SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐÈ THỊ NĂNG KHIẾU LÀN 1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2023-2024 NGUYÊN TRÃI MÔN: TOÁN- KHÓI: 11

ề Ý " Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đè) ĐE CHINH THÚỤC (Đề thi có 1 trang, gôm 5 bài)
Ngày thi: 23 tháng 10 năm 2023
Bài 1 (2 điểm) Tìm tắt cả các đa thức P(x) với hệ số thực, thỏa mãn P(4)=24 và x.P(x—lI)=(x-4).P(x) Bài 2 (2 điểm) Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, AI cắt
BC tại D, lấy E và F đối xứng với D qua IB và IC. Gọi M, N, J là trung điểm
của DE, DF, EF, các đường tròn (AEM) và (AEN) cắt nhau tại P khác A.
Chứng minh rằng:
a) MPN] là tứ giác nội tiếp.
b) Ba điểm A, J, P thắng hàng.
Bài 3 (2 điểm) Cho n là số tự nhiên, „>4. Các số 1, 2, 3,..., n được viết liên
tiếp trên một đường tròn theo thứ tự đó. Hai số không kể nhau được gọi là
một cặp “liên thông” nếu một trong hai cung tạo bởi chúng chứa toàn số bé
hơn cả hai số đó. Kí hiệu S, là số cặp “liên thông”.
ä) Iìm ®;6,.
b) Tìm sS, theo n.
Bài 4 (2 điểm)
a) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố lẻ của
zỶ +1 thì p chia cho § dư 1.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên z>2 thì n không thể là ước của
2"-I.
Bài 5 (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số /:[I,+e) -›[,+z) thỏa mãn ý(#0))= (),Vx, y e[1,+s) đu mi TU. án bai 4: Cứu A„.=Ð =) Ì(t)=o ) 0) Ca x tu Jö) =o @) . Ca x=4 3 Jh)——3 l#) 2‡(2)=o (k2) Œœ x= 5v. 4 JÙ)=—d: lö) 5) WuiNag lộ h) j S9 -2ltr-+}k-). Ñø). ta p2Muẩ 1ˆ jhuƒ > 1.k-2|]È2Yi-+ 9. ÑÍX-2) = xw- "2k2 &W).œ-+2) = Â-z)= Ñ)


> Ấ) cc =œ# 05
AM) = sa “ 2 £#)- " Â&) = 7 > lo - Mi -4X+]x—)


in. 2HN - be +ANM = /IƑÐD+/Œ) - ¿2E +¿CJ —dJMU— (PP ~ Ñ—. 2 MỊN =- MỤNØ sử.
(), Tử /J = EPMa = “MNT - /JFF@
Mã th jÐ E & Ậ
than... Tá“ G— SEF/i
= CÍEF - /FW = /JE) - ⁄M† @
ầ6)W@)2 (MT= 2M 5 ATP #JAn.
DA 3 0 (033) `? si
#) b(,s9 Họ ấp 4 tả ^r”ơn nằ—/@ lệ 2 đế nà chá án S + Œ~ do ta, ly '; Củ á CHẾ xội 4 và áy Mac la -
n~ *rẩ La LIỆP St d + đạ lạ vất vu œ ”Ếc 2đ
= _ _ " T2 ác AC Z
Mĩ 3 C7 thêu Ặ He 5 ĐT
SN

x4 CHẾT) V†hx+ phá tụ v = 2h) Ð nh |} gy Tôn) =# ,t€N, TA cố 02 1g j1. sg(s‡ 5 xổ =2 sb) ,#§SC Đ n†t È? (mẠD © ?1p(4Vv NH) -ổ iẽ 7 AdpÍ»)~ 4> ý Ñ. - =#. [ÁP se tAD( m) |- x §)~¿ ĐƑEZ0x4j} b3) Ji đw>z MA "|2 =. =: TL, np X nẾ sổ si cà vị — 2 Đ.Ă, "ca Ú P.0 stMẢ), 0) |xi@- h ¿tt =2mdi) © báy 0} |p¬+ VN 06) X1 vũ gui ;0) œ cứ 4 và đ. l6) 94h : „. h đề() s lạ- Ị ao z Ji LÍ" 3 †Cho x=y„=1> 7(70)= /@)
Cho y=/@)= f(x/(70)))= /0)#œ)> Z(x/@)= ƒ0)/œ) Œ) Cho y=1= /(x/0))= ƒ() (2)
từ (1) và (2) ta có Z)ƒœ) = ƒœ)= /)=1(4@ƒ(x) >1)
Cho z=1= /(/0))=>./0)=>y @)
Ta sẽ chứng minh nếu z > y thì ƒ(z)> /(y). Thật vậy
ƒŒ)= 7|] : /[šzưø)) = /œ/|Š] >/0)
(do š>i= /[*]>l, theo giả thiết của hàm số )
Ta chứng minh /(z)=x là đáp số duy nhất.
Giả sử tồn tại z mà ƒ(z) #z.
- Nếu ƒ(z)>z= /(@))> #œ)>z> ƒZŒ) (dùng (3)), mâu thuẫn. - Nếu ƒz)z< /() (dùng (3)), mâu thuẫn. Vậy ƒ()=x (thử lại ta thấy thỏa mãn). `" 3.