Dò tìm cộng hưởng Electron phonon bằng quang học trong dây lượng tử thế dao động điều hòa

Chia sẻ: Lâm Đức Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Dò tìm cộng hưởng Electron phonon bằng quang học trong dây lượng tử thế dao động điều hòa trình bày: Hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng electron-phonon dò tìm bằng quang học trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng dao động điều hòa được khảo sát bằng cách sử dụng phương pháp chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái. Sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào năng lượng photon được tính số và vẽ đồ thị,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dò tìm cộng hưởng Electron phonon bằng quang học trong dây lượng tử thế dao động điều hòa

DÒ TÌM CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON BẰNG QUANG HỌC TRONG DÂY LƯỢNG TỬ THẾ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA LÊ ĐÌNH - HỒ THỊ NGỌC ANH Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon và cộng hưởng electron-phonon dò tìm bằng quang học trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng dao động điều hòa được khảo sát bằng cách sử dụng phương pháp chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái. Sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào năng lượng photon được tính số và vẽ đồ thị. Từ đồ thị của công suất hấp thụ như là hàm của năng lượng photon, chúng tôi đã thu được độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng bằng phương pháp Profile. Kết quả thu được cho thấy sự xuất hiện các đỉnh cộng hưởng thỏa mãn định luật bảo toàn năng lượng và độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng tăng theo nhiệt độ. 1 MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon (EPR) và cộng hưởng electron-phonon dò tìm bằng quang học (ODEPR) đang được các nhà khoa học trong và ngoài nước tập trung nghiên cứu. Đối với bán dẫn thấp chiều, những nghiên cứu này góp phần làm sáng tỏ các tính chất mới của electron dưới tác dụng của trường ngoài, từ đó cung cấp thông tin về tính chất quang của bán dẫn cho công nghệ chế tạo các linh kiện quang điện tử. Hiệu ứng EPR xảy ra khi electron hấp thụ hoặc phát xạ phonon quang dọc có năng lượng đúng bằng hiệu hai mức năng lượng. Nếu quá trình này còn kèm theo sự hấp thụ hoặc phát xạ photon thì ta sẽ có hiệu ứng ODEPR. Hiệu ứng EPR được bắt đầu nghiên cứu từ năm 1972 bởi Bryskin và Firsov cho trường hợp bán dẫn không suy biến đặt trong điện trường mạnh [1]. Hiện nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về hiện tượng này trong bán dẫn hai chiều [2], [3], [4], [5]. Tuy nhiên, có rất ít công trình nghiên cứu trong dây lượng tử [6], [7], đặc biệt là dây lượng tử với thế giam giữ dạng dao động điều hòa (parabol). Bài báo này nghiên cứu về công suất hấp thụ sóng điện từ (CSHT) do tương tác electron-phonon quang dọc dưới ảnh hưởng của trường laser trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng dao động điều hòa, từ đó làm rõ các hiệu ứng dò tìm cộng hưởng electron-phonon bằng quang học. Sự phụ thuộc của độ rộng phổ của đỉnh cộng hưởng vào nhiệt độ cũng được khảo sát bằng phương pháp Profile [15] nhờ phần mềm Mathematica. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(23)/2012: tr. 5-12 6 LÊ ĐÌNH - HỒ THỊ NGỌC ANH 2 BIỂU THỨC CỦA CÔNG SUẤT HẤP THỤ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ VỚI TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ELECTRON - PHONON QUANG PHÂN CỰC DỌC Ta khảo sát mô hình dây lượng tử với electron tự do theo trục x và bị giam giữ theo cả hai trục y và trục z với thế dao động điều hòa dạng U (y) = mωy2 y 2 /2 và U (z) = mωz2 z 2 /2. Bằng cách giải phương trình Schrodinger cho electron, ta được biểu thức năng lượng và hàm sóng có dạng: ( ) ( ) 2 2 − y2 z eikx x 1 y 1 − z2 2ℓy 2ℓ z √ Hℓ Ψkx ,n,ℓ (x, y, z) = √ √ Hn , (1) √ e √ e n ℓ ℓy ℓz Lx 2 n!ℓy π 2 ℓ!ℓz π 1 1 ~2 kx2 + ~ω (n + ) + ~ω (ℓ + ), En,ℓ (kx ) = y z 2m∗e 2 2 (2) trong đó n = 0, 1, 2, 3... và ℓ = 0, 1, 2, 3...lần lượt là các số lượng tử tương ứng với sự lượng tử hóa năng lượng theo phương y và z; kx là thành phần vectơ sóng của electron tự do theo phương x; Hn (u) là đa thức Hermite bậc n của biến u. Thừa số dạng của electron được tính từ tích phân bao phủ và có dạng: [ ′ ]2 ℓ! [ ′ ]2 ′ n! ℓ′ −ℓ −uz ℓ −ℓ (u ) e L (u ) I = ′ (uy )n −n e−uy Lnn −n (uy ) , z z ℓ n! ℓ′ ! (3) qy2 ℓ2y ~ 1/2 ~ qz2 ℓ2z trong đó uy = với ℓy = ( ∗ ) và uz = với ℓz = ( ∗ )1/2 . 2 me ωy 2 me ωz Giả sử dây lượng tử chịu tác dụng của một trường ngoài đặt theo phương của trục z ⃗ ⃗ 0 ekz−iωt , thì công suất (phương giam giữ) với vectơ cường độ điện trường là E(t) =E hấp thụ sóng điện từ trong trường hợp này có dạng [8]: P0z (ω) = 2 E0z Re[σzz (ω)], 2 (4) với σzz (ω) là tenxơ độ dẫn tuyến tính theo phương giam giữ z [9]: σzz (ω) = −e lim+ ∆→0 ∑ αβ (z)αβ (jz )βα fβ − fα ~¯ ω − (Eβ − Eα ) − Γαβ ω) 0 (¯ , (5) trong đó e là điện tích của electron, (X)α,β = ⟨α|X|β⟩ là yếu tố ma trận đối với toán tử X, fα(β) là hàm phân bố Fermi-Dirac của electron ở trạng thái có năng lượng Eα(β) , ω ¯ = ω − i∆ (∆ → 0+ ). Γαβ ω ) được gọi là hàm dạng phổ. Tiến hành các phép tính giải 0 (¯ tích, ta được dạng của hàm dạng phổ tuyến tính: [ ∑ Nq fα (1 − fγ ) αβ 2 (1 + Nq )fγ (1 − fα ) − Γ0 (¯ ω )(fβ − fα ) = |Cβγ (q)| ~¯ ω − Eγα + ~ωq ~¯ ω − Eγα + ~ωq γ [ (1 + N )f (1 − f ) Nq fγ (1 − fα ) (1 + Nq )fα (1 − fγ ) ] ∑ ∑ q β γ + − + |Cαγ (q)|2 ~¯ ω − Eγα − ~ωq ~¯ ω − Eγα − ~ωq ~¯ ω − E + ~ω βγ q q γ ] Nq fγ (1 − fβ ) Nq fβ (1 − fγ ) (1 + Nq )fγ (1 − fβ ) − + − . (6) ~¯ ω − Eβγ + ~ωq ~¯ ω − Eβγ − ~ωq ~¯ ω − Eβγ − ~ωq DÒ TÌM CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON BẰNG QUANG HỌC... 7 Trong phương trình (6), Nq là hàm phân bố của phonon có năng lượng ~ωq . Để thu được biểu thức của công suất hấp thụ, ta tính các yếu tố ma trận: ⟨z⟩αβ = ⟨kx , n, ℓ|z|kx′ , n′ , ℓ′ ⟩ = ℓz δkx ,kx′ δn,n′ Dz,ℓ,ℓ′ , ie~ ′ ′ ′ ∂ ie~ 1 ⟨jz ⟩βα = ⟨kx , n , ℓ | |kx , n, ℓ⟩ = ∗ δkx ,kx′ δn′ ,n Dj,ℓ,ℓ′ , ∗ me ∂z me ℓz trong đó ta đã ký hiệu √ √ ( ℓ′ + 1 ) ℓ′ Dz,ℓ,ℓ′ = δℓ,ℓ′ +1 + δℓ,ℓ′ −1 , 2 2 Dj,ℓ,ℓ′ = ( √ ℓ δℓ′ ,ℓ−1 − 2 √ ) ℓ+1 δℓ′ ,ℓ+1 . 2 (7) Vì ω ¯ là đại lượng phức nên hàm dạng phổ Γαβ ω ) có thể viết dưới dạng: 0 (¯ αβ Γ0 (¯ ω ) = A0 (ω) + iB0 (ω). Ta sử dụng gần đúng Lorentz [10] trong đó ta giả sử rằng A0 (ω) có thể bỏ qua so với Eβα = Eβ − Eα , nghĩa là hàm B0 (ω) thay đổi chậm theo ω gần các điểm cộng hưởng ~ω = Eβα . Khi ∆ → 0+ , ta có 2 ∑ ∑ D e2 ~E0z z,ℓ,ℓ′ Dj,ℓ,ℓ′ (fn′ ,ℓ′ ,kx′ − fn,ℓ,kx )B0 (ω) P0 (ω) = (8) δkx ,kx′ δn′ ,n , ∗ 2me n,ℓ,k n′ ,ℓ′ ,k′ (~ω − Eβα )2 + B02 (ω) x x trong đó B0 (ω) được gọi là hàm độ rộng phổ đặc trưng cho tốc độ hồi phục của quá trình tán xạ: { ∑ π 2 B0 (ω) = |Cβγ (⃗q)| [(1 + Nq )fγ (1 − fα ) − Nq fα (1 − fγ )]δ(~ω − Eγα + ~ωq ) fβ − fα q⃗,γ } +[Nq fγ (1 − fα ) − (1 + Nq )fα (1 − fγ )]δ(~ω − Eγα − ~ωq ) { ∑ π 2 + |Cγα (⃗q)| [(1 + Nq )fβ (1 − fγ ) − Nq fγ (1 − fβ )]δ(~ω − Eβγ + ~ωq ) fβ − fα q ,γ ⃗ } +[(Nq )fβ (1 − fγ ) − (1 + Nq )fγ (1 − fβ )]δ(~ω − Eβγ − ~ωq ) (9) Để thu được biểu thức tường minh của B0 (ω) tác electron-phonon quang ( ta xét tương ) 2 e2 ~ωLO 1 1 D − χ0 , trong đó giả sử rằng phonon dọc với thế tán xạ |Vq | ≈ V q2 ; D = 2ε0 V χ∞ x không tán sắc (~ωq ≈ ~ωLO ≈ const, ωLO là tần số phonon quang). Tính toán giải tích cho ta biểu thức của công suất hấp thụ có dạng: 2 ∑ ∑ D e2 ~E0z z,ℓ,ℓ′ Dj,ℓ,ℓ′ (fn′ ,ℓ′ ,kx′ − fn,ℓ,kx )B0 (ω) P0 (ω) = δkx ,kx′ δn′ ,n , ∗ 2me n,ℓ,k n′ ,ℓ′ ,k′ (~ω − ∆E)2 + B02 (ω) x (10) x { ∑ ([ ] F01 1 Lx Dm∗e 1 + trong đó B0 (ω) = 16π 3 ~2 (fβ − fα ) n”,ℓ” (kx′ + M01 )2 (kx′ − M01 )2 M01 ([ ] F02 ) [ ] F03 1 1 1 1 + + N N + + 1y 1z (kx′ + M02 )2 (kx′ − M02 )2 M02 (−kx + M03 )2 (kx + M03 )2 M03 } [ ] F04 ) 1 1 + N2y N2z , (11) + (−kx + M04 )2 (kx + M04 )2 M04 8 LÊ ĐÌNH - HỒ THỊ NGỌC ANH với M01,02 M03,04 F01 N1y N1z [ 2 2m∗e ]1/2 = kx + 2 (~ω ± ~ωLO − En′′ ,ℓ′′ + En,ℓ ) , ~ ∗ [ ]1/2 2m = kx′2 − 2 e (~ω ± ~ωLO − En′ ,ℓ′ + En′′ ,ℓ′′ ) , ~ 2 ( [ ~2 M01 ])−1 = (1 + Nq )(1 − fα ) 1 + exp θ( + En′′ ,ℓ′′ − EF ) ∗ 2me 2 2 ])−1 ] [ ( [ ~ M01 , −Nq fα 1 − 1 + exp θ( + En′′ ,ℓ′′ − EF ) ∗ 2me (n′ !)2 (n′ − n′′ − 12 )!(n′′ − 21 )! 1 1 1 1 = √ √ ×3 F2 (−n′′ , n′ − n′′ + , ; n′ − n′′ + 1, − n′′ ; 1), ′′ ′ ′′ n !(n − n )! 2 2 2 2ℓy π (ℓ′ !)2 (ℓ′ − ℓ′′ − 12 )!(ℓ′′ − 21 )! 1 1 1 ′ 1 ′′ ′ ′′ ′′ × F (−ℓ , ℓ − ℓ + , ; ℓ − ℓ + 1, − ℓ′′ ; 1), √ 3 2 ′′ ′ ′′ ℓ !(ℓ − ℓ )! 2 2 2 2ℓz π 2 2 ( [ ~ M02 ])−1 Nq (1 − fα ) 1 + exp θ( + En′′ ,ℓ′′ − EF ) ∗ 2me 2 [ ( [ ~2 M02 ])−1 ] (1 + Nq )fα 1 − 1 + exp θ( + En′′ ,ℓ′′ − EF ) , ∗ 2me 2 [ ( [ ~2 M03 ])−1 ] ′′ ,ℓ′′ − EF ) + E (1 + Nq )fβ 1 − 1 + exp θ( n 2m∗e 2 2 ( [ ~ M03 ])−1 ′′ ,ℓ′′ − EF ) Nq (1 − fβ ) 1 + exp θ( + E , n 2m∗e ∫ ∞ (n′′ !)2 (n′′ − n − 12 )!(n − 12 )! 1 |Gn,n′′ (qy )|2 dqy = √ √ n!(n′′ − n)! 2ℓy π −∞ 1 1 ′′ 1 ′′ − n; 1), 3 F2 (−n, n − n + , ; n − n + 1, 2 2 2 ∫ ∞ (ℓ′′ !)2 (ℓ′′ − ℓ − 12 )!(ℓ − 12 )! 1 2 |Gℓ,ℓ′′ (qz )| dqz = √ √ ℓ!(ℓ′′ − ℓ)! 2ℓz π −∞ 1 1 1 3F2 (−ℓ, ℓ′′ − ℓ + , ; ℓ′′ − ℓ + 1, − ℓ; 1), 2 2 2 2 [ ( [ ~2 M04 ])−1 ] Nq fβ 1 − 1 + exp θ( + En′′ ,ℓ′′ − EF ) ∗ 2me 2 ])−1 ( [ ~2 M04 ′′ ,ℓ′′ − EF ) . + E (1 + Nq )(1 − fβ ) 1 + exp θ( n 2m∗e = √ F02 = − F03 = − N2y = × N2z = × F04 = − trong đó Γ(x) là hàm gamma, 3 F2 (a, b, c; d, e; x) là chuỗi siêu bội suy rộng có dạng 3 F2 (a, b, c; d, e; x) = ∞ ∑ (a)i (b)i (c)i xi i=0 (d)i (c)i i! , với (a)i là kí hiệu Pochhammer được định nghĩa bởi (a)i = (a + i − 1)!/(a − 1)!. DÒ TÌM CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON BẰNG QUANG HỌC... 9 3 HIỆU ỨNG DÒ TÌM CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON BẰNG QUANG HỌC TRONG DÂY LƯỢNG TỬ Các hàm Delta trong biểu thức B0 (ω) cho ta điều kiện dò tìm cộng hưởng electronphonon: Eβ − Eα ± ~ω = ~ωLO , nghĩa là trong quá trình tán xạ, electron có thể thực hiện dịch chuyển giữa hai trạng thái |α> và |β> bằng cách hấp thụ hoặc phát xạ một photon có năng lượng ~ω kèm theo sự hấp thụ một phonon có năng lượng ~ωLO . Trong trường hợp khi không có điện trường ngoài (ω = 0) thì ta có điều kiện cộng hưởng electron-phonon: Eβ − Eα = ~ωLO . Cong suat hap thu HdvbkL Để làm rõ hơn kết quả thu được từ những lập luận trên đây, chúng tôi sử dụng phương pháp tính số và vẽ đồ thị đối với công suất hấp thụ tuyến tính P0 (ω) ở biểu thức (10) cho dây lượng tử GaAsAl/GaAs/GaAsAl với thế giam giữ dạng parabol. Các thông số được sử dụng là: m∗e = 6.097 × 10−32 kg, kB = 1.38066 × 10−23 J/K, ϵ0 = 13.5, χ∞ = 10.9, χ∞ = 12.9, εF = 0.8 × 10−19 J, ωLO = 36.25 × 1.6 × 10−22 /~ Hz, ωy = 0.4 ωLO , E0z = 105 V /m, nα = ℓα = 0 và nβ = 0, ℓβ = 1. 14 1 12 10 8 6 2 4 3 2 0 0 10 20 30 40 50 Nang luong photon HmeVL 60 Hình 1: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng lượng photon ở nhiệt độ 250 K và ωy = ωz = 0.4 ωLO . Hình 1 biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon ứng với các giá trị nhất định của nhiệt độ và tần số giam giữ. Hình vẽ này cho thấy đồ thị có ba đỉnh cộng hưởng mô tả các dịch chuyển khác nhau của electron. Đỉnh thứ nhất tại vị trí ~ω = 14.5 meV thỏa mãn điều kiện ~ω = Eβ − Eα tương ứng với quá trình electron từ trạng thái |α> hấp thụ một photon dịch chuyển đến trạng thái |β>, quá trình này không kèm theo hấp thụ hay phát xạ phonon. Đỉnh thứ hai tại vị trí ~ω = 36, 25 meV thỏa mãn điều kiện ~ω = ~ωLO tương ứng với sự dịch chuyển nội vùng. Đỉnh thứ ba tại vị trí ~ω = 50.75 meV thỏa mãn điều kiện ~ω = Eβα + ~ωLO = 14.5 + 36, 25 meV tương ứng với quá trình electron từ trạng thái |α> hấp thụ một photon dịch chuyển đến trạng thái |β>, đồng thời phát xạ một phonon có năng lượng ~ωLO . Như vậy các tính toán giải tích là phù hợp với lý thuyết ODEPR. Hình 2a mô tả sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính ứng với đỉnh 14.5 meV vào năng lượng photon tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ. Đồ thị cho thấy khi tăng