S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ
QU NG NAMẢ
K THI OLYMPIC QU NG NAM NĂM 2019Ỳ Ả
Môn thi: TOÁN – L p 11ớ
Th i gian:ờ150 phút (không k th i gian giao để ờ ề)
Ngày thi : 21/3/2019
Câu 1 (3,0 đi m). ểGi i các ph ng trình sau:ả ươ
a) b)
Câu 2 (4,0 đi m). ể
a) Ch ng minh m nh đ sau b ng ph ng pháp quy n p: ứ ệ ề ằ ươ ạ “ T ng các góc trong c a đaổ ủ
giác l i có ồn c nh b ng ạ ằ ”.
b) Cho dãy s bi t: v i Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ố ế ớ ố ạ ổ ủ ố
Câu 3 (6,0 đi m). ể
a) Cho s nguyên d ng th a mãn: và theo th t l p thành c p s c ng. Tìm số ươ ỏ ứ ự ậ ấ ố ộ ố
h ng không ch a trong khai tri n ạ ứ ể c aủ v i ớ
b) G i là t p h p t t c các s t nhiên có 5 ch s khác nhau đc l p t các ch sọ ậ ợ ấ ả ố ự ữ ố ượ ậ ừ ữ ố
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ch n ng u nhiên t ra m t s . Tính xác su t đ ch n đc sọ ẫ ừ ộ ố ấ ể ọ ượ ố
không có hai ch s ch n đng li n k .ữ ố ẵ ứ ề ề
c) Cho hàm s . ố
Tìm giá tr c a tham s ị ủ ố m đ hàm s liên t c t i . ể ố ụ ạ
Câu 4 (3,0 đi m). ể
a) Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho hai đng th ng . Bi t phép v t tâmườ ẳ ế ị ự
A(0;1), t s bi n đng th ng thành đng th ng . ỉ ố ế ườ ẳ ườ ẳ Vi t ph ng trìnhế ươ nh c a đng trònả ủ ườ
qua phép v t tâm ị ự A, t s ỉ ố k.
b) Trong m t ph ng, cho hai đi m ặ ẳ ể A, B c đnh, đi m ố ị ể M di đng trên n a m t ph ngộ ử ặ ẳ
b ờAB sao cho tam giác ABM vuông t i ạM. Trên n a m t ph ng ử ặ ẳ b ờAB không ch a đi m ứ ể M
v tia ẽBx vuông góc v i ớBM. Trên tia Bx l y đi m ấ ể C sao cho BM = BC. Qua đi mể C d ngự
đng th ng ườ ẳ d vuông góc v i ớAB c t tia ắBM ởN. Hãy xác đnh phép quay bi n ị ế AM thành BN.
Khi M di đng thì đi m ộ ể N di đng trên đng nào?ộ ườ
Câu 5 (4,0 đi m). ể
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hinh ch nhât, ư % SA vuông góc v i m t đáy, ớ ặ
a) Tính kho ng cách gi a hai đng th ng ả ữ ườ ẳ AC và SB theo .
b) Goi %G là tr ng tâm c a tam giác ọ ủ SCD, M là trung đi m c a ể ủ SC, là góc gi a haiữ
đng thăng ươ & AG va BM. Tinh .
–––––––––––– H t ––––––––––––ế
H và tên thí sinh: …..…………………………………….; S báo danh:……………………ọ ố ...........
S GIÁO D C VÀ ĐÀOỞ Ụ
T OẠ
QU NG NAMẢ
K THI OLYMPIC QU NG NAM NĂM 2019Ỳ Ả
Môn thi: TOÁN – L p 11ớ
ĐÁP ÁN – THANG ĐI MỂ
Môn thi: TOÁN
(Đáp án – Thang đi m g m ể ồ 07 trang)
Câu 1 (3,0 đi m)ể
a
1,5
0.25
0.25
2
0.25
(0.25) (0.5)
0.75
b
1,5
0.25
0.25
0.25
0.25
().
V y ph ng trình có nghi m là: ậ ươ ệ
0.5
Câu 2 (4,0 đi m)ể
a
Ch ng minh m nh đ sau b ng ph ng pháp quy n p : ứ ệ ề ằ ươ ạ “ T ng các góc trongổ
c a đa giác l i có ủ ồ n c nh b ng ạ ằ . ”. 2,0
- Xét : M nh đ tr thành “ t ng các góc trong c a m t tam giác b ng 180ệ ề ở ổ ủ ộ ằ 0 ” là m nhệ
đ đúng.ề
0.25
- Gi s m nh đ trên đúng v i m t s t nhiên tùy ý () t c là:ả ử ệ ề ớ ộ ố ự ứ
“ T ng các góc trong c a đa giác l i có ổ ủ ồ k c nh b ng ạ ằ . ” 0.25
- Ta đi ch ng minh m nh đ trên đúng v i , t c là đi ch ng minhứ ệ ề ớ ứ ứ
“ T ng các góc trong c a đa giác l i có ổ ủ ồ k +1 c nh b ng ạ ằ . ” 0.25
+ Xét đa giác l i có ồk + 1 c nh Aạ1A2….Ak+1.
N i Aố1 và Ak ; khi đó t ng các góc trong c a đa giác l i có ổ ủ ồ k + 1 c nh Aạ1A2….Ak+1
b ng t ng các góc trong c a tam giác Aằ ổ ủ 1AkAk+1 c ng v i t ng các góc trong c a đaộ ớ ổ ủ
giác l i ồk c nh Aạ1A2….Ak.
0.5
Do đó t ng các góc là: 180ổ0 + (k – 2).1800 = (k – 1).1800
0.5
Suy ra m nh đ đúng v i .ệ ề ớ
V y m nh đ đã cho đúng v i m i s th nhiên th a .ậ ệ ề ớ ọ ố ự ỏ
0.25
b
Cho dãy s bi t: v i Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ố ế ớ ố ạ ổ ủ ố
2,0
4
0.5
(*)
0.5
Đt , khi đó (*) tr thành: .ặ ở
Suy ra là c p s nhân có công b i q=3. Do đó .ấ ố ộ 0.25
0.25
Mà . Suy ra .
0.25
0.25