Giải tích

Chia sẻ: Ngô Vũ Hảo | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

90
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung một số các tính chất nhất định nào đó. Mỗi đối tượng thuộc tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp. Các ví dụ về tập hợp: Tập hợp sinh viên trong trường đại học nào đó. Tập hợp N mọi số tự nhiên. Tập hợp R mọi số thực. Muốn xác định một tãp hợp, có thể dùng một trong hai cách: Liệt kê mọi phần tử của nó, chẳng hạn: A = {a, b, c, d} là tập hợp bốn chữ cái...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích

1. TẬP HỢP: Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung m ột số các tính chất nh ất đ ịnh nào đó. Mỗi đối tượng thuộc tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp. Các ví dụ về tập hợp: - Tập hợp sinh viên trong trường đại học nào đó. - Tập hợp N mọi số tự nhiên. - Tập hợp R mọi số thực. Muốn xác định một tãp hợp, có thể dùng một trong hai cách: a) Liệt kê mọi phần tử của nó , chẳng hạn: A = {a, b, c, d} là tập h ợp b ốn ch ữ cái đầu tiên của bảng chữ cái tiếng Việt. b) Chỉ ra một đặc tính đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. Thí dụ: là tập hợp số thực thỏa mãn tính chất . Tập hợp có số phần tử hữu hạn được gọi là tập hợp hữu hạn. Còn t ập h ợp có s ố phần tử là vô hạn được gọi là tập hợp vô hạn. Tập hợp vô hạn được chia làm hai loại: - Tập hợp vô hạn đếm được . Thí dụ: tập hợp tất cả các số nguyên dương: 1, 2, 3, … - Tập hợp vô hạn không đếm được. Thí dụ: tập hợp tất cả các điểm của một đường thẳng, tập hợp tất cả các số thực trong kho ảng (0, 2) là nh ững t ập h ợp không đếm được. 2. QUY TẮC NHÂN: Quy tắc nhân được phát biểu như sau: Một công việc nào đó được chia làm hai giai đo ạn, có n1 cách hoàn thành giai đo ạn I và có n2 cách hoàn thành giai đo ạn II. Khi đó sẽ có t ất c ả: n = n1.n2 cách hoàn thành công việc. Thí dụ: Ta muốn đi từ vị trí A đến vị trí B. Trên đường đi ta mu ốn ghé qua v ị trí C. Có 2 cách đi từ A đến C và có 3 cách đi từ C tới B. Ki đó ta có t ất c ả n = 2.3 = 6 cách đi khác nhau từ A đến B.
Một cách tổng quát, ta phát biểu quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó được chia làm k giai đo ạn. có n1 cách hoàn thành giai đoạn thứ I, có n2 cách hoàn thành giai đoạn thứ II,…, có nk cách hoàn thành giai đo ạn cuối cùng. Khi đó sẽ có tất cả: cách hoàn thành công việc. 3. CHỈNH HỢP: 3.1. Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử ( ) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho. Thí dụ: cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp chập 2 c ủa 3 phần t ử đó là: 23, 25, 32, 35, 52, 53. Như vậy từ n phần tử ta có thể tạo nên nhiều chỉnh hợp chập k khác nhau. Ch ỉnh h ợp này khác chỉnh hợp kia hoặc bởi có ít nhất một phần tử khác nhau ho ặc chỉ do thứ tự sắp xếp. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là: 3.22. Công thức tính: (1.1) Trong đó: n! = n(n -1)(n -2) … 2.1 ; 0! = 1 3.3 Thí dụ: Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong mỗi ngày. Giải: Vì mỗi cách xếp thời khóa biểu trong một ngày là việc ghép 2 môn trong s ố 6 môn học. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau ho ặc ch ỉ do th ứ t ự s ắp x ếp tr ước sau giữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một ch ỉnh h ợp ch ập 2 t ừ 6 ph ần tử. Do đó có tất cả: cách 4. CHỈNH HỢP LẶP: 4.1 – Định nghĩa:
Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có th ứ t ự gồm k phần t ử lấy t ừ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, …, k l ần trong nhóm t ạo thành. Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp, nên k có thể lớn hơn n. Chẳng hạn cho ba phần tử 2, 3, 5. Các chỉnh hợp lặp chập 2 c ủa ba ph ần t ử s ẽ là: 22 23 25 32 33 35 52 53 55 Số chỉnh lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là: 4.2 – Công thức tính: Ta thành lập công thức tổng quát để tính . Muốn vậy ta lập luận như sau: để có một chỉnh hợp lặp chập k ta có thể chọn phần tử thứ nhất theo n cách. Phần tử thứ hai cũng có n cách chọn … phần tử thứ k cũng có n cách ch ọn ( vì m ỗi ph ần t ử có th ể chọn lại nhiều lần). Vì vậy theo quy tắc nhân ta có: n . n … n = cách thành l ập m ột chỉnh hợp lặp chập h khác nhau từ n phần tử đã cho. Do đó: (1.3) 4.3 Thí dụ: Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1 … 2 … 9. Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu máy. Giải: Ở đây mỗi số của máy là một chỉnh hợp lặp chập 3 từ 9 phần tử đã cho. Vậy có thể đánh số được: máy. 5. HOÁN VỊ: 5.1 – Định nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đã cho. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là 5.2 – Công thức tính: Theo định nghĩa ta thấy các hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau bởi thứ tự sắp xếp giữa các phần tử mà thôi. Một hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập
của phần tử. n n Do đó: Vậy (1.4) 5.3 Thí dụ: Một bàn có 4 học sinh ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi? Ta thấy mỗi cách xếp chỗ cho 4 học sinh là m ột hoán v ị c ủa 4 ph ần t ử. Do đó s ố cách sắp xếp là: cách 6. TỔ HỢP: 6.1 – Định nghĩa: Tổ chập k của n phần tử ( ) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là 6.2 – Công thức tính: Từ định nghĩa tổ hợp ta thấy tổ hợp cũng chính là một chỉnh hợp (không l ặp). Nh ưng các chỉnh hợp nếu chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp của các phần tử được coi như cùng một tổ hợp mà thôi. Giả sử từ n phần tử ta có thể thành lập tổ hợp chập k khác nhau. Ta đem hoán vị các phần tử trong các tổ hợp này thì m ỗi tổ hợp sẽ tạo ra k! ch ỉnh h ợp, mà ta có t ất c ả tổ hợp. Vậy ta có đẳng thức: 6.3 Thí dụ: Có mười đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn m ột l ượt (tức hai đội bất kỳ trong mười đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận). Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu. Giải: Ta thấy mỗi trận đấu giữa hai đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (vì hai đội thi đấu với nhau thì không cần phân biệt thứ tự). Do đó số tr ận đ ấu c ần t ổ chức là: 6.4 – Các tính chất của tổ hợp:
1) Chứng minh: 2) 3) 7. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: Nhị thức Newton là lũy thừa bậc nguyên dương c ủa tổng hai số h ạng trong đó a, b là hằng số thực tùy ý, n = 1, 2, 3, …