Đồ họa máy tính Các phép biến đổi
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
1
Một số khái niệm cơ bản
• Một số đối tượng hình học cơ bản
– Đại lượng vô hướng s – Vec-tơ v – Điểm p’ = p + s * v
• Các phép biến đổi
– Các loại biến đổi: quay, tịnh tiến, co dãn. – Biểu diễn ma trận – Thứ tự
• Mô hình hóa hình học – Mô hình hóa phân cấp – Các bề mặt đa diện.
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
2
Các phép biến đổi
Thế nào là một phép biến đổi? P=T(P) Tại sao phải sử dụng các phép biến đổi? Mô hình hóa
- Tạo ra các đối tượng với các tọa độ tự nhiên/ tiện lợi - Nhiều phiên bản khác nhau của cùng một mẫu hình - Các mối nối/khung xương – tạo hoạt ảnh robot
Tầm nhìn
– Cửa sổ và thiết bị độc lập với nhau – Camera ảo: Các phép chiếu song song và chiếu phối cảnh
(perspective)
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
3
Các loại phép biến đổi
Liên tục (Bảo tồn lân cận) Một – một, có nghịch đảo Phân chia theo các tính chất bất biến và tính chất đối xứng
Isometry (bảo tồn khoảng cách) – Phản xạ (Reflections) – đảo hai bên trái và phải – Quay + Tịnh tiến Similarity (bảo tồn góc) – Co dãn đồng nhất (Uniform scale) Affine (bảo tồn các đường thẳng song song) – Co dãn không đồng nhất (Non-uniform scales),
shears or skews
Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
4
Collineation (đường thẳng giữ là đường thẳng) – Chiếu phối cảnh (Perspective) Non-linear (đường thẳng trở thành đường cong) 9/27/2011 – Vặn (Twists), biến hình, ...
Tịnh tiến 2D
Xét điểm P là P(x,y),
Tịnh tiến điểm P’(x’,y’) một khoảng cách dx theo trục x, dy theo trục y:
x’ = x + dx y’ = y + dy
P’
Viết theo dạng véc-tơ
P
Như vậy
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
5
P’ = P + T
Co dãn 2D theo gốc tọa độ
Xét điểm P là P(x,y),
Co dãn điểm P’(x’,y’) với tỉ lệ sx theo trục x, sy theo trục y:
x’ = x * sx y’ = y * sy
Đặt
P’
P
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
6
Quay 2D quanh tâm
y
P’(x’,y’)
P(x,y)
r
r
x
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
7
Quay 2D quanh tâm
y
P’(x’,y’)
P(x,y)
r
y
r
x
x
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
8
Quay 2D quanh tâm
y
P’(x’,y’)
P(x,y)
r
y
r
x
x
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
9
Quay 2D quanh tâm
Thay :
Cho ta :
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
10
Quay 2D quanh tâm
Viết lại dưới dạng ma trận :
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
11
Nhiều phép biến đổi cùng lúc
Tịnh tiến
– P=T + P
Co dãn
– P=S P
Quay
– P=R P
Chúng ta muốn các phép biến đổi thể hiện bằng phép nhân để có thể ghép với nhau được thể hiện điểm bằng tọa độ đồng nhất.
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
12
Tọa độ đồng nhất
Thêm một thành phần tọa độ nữa, W, cho một điểm.
– P(x,y,W).
Hai tọa độ đồng nhất cùng thể hiện một điểm nếu
chúng là tích của nhau với một hằng số – (2,5,3) và (4,10,6) thể hiện một điểm.
Phải có ít nhất một thành phần khác không (0,0,0)
không xác định.
Nếu W 0 , chia các tọa độ còn lại cho nó để có tọa
độ Đề-Cát (x/W,y/W,1).
Nếu W=0, điểm đó coi như ở vô cùng.
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
13
Tọa độ đồng nhất (…)
Nếu ta thể hiện (x,y,W) trong không gian 3 chiều, tất cả các tọa độ đồng nhất thể hiện một điểm 2D tạo thành một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
Nếu ta đồng nhất hóa một điểm, ta thu được điểm có dạng
(x,y,1) – Các điểm đồng nhất tạo thành mặt phẳng W=1.
W
P
W=1 plane
X
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
14
Y
Các phép biến đổi với tọa độ đồng nhất
Ma trận cho phép tịnh tiến 2D.
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
15
Kết hợp các phép biến đổi (Concatenation)
Nếu ta thực hiện 2 phép tịnh tiến trên với
cùng một điểm:
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
16
Kết hợp các phép biến đổi (…)
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
17
Tính chất của các phép tịnh tiến
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
18
Dạng đồng nhất của phép co dãn
Ma trận phép co dãn :
Trong tọa độ đồng nhất :
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
19
Kết hợp các phép co dãn
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
20
Dạng đồng nhất của phép quay
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
21
Dạng đồng nhất của phép quay (…)
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
22
Các tính chất khác của phép quay
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
23
Kết hợp các loại phép biến đổi
Quay và tịnh tiến
– Góc và khoảng cách được giữ nguyên
Quay, tịnh tiến và co dãn
– Góc và khoảng cách không được giữ nguyên – Đường thẳng song song vẫn song song – Gọi là các phép biến đổi Affine
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
24
Biến đổi 3D
Sử dụng tọa độ đồng nhất, giống như trong 2D Các ma trận biến đổi có kích thước 4x4 Sử dụng hệ tọa độ thuận ( z hướng ra ngoài)
y
x
z (hướng ra ngoài)
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
25
Tịnh tiến 3D.
Giống như trong 2D:
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
26
Co giãn 3D.
Giống như trong 2D:
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
27
Quay 3D
Cần xác định trục quay. Quay quanh trục z tương tự như 2D
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
28
Quay 3D
Quay quanh trục x và y:
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
29
Quay quanh một trục bất kỳ?
Khó! Tuy nhiên, chúng ta đã biết cách quay quanh
trục chính.
Biến thành phép quay quanh trục chính. Cần tịnh tiến một trục quay a bất kỳ để đi qua gốc tọa độ, quay nó để trùng với một trục chính, thực hiện phép quay cần thực hiện, và quay và tịnh tiến lại vị trí ban đầu.
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
30
Tổng kết
Phép tịnh tiến, quay và co dãn 2D, 3D Tọa độ đồng nhất Kết hợp các phép biến đổi
9/27/2011 Ma Thị Châu - Bộ môn KHMT
