KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài thi: 120 phút
Bài 1 (2,0 điểm)
B
:
Cho hai biểu thức
và
x 2 1 x
1
x
x
1 x
2
x A x x 3 3 1
với
x
0;
x
1 .
x . 4
a) Tính giá trị của biểu thức A khi b) Rút gọn biểu thức B. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.B.
Bài 2 (2,5 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai đội công nhân dệt may cần sản xuất một số lượng khẩu trang theo đơn đặt hàng. Nếu làm
chung thì sau 4 giờ họ sẽ làm xong. Nhưng hai đội mới làm chung được 3 giờ thì đội 1 nghỉ, đội 2 tiếp tục làm trong 3 giờ nữa mới xong. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới xong công việc?
2) Tính thể tích của hình nón biết rằng diện tích đáy là 50,24
2cm , chiều cao 6cm.
Bài 3 (2,0 điểm)
x
y
1) Giải hệ phương trình: 7 1 3
2
2
2
2 4
x
8
x
4 5
4 13
4
5
2
2) Cho phương trình
y
y 1
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho ABC
có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn
O; R . Kẻ đường cao AD và đường kính AK.
Hạ BE và CF cùng vuông góc với AK.
có 3 góc nhọn. Chứng
a) Chứng minh tứ giác ABDE và tứ giác ACFD là các tứ giác nội tiếp; b) Chứng minh DF // BK; c) Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC sao cho ABC
là một điểm cố định.
minh tâm đường tròn ngoại tiếp DEF
Bài 5 (0,5 điểm) Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn
. Tìm
2020
1 b c
1 c a
giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
P
2
a
c 3
a 3
c 3
a 3
2
c
1 b 2
1 b 3
1 a b 1 b 3
----------- HẾT ----------
x m 2 0 x m (với m là tham số).
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT
Điểm 0,25
Bài Bài 1 (2 điểm
Điểm a) Thay
x thỏa mãn điều kiện. x vào biểu thức A, ta có:
4 4
A 4 3 3. 4 4 1
0,25
A
6 5
Vậy
khi
x 4
A
0,25
x
x
1
6 5 0;
b) Với
, ta có:
B
:
x 2 1 x
1
x
x
1 x
2
2
B
:
x 2 1 x
1
1 x
x
x
1
0,25
0,25
x 2 B x x
x
1 x
0,25
B
1 x x 2 1 B x 1
0,25
c)
1 x 1x x
Với mọi x thỏa mãn điều kiện ban đầu, ta có:
0,25
A B . x 3 3
x 3 3 0 1 x 3 3 x
0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x =0 Suy ra: GTNN của A.B bằng -1 khi x =0. 1) Gọi x, y (giờ) là thời gian mà đội 1, đội 2 làm riêng hoàn thành công việc. (x,y>4)
Bài 2 (2,5 điểm)
0,25
Trong 1 giờ, đội 1 làm một mình thì làm được
(Công việc)
Trong 1 giờ, đội 2 làm một mình thì làm được
(Công việc)
1 x 1 y
Vì nếu 2 đội làm chung thì hoàn thành công việc sau 4 giờ nên ta có PT
1 3 3 x
0,25
Trong 3 giờ 2 đội làm chung thì làm được:
(Công việc)
1 y 1 4 1 x
Trong 3 giờ, đội 2 làm riêng thì làm được
(Công việc)
3. 1 y 1 x
Vì hai đội mới làm chung được 3 giờ thì đội I nghỉ, đội II tiếp tục
0,25
làm trong 3 giờ nữa mới xong nên ta có PT:
+
3 y
0,25
1 x
1 4
6
(TM)
12
x y
1
3 y
1 x
1 y
0,25
0,25
50, 24 cm 4
2 r r
Ta có hệ PT: 1 y 3. Vậy nếu làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc trong 6 giờ, đội 2 hoàn thành công việc trong 12 giờ. 2) Gọi bán kính đáy của hình nón là r (cm) Ta có: 3,14. 2 16 r Thể tích của hình nón là:
0,25 0,25
2
.3,14.4 .6
V
3
1 3 100, 48
cm
V
0,25 0,25
x
1 3
y
7
2
1.
2
2
2 4
x
8
x
4 5
y
4
y
4 13
Bài 3 (2,0 điểm)
3. 1 1 y 3 y 1 x
0,25
x
a y ,
,
0
1
2
5 Đặt
. Ta có:
5 4 x x y y 1 3 1 5 2 2
0,25
Suy ra:
1
y
0,25
x 3 x 1 y 3 Vậy các cặp (x,y) thỏa mãn là:
5 a b 3 7 7 13 b a b TM 2( ) 4 a b 5 13 1( TM ) a b
3; 1 ; 3; 3 ;
1; 1 ;
1; 3
0,25
2
2
2
4
2
m
m
m
m
9
8
1
m
21
2
2
0,25
8 0
m
m
m
1
m 0 1 0 m
2. a) Vì Hay Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2
0,25
b) 2 x mx
2
x
2
x
1 x m m x
2 0 1
x
m x
1
x
2
x 2 m x m 0
1 2
x Z x Z x 1
Z Do x Z 2
0,25
-1 0 2
-2 -1 0
2 3 0
1 2 2 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn
x (
Bài 4 (3 điểm)
a) Tứ giác ABDE có
(có giải thích)
090 AEB
0,5 đ
1 x Ư(2) 1) Ta có bảng: x-1 x m Vậy với m=0 và m=2 thỏa mãn yêu cầu đề bài
090 BDA
Suy ra tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn
Tương tự chứng minh ACFD nội tiếp
0,5 đ
0.25đ
0.25đ
cùng chắn cung AB.
0.5đ
b) Tứ giác ACFD nội tiếp suy ra DFA ACD mà ACD AKB Suy ra DFA AKB Vậy DF // BK.
mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
c) Gọi M là trung điểm BC; N là giao điểm của AK và BC.
(g.g)
Ta c/m được MFN
OCN
∽
.
Vì M là trung điểm BC suy ra OM BC. Do đó tứ giác OMFC nội tiếp. Suy ra . MFN OCN FN MF MN CN OC ON
(g.g)
ANC
Lại có DNF
∽
.
FN DN DF AC AN CN
0,25đ 0,25đ
∽
AOC MD MF.
(tam
mà OBC OCB
(tứ giác OMFC nội tiếp) . MEN MFN Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là
0,25đ 0,25đ
Do đó hai cặp tam giác trên đồng dạng theo cùng tỷ lệ. Suy ra DMF Tứ giác MOEB nội tiếp nên OBC MEN giác OBC cân tại O). Suy ra OCB MEN Mà OCB MFN Do đó ME MF. điểm M là trung điểm của cạnh BC cố định.
0,25
Chứng minh
với mọi a,b,c,d dương
1 a
1 b
1 c
1 d
16 a b c d
0,25
Bài 5 (0,5 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
1 b 3
2
a
c 3
b c
b c
a b
a c
1
1 16
1 a c
1 c a
1 b c
1 a b
Tương tự với
và
1 b 2
1 b 3
a 3
c 3
a 3
2
c
Suy ra:
1 b 3
1 b 2
1 b 3
2
a
c 3
a 3
c 3
a 3
2
c
.4
505
1 16
1 a b
1 b c
1 c a
Dấu “=” xảy ra khi
a
b
c
2020 4 3 4040
