Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Long An

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> SỞ GD&ĐT LONG AN<br /> ---------------ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> (Đề thi có 01trang)<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN<br /> NĂM HỌC 2014-2015<br /> Môn thi: TOÁN CHUYÊN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> Câu 1 (1,5 điểm)<br /> <br /> x xy y<br />   x y <br /> Cho biểu thức P  <br /> với điều kiện x, y  0, x  y .<br />  xy  : <br /> <br />   x y<br /> <br /> x y<br /> <br />  <br /> <br /> a) Rút gọn biểu thức P .<br /> b) Tìm tất cả các số tự nhiên x, y để P  3 .<br /> Câu 2 (2,0 điểm)<br /> Cho phương trình x 2  x  m  0 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có hai<br /> nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  2 .<br /> Câu 3 (1,0 điểm)<br /> Giải phương trình x 2  4 x  7  ( x  4) x 2  7 .<br /> Câu 4 (2,5 điểm)<br /> Gọi O  là đường tròn tâm O , đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa A và O , từ H vẽ<br /> dây CD vuông góc với AB . Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M . Gọi N là hình<br /> chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB .<br /> a) Chứng minh: tứ giác MNAC nội tiếp.<br /> b) Chứng minh: NC là tiếp tuyến của đường tròn O  .<br /> c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn O  cắt đường thẳng NC tại E . Chứng minh đường<br /> thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH .<br /> Câu 5 (1,0 điểm)<br /> Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địa<br /> phương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số<br /> nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có<br /> điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương.<br /> Câu 6 (1,0 điểm)<br /> Cho các số thực a , b, c, d sao cho 1  a , b, c, d  2 và a  b  c  d  6 .<br /> Tìm giá trị lớn nhất của P  a 2  b 2  c 2  d 2 .<br /> Câu 7 (1,0 điểm)<br /> Cho hình chữ nhật ABCD với AB  a , AD  b . Trên các cạnh AD, AB, BC, CD lần lượt<br /> lấy các điểm E , F , G, H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH . Gọi P là chu vi của tứ<br /> giác EFGH . Chứng minh: P  2 a 2  b2 .<br /> --------HẾT--------Giám thị coi thi không giải thích gì thêm<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN CHUYÊN<br /> <br /> CÂU<br /> Câu 1a<br /> (0,75<br /> điểm)<br /> <br /> NỘI DUNG<br /> x xy y<br />  xy <br /> x y<br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> <br /> <br /> ĐIỂM<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> x y<br />  x y<br /> x y<br /> P<br /> <br /> Câu 1b<br /> (0,75<br /> điểm)<br /> <br /> x<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> y<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Suy ra 0  x  9;0  y  9<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x  0 x  9 x  1 x  4<br /> x, y cần tìm là : <br /> ,<br /> ,<br /> ,<br /> y  9 y  0 y  4 y 1<br /> <br /> Câu 2<br /> (2,0 điểm)<br /> <br /> Vì P  x  y và P  3 nên 0  x  3;0  y  3<br /> <br /> 0,25<br /> <br />   1  4m<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m <br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x1 <br /> <br /> 1  1  4m<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x2 <br /> <br /> 1  1  4m<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1  1  4m<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Vì x 1  x2  2 nên<br /> Suy ra 1  4m  3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Suy ra m  2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Giá trị của m cần tìm là 2  m <br /> Câu 3<br /> (1,0 điểm)<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> x 2  4 x  7  ( x  4) x 2  7  x 2  7  x x 2  7  4 x  4 x 2  7  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x2  7  4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x2  7  x  0<br /> <br />  x2  7  4  0<br /> <br />  x2  7  x  0<br /> <br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x  3<br /> <br />  x  3<br /> <br /> Câu 4a<br /> (0,75<br /> điểm)<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> E<br /> <br /> I<br /> N<br /> <br /> A<br /> H<br /> O<br /> B<br /> <br /> D<br /> <br /> <br /> Ta có : MNA  900 (giả thiết)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Ta có   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))<br /> ACB<br /> <br /> Suy ra ACM  900<br /> 0<br /> <br /> Vì tứ giác MNAC có   MNA  1800 nên nội tiếp<br /> ACM <br />  ADC<br /> Vì MNAC nội tiếp và MN song song CD nên ACN   (*)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vì ADBC nội tiếp nên    (**)<br /> ADC ABC<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Từ (*) và (**) suy ra    .Vậy NC là tiếp tuyến của  O <br /> ACN ABC<br /> <br /> Câu 4b<br /> (0,75<br /> điểm)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Gọi I là giao điểm cùa BE và CH<br /> Câu 4c<br />  ACD<br /> (1,0 điểm) Ta có AB  CD      ECA  <br /> AC AD<br /> Suy ra CA là phân giác trong của tam giác ECI<br /> Ta có CB  CA  CB là phân giác ngoài của tam giác ECI<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> BI CI<br /> <br /> (1)<br /> BE CE<br /> <br /> Ta có IH song song EA (cùng  AB ) <br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> IH<br /> BI<br /> <br /> (2)<br /> AE BE<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm bài thi như<br /> nhau (từ 5 điểm đến 10 điểm)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địa<br /> phương<br /> Theo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toán<br /> và đến từ cùng một địa phương<br /> <br /> Câu 5<br /> (1,0 điểm)<br /> <br /> Mặt khác: AE  CE (3) ( AE , CE là tiếp tuyến )<br /> Từ (1), (2) và (3) suy ra CI  IH<br /> Vậy BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH .<br /> Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Câu 6<br /> Ta có 1  a  2 suy ra  a  1 a  2   0<br /> (1,0 điểm)<br /> Suy ra a 2  3a  2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Suy ra a 2  b 2  c 2  d 2  3  a  b  c  d   8  10<br /> Giá trị lớn nhất của P là 10 ( P  10 với a  2, b  2, c  1, d  1 hoặc<br /> các hoán vị )<br /> Câu 7<br /> ( 1,0<br /> điểm)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> F<br /> <br /> A<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> B<br /> <br /> I<br /> <br /> E<br /> <br /> G<br /> K<br /> M<br /> <br /> D<br /> <br /> H<br /> <br /> C<br /> <br /> Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> AEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI= .EF<br /> Tương tự MC=<br /> <br /> 1<br /> .GH .<br /> 2<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> P= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> IK là đường trung bình của EFG nên IK= .FG . Tương tự KM=<br /> 1<br /> .EH<br /> 2<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> Ta có: AI + IK + KM + MC  AC<br /> Suy ra P 2AC= 2 a 2  b 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> -------HẾT-------<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />