SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT - NĂM 2020 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm):
Cho biểu thức:
(với
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm để .
c) Tìm để có thỏa mãn .
Câu 2 (2,0 điểm):
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước thì sau 4 giờ 48 phút bể sẽ đầy. Nếu chỉ mở cho mỗi vòi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể? Câu 3 (2,0 điểm):
1) Giải hệ phương trình:
2) Cho parabol và đường thẳng ( là tham số)
a) Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng khi .
b) Tìm để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt và có tung độ lần lượt là
thỏa mãn:
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho ba điểm cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ một đường tròn bất kì đi qua
( không là đường kính của ). Từ kẻ các tiếp tuyến và đến ( là các
tiếp điểm). Gọi là trung điểm của là trung điểm của , giao điểm với là . ,
1) Chứng minh và là các tứ giác nội tiếp.
. song song với .
2) Chứng minh 3) Chứng minh 4) Khi thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn thuộc một đường thẳng cố định.
thỏa mãn: Câu 5 (0,5 điểm): Cho ba số
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
--------------HẾT------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT - NĂM 2020 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM MÔN THI: TOÁN (Đáp án - thang điểm có 05 trang)
Câu 1 Đáp án Thang điểm
0.25
0,25 a
0,25
0,25
0,25
Đặt b
Ta có
. 0,25 Vậy khi .
Ta có
Đặt Bài toán trở thành tìm để (1) có nghiệm
.
0,25 Phương trình (1) có nghiệm khi
Ta có nên chắc chắn phương trình 1 luôn có ít nhất
c một nghiệm âm. Nếu thì phương trình sẽ có hai nghiệm cùng dấu âm.
Vậy Phương trình có hai nghiệm cùng âm (không thỏa mãn
0,25 điều kiện). Khi kiện thì phương trình 1 có một nghiệm không âm (thỏa mãn điều )
Xét điều kiện
Vậy với thì tồn tại để .
Đổi 4 giờ 48 phút = giờ.
0,25
Gọi thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bề (giờ) ( )
thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bề (giờ) 0,25
0,25 Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được (bể)
0,25 Trong một giờ vòi thứ hai chảy được (bể)
0,25 Trong một giờ cả hai vòi chảy được (bể) 2
Vậy ta có phương trình 0,25
0,25
0,25 Vậy thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 8 giờ Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 12 giờ
Giải hệ phương trình
ĐK: đặt 0,25
Ta có
Thay 0,25
Thay 0,25
Vậy hệ có hai nghiệm là ; 0,25
3.1 3.2a Phương trình hoành độ giao điểm của và là: 0,25
Với m=2 ta có phương trình:
0,25
Kết luận: Vậy với m=2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ là
3.2b Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
0,25 Có a+b+c=0 nên
=> cắt tại hai điểm phân biệt
Vậy cắt tại hai điểm phân biệt khi .
Theo giả thiết
0,25
thì thỏa mãn đề bài.
Vậy tìm được
Tứ giác là các tiếp tuyến của đường tròn (g.t) nên có 0,25 4.1
nội tiếp đường tròn (vì có tổng 0,25 hai góc đối bằng nên tứ giác )
là trung điểm của BC(g.t) ( đường kính đi qua trung điểm 0,25 của dây không đi qua tâm thì vuông với dây)
có cũng nội tiếp trong 0,25 nên tứ giác ) Tứ giác đường tròn (vì có tổng hai góc đối bằng
4.2 Xét và có chung, (vì cùng bằng nửa số đo 0,5 ) (g.g)
(đpcm) 0,5
4.3 Gọi là tia đối của tia ta có (vì đều bằng nửa số đo 0,25 )(1). Theo câu 2, ta có 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn, do đó 0,25 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung )(2).
0,25 Từ (1) và (2) ta có:
0,25 (đpcm)
4.4 ở vị trí đồng vị nên (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, là tại trung điểm của . Mà hai góc Có trung trực của Gọi là giao điểm của và
. nội tiếp được trong đường tròn(vì có ) 0,25 tứ giác đường tròn ngoại tiếp luôn đi qua hai điểm là và . (3) Mà
vuông có là đường cao nên (4) Xét
Từ (3) và (4) ta có hay .
0,25 cố định nên và Do
cố định luôn thuộc đường trung trực của tâm đường tròn ngoại tiếp là đường thẳng cố định. Ta có
Tương tự 0,25 5
Nên
Áp dụng bất đẳng thức Cô si (với ) 0,25 xảy ra khi Dấu Ta có
Vậy max
TỔNG ĐIỂM 10 ĐIỂM
* Chú ý: - Trên đây chỉ trình bày một cách giải, nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó. - Học sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. - Trong một câu: + Có nhiều ý mà các ý phụ thuộc nhau, học sinh làm phần trên sai phần dưới đúng thì không cho điểm. + Có nhiều ý mà các ý không phụ thuộc nhau, học sinh làm đúng ý nào thì cho điểm ý đó. - Bài hình học, học sinh vẽ sai hình thì không chấm điểm. Học sinh không vẽ hình mà vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được. - Bài làm có nhiều ý liên quan đến nhau, nếu học sinh công nhận ý trên mà làm đúng ý dưới thì cho điểm ý đó. - Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn.
