bài 4:
1 2 3 4
1.4 4.10 10.19 19.31
M= + + +
và
2 3 4 5 6
1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
N= + + + +
So sánh
M
và
N
.
Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có:
1 2 3 4
1.4 4.10 10.19 19.31
M= + + +
3 6 9 12 1 1 1 1 1 1 1 1 30
3 1 1
1.4 4.10 10.19 19.31 4 4 10 10 19 19 31 31 31
M = + + + = − + − + − + − = − =
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 3
Website: tailieumontoan.com
10 20
31 62
M = =
2 3 4 5 6
1.5 5.11 11.19 19.29 29.41
N= + + + +
4 6 8 10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1
21
1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 5 5 11 11 19 19 29 29 41
N = + + + + = − + − + − + − + −
1 40
21
41 41
N = − =
20
41
N=
Vì
20 20
62 41
nên M < N
Vậy M < N
Bài 5: So sánh tổng
2 3 2007
1 2 3 2007
..... ......
2 2 2 2 2
n
n
S= + + + + + +
với 2.
( )
*n
Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017
Lời giải
Với mọi
2,n
ta có:
1
12
.
2 2 2
n n n
n n n
+
++
=−
Từ đó ta có:
2 2 3 2006 2007 2007
1 3 4 4 5 2008 2009 2009
..... 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
S
= + − + − + + − = −
. Vậy
2S
Bài 6: Cho
2 3 2001 2002 2003
1 2 2 2 ..... 2 2 ; 2AB= + + + + + + =
So sánh
A
và
B
Trích đề HSG huyện ….. năm 2019 - 2020
Lời giải
Có
2 3 2002 2003
2 2 2 2 ..... 2 2A= + + + + +
2003
2 2 1AA − = −
1A B A B = −
Bài 7: Cho
2 3 4 71 72
1 2012 2012 2012 2012 2012 2012P= + + + + + + +
và
73
2012 1Q=−
.
So sánh
P
và
Q
.
Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có :
2 3 4 71 72 73
2012. 2012 2012 2012 2012 2012 2 2012 012P= + + + ++ + +
Xét:
73
2012. – 2012 – 1PP=
73
2011. 2012 – 1P=
mà
73
2012 1Q=−
nên
2011. QP=
. Vậy
QP
(vì
0P
)
Bài 8: Cho tổng
2 4 6 2008
1 3 3 3 3A= + + + ++
.
So sánh giá trị biểu thức:
2010
83BA=−
với
1−
.
Trích đề HSG huyện Sóc Sơn năm 2021 -2022
Lời giải
Ta có:
2 4 6 2008
1 3 3 3 3A= + + + ++
2 4 6 8 2010
9 3 3 3 3 3A= + + + + +
Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 4
Website: tailieumontoan.com
2010
9 3 1AA− = −
2010
8 3 1A=−
2010
8 - 3 1= A
Mà
2010
8 3 .BA=−
Vậy
1.B=−
Bài 9: So sánh
2016
2017
10 1
10 1
A+
=+
và
2017
2018
10 1.
10 1
B+
=+
Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022
Lời giải
Nhân hai vế của
A
và
B
với
10
ta có:
2017 2017
2017 2017 2017
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
A+ + +
= = = +
+ + +
2018 2018
2018 2018 2018
10 10 10 1 9 9
10. 1
10 1 10 1 10 1
B+ + +
= = = +
+ + +
Vì
2017 2018
10 10
nên
2017 2018
99
.
10 1 10 1
++
Vậy
.AB
Bài 10: Cho
1 1 1 1 1
...
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16
M= + + + + +
. So sánh
M
với
1
3
Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1 1
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16
M= + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
3 1 4 4 7 7 10 10 13 13 16
M
= − + − + − + − + −


1 1 1 15 15
. 1 .
3 16 3 16 48
M
= − = =


Lại có:
1 16
3 48
=
Vì
16 15
do đó
16 15
48 48
hay
1
3
M
Vậy
1
3
M
Bài 11: Cho
2
2 2 2 2
3 8 15 2023 1
...
2 3 4 2023
A−
= + + + +
. Chứng minh rằng giá trị của
A
không phải là một tự
nhiên.
Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022
Lời giải
Ta có
2
2 2 2 2
3 8 15 2023 1
...
2 3 4 2023
A−
= + + + +