CHUYEÂN ÑEÀ 6
HYPEBOL
Ñeå giaûi caùc baøi toaùn coù lieân quan ñeán ñöôøng hypebol ta caàn naém vöõng caùc vaán ñeà cô
baûn sau:
Hypebol (H) coù taâm O, hai truïc ñoái xöùng laø x′ x, y′ y.
2
2
2
2
. Hypebol coù tieâu ñieåm treân x′ x . Hypebol coù tieâu ñieåm t reân y′ y
2
2
2
2
Phöông trình – = 1 – = –1 x a y b x a y b chính taéc
vôùi c2 = a2 + b2 vôùi c2 = a2 + b2
Tieâu ñieåm F1(–c, 0), F2(c, 0) F1(0, –c), F2(0, c)
Tieâu cöï 2c 2c
Truïc thöïc, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a
Truïc aûo, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2b
Ñænh A1(–a, 0), A2(a, 0) A1(0, –b), A2(0, b)
a b
b a
Tieäm caän x x y = ± y = ±
c b
c a
e = e = Taâm sai
Baùn kính
=
+
=
+
= F M ex
a
= F M ey
b
M(xM, yM) ∈ (H)
=
−
=
−
a
b
1 M = F M ex
1 M = F M ey
r 1 r 2
2
r 1 r 2
2
M
M
⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎨ ⎩
a)≥ (xM (yM ≥ b)
= −
−
= −
−
ex
a
ey
b
+
= −
+
= −
M ex
a
M ey
b
r 1 r 2
r 1 r 2
M
M
⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎨ ⎩
(xM ≤ – a) (yM ≤ – b)
1
a e
b e
Ñöôøng chuaån x = ± y = ±
Phöông trình tieáp
x x 0 2 a
y y 0 2 b
x x 0 2 a
y y 0 2 b
– = 1 – = –1 tuyeán taïi tieáp
ñieåm M0(x0, y0) ∈ (H)
Ngoaøi ra ta cuõng caàn löu yù:
2
2
. Ñieàu kieän ñeå:
2
2
(D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) : – = 1 laø x a y b
2
2
a2A2 – b2B2 = C2 > 0
2
2
(D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) : – = –1 laø x a y b
a2A2 – b2B2 = –C2 < 0
Ví duï :
Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 = 4
1) Xaùc ñònh tieâu ñieåm, ñænh, taâm sai, caùc ñöôøng tieäm caän vaø ñöôøng chuaån cuûa (H)
2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi ñieåm M(1, 0)
3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø ñieåm N(1, 4) tìm toïa ñoä tieáp ñieåm.
Giaûi
2
2
2
1) Caùc phaàn töû cuûa hypebol (H)
2
2
x2 – = 1 coù daïng – = 1 vôùi (H) : 4x2 – y2 = 4 ⇔ y 4 x a y b
a2 = 1 ⇒ a = 1, b2 = 4 ⇒ b = 2 vaø c2 = a2 + b2 = 5
5− Vaäy hypebol (H) coù 2 tieâu ñieåm F1( , 0), F2( 5 , 0) ; hai ñænh A1(–1, 0), A2(1, 0) ;
c a
taâm sai e = = 5 ; hai ñöôøng tieäm caän phöông trình y = ± 2x vaø hai ñöôøng chuaån phöông
trình
a e
= x = ± ± 1 5
2
2) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0)
Ta coù M(1, 0) ∈ (H) : 4x2 – y2 = 4
⇒ Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0) laø
4xMx – yMy = 4
x = 1 ⇔ 4x – 0y = 4 ⇔
3) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø N(1, 4). Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi
0y laø x = a = 1. Vaäy x=1 laø moät tieáp tuyeán qua N(1, 4). ± ±
qua N(1, 4) khoâng cuøng phöông vôùi 0y coù daïng: Tieáp tuyeán (
)Δ
: y – 4 = k(x – 1) ⇔ kx – y + 4 – k = 0
(
)Δ
2
2
– = 1
(
)Δ tieáp xuùc vôùi hypebol (H) :
x 1 y 4
k2 . 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2 ⇔
k2 - 4 = 16 – 8k + k2 ⇔
= .Vaäy
k = : x – y – 4 – = 0 ⇔
(
)Δ
5 2
5 2
20 8
5 2
⇔ 5x – 2y – 13 = 0
Toùm laïi coù hai tieáp tuyeán qua ñieåm N(1, 4) laø x = 1, vaø 5x – 2y – 13 = 0.
* * *
3
