ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC lÇn ii NĂM häc: 2010-2011 Môn thi : TOÁN lµm bµi:180 phótThêi gian (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số)
2. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. Câu II:(2 điểm)
2
y
xy
0
x
1
2
y
1 1
x
1. Giải hệ phương trình:
;0( x )
sin
2 x
sin
2
x
cos 1
2 x tan x
1 2
. 2. T×m tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cotx – 1 =
2
Câu III: (2 điểm) 1. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x a). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt
(
x
x sin 2 ) cos 2
xdx
4 0
. 2. Tính tích phân: I =
2
2
2
c
Câu IV: (1 điểm) : Cho c¸c sè thùc d¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1.
2 .
a b
b c
a b
b c
a
Chứng minh rằng :
c a PHẦN RIÊNG (3 điểm) ( Chó ý!:ThÝ sinh chØ ®îc chän bµi lµm ë mét phÇn) A. Theo chương trình chuẩn
vµ
3 2
träng t©m thuéc ®êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
y
2 MA MB
2 28
2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4) 2 .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn sao cho: vµ ®êng th¼ng : 1
x 1 1
2
z 2 2
4
x
2
x
1
x
2
x
1
Câu Va :1.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng
2(
)3
2(
)3
2
3
Câu VIa : Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M,
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d víi d : x 1 2
y 1 1
z 1
cắt và vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d
log
xy
3
log 2 3
4
xy
)
Câu VIb: Giải hệ phương trình
2 2
( 2
x
y
) 1
x
x
y 3 )
log ( 4
log 2 4
log ( 4
B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vb: 1. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
………………… …..………………..Hết……………………………………. (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm)
Néi Dung
ý
§iÓm
I
1
Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iÓm) y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm) 1. m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1
Híng dÉn chÊm m«n to¸n C©u
y
,
y
(C3)
x
lim x
+ TXÑ: D = R + Giới hạn: lim
+ y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 0; x hµm sè ®ång biÕn trªn R Baûng bieán thieân:
+ y” = 6x + 6 = 6(x + 1) y” = 0 x = –1 tâm đối xứng U(-1;0)
2 1 0,25 0,25 0,25 0,25
* Ñoà thò (C3):
Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1)
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø ñöôøng
2
1 0,25
thaúng y = 1 laø:
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0 3x m 0 (2) x 0 2 x
0,25
* (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi C(0;1), D, E phaân bieät: Phöông trình (2) coù 2 nghieäm xD, xE 0.
Luùc ñoù tieáp tuyeán taïi D, E coù heä soá goùc laàn löôït laø:
0,25
3x
6x
2m);
m (3x
(*) 2 0 9 4m 0 3 0 m 0 m 0 4 m 9
D
D
2 D
3x
6x m (3x
2m).
kD=y’(xD)=
E
E
2 E
kE=y’(xE)=
0,25
Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc khi vaø chæ khi: kDkE = –1
(3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
9
65
8
9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo ñònh lý Vi-ét).
9
65
8
m m
4m2 – 9m + 1 = 0
9
65
1 8
II
So s¸nhÑk (*): m =
1
2 1 0,5
1. §k:
x y
1 1 2
x y
y
(
xy
) 0 (
x
y
)(
x
2
y
) 0
x
2
y
0
x
2
y
x
y
0(
voly )
0,25
x = 4y Thay vµo (2) cã 1
(1)
1 1 1 4 2 4 y y y 2 y 1 1
y 1 2 4 y 1 2 2 y 1 1 1 2 2 2 y y 1
0,25
V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2)
y tm ( ) 2 y 1 0 2 10 2 y 1 2 x x y tm ( ) 1 2 5 2
2
®K:
x
1 0,25
PT
sin
2 x
sin
x
cos
x
x 2sin 0 x 0 tan 1 x .2cos cos x cos sin x x
x
cos
2
2
cos
x
sin
x
cos
x
sin
x
sin
x
cos
x
x 2sin 0 x sin cos cos sin x x sin x sin x sin x
0,25
cos
x
sin
x
sin
x
1(
x )2sin
2
(cos
x
sin
x
)(sin
x
cos
x
sin
x
0)1
0,25
x (cos
sin
x )(sin 2
x
2cos
x
0)3
cos
x
sinx
0
(cos
x sinx
x )( 2sin(2
) 3) 0
4
2 sin(2
x
)
3(
voly
)
4
(tm®k)
tanx = 1
x
( k
Zk
)
cos
x
sin
x
0
0,25
4
Do
x
0
x
k
;0
4
III
1
Do
) ( SAC ) ( ABCD )
2 1 0,25
( ( ABCD SAC )
(
SAC
)
(
ABCD
)
MH
(
SAC
)
d M SAC MH AM
(
)
,
o .sin 45
x 2
Ta cã
AH AM cos
.
0 45
HC AC AH a
2
O,5
x 2
x 2
S
MH MC .
(
a
2
)
MHC
x 2
2
a
(
a
2
)
V
SA S .
SMCH
MCH
x 1 2 2 1 6
1 2 1 3
x 2
x 2
Tõ biÓu thøc trªn ta cã:
0,25
SA SA Lai cã MH AC
3
2
SMCH
a 2 x 2 x 2 a V 2 a 6 1 3
a 2 x 2
x 2 x a
M trïng víi D
2
4
4
4
(
x
2 sin 2 )
x cos xdx 2
xcos xdx 2
2 sin 2
xcos xdx 2
I
I 1
2
1 0,25
0
0
0
I =
0,25
4
sin 2
x
sin 2
xdx
I 1
TÝnh I1
cos xdx 2
x 2
sin 2
x
0
u x v
1 4 2 0
du dx v
1 2
cos x
8
1 4
8
1 4
2 4 0
®Æt
2
I
x sin 2 (sin2 ) xd
3 x sin 2
2
1 2
1 6
14 6
0
0
0,25
0,25
VËy I=
8
1 4
1 6
8
1 12
2
2
2
TÝnh I2 4
IV
1
(
)
(
)
A B
.Ta cã :VT =
a b c
b c a
c a b
b b c
c c a
a a b
1 0,25
0,25
A
3
(
a b
)
(
b c
)
(
c a
)
1 a b
1 b c
1 c a
1 2
3
3 ( 3
a b b c c a
)(
)(
)3
1 a b b c c a
1
1
9 2
1 2
A
3 2
2
2
2
2
a b b c
c a
)
(
(
)
)(
2 1
a b c
0,25
b b c
c c a
1
B
.2
B
VP
2
Tõ ®ã tacã VT
0,25
1 2
a a b 1 2 3 2 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1/3
V.a
1
2 1 0,25
;
5 2
5 ), 2
Ta cã: AB = 2 , trung ®iÓm M (
pt (AB): x – y – 5 = 0
3
0,25
1 2
3 2
2
= d(C, AB).AB = d(C, AB)= S ABC
1 2
0,25
t
t (3
8) 5
Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)=
2
1 2
uuuur uuuur 3 CM GM
= d(G, AB)= t = 1 hoÆc t = 2
0,25
C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1) G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2) Mµ
2
ptts
:
t 1 2
t M
(1
; 2
t
t
t ; 2 )
t 2
x y z
2
2
1 0,5 0,25
2 MA MB
t 12
28
t 48
48 0
Ta cã:
t 2
Tõ ®ã suy ra : M (-1 ;0 ;4)
0,25
VI.a
1
1 0,25
2 x
x 2
2 x
x 2
4
2
3
2
3
Bpt
0,25
22 x
x
t
4
t
t (
)0
BPTTT :
2
3
2
3
2
t
3
(tm)
1 t 2 4 1 0 t
t
0,25
22 x
x
2
1
x
2
x
1
2
3
3
2
3
2
Khi ®ã :
0,25
x
22 x
01
1
2
1
x
2
1
0
60
(1)
. (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Oy M(0;m) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
· AMB · AMB
0 120 (2)
m
m
4
Vì MI là phân giác của ·AMB Vậy
m 7
(1) ·AMI = 300
MI
0
MI = 2R 2 9
MI
m
9
0
MI = R 2 Vô (2) ·AMI = 600
V.b
2 1 0,5 0,5
4 3 3
IA sin 30 IA sin 60
2 3 3
nghiệm Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 )
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d.
x 1 2t
1 t
d có phương trình tham số là:
2
1 0,25
t
y z
0,25
uuuur . Vì thế, MH
;
;
4 3
2 3
uuuur Vì H d nên tọa độ H (1 + 2t ; 1 + t ; t).Suy ra : MH r Vì MH d và d có một vectơ chỉ phương là u 2 3
= (2t 1 ; 2 + t ; t)
(1; 4; 2)
uuuur MH
3
= (2 ; 1 ; 1), nên : = 1 3
Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: x 2 1
y 1 4
z 2
Theo trªn cã
mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é
H
(
;
;
)
1 3
2 3
7 3
0,25 0,25
)
;
;
(
M’
5 3
8 3
xy
xy
2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t = uuuur MHu
VIb
4 3 ĐK: x>0 , y>0 2log 2 3
log 2 3
2 0
0,5 0,25
log3xy = 1 xy = 3y= 3 x
(1)
(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9
0,25
6 2
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( 3 ; 3 ) hoặc ( 6 ; )
S
M
A
D
H
B
C
