Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hưng Yên

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HƯNG YÊN<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN<br /> NĂM HỌC 2013 - 2014<br /> Môn thi: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> (Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên: Toán, Tin)<br /> <br /> (Đề thi có 01 trang)<br /> <br /> Bài 1: (2,0 điểm)<br /> a) Cho A <br /> <br /> 2 3  5  13  48<br /> <br /> , chứng minh A là một số nguyên.<br /> 6 2<br />  2<br />  x  12y  6<br /> b) Giải hệ phương trình:  2<br />  2y  x  1<br /> <br /> Bài 2: (2,0 điểm)<br /> 1<br /> 4<br /> a) Cho parabol (P): y  x 2 và đường thẳng (d): y   x  . Gọi A, B là giao điểm của<br /> 3<br /> 3<br /> đường thẳng (d) và parabol (P), tìm điểm M trên trục tung sao cho độ dài MA + MB nhỏ<br /> nhất.<br /> b) Giải phương trình: x 2  5x  8  3 2x 3  5x 2  7x  6 .<br /> Bài 3: (2,0 điểm)<br /> a) Cho f  x  là một đa thức với hệ số nguyên. Biết f 1 .f  2   2013 , chứng minh<br /> phương trình f  x   0 không có nghiệm nguyên.<br /> b) Cho p là một số nguyên tố. Tìm p để tổng các ước nguyên dương của p 4 là một số<br /> chính phương.<br /> Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O.<br /> Đường tròn (K) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của<br /> BF và CE.<br /> a) Chứng minh AE.AB = AF.AC.<br /> b) Chứng minh OA vuông góc với EF.<br /> c) Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (K) với M, N là các tiếp điểm.<br /> Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.<br /> Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac  bd  1. Chứng minh rằng:<br /> a 2  b 2  c2  d 2  ad  bc  3<br /> ------------ HẾT -----------Thí sinh không sử dụng tài liệu; cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI<br /> Bài 1: (2,0 điểm)<br /> a) Chứng minh A là một số nguyên.<br /> <br /> Ta có: A <br /> <br /> 2 3  5  13  48<br /> 6 2<br /> <br /> 1,0 đ<br /> <br /> 2 3 5<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2 3 4  2 3<br /> <br /> 6 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2 2 3<br /> <br /> 6 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 6 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3 1<br /> <br /> <br /> <br /> 2 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 3 1<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 6 2<br /> <br /> 42 3<br /> 3 1<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3 1<br /> 3 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Vậy A là một số nguyên.<br /> <br /> x 2  12y  6 (1)<br /> <br /> b) Giải hệ phương trình:  2<br /> 2 y  x  1 (2)<br /> <br /> <br /> 1,0 đ<br /> <br />  x 2  12y  6<br />  x 2  12y  6<br /> <br /> <br />  2<br />  x 2  4y2  12y  2x  8<br />  2<br /> 2y  x  1<br />  4y  2x  2<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br />  x  2y  2<br /> 2<br /> 2<br />   x  1   2y  3  <br />  x  2y  4<br /> Với x = 2y + 2, thay vào phương trình (2) ta có: 2y 2  2y  1  0<br /> <br /> <br /> 1 3<br /> y <br /> 2<br /> <br /> <br /> 1 3<br /> y <br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 3  <br /> 1 3 <br /> Hệ phương trình có hai nghiệm:  3  3;<br />  ;  3  3;<br /> <br /> 2  <br /> 2 <br /> <br /> Với x = - 2y - 4, thay vào phương trình (2) ta có: 2y 2  2y  5  0 (vô nghiệm)<br /> Vậy hệ phương trình có hai nghiệm.<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Bài 2: (2,0 điểm)<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> a) Cho parabol (P): y  x2 và đường thẳng (d): y  x  . Gọi A, B là<br /> 3<br /> 3<br /> 1,0 đ<br /> giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P), tìm điểm M trên trục<br /> tung sao cho độ dài MA + MB nhỏ nhất.<br /> x  1<br /> 1<br /> 4<br /> Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x 2   x   <br /> 0,25 đ<br /> 3<br /> 3<br />  x  4<br /> 16 <br />  1 <br /> Tọa độ hai giao điểm là: A  1;  ;B  4; <br /> 3<br />  3 <br /> Nhận xét: A, B nằm về hai phía so với trục tung.<br /> Suy ra MA + MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB với trục tung.<br /> <br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br />  4<br /> Tọa độ M là: M  0; <br />  3<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> b) Giải phương trình: x 2  5x  8  3 2x3  5x 2  7x  6 .<br /> <br /> 1,0 đ<br /> <br /> Nhận xét: 2x 3  5x 2  7x  6   2x  3   x 2  x  2 <br /> Điều kiện: x  <br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 1   x 2  x  2   2  2x  3  3  2x  3  x 2  x  2 <br />  x 2  x  2  a a  0<br /> <br /> Đặt: <br /> .<br />  2x  3  b  b  0 <br /> <br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> a  b<br /> Phương trình trở thành: a 2  3ab  2b 2  0  <br /> a  2b<br /> <br /> x 2  x  2  2x  3  x 2  x  1  0<br /> 1 5<br /> 1 5<br /> Phương trình có 2 nghiệm: x <br />  TM  ; x <br />  TM <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Với a = 2b, trở lại phép đặt ta có: x 2  x  2  2 2x  3  x 2  7x  10  0<br /> 7  89<br /> 7  89<br /> (L)<br /> Phương trình có 2 nghiệm: x <br />  TM  ; x <br /> 2<br /> 2<br /> 1 5<br /> 1 5<br /> 7  89<br /> ;x <br /> ;x <br /> Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Với a = b, trở lại phép đặt ta có:<br /> <br /> Bài 3: (2,0 điểm)<br /> a) Cho f  x  là một đa thức với hệ số nguyên. Biết f 1 .f  2   2013 ,<br /> minh phương trình f  x   0 không có nghiệm nguyên.<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> chứng<br /> <br /> 1,0 đ<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> Giả sử phương trình f  x   0 có nghiệm nguyên x = a<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Suy ra: f  x    x  a  .g  x  với g  x  là một đa thức với hệ số nguyên<br /> Ta có: f 1  1  a  .g 1 ;f  2    2  a  .g  2 <br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Suy ra f 1 .f  2   1  a  .  2  a  .g 1 .g  2   2013<br /> Do 1 - a và 2 - a là hai số nguyên liên tiếp nên f 1 .f  2 là số nguyên chẵn<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Mà 2013 là một số lẻ suy ra vô lý<br /> Vậy phương trình f  x   0 không có nghiệm nguyên.<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> b) Cho p là một số nguyên tố. Tìm p để tổng các ước nguyên dương của p 4 là<br /> 1,0 đ<br /> một số chính phương.<br /> Do p là số nguyên tố nên các ước số nguyên dương của p4 là: 1; p; p2; p3; p4<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Đặt S = 1+ p + p2 + p3 + p4<br /> Giả sử S = n2  4n 2  4p4  4p3  4p2  4p  4 1  n   <br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> Ta có: 4p 4  4p 3  p 2   2n   4p 4  p 2  4  4p 3  8p 2  4p<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />   2p 2  p    2n    2p 2  p  2 <br />  4n 2   2p 2  p  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> 2<br /> <br />  2<br /> 0,25 đ<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra p2  2p  3  0  p  3<br /> Thử lại với p = 3 thỏa mãn. Vậy số nguyên tố cần tìm là: p = 3.<br /> Bài 4: (3,0 điểm)<br /> <br /> a) Chứng minh AE.AB = AF.AC.<br /> <br /> A<br /> F<br /> <br /> N<br /> <br /> x<br /> E<br /> M<br /> B<br /> <br /> 1,0<br /> đ<br /> <br /> O<br /> H<br /> <br /> S<br /> <br /> K<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> C<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br />  <br /> Ta có: BEC  BFC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)<br />  <br /> Nên AFB  AEC  900<br /> AF AE<br /> <br /> AB AC<br />  AE.AB  AF.AC (đpcm)<br /> <br /> <br /> Xét hai tam giác AEC, AFB vuông tại E và F có: cos BAC <br /> <br /> 0,5<br /> đ<br /> 0,5<br /> đ<br /> <br /> b) Chứng minh OA vuông góc với EF.<br /> <br /> 1,0<br /> đ<br /> <br /> Dựng tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm (O) tại A  OA  Ax (1)<br /> <br /> 0,25<br /> đ<br /> <br />  <br /> BCA  BAx (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)<br /> <br /> 0,25<br /> đ<br /> <br /> <br />  <br />  <br /> Mà BCA  FEA (cùng bù với BEF ) nên BAx  FEA<br /> <br /> 0,25<br /> đ<br /> <br /> Suy ra EF // Ax (hai góc so le trong bằng nhau) (2)<br /> Từ (1) và (2) ta có: OA vuông góc với EF (đpcm)<br /> <br /> 0,25<br /> đ<br /> <br /> c) Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (K) với M, N là<br /> các tiếp điểm. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.<br /> <br /> 1,0<br /> đ<br /> <br /> Ta có: CE  AB;BF  AC nên H là trực tâm tam giác ABC<br />   <br /> Gọi S là giao điểm của AH và BC. Suy ra: AMK  ASK  ANK  900<br /> Do đó: M, S, N cùng thuộc đường tròn đường kính AK:<br />   <br />  ANM  ASM  AMN  3<br /> <br /> AFN, ANC đồng dạng (g.g) <br /> <br /> AF AN<br /> <br />  AN 2  AF.AC<br /> AN AC<br /> <br /> 0,25<br /> đ<br /> <br /> 0,25<br /> đ<br /> <br />  AF  AS  AF.AC  AH.AS  AN 2  AH.AS  AN  AS<br /> cosSAC <br /> AH AC<br /> AH AN<br /> <br /> 0,25<br /> đ<br /> <br />   <br /> Do đó: ANH, ASN đồng dạng  ANH  ASN  AMN  4 <br />  <br /> Từ (3) và (4) ta có:  ANH  ANM . Vậy M, H, N thẳng hàng (đpcm).<br /> <br /> 0,25<br /> đ<br /> <br /> Bài 5: (1,0 điểm)<br /> Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac  bd  1 . Chứng minh rằng:<br /> a 2  b2  c 2  d2  ad  bc  3<br /> Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:<br /> a 2  b 2  c 2  d 2  ad  bc  2<br /> <br /> a<br /> <br /> 2<br /> <br />  b 2  c 2  d 2   ad  bc<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> 1,0 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />