TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP KÌ THI THỬ CHUẨN BỊ KÌ THI THPT QUỐC GIA Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 ( ID: 79392 ) (4 điểm)Cho hàm số:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A (1; 4) có hệ số góc k. Tìm giá trị của k để đường thẳng Δ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (C) tại các điểm B và D có hệ số góc bằng nhau.
Câu 2 ( ID: 79393 ) (4 điểm) Giải các phương trình
1) ( )( ) 2) √ √ √ √
Câu 3 ( ID: 79394 ) (1.5 điểm)Giải phương trình:
( ) ( √ ).
Câu 4 ( ID: 79395 ) (1.5 điểm)Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
( ) trên đoạn [-1; 1]
Câu 5 ( ID: 79396 ) (1.5 điểm)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = AD = a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và SC.
Câu 6 ( ID: 79397 ) (1.5 điểm) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 tới 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ.Tính xác suất để bốn thẻ được chọn đều đánh số bởi các số chẵn.
Câu 7 ( ID: 79398 ) (2.5 điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CH, BH và AD. Biết rằng
E( ), F ( ) và G(1; 5).
1) Tìm tọa độ điểm A. 2) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE.
Câu 8 ( ID: 79399 ) (2 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện có các đỉnh là A (5; 1; 3), B (1; 6; 2), ( ) và D (4; 0; 6).
1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua đỉnh D và song song với mặt phẳng (ABC). 2) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Câu 9 ( ID: 79400 ) (1.5 điểm) Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng.
√ ( )( ) ( )( )
>> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang http://tuyensinh247.com/ và nhập mã ID câu 1
Đáp án: Đề trường ĐHSP Hà Nội
Câu 1:
1. Khảo sát
1) TXĐ: D = R
2) Sự biến thiên
( )
*
BBT:
-∞
2
0
+∞
x
y’
+
0
0
y
6
+∞
-∞
2
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = 2
Hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = 6
3. Đồ thị
=>U (1; 4) là điểm uốn.
Đồ thị giao với Oy tại điểm (0; 2)
x
1
3
y
4
2
Đồ thị:
>> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang http://tuyensinh247.com/ và nhập mã ID câu 2
y
6
4
2
x
-2
0 1
2
3
-1
Đồ thị nhận điểm U (1; 4) làm tâm đối xứng
2) Phương trình đường thẳng Δ: y = k (x – 1) + 4
Δ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt.
( )
( ) (1) (0.5 điểm)
( )( )
(0.5 điểm) *
PT (1) có 3 nghiệm phân biệt PT (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
{ (0.5 điểm) ( )
Gọi xB; xD là nghiệm của PT (2). Theo hệ thức Vi ét ta có: xB + xD = 2 (*)
Ta có . Hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại các điểm B, D là:
( )
( )
(0.5 điểm)
Sử dụng kết quả (*) ta có: (
) ( )
( )( )
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại 2 điểm B và D bằng nhau (0.5 điểm)
Câu 2:
PT (sin x + cos x)2. (cosx – sin x) = cos 2x
(0.5 điểm) (cos2x – sin2x) (sinx + cosx) = cos2x
cos2x (sinx + cosx) – cos2x = 0
>> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang http://tuyensinh247.com/ và nhập mã ID câu 3
(0.5 điểm) cos2x (sinx + cosx – 1) = 0
(0.5 điểm) * [ ( ) √
[ (0.5 điểm)
[
(0.25 điểm) 2) ĐK:
PT
√( )( ) √ (√ ) (√ ) √( )( ) √
√ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ )(√ √ )
√ √ √
( ) ( )
√ √
√
(thỏa mãn)
Vậy PT có 1 nghiệm
Câu 3: ĐK: (0.25 điểm)
PT (0.5 điểm)
(0.25 điểm)
(thỏa mãn) (0.5 điểm) * ( ) *
Vậy, nghiệm của phương trình là: x = -1; x = 2
Câu 4:
(0.5 điểm) Đặt Do nên
Ta có: ( ) với
(0.5 điểm) ( )
( ) [
>> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang http://tuyensinh247.com/ và nhập mã ID câu 4
(0.5 điểm) ( ) ( ( )
)
Vậy max f(x) = 24 tại x = 1; min f(x) = 0 tại x = 0
Câu 5:
S
Trong mặt phẳng (SAD) vẽ AH ⊥SD; H∊SD
Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên CD⊥(SAD);
AH⊥(SCD)
H
Vậy khoảng cách giữa AB và SC chính là AH
A
B
(1.0 điểm)
Trong tam giác vuông SAD có AH là đường cao
Nên
=>
√
D
C
Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SC bằng (0.5 điểm)
√
(0.5 điểm) Câu 6: Số phần tử của không gian mẫu Ω là |Ω| =
Gọi A là biến cố chẵn Ω, là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A. Khi đó số phần tử của (0.5 điểm) là
=>Xác suất để bốn thẻ được chọn đều được đánh số chẵn là:
(0.5 điểm) ( )
Câu 7:
1) Ta có EF là đường trung bình của ΔBCH nên ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Mặt khác: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
D
C
=> ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
E
A (x; y) ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
G
H
{ A (1; 1) (1.0 điểm)
2) Do EF // BC, AH ⊥ BC nên EF ⊥AB,
A
F
B
Từ giả thiết ta có: BH ⊥AC
=>E là trực tâm của ΔABE. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng BH với đường thẳng đi qua A vuông góc với EF.
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) nên đường thẳng đi qua A vuông góc với EF có phương trình:
>> Để xem đáp án chi tiết của từng câu truy cập trang http://tuyensinh247.com/ và nhập mã ID câu 5
( ) ( )
y = 1.
Phương trình đường thẳng BH vuông góc với AE là:
( ) ( )
Vậy tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT:
(1.0 điểm) { ( )
Gọi O (x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABE; kẻ đường kính EK.
Ta có tứ giác AKBF là hình bình hành, khi đó 2 đường chép KF và AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ta có I (3; 1)
Mặt khác O là trung điểm của EK, suy ra IO là đường trung bình của ΔEFK
Hay ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ { ( )
Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABE là O (3; 3) (0.5 điểm)
Câu 8:
1) Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ( )
Suy ra mp (ABC) có véc tơ pháp tuyến là ⃗ ( ).
Mặt phẳng ( ) đi qua D song song với mp(ABC) cũng có véc tơ pháp tuyến là ⃗ ( ).
Vậy PT mp ( ): ( ) ( )
(1.0 điểm)
2) Trong 2 số ab + cd và ad + bc không mất tính
Tổng quát giả sử ab + cd ad + bc.
(ab + cd + ad + bc) Khi đó ab + cd
(1.0 điểm) ( )( )
=
=> (0.5 điểm) ( ) √
