1. T P H P: Ậ Ợ
ố ượ ấ ị ấ T p h p là m t nhóm các đ i t ộ ng thu c t p h p đ M i đ i t ộ ậ ậ ợ ỗ ố ượ ợ ượ ọ ng có chung m t s các tính ch t nh t đ nh nào đó. c g i là ph n t ợ ộ ố c a t p h p. ầ ử ủ ậ
Các ví d v t p h p: ụ ề ậ ợ
- T p h p sinh viên trong tr ng đ i h c nào đó. ậ ợ ườ ạ ọ
- T p h p N m i s t nhiên. ọ ố ự ậ ợ
- T p h p R m i s th c. ọ ố ự ậ ợ
Mu n xác đ nh m t tãp h p, có th dùng m t trong hai cách: ể ố ộ ợ ộ ị
, ch ng h n: A = {a, b, c, d} là t p h p b n ch cái ệ ữ ạ ậ ợ ố ẳ t. a) Li đ u tiên c a b ng ch cái ti ng Vi ầ t kê m i ph n t ọ ữ ủ ả c a nó ầ ử ủ ế ệ
c a t p h p. b) Ch ra m t đ c tính đ c tr ng cho các ph n t ặ ộ ặ ầ ử ủ ậ ợ ư ỉ
là t p h p s th c th a mãn tính ch t . Thí d : ụ ợ ố ự ậ ấ ỏ
c g i là t p h p h u h n. Còn t p h p có s ữ ậ ạ ậ ợ ợ ố c g i là t p h p vô h n. T p h p có s ph n t ậ ợ ph n t ầ ử ố ầ ử ữ là vô h n đ ạ ượ ọ h u h n đ ượ ợ ọ ạ ạ ậ
T p h p vô h n đ c chia làm hai lo i: ạ ượ ậ ợ ạ
c ng: 1, 2, 3, ậ ợ ế ạ ượ . Thí d : t p h p t ụ ậ ợ ấ ả t c các s nguyên d ố ươ - T p h p vô h n đ m đ …
ế ượ . Thí d : t p h p t ợ ấ ả ủ ợ ấ ả ậ ộ t c các đi m c a m t ể t c các s th c trong kho ng (0, 2) là nh ng t p h p không ậ c ố ự ụ ậ ả ữ ợ ợ ẳ c. - T p h p vô h n không đ m đ ậ ạ đ ng th ng, t p h p t ườ đ m đ ế ượ
2. QUY T C NHÂN: Ắ
Quy t c nhân đ ắ ượ c phát bi u nh sau: ể ư
ộ ạ c chia làm hai giai đo n, có n1 cách hoàn thành giai đo n I t c : n = n1.n2 cách hoàn thành ấ ả ạ ẽ ạ M t công vi c nào đó đ ượ ệ và có n2 cách hoàn thành giai đo n II. Khi đó s có t công vi c.ệ
ố ừ ị ế ườ ị C t i B. Ki đó ta có t ừ ớ ng đi ta mu n ghé qua v trí C. Có ố t c n = 2.3 = 6 cách đi ấ ả Thí d : Ta mu n đi t v trí A đ n v trí B. Trên đ ụ ị 2 cách đi t A đ n C và có 3 cách đi t ế ừ A đ n B. khác nhau t ế ừ
M t cách t ng quát, ta phát bi u quy t c nhân: ể ắ ộ ổ
s m t công vi c nào đó đ ượ ệ ạ c chia làm k giai đo n. có n1 cách hoàn thành giai Gi ạ đo n th I, có n2 cách hoàn thành giai đo n th II,…, có nk cách hoàn thành giai đo n ả ử ộ ạ ứ ứ ạ
cu i cùng. Khi đó s có t t c : ẽ ố ấ ả cách hoàn thành công vi c.ệ
3. CH NH H P: Ợ Ỉ
3.1. Đ nh nghĩa: ị
) là m t nhóm có th t g m k ph n t khác ầ ử ứ ự ồ ầ ử ộ ủ n ph n t ( đã cho. Ch nh h p ch p k c a n ph n t ậ ỉ c ch n t nhau đ ọ ừ ợ ượ ầ ử
2,3,5. Các ch nh h p ch p 2 c a 3 ph n t đó là: 23, 25, 32, 35, ầ ử ầ ử ủ ậ ợ ỉ Thí d : cho ba ph n t ụ 52, 53.
ề ậ ỉ ỉ n ph n t ầ ử ư ậ ừ ợ ỉ khác nhau ho c ch do th t ặ ể ạ ở ấ ộ ỉ ta có th t o nên nhi u ch nh h p ch p k khác nhau. Ch nh h p Nh v y t ợ ợ ứ ự này khác ch nh h p kia ho c b i có ít nh t m t ph n t ầ ử ặ s p x p. ắ ế
đ S ch nh h p ch p k c a n ph n t ậ ố ỉ ầ ử ượ ủ ợ c ký hi u là: ệ
3.22. Công th c tính: ứ
(1.1)
Trong đó: n! = n(n -1)(n -2) … 2.1 ; 0! = 1
ỗ ớ ỗ ọ ỏ 3.3 Thí dụ: M i l p ph i h c 6 môn, m i ngày h c 2 môn. H i có bao nhiêu cách x p ế th i khóa bi u trong m i ngày. ả ọ ỗ ể ờ
ỗ ế ể ờ ộ ấ iả : Vì m i cách x p th i khóa bi u trong m t ngày là vi c ghép 2 môn trong s 6 ố c ướ ầ 6 ph n s p x p tr ậ ứ ự ắ ợ ế ỗ ệ ỉ ỉ ế ứ ặ ộ ọ ữ ế ừ ắ ớ Gi môn h c. Các cách này do ít nh t 1 môn khác nhau ho c ch do th t sau gi a hai môn. Vì th m i cách s p x p ng v i m t ch nh h p ch p 2 t .ử t
Do đó có t t c : cách ấ ả
4. CH NH H P L P: Ợ Ặ Ỉ
4.1 – Đ nh nghĩa: ị
là m t nhóm có th t ủ ộ ứ ự ồ ầ ử ợ ặ đã cho, trong đó m i ph n t ỗ ầ ử ầ ử ấ ừ n l y t ạ có th có m t 1, 2, …, k l n trong nhóm t o g m k ph n t ầ ể ặ Ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ậ ỉ ph n t ầ ử thành.
ỗ ề ầ ể ấ ộ ỉ 2, 3, 5. Các ch nh h p l p ch p 2 c a ba ph n t ợ ặ ầ ử ẳ ợ ặ ậ ủ ỉ Vì m i ph n t ể ớ có th xu t hi n nhi u l n trong m t ch nh h p l p, nên k có th l n ệ h n n. Ch ng h n cho ba ph n t ầ ử ẽ s ầ ử ạ ơ là:
22 23 25
32 33 35
52 53 55
đ S ch nh l p ch p k c a n ph n t ậ ố ỉ ầ ử ượ ủ ặ c ký hi u là: ệ
4.2 – Công th c tính: ứ
ậ ậ ỉ ộ ợ ặ ố ậ ầ ử ứ ấ ể ậ th nh t theo n cách. Ph n t ể ọ th k cũng có n cách ch n ( vì m i ph n t ầ ử ứ ọ ọ ỗ ậ n ph n t đã cho. Ta thành l p công th c t ng quát đ tính ứ ổ m t ch nh h p l p ch p k ta có th ch n ph n t ậ cũng có n cách ch n … ph n t ch n l ề ầ ọ ạ ch nh h p l p ch p h khác nhau t ậ ỉ . Mu n v y ta l p lu n nh sau: đ có ư ể th hai ầ ử ứ ể có th ầ ử ộ i nhi u l n). Vì v y theo quy t c nhân ta có: n . n … n = cách thành l p m t ậ ợ ặ ắ ầ ử ừ
Do đó: (1.3)
i ta dùng 3 con s trong 9 con s 1 … ớ ườ ố ố ạ c bao nhiêu máy. 4.3 Thí d :ụ Đ đăng ký m i lo i máy m i ng ỗ ể 2 … 9. H i có th đánh s đ ố ượ ể ỏ
Gi 9 ph n t đã cho. V y có i:ả Ở đây m i s c a máy là m t ch nh h p l p ch p 3 t ộ ỗ ố ủ ợ ặ ậ ỉ ừ ầ ử ậ
th đánh s đ c: máy. ố ượ ể
5. HOÁN V :Ị
5.1 – Đ nh nghĩa: ị
Hoán v c a n ph n t là m t nhóm có th t g m đ m t n ph n t đã cho. ầ ử ị ủ ứ ự ồ ủ ặ ầ ử ộ
đ c ký hi u là S hoán v c a n ph n t ị ủ ầ ử ượ ố ệ
5.2 – Công th c tính: ứ
ị ủ ấ ỉ Theo đ nh nghĩa ta th y các hoán v c a n ph n t ầ ử ị mà thôi. M t hoán v c a n ph n t gi a các ph n t ầ ử ầ ử ị ủ ế s p x p ch khác nhau b i th t ứ ự ắ ở ậ cũng chính là m t ch nh h p ch p ợ ỉ ộ ữ ộ
n n t Do đó: c a ủ ph n ầ . ử
(1.4) V y ậ
5.3 Thí d :ụ M t bàn có 4 h c sinh ng i. H i có bao nhiêu cách x p ch ng i? ồ ế ộ ọ ỏ ỗ ồ
. Do đó s cách ị ủ ầ ử ế ộ ố ỗ cách Ta th y m i cách x p ch cho 4 h c sinh là m t hoán v c a 4 ph n t ấ ọ ỗ s p x p là: ế ắ
6. T H P: Ổ Ợ
6.1 – Đ nh nghĩa: ị
) là m t nhóm không phân bi t th t g m k ph n t ổ ậ ộ ệ ứ ự ồ ầ ử ( ầ ử n ph n t T ch p k c a n ph n t ủ khác nhau ch n t ọ ừ ầ ử đã cho.
S t h p ch p k c a n ph n t đ c ký hi u là ố ổ ợ ầ ử ượ ủ ậ ệ
6.2 – Công th c tính: ứ
h p ta th y t ị ấ ổ ợ ợ c coi nh đ ổ ợ ế ỉ h p cũng chính là m t ch nh h p (không l p). Nh ng ư ỉ ư ộ ề ứ ự s p x p c a các ph n t ế ặ ầ ử ượ ủ ắ Từ đ nh nghĩa t các ch nh h p n u ch khác nhau v th t ỉ cùng m t t ợ h p mà thôi. ộ ổ ợ
n ph n t ể ậ ta có th thành l p h p này thì m i t ầ ử t ậ ổ ợ ỗ ổ ợ ẽ ạ h p ch p k khác nhau. Ta đem hoán v ị ấ ả t c h p s t o ra k! ch nh h p, mà ta có t ỉ ợ
h p. V y ta có đ ng th c: Gi s t ả ử ừ các ph n t t ổ ợ ầ ử trong các t ổ ợ ẳ ậ ứ
ườ ộ ớ ể ứ ớ ườ ộ ộ ậ ộ ấ ả ấ t ộ ượ 6.3 Thí d :ụ Có m i đ i bóng đá thi đ u v i nhau theo th th c vòng tròn m t l ấ (t c hai đ i b t kỳ trong m i đ i bóng này ph i thi đ u v i nhau m t tr n). H i ph i ả ứ ỏ ch c bao nhiêu tr n đ u. t ổ ứ ậ ấ
h p ch p 2 c a 10 ph n t i:ả Ta th y m i tr n đ u gi a hai đ i bóng là m t t ầ ử ữ ấ ấ ậ Gi hai đ i thi đ u v i nhau thì không c n phân bi ỗ ậ ớ ộ ổ ợ t th t ). Do đó s tr n đ u c n t ứ ự ủ ố ậ (vì ầ ổ ộ ầ ệ ấ ấ ộ
ch c là: ứ
6.4 – Các tính ch t c a t h p: ấ ủ ổ ợ
1)
minh:
Ch ng ứ 2) 3)
7. CÔNG TH C NH TH C NEWTON: Ị Ứ Ứ
ng c a t ng hai s h ng trong đó ị ứ ừ ậ ươ ủ ổ ố ạ Nh th c Newton là lũy th a b c nguyên d a, b là h ng s th c tùy ý, n = 1, 2, 3, … ố ự ằ
