Bất đẳng thức nâng cao lớp 6

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Bất đẳng thức nâng cao lớp 6 tuyển chọn các bài toán trích từ đề thi học sinh giỏi và đề thi nâng cao của nhiều trường trên cả nước, kèm theo đáp án cùng lời giải chi tiết. Nội dung giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy và phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức ở mức độ nâng cao. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo Bất đẳng thức nâng cao lớp 6 để trau dồi kiến thức và nâng cao năng lực giải toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức nâng cao lớp 6

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 BẤT ĐẲNG THỨC NÂNG CAO LỚP 6 (Liệu hệ tài liệu word và có đáp án SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 20 tháng 9 năm 2024
Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC A. PHẦN NỘI DUNG Dạng 1: So sánh hai số, so sánh một biểu thức với một số 1 1 1 1 Bài 1: Cho A = 1 + + + ++ 100 . Chứng tỏ rằng: 50  A  100 2 3 4 2 −1 Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2021-2022 Lời giải 1 1  1 1 1  1 1 1  1 1 1  A = 1 +  +  +  2 + ++  +  3 + ++  ++  90 + 93 ++ 100   2 3  2 5 7 2 9 15  2 2 +1 2 −1  1 1  1 1 1 1   1 1 1   1 +  +  +  2 + 2 + 2 + 2  ++  90 + 99 ++ 99  2 2 2 2 2 2  2 2 2  1 1 1 = 1 + 2  + 4  2 ++ 299  99 = 1 + 1 ++ 1 (Có 100 số hạng 1 ) 2 2 2 = 100 A  100 . 1 1 1  1 1  1 1  1 1 1  1 A = 1 + +  + 2  +  ++ 3  +  ++ 4  + ... +  90 + 90 ++ 100  − 100 2 3 2  5 2  9 2   2 +1 2 + 2 2  2 1 1 1 1 1  1 + + ++ − 100 (Có 100 số hạng ) 2 2 2 2 2 1  1  1 = 100  + 1 − 100   50 (Vì 1 − 100  0 ) 2  2  2 A  50 . Vậy 100  A  50 . 1 1 1 3 4 Bài 2: Cho tổng : S = + + ... + . Chứng minh rằng :  S  . 31 32 60 5 5 Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Lời giải 1 1 1  1 1 1  1 1 1  Ta có : S =  + + ... +  +  + + ... +  +  + + ... +   31 32 40   41 42 50   51 52 60   1 1 1   1 1 1   1 1 1  S   + + ... +  +  + + ... +  +  + + ... +   30 30 30   40 40 40   50 50 50  10 10 10 hay S  + + 30 40 50 47 48 4 từc là: S   Vậy S  ( 1 ) 60 60 5  1 1 1   1 1 1   1 1 1  Mặt khác: S   + + ... +  +  + + ... +  +  + + ... +   40 40 40   50 50 50   60 60 60  10 10 10 37 36 S + + tức là : S   40 50 60 60 60 3 Vậy S  ( 2 ). 5 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 1
Website: tailieumontoan.com 3 4  S  đpcm. Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : 5 5 1 2 3 11 1 Bài 3: Cho A = 2 + 3 + 4 + . + 12 . Chứng minh rằng A  . 5 5 5 5 16 Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 -2016 Lời giải 1 2 3 11 Ta có: A = 2 + 3 + 4 + . + 12 . 5 5 5 5 1 2 3 11 5 A = 1 + 2 + 3 + . + 11 . 5 5 5 5 1 2 3 11 1 2 3 11 5 A − A = 1 + 2 + 3 + . + 11 − 2 − 3 − 4 − . − 12 . 5 5 5 5 5 5 5 5 1 2 1 11  A = + 2 +. + 11 − 12 . 5 5 5 5 11  A = B − 12 . 5 1 1 1 B = + 2 +. + 11 5 5 5 1 1 1 5B = 1 + + 2 . + 10 5 5 5 1 1 1 1 1 1 5B − B = 1 + + 2 . + 10 − − 2 − . − 11 5 5 5 5 5 5 1 511 − 1  B = 1 − 11 = 11 5 5 511 − 1 B= 4.511 11 511 − 1 11 512 − 5 − 44 512 − 49 A = B − = − = = 512 4.511 512 4.512 4.512 512 − 49 1 512 − 49 1  49  1 A= = . = . 1 − 12   4.4.512 16 512 16  5  16 1 Vậy A  . 16 1 2 3 4 2 3 4 5 6 Bài 4: M = + + + và N = + + + + 1.4 4.10 10.19 19.31 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 So sánh M và N . Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 1 2 3 4 M= + + + 1.4 4.10 10.19 19.31 3 6 9 12 1 1 1 1 1 1 1 1 30  3M = + + + = 1− + − + − + − = 1− = 1.4 4.10 10.19 19.31 4 4 10 10 19 19 31 31 31 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 2
Website: tailieumontoan.com 10 20 M = = 31 62 2 3 4 5 6 N= + + + + 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 4 6 8 10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2N = + + + + = 1− + − + − + − + − 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 5 5 11 11 19 19 29 29 41 1 40  2N = 1 − = 41 41 20 N= 41 20 20 Vì  nên M < N 62 41 Vậy M < N 1 2 3 n 2007 Bài 5: So sánh tổng S = + 2 + 3 + ..... + n + ...... + 2007 với 2. ( n  *) 2 2 2 2 2 Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Lời giải n n +1 n + 2 Với mọi n  2, ta có: = − n . Từ đó ta có: 2n 2n +1 2 1 3 4   4 5   2008 2009  2009 S= +  − 2  +  2 − 3  + ..... +  2006 − 2007  = 2 − 2007  2 . Vậy S  2 2 2 2  2 2  2 2  2 Bài 6: Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + ..... + 22001 + 22002 ; B = 22003 So sánh A và B Trích đề HSG huyện ….. năm 2019 - 2020 Lời giải Có 2 A = 2 + 22 + 23 + ..... + 22002 + 22003  2 A − A = 22003 − 1  A = B −1  A  B Bài 7: Cho P = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +  + 201271 + 201272 và Q = 201273 − 1 . So sánh P và Q . Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có : 2012.P = 2012 + 2012 + 2012 + 20124 +  + 201271 + 201272 + 201273 2 3 Xét: 2012.P – P = 201273 – 1 2011. P = 201273 – 1 mà Q = 201273 − 1 nên 2011. P = Q . Vậy Q  P (vì P  0 ) Bài 8: Cho tổng A = 1 + 32 + 34 + 36 ++ 32008 . So sánh giá trị biểu thức: B = 8 A − 32010 với −1 . Trích đề HSG huyện Sóc Sơn năm 2021 -2022 Lời giải Ta có: A = 1 + 3 + 3 + 3 ++ 3 2 4 6 2008 9 A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 32010 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 3
Website: tailieumontoan.com 9 A − A = 32010 − 1 8 A = 32010 − 1 8 A - 32010 = 1 Mà B = 8 A − 32010. Vậy B = −1. 102016 + 1 102017 + 1 Bài 9: So sánh A = 2017 và B = 2018 . 10 + 1 10 + 1 Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Lời giải Nhân hai vế của A và B với 10 ta có: 102017 + 10 102017 + 1 + 9 9 10. A = = = 1 + 2017 10 + 1 2017 10 + 1 2017 10 + 1 10 + 10 10 + 1 + 9 2018 2018 9 10. B = 2018 = = 1 + 2018 10 + 1 10 + 1 2018 10 + 1 9 9 Vì 102017  102018 nên 2017  . 10 + 1 102018 + 1 Vậy A  B. 1 1 1 1 1 1 Bài 10: Cho M = + + + + ... + . So sánh M với 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3 Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 M= + + + + 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  M = . − + − + − + − + −  3  1 4 4 7 7 10 10 13 13 16  1  1  1 15 15 M = . 1 −  = . = 3  16  3 16 48 1 16 Lại có: = 3 48 16 15 1 Vì 16  15 do đó  hay M  48 48 3 1 Vậy M  3 3 8 15 20232 − 1 Bài 11: Cho A = + 2 + 2 + ... + . Chứng minh rằng giá trị của A không phải là một tự 22 3 4 20232 nhiên. Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022 Lời giải 3 8 15 20232 − 1 Ta có A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 3 4 20232 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 4
Website: tailieumontoan.com 22 − 1 32 − 1 42 − 1 20232 − 1 A= + 2 + 2 + ... + 22 3 4 20232 1 1 1 1 A = 1− 2 + 1 − 2 + 1 − 2 + ... + 1 − 2 3 4 20232  1 1 1 1  A = 2022 −  2 + 2 + 2 + ... +  2 3 4 20232  1 1 1 1 Mà 2 + 2 + 2 + ... +  0  A  2022 (1) 2 3 4 20232 1 1 1 1 Đặt B = 2 + 2 + 2 + ... + 2 3 4 20232 Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2  = − ; 2 = − ; 2 = − ; ... ; 2 1.2 1 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 1 1 1 1 2  = − 2023 2022.2023 2022 2023 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2 + 2 + 2 + ... + 2  − + − + − + ... + − 2 3 4 2023 1 2 2 3 3 4 2022 2023 1 1  B  1− mà 1 − 1  B 1 2023 2023  2022 – B  2022 –1  A  2021 (1) Từ (1) và (2)  2021  A  2022  Giá trị của A không là số tự nhiên. 1 2 1 1 Bài 12: Cho S = 2 + 2 + 2 + ... + . Chứng tỏ rằng S không là số tự nhiên. 2 3 4 20222 Trích đề HSG huyện Yên Mỹ năm 2021-2022 Lời giải 1 1 1 1 1 S + + + ... + = 1− 1 1.2 2.3 3.4 2021.2022 2022 Mà S  0 nên ta có 0  S  1 Vậy, S không phải số tự nhiên. 1 1 1 1 1 1 Bài 13: Cho M = + + + + ... + . So sánh M với 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3 Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 M= + + + + 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  M = . − + − + − + − + −  3  1 4 4 7 7 10 10 13 13 16  1 1  1 15 15 M = .1 −  = . = 3  16  3 16 48 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 5
Website: tailieumontoan.com 1 16 Lại có: = 3 48 16 15 1 Vì 16  15 do đó  hay M  48 48 3 1 Vậy M  3 1 2 3 69 1 Bài 14: Cho S = 2 + 3 + 4 + ... + 70 .Chứng tỏ S  7 7 7 7 36 Trích đề HSG huyện Tiền Hải năm 2021-2022 Lời giải 1 2 3 69 7S = + 2 + 3 + ... + 69 7 7 7 7 1 1 1 1 69 6S = 7 S − S = + 2 + 3 + ... + 69 − 70 7 7 7 7 7 1 1 1 69 42S = 1 + + 2 + ... + 68 − 69 7 7 7 7 70 69 36S = 42S − 6S = 1 − + 769 770 70 69 1 Vì 69  70  36S  1  S  7 7 36 Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 4 5 Bài 1:Cho A = + + + ... + Chứng minh rằng:  A  11 12 13 70 3 2 Trích đề HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022 Lời giải Thấy rằng tổng A có 60 số hạng 4 TH1: Ta chứng minh A  bằng cách nhóm hai số một ngoặc thông thường 3 1 1  1 1   1 1 81 81 81 Ta có: A =  +  +  +  + ... +  +  = + + ... +  11 70   12 69   40 41  11.70 12.69 40.41 30 ngoÆc 30 sè h¹ng 81 81 81 81.30 243 240 240 4 A + + ... + = =   = 40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 3 5 TH2: Chứng minh A  2 1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  A =  + ... +  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +   11 20   21 30   31 40   41 50   51 60   61 70  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A   + ...  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +   11 11   21 21   31 31   41 41   51 51   61 61  10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 A  + + + + +  1+ + + + + 11 21 31 41 51 61 2 3 4 5 6 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 6
Website: tailieumontoan.com  1 1 1 1 1 5 = 1 + + +  +  +  = 2 + 0,5 =  2 3 6  4 5 2 4 5 Vậy  A  . 3 2 Bài 2:Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ..... + 498 + 499 , B = 4100 B Chứng minh rằng: A  . 3 Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 4 A = 4. (1 + 4 + 42 + 43 + 44 + .....498 + 499 ) = 4 + 42 + 43 + 44 + .....498 + 499 + 4100 4100 − 1 Suy ra 4 A − A = 4 − 1 suy ra A = 100 3 4 −1 4 100 100 Vì 4100 −1  4100 suy ra  3 3 B Vậy A  3 6 6 6 6 Bài 3:Tính tổng S = + + + ...... + và chứng tỏ S  1 2.5 5.8 8.11 29.32 Trích đề HSG THCS Phan Đình Phừng năm 2018-2019 Lời giải  3 3 3   1 1 1 1 1 1   1 1  30 S = 2.  + + ..... +  = 2.  − + − + ..... + −  = 2.  −  = 1  2.5 5.8 29.32  2 5 5 8 29 32   2 32  32 suy ra S  1 1 1 1 1 Bài 4: Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 +...+ < 1. 2 3 4 1002 Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022 Lời giải 1 1 1 1 Ta có 2 < = - 2 2.1 1 2 1 1 1 1 2 < = - 3 2.3 2 3 … 1 1 1 1 2 < = - 100 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2 + 2 +...+ 2 < - + - + ...+ - = 1-
Website: tailieumontoan.com 1 1 1 1 Ta có: + + + ... + 1.4 3.8 5.12 25.52 1 1 1 1 1  =  + + + ... +  2  1.2 3.4 5.6 25.26  1 1 1 1 1 1 1 1  = 1 − + − + − + ... + −  2 2 3 4 5 6 25 26  1  1 1 1  1 1 1 1  = 1 + 3 + 5 + ... + 25  −  2 + 4 + 6 + ... + 26   2     1  1 1 1 1 1 1  1 1 1 1  = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 25 + 26  − 2  2 + 4 + 6 + ... + 26   2     1  1 1 1 1 1 1   1 1 1  = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 25 + 26  − 1 + 2 + 3 + ... + 13   2     1 1 1 1  =  + + ... +  2  14 15 26  1 1 1 1 1 = + + + + ... + 28 30 32 34 52 457 456 455 1 Bài 6: Cho A = + + ++ . Chứng minh: A  2016 . 1 2 3 457 Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2012-2022 Lời giải 457 456 455 1 Ta có: A = +1+ +1+ + 1 ++ + 1 − 457 1 2 3 457 458 458 458 A = 458 + + .... + + − 457 2 456 457  1 1  A = 458 1 + + ... +  − 457  2 457  Nhận xét: 1=1 1 1 = 2 2 1 1 1 1 1 +  + = 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 + + +  + ... + = 5 6 7 8 8 8 2 1 1 1 1 1 1 + + ... +  + ... + = 9 10 16 16 16 2 1 1 1 1 1 + ... +  + ... + = 17 32 32 32 2 1 1 1 1 1 + ... +  + ... + = 33 64 64 64 2 1 1 1 1 1 + ... +  + ... + = 65 128 128 128 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 8
Website: tailieumontoan.com 1 1 1 1 1 + ... +  + ... + = 129 256 256 256 2 1 1 1 1 201 + ... +  + ... + =  0, 4 257 457 457 457 457 1 1 1 1 1 + + ... + +  1 + .8 + 0, 4 = 5, 4 2 456 457 2 A  458.5, 4 − 457 = 2016, 2 A  2016 1 2 3 100 3 Bài 7: Cho A = + 2 + 3 ++ 100 . Chứng tỏ rằng A  . 3 3 3 3 4 Trích đề HSG TP Bắc Ninh năm 2021-2022 Lời giải 1 2 3 100 Ta có: A = + 2 + 3 ++ 100 3 3 3 3 2 3 4 100 3 A = 1 + + 2 + 3 + ... + 99 3 3 3 3  2 1  3 2   4 3   100 99  100 3 A − A = 1 +  −  +  2 − 2  +  3 − 3  + ... +  99 − 99  − 100  3 3 3 2  3 3  3 3  3 1 1 1 1 1 100 2 A = 1 + + 2 + 3 + 4 + ... + 99 − 100 . 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Đặt B = + 2 + 3 + 4 + ... + 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 3B = 1 + + 2 + 3 + +... + 98 3 3 3 3 1 3B − B = 1 − 99 3 1 2 B = 1 − 99 3 1 1 B = − 99 . 2 2.3 100 1 1 100 3 Như vậy: 2 A = 1 + B − 100 = 1 + − 99 − 100  3 2 2.3 3 2 3 A  . Điều phải chứng minh. 4 1 1 1 3 4 Bài 8: Cho tổng : S = + + ... + . Chứng minh rằng :  S  31 32 60 5 5 Trích đề HSG Trường THCS Ái Thượng năm 2021-2022 Lời giải 1 1 1  1 1 1  1 1 1  S =  + + ... +  +  + + ... +  +  + + ... +   31 32 40   41 42 50   51 52 60   1 1 1   1 1 1   1 1 1  S   + + ... +  +  + + ... +  +  + + ... +   30 30 30   40 40 40   50 50 50  Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 9
Website: tailieumontoan.com 10 10 10 47 48 4 hay S  + + từc là: S   Vậy S  ( 1 ) 30 40 50 60 60 5  1 1 1   1 1 1   1 1 1  Mặt khác: S   + + ... +  +  + + ... +  +  + + ... +   40 40 40   50 50 50   60 60 60  10 10 10 37 36 3 S + + tức là : S   Vậy S  ( 2 ). 40 50 60 60 60 5 Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra đpcm. 1 1 1 1 Bài 9: Cho A = 2 + 2 + 2 ... + 2 . Chøng minh rằng: A  2 . 1 2 3 50 Trích đề HSG THCS Lý Tự Trọng năm 2015-2016 Lời giải Ta có 1 1 1 1 2  = − 2 1.2 1 2 1 1 1 1 2  = − 3 2.3 2 3 ….. 1 1 1 1 2  = − 50 49.50 49 50 1 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra A  + − + − + ... + − = 2−  2 1 1 2 2 3 49 50 50 1 1 1 1 Bài 10: Cho A = + + + .... + . 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017 3 Chứng minh A  4 Trích đề HSG huyện Thạch Thành năm 2018-2019 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: A = + + + .... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017 1 1 1 1 A= + + + ..... + (1 + 3) .2 (1 + 5) .3 (1 + 7) .4 (1 + 2017) .1009 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + + ..... + = + + + .... + 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009 1  1 1 1  A + + + ...... +  2.2  2.3 3.4 1008.1009  1 1 1 1 1 1 1  A +  − + − + ..... + −  4 2 3 3 4 1008 1009  1 1 1  1 1 3 A + −   A +  A 4  2 1009  4 2 4 457 456 455 1 Bài 11: Cho A = + + ++ . Chứng minh: A  2016 1 2 3 457 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 10
Website: tailieumontoan.com Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải 457 456 455 1 A= +1+ +1+ + 1 ++ + 1 − 457 1 2 3 457 458 458 458 A = 458 + + .... + + − 457 2 456 457 1 1 A = 458(1 + + ... + ) − 457 2 457 Nhận xét: 1=1 1 1 = 2 2 1 1 1 1 1 +  + = 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 + + +  + ... + = 5 6 7 8 8 8 2 1 1 1 1 1 1 + + ... +  + ... + = 9 10 16 16 16 2 1 1 1 1 1 + ... +  + ... + = 17 32 32 32 2 1 1 1 1 1 + ... +  + ... + = 33 64 64 64 2 1 1 1 1 1 + ... +  + ... + = 65 128 128 128 2 1 1 1 1 1 + ... +  + ... + = 129 256 256 256 2 1 1 1 1 201 + ... +  + ... + =  0, 4 257 457 457 457 457 1 1 1 1 1 + + ... + +  1 + .8 + 0, 4 = 5, 4 2 456 457 2 A  458.5, 4 − 457 = 2016, 2 A  2016 1 1 1 1 1 1 Bài 12: Cho S = + 2 + 3 + 4 + ..... + 2012 + 2013 . Chứng tỏ S  1 2 2 2 2 2 2 Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019 Lời giải 1 1 1 1 1 2S = 1 + + 2 + 3 + .... + 2011 + 2012 2 2 2 2 2 1 2S − S = S = 1 − 2013 1 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 11
Website: tailieumontoan.com 1 1 1 1 Bài 13: Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + .... + 1 2 3 4 1002 Trích đề HSG huyện ……năm 2019-2020 Lời giải Ta có: 1 1 1  − 22 1 2 1 1 1  − 32 2 3 1 1 1  − 42 3 4 ………… 1 1 1 2  − 100 99 100 1 1 1 1 1 99  2 + 2 + 2 + .... + 2  1− = 1 2 3 4 100 100 100 1 1 1 1 Bài 14: Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + ...... +  1. 2 3 4 1002 Trích đề HSG huyện ……năm 20…-20… Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + ...... + 2  + + ..... + =B 2 3 4 100 1.2 2.3 99.100 1 1 1 1 1 1 1 B = − + − + ..... + − = 1−  1. 1 2 2 3 99 100 100 Vậy A  1. 1 1 1 1 1 Bài 15: Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + ... + 2  . 4 6 8 (2n) 4 Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = 2 + 2 + 2 + ... + 4 6 8 (2n) 2 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + ... + (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 2 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1  A =  2 + 2 + 2 + ... + 2    + + +  42 3 4 n  4  1.2 2.3 3.4 (n − 1). n  1 1 1 1 1 1 1 1 1 A   − + − + − + ... + −  4 1 2 2 3 3 4 (n − 1) n  1 1 1 A  1 −   (ĐPCM) 4 n 4 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 12
Website: tailieumontoan.com 1 1 1 1 1 7 Bài 16: Cho M = + + + ... + + . Chứng minh rằng M  . 101 102 103 199 200 12 Trích đề HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022 Lời giải  1 1 1 1   1 1 1 1  M = + + ... + + + + + ... + +  (Mỗi nhóm có 50 số hạng).  101 102 149 150   151 152 199 200   1 1 1 1   1 1 1 1  M  + + ... + + + + + ... + +   150 150 150 150   200 200 200 200  1 1 1 1 7 M  50. + 50. = + = . 150 200 3 4 12 7 Vậy M  . 12 a b c Bài 17: Cho ba số dương 0  a  b  c  1 chứng minh rằng: + + 2 bc + 1 ac + 1 ab + 1 Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021-2022 Lời giải Vì 0  a  b  c  1 nên: ( a − 1)( b − 1)  0  ab + 1  a + b a a b b Tương tự:  (2) ;  (3) bc + 1 b + c ac + 1 a + c a b c a b c Do đó: + +  + + (4) bc + 1 ac + 1 ab + 1 b + c a + c a + b a b c 2a 2b 2c 2(a + b + c) Mà + +  + + = = 2 (5) b+c a +c a +b a +b+c a +b+c a +b+c a +b+c a b c Từ (4) và (5) suy ra: + +  2 (đpcm) bc + 1 ac + 1 ab + 1 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Bài 1: Giá trị của x để A = ( x + 7 ) + 2022 đạt giá trị nhỏ nhất là: 2 A. −7 . B. 7 . C. 2022 . D. −2022 . Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021-2022 Lời giải Đáp án: A. −7 . 6n − 3 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6 Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022 Lời giải 6n − 3 3 6 Ta có: M = = + 4n − 6 2 4n − 6 6 Vì có tử 6  0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n − 6 đạt giá trị dương nhỏ nhất với n là 4n − 6 số tự nhiên. Do đó 4n − 6 = 2 nên 4n = 8 suy ra n = 2 . Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 13
Website: tailieumontoan.com 3 6 9 Khi đó M = + = 2 2 2 9 Vậy giá trị lớn nhất của M là khi n = 2 . 2 Bài 3: Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = x − y + x + 1 + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Trích đề HSG huyện Diễn Châu năm 2015-2016 Lời giải Vì x − y  0 với mọi x, y ; và x + 1  0 với mọi x . A = x − y + x + 1 + 2016  2016 với mọi x, y .  x− y =0   x = −1 A đạt giá trị nhỏ nhất khi  hay   x +1 = 0   y = −1 Vậy với x = y = − 1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2016 . 3n − 8 Bài 4: Cho phân số . Tìm n để A có giá trị nhỏ nhất. 6n + 4 Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 Lời giải 3n − 8 6n + 4 nhỏ nhất khi lớn nhất. 6n + 4 3n − 8 Ta có: 6n + 4 6n − 16 + 20 20 = = 2+ lớn nhất khi: 3n − 8 3n − 8 3n − 8 3n − 8  0 và 3n − 8 nhỏ nhất 8 n  và n nhỏ nhất, n nên n = 3 . 3 Vậy n = 3 để A có giá trị nhỏ nhất. 6n − 3 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6 Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2021 - 2022 Lời giải 6n − 3 3 6 Ta có M = = + 4n − 6 2 4n − 6 6 Vì phân số có tử là số dương nên M đạt giá trị lớn nhất khi 4n – 6 đạt giá trị dương nhỏ nhất 4n − 6 với n là số nguyên. 3 6 9 Ta có 4n – 6 = 2 khi đó 4n = 8 suy ra n = 2 . Ta có M = + = 2 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4,5 khi n = 2 . Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 14
Website: tailieumontoan.com n +1 Bài 6: Cho phân số A = (n  ) n−3 a) Tìm n để A là phân số b) Tìm n để A là phân số tối giản c) Tìm n để A có giá trị lớn nhất Trích đề HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019 Lời giải a) A là phân số khi n − 3  0  n  3 b) Để A là phân số tối giản thì ¦ CLN (n + 1, n − 3) = 1 Hay ¦ CLN ( ( n − 3) + 4; n − 3) = 1 Vì 4 2 ( 2 là ước nguyên tố) Nên để ¦ CLN ( ( n − 3) + 4; n − 3) = 1 thì n − 3 không chia hết cho 2 Suy ra n − 3 = 2k + 1 ( k là số nguyên) Hay n là số chẵn. n +1 n − 3 + 4 4 c) Ta có: A = = = 1+ n−3 n−3 n−3 4 4 Với n  3 thì  0 , Với n  3 thì 0 n−3 n−3 Để A có giá trị lớn nhất thì n − 3 nguyên dương và có giá trị nhỏ nhất. Do đó n − 3 = 1 hay n = 4 . 5a − 17 Bài 7: Với giá trị nào của số tự nhiên a thì có giá trị lớn nhất. 4a − 23 Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Lời giải 5a − 17 20a − 68 5 ( 4a − 23) + 47 5 47 = = = + 4a − 23 4 ( 4a − 23) 4 ( 4a − 23) 4 4 ( 4a − 23) Như vậy bài toán đưa về tìm số tự nhiên a để 4a − 23 là số tự nhiên nhỏ nhất 5a − 17 Vậy a = 6  = 13 4a − 23 6n − 3 Bài 8: Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6 Trích đề HSG huyện Tân Kỳ năm 2021 -2022 Lời giải 6n − 3 3 6 Ta có: M = = + . 4n − 6 2 4n − 6 6 Vì có tử 6  0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n − 6 đạt giá trị dương nhỏ nhất với 4n − 6 n là số tự nhiên. 7 Với 4n − 6 = 1 ta có: 4n = 7 nên n =  (loại). 4 Do đó 4n − 6 = 2 ta có 4n = 8 nên n = 2. 3 6 9 Khi đó M = + = . 2 2 2 9 Vậy giá trị lớn nhất của M là khi n = 2 . 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 15
Website: tailieumontoan.com 10n − 3 Bài 9: Tìm số tự nhiên n để phân số đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? 4n − 10 Trích đề HSG huyện Sơn Tây năm 2021 - 2022 Lời giải 10n − 3 5(2n − 5) + 22 5 22 5 11 Ta có B = = = + = + . 4n − 10 2(2n − 5) 2 2(2n − 5) 2 2n − 5 11 11 Ta có B đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất, vì 11  0 và không đổi nên 2n − 5 2n − 5 đạt giá trị lớn nhất khi 2n − 5  0 và đạt giá trị nhỏ nhất. Suy ra: 2n − 5 = 1 khi và chỉ khi n = 3 . Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 13,5 khi n = 3 . B. PHẦN PHIẾU BÀI TẬP (copy đề bài ở các dạng trên để làm phiếu phô tô cho HS) Dạng 1: So sánh hai số, so sánh một biểu thức với một số 1 1 1 1 Bài 1: Cho A = 1 + + + ++ 100 . Chứng tỏ rằng: 50  A  100 2 3 4 2 −1 Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2021-2022 1 1 1 3 4 Bài 2: Cho tổng : S = + + ... + . Chứng minh rằng :  S  . 31 32 60 5 5 Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 1 2 3 11 1 Bài 3: Cho A = 2 + 3 + 4 + . + 12 . Chứng minh rằng A  . 5 5 5 5 16 Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 -2016 1 2 3 4 2 3 4 5 6 Bài 4: M = + + + và N = + + + + 1.4 4.10 10.19 19.31 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 So sánh M và N . Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022 1 2 3 n 2007 Bài 5: So sánh tổng S = + 2 + 3 + ..... + n + ...... + 2007 với 2. ( n  *) 2 2 2 2 2 Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Bài 6: Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + ..... + 22001 + 22002 ; B = 22003 So sánh A và B Trích đề HSG huyện ….. năm 2019 - 2020 Bài 7: Cho P = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +  + 201271 + 201272 và Q = 201273 − 1 . So sánh P và Q . Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022 Bài 8: Cho tổng A = 1 + 3 + 3 + 3 ++ 3 . 2 4 6 2008 So sánh giá trị biểu thức: B = 8 A − 32010 với −1 . Trích đề HSG huyện Sóc Sơn năm 2021 -2022 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 16
Website: tailieumontoan.com 102016 + 1 102017 + 1 Bài 9: So sánh A = và B = 2018 . 102017 + 1 10 + 1 Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 1 1 1 1 1 1 Bài 10: Cho M = + + + + ... + . So sánh M với 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3 Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 3 8 15 20232 − 1 Bài 11: Cho A = 2 + 2 + 2 + ... + . Chứng minh rằng giá trị của A không phải là một tự 2 3 4 20232 nhiên. Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022 1 2 1 1 Bài 12: Cho S = 2 + 2 + 2 + ... + . Chứng tỏ rằng S không là số tự nhiên. 2 3 4 20222 Trích đề HSG huyện Yên Mỹ năm 2021-2022 1 1 1 1 1 1 Bài 13: Cho M = + + + + ... + . So sánh M với 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 3 Trích đề HSG huyện Lục Ngạn năm 2022 - 2023 1 2 3 69 1 Bài 14: Cho S = 2 + 3 + 4 + ... + 70 .Chứng tỏ S  7 7 7 7 36 Trích đề HSG huyện Tiền Hải năm 2021-2022 Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 4 5 Bài 1:Cho A = + + + ... + Chứng minh rằng:  A  11 12 13 70 3 2 Trích đề HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022 Bài 2:Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ..... + 498 + 499 , B = 4100 B Chứng minh rằng: A  . 3 Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 6 6 6 6 Bài 3:Tính tổng S = + + + ...... + và chứng tỏ S  1 2.5 5.8 8.11 29.32 Trích đề HSG THCS Phan Đình Phừng năm 2018-2019 1 1 1 1 Bài 4: Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 +...+ < 1. 2 3 4 1002 Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022 Bài 5: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + ... + = + + + + ... + . 28 30 32 34 52 1.4 3.8 5.12 7.16 25.52 Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 457 456 455 1 Bài 6: Cho A = + + ++ . Chứng minh: A  2016 . 1 2 3 457 Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2012-2022 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 17
Website: tailieumontoan.com 1 2 3 100 3 Bài 7: Cho A = + 2 + 3 ++ 100 . Chứng tỏ rằng A  . 3 3 3 3 4 Trích đề HSG TP Bắc Ninh năm 2021-2022 1 1 1 3 4 Bài 8: Cho tổng : S = + + ... + . Chứng minh rằng :  S  31 32 60 5 5 Trích đề HSG Trường THCS Ái Thượng năm 2021-2022 1 1 1 1 Bài 9: Cho A = 2 + 2 + 2 ... + 2 . Chøng minh rằng: A  2 . 1 2 3 50 Trích đề HSG THCS Lý Tự Trọng năm 2015-2016 1 1 1 1 Bài 10: Cho A = + + + .... + . 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017 3 Chứng minh A  4 Trích đề HSG huyện Thạch Thành năm 2018-2019 457 456 455 1 Bài 11: Cho A = + + ++ . Chứng minh: A  2016 1 2 3 457 Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021 - 2022 1 1 1 1 1 1 Bài 12: Cho S = + 2 + 3 + 4 + ..... + 2012 + 2013 . Chứng tỏ S  1 2 2 2 2 2 2 Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019 1 1 1 1 Bài 13: Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + .... + 1 2 3 4 1002 Trích đề HSG huyện ……năm 2019-2020 1 1 1 1 Bài 14: Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + ...... +  1. 2 3 4 1002 Trích đề HSG huyện ……năm 20…-20… 1 1 1 1 1 Bài 15: Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + ... +  . 4 6 8 (2n) 2 4 Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 -2022 1 1 1 1 1 7 Bài 16: Cho M = + + + ... + + . Chứng minh rằng M  . 101 102 103 199 200 12 Trích đề HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022 a b c Bài 17: Cho ba số dương 0  a  b  c  1 chứng minh rằng: + + 2 bc + 1 ac + 1 ab + 1 Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021-2022 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Bài 1: Giá trị của x để A = ( x + 7 ) + 2022 đạt giá trị nhỏ nhất là: 2 A. −7 . B. 7 . C. 2022 . D. −2022 . Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021-2022 6n − 3 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6 Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 18
Website: tailieumontoan.com Bài 3: Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = x − y + x + 1 + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Trích đề HSG huyện Diễn Châu năm 2015-2016 3n − 8 Bài 4: Cho phân số . Tìm n để A có giá trị nhỏ nhất. 6n + 4 Trích đề HSG huyện Thọ Xuân năm 2021 -2022 6n − 3 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6 Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2021 - 2022 n +1 Bài 6: Cho phân số A = (n  ) n−3 d) Tìm n để A là phân số e) Tìm n để A là phân số tối giản f) Tìm n để A có giá trị lớn nhất Trích đề HSG huyện Anh Sơn năm 2018-2019 5a − 17 Bài 7: Với giá trị nào của số tự nhiên a thì có giá trị lớn nhất. 4a − 23 Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 6n − 3 Bài 8: Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6 Trích đề HSG huyện Tân Kỳ năm 2021 -2022 10n − 3 Bài 9: Tìm số tự nhiên n để phân số đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? 4n − 10 Trích đề HSG huyện Sơn Tây năm 2021 - 2022 C. SƯU TẦM CÁC BÀI TRONG CÁC ĐỀ CỦA NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÓ (Phần này lấy các câu từ những năm trước, trước năm 2020-2021, tối thiểu 10 bài) 6 6 6 6 Bài 1: Tính tổng S = + + + ...... + và chứng tỏ S  1 . 2.5 5.8 8.11 29.32 Trích đề HSG trường THCS Phan Đình Phùng năm 2018-2019 Lời giải  3 3 3  S = 2.  + + ..... +   2.5 5.8 29.32  1 1 1 1 1 1  = 2.  − + − + ..... + −  2 5 5 8 29 32   1 1  30 = 2.  −  = 1  2 32  32 Vậy S  1 . 1 1 1 1 1 1 Bài 2: Cho biểu thức B = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng tỏ rằng:  B  . 5 6 7 100 6 4 Trích đề HSG huyện Giao Thuỷ (Nam Định) năm 2018-2019 Lời giải 1 1 Ta có 2  5 4.5 1 1 2  6 5.6 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 19