Tr­êng L­¬ng thÕ Vinh –Hµ néi. §Ò thi thö §H lÇn I . M«n To¸n (180’) PhÇn b¾t buéc.

C©u 1.(2 ®iÓm) Cho hµm sè

y

x 2  1 x 1 

1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè . 2. T×m täa ®é ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm

tíi tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M lµ lín

nhÊt . C¢U 2. (2 ®iÓm).

2

.

)2;1(I

2

1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 2. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt : 

 23(

x )6

log

log

m

0

x

x

(

)

5,0

2

2

2

x

C¢U 3 . (1®iÓm) TÝnh tÝch ph©n:

.

I

dx

 4 2 x

1

a

BC

CD

S

cos

cos2

cos

cos

2 C

A

A

B

3

.

C¢U 4. (1 ®iÓm). Cho tø diÖn ABCD cã ba c¹nh AB, BC, CD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau vµ . Gäi C’ vµ D’ lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn AC vµ AD. TÝnh thÓ tÝch AB  tÝch tø diÖn ABC’D’. C¢U 5. (1 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC , t×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc: 2 PhÇn tù chän (thÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn : A hoÆc B ) PhÇn A C¢U 6A. (2 ®iÓm). 1. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi

01  2sin sin2 cos sin    x x x x

0

, ®Ønh C n»m trªn ®­êng )5;2( , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng x 2 0 . TÝnh diÖn

th¼ng 4 x tÝch tam gi¸c ABC.

2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng d vµ d’ lÇn l­ît cã ph­¬ng tr×nh : d :

x

2

x

z



3

y

vµ d’ :

.

 2

z  5  1

2  y 1 

,)1;1( B A  6  y 3



n ()1(

 CS

2 C

3 C

)1

C

n

3 4 C n

2 n

0 n

n n

1 n

Chøng minh r»ng hai ®­êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi nhau. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua d vµ vu«ng gãc víi d’ C¢U7A. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : PhÇn B. C¢U 6B. (2 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi

( ®i )

, träng t©m G cña tam  )2;1( . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng

 ,)1;2( B A

gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng 13,5 .

2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng d vµ d’ lÇn l­ît cã ph­¬ng tr×nh : d :

x

2

vµ d’ :

.

x

z



3

y

2  y 1 

 2

z  5  1

ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng

x 02  y

030

C¢U7B. (1 ®iÓm) TÝnh tæng :

 CS

2 C

3 C



(

n

)1

0 n

1 n

2 n

n C n

1

( ®i qua d vµ t¹o víi d’ mét gãc )

.

1x

,

,

y

 2

y

'

3 

1

x

3 

(

x

2)1

§¸p ¸n m«n To¸n. C©u 1. 1. TËp x¸c ®Þnh : x 2  1  x 1 B¶ng biÕn thiªn: TiÖm cËn ®øng :

, tiÖm cËn ngang

1x

2. NÕu

th× tiÕp tuyÕn t¹i M cã ph­¬ng tr×nh

y

 2

(

x

)

2;

C (

)

x 0

2

3 

1

3 

1

3 

(

)1

x 0

x 0

x 0

hay

   2 ()1

)

y

)1

0

x 0

x 0

1(3

x

x  ( 0 )2;1(I  )1

1

6

0

  (3)2 tíi tiÕp tuyÕn lµ x 6 0

. Theo bÊt ®¼ng thøc C«si

d

4

4

2

 (9

)1

9

x

  xM 0  x  (3  . Kho¶ng c¸ch tõ   (3) 

x 0  1

x 0

0

(

x

)1

0

2

9 

(

)1

x 0

2

, v©y

6d

. Kho¶ng c¸ch d lín nhÊt b»ng 6 khi

92

6

(

)1

x 0

2

(

x

)1

0

2

2

)1

3

1

3

(

 1

x 0

x 0

2

9  9 

(

)1

x 0

1

2;3

1

2;3

hoÆc

  M

 x 0 3

.  M

2y

3

2

.

x

2(

x

cos

x



01

 2

. VËy

hoÆc

.

sin

x

cos

x

1

cos sin)1 x  sin x 5,0

VËy cã hai ®iÓm M : C¢U 2. 2 sin2 1) 

x  2( cos

2sin x 

x )1

cos x

x  )1

 01 x 2( cos

2

k 

x

2

k 

x

Víi

ta cã

hoÆc

sin2 2  )3 5  6

sin  x  8 (cos  6

Víi

ta cã

, suy ra

sin

x

cos

x

1

sin

x

cos

x

1 

sin

x

sin

 4

2 2

 4

  

  

  

  

x

2

k

x

k 

2

hoÆc

2

2)

log

(

m

x )6

log

23( 

x

2 ) 

x

log

(

m

x )6

log

x

x

0)



3  2 23( 

2

2

5,0

2

2

1

x

3

x

x

0

2

x



8

x

3

x

6

23



x

x 2

, do ®ã

khi

,

sin x 5,0

xf )(



x

4x

,3 ,

8 x  )1;3(

   2 m   3 x f  )3(

1 ,18

ta cã f )1(

 23     m  XÐt hµm sè nghÞch biÕn trong kho¶ng 

 6

18

m

khi

C¢U 3. §Æt

th×

, khi

th×

, khi

th×

, vËy:

x

sin2

t

dx

2

cos

tdt

1x

2x

t

t

 6

 2

2

 2

2

2

 2

 2

x

3

I

dx

dt

1

d

(cot

t

)

t

 3

4  2 x

cos 2 sin

t t

1 2 sin

t

  

 dt  

 2  6

1

 6

 6

 6

x 2 8  x 0)(' )(xf f  . VËy hÖ ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt x )(' f  6

.

nªn AC

vµ do ®ã )

C¢U 4. V× mp ABC )

Suy ra nÕu V lµ thÓ tÝch tø diÖn ABC’D’ th×

.

V 

dt

(

DAC '

).'

BC

'

 .V× CD  nªn AB BC ' CD   mp ( , BC ACD CD ) (ABC mp ) (ACD (

2

mp BC  1 3

a

2

V× tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn

.

AC

'

CC

'

BC

'

2

2

2

2

2

2

Ta cã

. V× BD’ lµ ®­êng cao cña tam gi¸c

2 2 nªn

AD 

3a

2

vu«ng ABD nªn

, VËy

. Ta cã

AD  '

AD  AB  BD  AB  BC  CD  3a

a 3

a

2

a

3

2a

2

. VËy

dt

(

DAC '

)'

AC

'.

AD

sin'

ˆ DAC

AC

'.

AD

'.

1 2

CD AD

1 2

2

3

12

1 2

1 3

a

2

2

.

V

=

.

cos

2 C

AD '. AD  AB

1 2 a 3 C¢U 5.  V×

, dÊu b»ng xÈy ra khi

hay

3cos A  2 cos A  2 cos(  CB ) cos(  CB )

 A cos 2 B ) cos(  CB .  0) S nªn

3cos

A

. Nh­ng

, dÊu b»ng xÈy ra khi

hay A =

cos

3

A

1

cos cos(  CB  1)

0 180

060

 CB

3a 36 2 12  cos 3 A  cos2 S  3cos cos  2  A A 1 1,0 A CB    cos( 1800 A 2

3 A

Tãm l¹i : S cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt b»ng -1 khi ABC lµ tam gi¸c ®Òu. PhÇn A (tù chän) C¢U 6A.

y C

1. Ta cã

. Khi ®ã täa ®é G lµ

. §iÓm G n»m trªn

C 

;4(

)

,1

 2

Cy

x G

y G

y C 3

 51 3 , tøc lµ

®­êng th¼ng

nªn

, vËy

 421 3 0

 6

62



Cy

2Cy

,

. Ta cã

, vËy

,

.

10

2 x  y 3  6 0

AB



AC

)1;3(

AB .

5

2

2

2

DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ

=

AC

S

AB

.

AC

10.25

25

5AB 

)2;4(C

 AB .

AC 15 2

AC 1 2

,)4;3( 1 2

2.§­êng th¼ng d ®i qua ®iÓm

vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng

)1;1;1( u

§­êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm

vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng

)0;2;0(M

u

)1;1;2('

Ta cã

vËy d vµ d’ chÐo nhau.

MM

 )5;1;2(

;

)3;3;0(

MMuu

;

'

12

0

, do ®ã 

M )5;3;2(' 

 .'

nªn cã ph­¬ng

u

)1;1;2('

 ,  uu ' )0;2;0(M vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ x y 2

tr×nh:

n

C¢U 7A. Ta cã

, suy ra

1(

x

)

C

 n

n

1

.

2 n 

n xC n 

)

x

x

1(

( ®i qua ®iÓm MÆt ph¼ng y  2 ( z  )  )2 x 02 2 0 n

 0 n

 32 xC n

n xC n

2

n

1

n

n



(

n

)1

nx

1(

x

x

)

)

0 C n

1 2 xC n

2 3 xC n

n xC n

Thay

LÊy ®¹o hµm c¶ hai vÕ ta cã : 1(    1x vµo ®¼ng thøc trªn ta ®­îc S.

z  hay 1 0  xCxC n n 21 xCxC  n

PhÇn B (tù chän)

C¢U 6B.

1. V× G n»m trªn ®­êng th¼ng

nªn G cã täa ®é

. Khi ®ã

,

AG

 ( t

3;2

t

)

AB

)1;1(

2

3

2

2

2

2

=

S

AG

.

AB

AB

)2

3(

t

)

 t (2

 1 

VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ 

x 02  y  tG 2;(  t )

 AG .

1 2

1 2

2 t 2

3

NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng

. VËy

, suy

5,4

t 2 2

. V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn

 ,)4;6(

G



)1;3(

2

vµ

y

(

G 1 y

 ) .

ra x C

6t 3t . VËy cã hai ®iÓm G : hoÆc  y 3    x x x 3 ( ) G G

y C

B

a

a

B

3

5,43:5,13 

 )9;15(

C

(

)18;12

Víi

ta cã

, víi

ta cã

 )4;6(

G

)1;3(

C 1

G 1

2

2.§­êng th¼ng d ®i qua ®iÓm

vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng

2 )1;1;1( u

§­êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm

vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng

.

)0;2;0(M

u

)1;1;2('

Mp

. Bëi vËy

M )5;3;2(' 

cos(

un )' ;

cos

60

0 

1 2

nÕu ®Æt

th× ta ph¶i cã :

)

n  CBA 

; ( CBA ; 0 

CAB

CAB

2

CBA 

 2

2

2

2

2

A

AC

C

0

32

A

6

A

(

CA 

)

C

  2 

2

2

2

   

1 2

6

2

2

     Ta cã

. VËy

.

A A 2

 

B  AC

C 

C



CA

0

(

2)(

CA 

)

0

CA  hoÆc

A 2

C

, tøc lµ

vµ

cã ph­¬ng tr×nh

) ( ph¶i ®i qua ®iÓm M vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn n vu«ng gãc víi u vµ

)1;2;1(n

(mp )

2B 0

NÕu x 

CA  ,ta cã thÓ chän A=C=1, khi ®ã  4 (2 hay

, tøc lµ

vµ

cã ph­¬ng tr×nh

1B

 2 y x z z  )2  0 y

n

 )2;1;1(

(mp )

A 2 C NÕu x y    ( 2)2

ta cã thÓ chän z

hay n

n

C¢U 7B. Ta cã

, suy ra

x

x

)

C

 n

n

1

.

n xC n 

)

x

x

1(

0  1( 

 32 xC n

 0 n

n xC n

1

n

n

2

n

nx

x

x

)

)



(

n

)1

1 2 xC n

2 3 xC n

n xC n

LÊy ®¹o hµm c¶ hai vÕ ta cã : 0 C 1(  1( n 1x vµo ®¼ng thøc trªn ta ®­îc S.

Thay

4

 C ,1 A  2 , khi ®ã z 2 y   2 0 1 0 22  xCxC n n n 21 xCxC   n