Ể
Ề
Ớ
Ồ
Ọ
Ề
Ứ )
Môn thi: Toán chung
ờ
ể ờ ố
ồ
ộ
ng trình :
-
Đ THI TUY N SINH VÀO L P 10 CHUYÊN T NH Đ NG NAI Ỉ NĂM H C 2012 - 2013 ( Đ CHÍNH TH C Th i gian làm bài: 120 phút ( không k th i gian giao đ ) ề ( Đ thi này g m m t trang, có b n câu) ề Câu 1: ( 2,5 đi m) . ể i các ph 1/ Gi ả ươ = x- 2 20 0 4 a/ x + = - b/ x x 1
1
+ - = y 3 1 �(cid:0) x (cid:0)
2/ Gi
ng trình :
i h ph ả ệ ươ
- (cid:0) y = x 3 (cid:0)
Câu 2 : ( 2,0 đi m) .
ể
ẳ
ớ ể
Cho parabol y = x2 (P) và đ ườ 1/ Tìm các giá tr c a m đ (P) và (d) c t nhau t ể 2/ Tìm các giá tr c a m đ (P) và (d) c t nhau t ể
ng th ng y = mx (d), v i m là tham s . ố ộ ằ ạ ả ạ
i đi m có tung đ b ng 9. ữ i 2 đi m, mà kho ng cách gi a
ị ủ ị ủ
ắ ắ
ể
hai đi m này b ng
6
ể
ằ
Câu 3 : ( 2,0 đi m)ể
- 1 1 = - P (
1/ Tính :
- - 2 3 + 5 (cid:0) a b+ (cid:0) 0
2/ Ch ng minh :
, bi
t r ng
.
a ). 3 3 + 3 2 a b 3 1 3 2 3 a b + 2 5 b
ứ
ế ằ
Câu 4 : (3,5 đi m)ể
A, đ
ng cao AH. V đ
ng tròn tâm O, đ
ng kính
ở
ườ
ườ
AH, đ
t
ng tròn này c t các c nh AB, AC theo th t ạ
giác BDEC là t
ứ ự ạ giác n i ti p đ
ng tròn.
ẽ ườ i D và E . c đ ộ ế ượ ườ
ứ
ứ ứ
ứ ẳ
ể
t AB = 3 cm, BC = 5 cm. Tính di n tích t
giác BDEC.
Cho tam giác ABC vuông ườ ắ 1/ Ch ng minh t 2/ Ch ng minh 3 đi m D, O, E th ng hàng. 3/ Cho bi ệ
ứ
ế
--------H T------ Ế
1
Đ THI TUY N SINH VÀO L P 10 CHUYÊN T NH Đ NG NAI
Ể
Ề
Ớ
Ồ
Ứ )
Ề
ể ờ
ờ
Ỉ NĂM H C 2012 - 2013 Ọ Môn thi: Toán ( môn chuyên) ( Đ CHÍNH TH C Th i gian làm bài: 150 phút ( không k th i gian giao đ ) ề ( Đ thi này g m m t trang, có năm câu) ề
ồ
ộ
4
+ 2 -
Cho ph
ng trình
)
x 16 x = 32 0
Câu 1. (1,5 đi m)ể ươ
( v i ớ x R(cid:0)
- -
Ch ng minh r ng
là m t nghi m c a ph
ứ
ằ
ủ
ệ
ộ
ươ ng
x = + 6 3 2 3 + 2 + 2 3
trình đã cho.
Câu 2. (2,5 đi m)ể
+ = - (cid:0) 2 ( x x y xy 6 (cid:0) x R y R ,
Gi
ng trình
� � ).
i h ph ả ệ ươ
( v i ớ
1)( + + + 1) + + = 2 ( y y 1)( x 1) yx 6 (cid:0)
Câu 3.(1,5 đi m)ể
ề
ạ
ằ
ấ
ạ
ộ
ể ử
ề
ể
ả
ớ
ặ ở Cho tam giác đ u MNP có c nh b ng 2 cm. L y n đi m thu c các c nh ho c phía trong tam giác đ u MNP sao cho kho ng cách gi a hai đi m tuỳ ý l n h n 1 ơ cm ( v i n là s nguyên d ớ
ng). Tìm n l n nh t tho mãn đi u ki n đã cho. ả
ươ
ề
ệ
ấ
ớ
ố
Câu 4. (1 đi m)ể
ng liên ti p không t n t
ằ
ố
ươ
ồ ạ
ế
ố i hai s có
Ch ng minh r ng trong 10 s nguyên d ướ
ứ c chung l n h n 9. ớ
ơ
Câu 5. (3,5 đi m)ể
ế
ng tròn (I).
ạ ế ườ ng ớ ườ
ng th ng BC, bi
ng tròn (I) t
t tam giác ABC ngo i ti p đ t là các ti p đi m c a BC, CA, AB v i đ ủ t AD c t ắ ẳ ế ườ i K là giao đi m c a AI và ủ ể
ế ng th ng EF và đ ớ
ể ẳ i đi m N (N không trùng v i D), gi ạ
ủ ườ ể
ọ
Cho tam giác ABC không là tam giác cân, bi tròn (I). G i D,E,F l n l ể ầ ượ ọ G i M là giao đi m c a đ ọ đ ườ EF.
ng tròn.
ể
ằ
ộ
ộ ườ
1) Ch ng minh r ng các đi m I, D, N, K cùng thu c m t đ 2) Ch ng minh MN là ti p tuy n c a đ
ng tròn (I).
ế ủ ườ
ứ ứ
ế
----------H T----------- Ế
2
GI
CHUYÊN L
Ớ NG TH VINH Đ NG NAI
I Đ THI VÀO L P 10 Ả Ề ƯƠ Ồ Ế NĂM 2012 – 2013 Môn: Toán chung -----------------
ng trình :
= (cid:0) - t t ;( 0)
Câu 1: ( 2,5 đi m) . ể i các ph 1/ Gi ươ ả = x- 2 20 0 4 a/ x
(cid:0) 5
=> x2 = 5 x =
(*) Đ t ặ 2 x ậ
ạ
ớ
2 = - 4 ( lo i)); V i t = 5 5 và x = - 5
2
2
x 1 2 + - - - 0
ệ 1
1x (cid:0) ) = x 3
1) x x �
x(x-3) = 0
ươ b/ = 2 x ( ạ
x ậ
(*) t2 – t – 20 = 0 (t1 = 5 (nh n) v t V y ph ng trình có hai nghi m x = ệ ậ + = - ( đi u ki n ề x 1 + + = ( x x 2 1 1) � x = 0 ( lo i) v x = 3 ( nh n). V y ph ệ
ươ
ậ
ng trình có m t nghi m x = 3. ộ + - = y 3
1 �(cid:0) x (cid:0)
2/ Gi
ng trình :
i h ph ả ệ ươ
- (cid:0) y = x 3 (cid:0)
- - y = x 3 - = 3 y x y 3 0 - = - y 3 y 3 � � ��
T ừ
(cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + - = 3 y 1 3 1 4 1 � � �
(nh n)ậ
= - - - = x 3 + - = x y � � = x y 3 + = y x � � y x y 3 x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x � � � � � = x 2 � � � � + = y � � = x � � y (cid:0) (cid:0) 1 2 7 2
- ( ), ( )
V y h ph
ng trình có 2 nghi m (x; y):
ệ ươ
ậ
ệ
1 7 ; 2 2 1 7 ; 2 2
Câu 2 : ( 2,0 đi m) .
ể
= (cid:0) 0 x 1 - - = 2 x mx 0 = x x m ( ) 0 � � (cid:0)
1/ P.trình hoành đ giao đi m (P) và (d) :
ể
ộ
2
2
(cid:0) = x m 2
2 = 9 (m = 3 v m = -3)
= x
i đi m có tung đ b ng 9.
Vì giao đi m ể m = (cid:0) V y v i ớ
ậ
) :P y ( ớ � � thì (P) và (d) c t nhau t 3 ạ
. V i y = 9 => m ể
= y m ắ
ộ ằ
0m (cid:0)
2/ T câu 1 => (P) và (d) luôn c t nhau t
.
ừ
ạ
ể
ắ ạ ộ
i hai đi m phân bi ệ ể
t khi ứ
ố
ứ ấ
ể
4
2
- = =
(1)
2
+ 2 m m 6 0 6 = (cid:0) � (t1 = 3 ( nh n ) v t 6 0 + 4 m m 2 = - 2 ( lo i))ạ
ậ
6 . 3
Khi đó giao đi m th nh t là g c to đ O ( x = 0; y = 0), giao đi m th 2 là đi m A có ể ( x = m; y = m2). Kho ng cách gi a hai giao đi m : AO = ữ ả 2;( Đ t ặ (1) t m t 0) t � m = (cid:0) V i tớ 1 = 3 m2 = 3 , m = (cid:0) V y v i ắ
ể t+ - = ( nh n)ậ 3 i hai đi m có kho ng cách b ng thì (P) c t (d) t ể ạ
ả
ằ
ậ
ớ
Câu 3 : ( 2,0 đi m)ể 1/ Tính:
- - 1 1 + 2 3 = - P ( . 2 - - - - - + 3 2 4 3 2 3 + 2 ). 3 3 3 1 = 3 3 1 = 3( 3 1)
3
5
5
5
5
2
2
2
2
3
3
2
2
+
+
2 3 a b
3 2 a b
2 3 a b
3 a a (
3 b a (
- - - - - - - b b ) b ) 0 ( a b )( a b � 0 �� �� ) 0 �
2
+ 2 a + 2 - )( a b b
(cid:0) ( � Vì :
).
2
2
0 +
(cid:0) 0
ớ
a b+ (cid:0)
0
+ (cid:0)
(đpcm)
) 5 b
3 2 a b
2 3 a b
2/ Ta có: + 3 2 b a a b � + 2 ) ( a b a a b- ) ( a b+ (cid:0) + a b ấ ằ
ab ) 0 � R(cid:0) (v i m i a, b 0 ớ ọ t) thi ( theo gi ế ả R(cid:0) ( v i m i a, b ọ ab + ậ 5 Nên b t đ ng th c cu i đúng. V y ố ứ a
v i ớ
Câu 4 : (3,5 đi m)ể
A
E
O
D
C
B
H
ng kính),
( AH là đ
ng cao)
090
ườ
AHC =� (cid:0)
( vì AH là đ ACB
ườ ụ ớ
ộ ế
) (1) EHC � ( góc n i ti p cùng ch n cung AE) (2) ắ (cid:0) ADE = (cid:0) ACB =>T giác BDEC n i ti p đ ng tròn ( có ứ
ộ ế ườ
ề
ng kính => D, O, E th ng hàng (đpcm).
ẳ
-
=> DE là đ S
ABC
D D D
1/ N i H v i E . ố ớ HEA =� 090 + =� => AHE � (cùng ph v i =� + ADE AHE T (1) và (2) => ừ góc đ i b ng góc k bù góc đ i) ố ố ằ DAE =� 090 2/ Vì ườ = S S 3/ Ta có BDEC vuông có AH là đ + ABC
ng cao:
ADE ườ
2
= = = 2 - 6 sD
=>
ABC
= (cm2) AC BC AB cm 4 AB AC . 2
= = = DE AH
(cm) ( cùng là đ
ng kính đt O).
ườ
. AB AC BC 12 5
ng t đ ng d ng :
ươ
ằ
ỉ ồ
ạ
+ D ADE và D ABC có : (cid:0) A chung , (cid:0) ADE = (cid:0) ACB ( câu 1) => D ADE ~ D ABC (g.g) => t s di n tích b ng bình ph S
AED
D D = = S � D
AED
S S
ỉ ố ệ 2 DE . ABC 2 BC
2 DE � � � � BC � �
ABC
2
D
= - - - S S S S (1 ) 6(1 )
+
= 4,6176 (cm2)
BDEC
ABC
ABC
2 = 2
2
D D D = ADE DE BC 12 2 5 .5
---------H T--------- Ế
4
GI
CHUYÊN L
Ớ NG TH VINH Đ NG NAI
2
2
4
- + 2 - x - 8) ( = 32 0
I Đ THI VÀO L P 10 Ả Ề ƯƠ Ồ Ế NĂM 2012 – 2013 Môn: Toán chuyên ----------------- = 32 0
x 16 x
)
Câu 1: Ph
ng trình đã cho :
(1)
( v i ớ x R(cid:0)
ươ
- - - -
V i ớ
2
x = + 6 3 2 3 + 2 + 2 x = 3 3 2 + 2 3 + 2 + 2 3
2
2
- - x = - + 8 2 2 3 2 3 2 3
+ + - - - - - - - - 3 2 3 2 8) + 3) 4 3 12(2 3) 32
= - -
( v ph i b ng v trái)
=> Th x vào v ph i c a (1) ta có: ế ả ủ ế x - = 2 32 (8 2 2 ( + + + =8 4 3 8 3 24 12 3 32 0
= 3 8) ế ả ằ + 32 4(2 ế
- -
là m t nghi m c a ph
ng trình đã cho ( đpcm)
V y ậ
ủ
ệ
ộ
ươ
x = + 6 3 2 3 + 2 + 2 3
- (cid:0) (cid:0) 2 ( x x y xy 6 2 ( x x y xy (cid:0) (cid:0)
Câu 2: H pt đã cho ệ
+ 1)( + + + 1) + + = - = + 1)( + y y 1)( x + = - 1) 6 + = - 1) 6 6 2 ( y y (cid:0) (cid:0) (1) � � � � (2) �
+ - (0;0); x y xy y ) 2 ( ệ + x xy 6 0 1 0; � � xy 1) yx ả Thay x = -1 và y = -1 vào, h không tho ả � �
Thay x = 0, y = 0 thì h không tho . 1 0 0; => ( ; �
1)( x ệ � (*) - - = - xy x ( = ) 6( + x y y ) �
- Chia t ng v c a hai ph
ng trình cho nhau : =>
ế ủ
ừ
ươ
- x y 6 6 xy xy (cid:0) y- x 0
)
ế ả ằ
ệ
ế
ả
Thay x = y, h pt có v ph i b ng nhau, v trái khác nhau (không tho ) => (**)
+ ) = xy
=>
(3)
- 6( x x y y
- C ng t ng v (1) và (2) c a h ta đ
c pt: 2(x+y)(x+1)(y+1) + 2xy = 0 (4)
ủ ệ
ừ
ế
ộ
ượ
+ + ) ) + + + + + = ( x y x )( 1 y ) 0
(x + y) ( x + y + xy + 1) + xy = 0
- - 6( x x y y 6( x x
(cid:0) y y + = y x (cid:0) 0 + + = y 1 0 x 6 6( 1) (cid:0) + + + + + + = ) 0 ( x y x )( 1 y = ) 0 ( x y x )( + + y 1)(1
- - (cid:0) x y + + y y x x 6 + = 1 0 (cid:0) - x y (cid:0)
ệ
- V i x + y = 0 - V i x + y +1 =0
2 = 0 (y = 0 v x = 0) không tho (*)ả ng trình (1) c a h ta đ
x = - y. Th vào h => -2y ế x = -y - 1 th vào ph ươ
ớ ớ
ế
(cid:0)
ủ ệ + = y
3
2
2
2 + + + = + 2 y 3 y 6 0 y ( y 2)(2 y - + y = 3) 0 (cid:0) �
c : ượ = -� y 3 0( vn
) 2 0 - + = 2 y 2 (cid:0)
y ệ
V i y = - 2 => x = 1.Th vào h tho , v y có nghi m 1: (x; y) = (1; - 2) ệ
ả ậ
ế
ớ 6
+ = 1 0 - + = y 6 0 x = - x y 6 � �
- V i ớ
- y
Th x = y -6 vào pt (2) c a h :
x ế
ủ ệ
2
3
2
+ = (cid:0) 2 y + - - - - (2 y 1)( y 4 y = (cid:0) 6) 0 2 y 7 y 16 - = y 6 0 (cid:0)
(2)
2
- 1 0 - = y 4 6 0 y (cid:0)
5
(cid:0) 10 = + 2 y 1 (cid:0)
y2 - 4y - 6 = 0
2
(cid:0) 10 y (cid:0)
-
2y +1 = 0 y3 =
= - 2 1 2 (cid:0) (cid:0) = - + 4 10 x 1 (cid:0) = - - 4 10 (cid:0)
T ba giá tr c a y
trên ta tìm đ
c ba giá tr x t
ng ng:
x 2
ị ủ
ừ
ở
ượ
ị ươ ứ
(cid:0) = - (cid:0) x 3 (cid:0) 13 2
Th các giá tr (x; y) tìm đ ị
ế
ượ
c vào h (tho ). ệ
ả
V y h ph
ng trình đã cho có 4 nghi m
ậ ệ ươ
ệ ( x;y):
- - - - - - + 4 + 10; 2 10), ( 4 10; 2 10), ( ; ).
(1; -2), (
13 2 1 2
Câu 3. (Cách 1)
Tam giác đ u có c nh b ng 2 cm thì di n tích b ng ằ
ề
ệ
ằ
ạ
3 cm2 , tam giác đ u cóề
c nh b ng 1 cm thì di n tích b ng ạ
ệ
ằ
ằ
cm2 . N u tam giác đ u có c nh > 1cm thì di n ệ
ế
ề
ạ
3 4
tích >
cm2
3 4
c trong tam giác đ u có c nh 2
ố
ạ
ằ
ề
ứ ượ
ề
ạ
(cid:0) 4 t p ( v i t là s nguyên d
ươ
ố
i đa 2
ng) => t ề
max = 3. ạ
ớ ẽ
ứ ố
ấ
n(cid:0)
(cid:0)
ể 2
4
G i t là s tam giác đ u có c nh b ng > 1cm ch a đ ọ cm: 1 Theo nguyên lý Drichen s có 1 trong t tam giác đ u có c nh > 1cm đó ch a t đi m tho mãn kho ng cách gi a hai đi m b t kỳ luôn > 1 cm. ữ ả V y s đi m tho yêu c u bài toán là :
max = 4
ể ả ậ ố ể
V y nậ
ả
ầ
(Cách 2): Gi
ả
i theo ki n th c hình h c ọ
ứ
ế
ỉ
ế
ủ
N u ta ch n 3 đi m ọ
ườ
ằ
ng kính 1 cm, các đ
trung đi m m i c nh tam
ể ở ườ
3 đ nh c a tam giác đ u c nh b ng 2 cm v 3 đ ẽ ề ạ ng tròn này ti p xúc v i nhau ỗ ạ ở ế
ể ể ằ
ỉ
ượ
ớ i
ủ
ệ
ầ
ị
ng trung bình c a tam giác có đ dài 1 cm => kho ng cách
ườ
ủ
gi a hai đi m b t kỳ n m trong ph n di n tích còn l
i đó c a tam giác luôn
ả (cid:0) 1 cm.
ng tròn đ ớ ườ giác. => Các đi m khác trong tam giác cách 3 đ nh > 1cm ch có th n m trong ph n ầ ể ỉ i c a tam giác (ngoài ph n di n tích b ba hinh tròn che ph ), đ c gi di n tích còn l ạ ủ ệ h n b i 3 cung tròn bán kinh 1 cm. ở ạ Vì 3 dây cung là 3 đ ấ
ộ ủ
ử
ể
ệ
ầ
ạ
ằ
6
c 1 đi m mà kho ng cách đ n 3 đ nh c a tam
ỉ ấ ượ
ầ
ủ
ể
ế
ả
ỉ
=> trong ph n di n tích đó ch l y đ ệ giác luôn > 1 cm.
ậ ố ể
ữ
ể
ả
ấ
ả
ớ
V y s đi m l n nh t tho mãn kho ng cách gi a hai đi m b t kỳ > 1cm là : ấ nmax = 3 + 1 = 4 đi m.ể
ng liên ti p v i a > b ( a; b ớ
ươ
ế
ố
- (cid:0)� 1
Câu 4. G i a và b là hai s b t kỳ trong 10 s nguyên d ố ấ nguyên d . 9 G i n là
ng) c chung c a a và b, khi đó : a = n.x và b = n.y ( n, x, y là s nguyên d
ng).
ọ ươ ướ
a b ủ
ươ
ọ
ố
(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) y- x 1 n x n y . . 9 x y 1 9n (cid:0)� � 1
Vì a > b => x > y =>
9 n
V y trong 10 s nguyên d
ậ
ố
ươ
1 n ng liên ti p không t n t ồ ạ
ế
i hai s có ố
9 n c chung l n h n 9. ớ ướ
ơ
Câu 5.
A
E
N
K
F
I
C
B
D
M
ố
1)N i N và F, D và F. - Xét D ANF và D
2
D AFD có: (cid:0) AFN = (cid:0) ADF ( vì AF là tt) và (cid:0) FAD chung => D
= = AF AN AD . �
(1)
ANF∽ D AFD (g.g) =>
AN AF AF AD
IF ( vì AF ti p tuy n, FI là bán kính) và FK
i F có FK là đ
^ AI ( vì AF và AE tt 2 (2)
ng cao) => AK.AI = AF
ố
ế ế D AFI vuông t ạ
ườ
- Xét D AFI có: AF ^ chung và AI n i tâm) => - Xét D ANK và D AID có:
IAD chung.
+ (cid:0)
=
+ T (1) và (2) => AN.AD = AK.AI =>
ừ
AN AK AI AD
giác DIKN n i ti p đt (vì có góc đ i b ng góc k bù góc đ i)
ứ
ừ
IDN (3) ề
ố ằ
ố
ng tròn. (đpcm).
ể
^ KM ( câu 1) => t
ộ ườ ế
ộ ế ườ
(cid:0)
