ệ
ơ ở ố
ộ ệ
ủ
ạ
ơ
H sinh, c s , s chi u và h ng c a m t h vect ề ________________________________________________ 1. H sinh: ệ 1.1 Đ nh nghĩa:
ủ ợ E(S). S đ ộ ậ c a ủ ơ V. Ta g i t p h p các t ọ ậ c a S và ký hi u là ệ i ti u c a ủ V n u E(S) = ế Cho S là m t t p con c a không gian vect ầ ử ủ S là bao tuy n tính V. Ta g i S là ọ ổ cượ ủ ế ứ ậ ố ể n u nó không ch a t p h sinh t ệ ế h p tuy n tính c a các ph n t ợ g i là ọ con th c s cũng là h sinh. ị ế h sinh ệ ự ự
=
ệ có m t h sinh h u h n đ c g i là không gian h u h n sinh hay ữ ạ ộ ệ ơ ượ ọ ữ ạ
S
u ,..., }
V
,
n
2
n
a
(cid:0) S là h sinh c a không gian h u h n chi u. ề u u { , 1 ủ V khi và ch khi: ỉ
, (
)
,
= a : u
...
u V �
�ﾡ
2
n
+ u 1 1
u n n
" $ . Không gian vect ữ ạ Do đó, n u cho ế a a a ,..., 1
=
S
V
u u { , 1
2
u ,..., }n
E S = (cid:0)
( ) { }
{ }
ệ + + a u 2 2 = . N u ế S là h sinh c a ệ ủ V thì ta ký hi u ệ
thì
e 1
0}
n (cid:0)
ơ ồ ơ , h vect ệ = (0, 0,....,1) g m các vect là m t c s c a không gian vect . 1.2 Ví d : ụ S = (cid:0) 1. N u ế 2. Đ i v i không gian vect ố ớ = = e (1, 0,..., 0); 2 . ơ nﾡ e (0,1, 0,..., 0);...; n ộ ơ ở ủ ơ nﾡ
nt ứ { | ơ 4. N u S là h sinh c a
là m t h sinh c a không gian các đa th c K[t]. 3. T p các đ n th c ộ ệ ủ ứ ậ
ủ V, thì m i t p ch a nó đ u là h sinh c a ọ ậ ủ V. Nói riêng V là ứ ề ệ ế ệ
ữ ộ
v v 2, 1
,
a ,...,
ng pháp sau: ủ V ta ch ng minh m i t p con h u h n S là m t h sinh c a ạ ệ ủ V. Khi đó, ta có th s d ng m t trong các ph ể ử ụ ọ ậ ươ ứ ộ
2
n
a a v thu c ộ V thì có các s ố 1
+ a
=
a
ng thu c tr ộ ườ K sao h sinh c a ủ V. ệ 1.3 Nh n xét: ậ Đ ch ng minh ứ ể ,.., n v là h sinh c a ệ ng pháp 1: Ph ươ Ch ng minh v i m i vector ớ ứ ọ
+ + a ...
v 1 1
v n n
cho v .
+
đi u này t ng đ ng v i h ph ng trình: ề ươ ươ ớ ệ ươ
+
+ + ... + + ...
v 2 2 mK v i ớ n m(cid:0) Trong không gian vector = b 1 = b 2
a x 1 n n a x 2 n n
a x 12 2 a x 22 2
a x 11 1 a x 21 1
m
=
v
,...,
)
K
b b ( , 1 2
b m
...
+
=
a x 1 1 m
a x 2 2
a x mn n
b m
=
+ + ... " = i
1,..,
n
(
a
),
,...,
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) trong đó luôn có nghi m v i ớ ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0)
v i
.
a a , 1i Ph
2i mi ng pháp 2:
u u , 1
u c a ủ V thì c n ch ng t
iu bi u di n ễ ể
m i vector ứ ầ ỏ ỗ
,..., m v v i i = 1, …, m.
2 ớ
ươ N u bi t tr ế ướ ế c qua các vector đ c 1 h sinh ệ v v ,..., m 2, 1 ượ
=
=
=
=
u
(1, 2,3);
v
(0, 2,1);
w
(0, 0, 4);
z
(2; 4;5)
là hệ Ví d : ụ Ch ng minh r ng h 4 vector
3ﾡ
ằ ứ sinh c a không gian vector ệ .
+
+
+
=
Gi ủ i:ả
1.
0.
0
2
+
+
=
+
2.
0
2.
4
x 2 x 2
+
+
=
+
3.
1.
4.
5
x 1 x 1 x 1
x 2
x 3 x 3 x 3
x 4 x 4 x 4
b 1 b 2 b 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Xét h ph ng trình ệ ươ (cid:0) (cid:0)
=
H này có nghi m vì h ng c a ma tr n h s b ng v i h ng c a ma tr n h s m ệ ố ằ ệ ố ở ớ ạ ủ ủ ệ ậ ậ ạ ng trình là: r ng và nghi m c a h ph ệ ộ ệ ủ ệ ươ
x 1
=
x 2
b 1
=
b 1 b 2 2 b ( 3
b 3 ) / 4 1
=
0
x 3 x 4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1.4 Đ nh lý: ị ứ E(S) là không gian con c a V và là không gian con nh nh t c a V ch a ấ ủ ủ ỏ t p S. ậ
i ti u c a E(S) khi và ch khi S là h đ c l p tuy n tính. ệ ộ ậ ế ỉ
: ơ
=
ị ệ S là h sinh t 1.5 Đ nh lý: ố ể ủ ệ ị 2. C s , s chi u và h ng c a h vect ủ ệ ạ ề ơ ở ố ơ S V(cid:0) Ta g i h vect 2.1 Đ nh nghĩa: ọ ệ ơ ở ủ V n u và ch n u ế ố ể ủ là c sơ ở c a ủ V n u ế S là h sinh t i ti u c a ơ ộ đ c ỉ ế S là h sinh c a ệ ệ ủ V và S là h vect
S
I
u i { | i
)i
i
I
a ố ( thì b các s
} là c s c a ua
u
= (cid:0)
i
i
(cid:0) (cid:0) c s p th t V. Nói cách khác S là c s c a l p tuy n tính. ế ậ N u t p đ ế ậ ượ ắ ứ ự ơ ở ủ V và u V(cid:0) ộ
i I
4
đ c g i là . ượ ọ t a đọ ộ c a ủ u theo S n u ế (cid:0)
=
4ﾡ xét c s chính t c g m 4 vector sau đây: ắ ồ = u (0,0, 0,1)
(0,1, 0, 0);
(0, 0,1, 0);
(1, 0, 0, 0);
u
u
ﾡ
u =
(1, 2,3, 4)
3
4 ,
,
,
u u u u nh sau:
ơ ở = (cid:0) khi đó vector
1
2
3
4
2 ế
đ ư ị ượ
+
+
u 2
u 4
u 3
u
u 1
2
3
4
Ví d : ụ Trong = u 1 c bi u th tuy n tính qua các vector = ể + . Suy ra t a đ c a vector u đ i v i c s trên là u = (1, 2, 3, ộ ủ ọ ố ớ ơ ở
4).
=
v
4ﾡ xét c s g m các vector sau: (1,1, 0, 0) (0, 0,1, 0); (0,1, 0, 0);
2
v 4
v 3
ặ = ơ ở ồ = M t khác, trong = v (1, 0, 0,1); 1
u =
(1, 2,3, 4)
4 ﾡ đ
= -
(cid:0) thì khi đó vector c bi u th tuy n tính qua các vector trên nh ượ ể ế ị ư
+ 3 v 3
v 3 4
- sau: u . Khi đó, t a đ c a u = (-2, -1, 3, 3). ọ ộ ủ u đ i v i c s này là
ố ớ ơ ở N u V là không gian h u h n sinh thì s vect ữ ạ ế ơ trong m i c s c a V là ọ ơ ở ủ ố nh nhau. S này g i là s chi u c a V. Ký hi u là dimV.
+ v 2 v 1 2 2.2 Đ nh lý: ị ư
ề ủ ệ ố ọ ố
=
=
=
e n
e 2
(0, 0,....,1) ắ
=
x
(
(
(
là l p thành m t c s c a ộ ơ ở ủ , v yậ nhiên) c a ủ nﾡ x x x )n ,..., , . Tuy 1 2
)n ,..., x e ,..., }n
0 0
0 0
0 1
=
=
=
I
I
I
;
;
;
ơ ở ự e e e ,..., }n { , ọ ộ ớ ệ 1 2 ,..., i là 2.3 Ví d : ụ (0,1, 0,..., 0);...; (1, 0, 0,..., 0); e - Các vect ơ 1 ậ không gian vect . Ta g i đây là c s chính t c (c s t ơ ọ ơ ở nﾡ n=ﾡ x x , dim n . M t vect ơ ộ 1 2 e e { , ọ ộ ủ x theo h ệ 2 nhiên, t a đ c a 1 có t a đ v i h x )n x x , l ạ 2 1
I 1
2
4
1 0
0 0
0 0
0 1
1 0 � � � � � � � � = � � � � � � � � 3 � � � � � � � �
A
l p thành m t c s - Các ma tr n ậ ộ ơ ở ậ
a b � � = � � d c � �
K). M t ma tr n s có t a đ đ i v i h c c a không gian các ma tr n M(2; ủ ậ ậ ộ ọ ộ ố ớ ệ ơ ẽ
ﾡ
s này là (a, b, c, d). ở
- Trong không gian vect ơ ậ ộ ệ ơ ở
M m n(cid:0) ) ; ( , ta có th l p m t h c s bao các ma tr n ể ậ ijE trong đó các ph n t ớ ng ng t dòng i và c t j v i ở ứ ử ươ ầ ijE này đ u b ng 0. Khi đó, i c a ma tr n còn l ằ ậ ạ ủ
j ;
ﾡ
ộ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ầ ử ề (cid:0) g m các ma tr n ồ ậ n i m 1 ;1 b ng 1 còn các ph n t ằ = mn M m n K ) dim ( .
2
ứ ệ ố ự ậ ằ ớ ậ
,...,
ỏ ơ x x , 1, ợ ộ
là t p h p các đa th c h s th c b c nh h n hay b ng n v i các phép toán n . Trong đó, h ng là m t không gian vect x là m t c s c a không ộ ơ ở ủ ệ ơ n= + 1 . này. Do đó, - thông th gian vect
ﾡ dim ( ) n x ộ ệ
c a không gian vect Cho S là m t h vect ơ ủ ơ ệ V. Khi đó, các đi u ki n ề sau t
c a h S; c a V có th bi u di n duy nh t qua các vect ễ ấ ơ ủ ệ
n x ( ) ườ ơ 2.4 Đ nh lý: ị ng đ ng: ươ ươ i) S là c s c a V; ơ ở ủ ii) M i vect ơ ủ ỗ iii) S là m t h đ c l p tuy n tính t
ể ể ế ề i đ i c a V. Khi ta có dimV = n thì các đi u ố ạ ủ ki n trên t ệ ươ ộ ệ ng v i: iv) S là m t h sinh có đúng n ph n t ; ầ ử
ế
ầ ử ơ ọ ầ t a đ c a các ph n ộ ủ ế ậ ị t ử ủ ộ ơ ở
s dim ề (gi ạ ộ ệ V ta ch c n ch ng minh h vector này là ữ ơ ở ủ V = n ) thì đ ch ng minh m t h ể ứ ỉ ầ ứ ệ
ủ ứ
đ tr thành c ộ ệ ộ ậ ng đ ớ ươ v) S là m t h đ c l p tuy n tính có n ph n t ; ầ ử ộ ệ ộ ậ vi) S có đúng n ph n t và ma tr n các c t (dòng) là các vect ộ t có đ nh th c khác không. c a S theo m t c s đã bi ứ 2.5 Nh n xét: ậ Đ i v i ố ớ không gian h u h n chi u ả ử vector g m n vector là c s c a không gian ồ đ c l p tuy n tính. ế ộ ậ 2.6 H qu 1: ệ ả i) B t kỳ h sinh nào c a V cũng ch a m t c s c a V. ệ ii) B t kỳ h đ c l p tuy n tính nào cũng có th b sung các vect ệ ộ ậ ộ ơ ở ủ ể ổ ấ ấ ế ơ ể ở ơ s . ở
ề ữ ạ ủ ố
2.7 H qu 2: ệ ả i) Không gian con c a không gian h u h n chi u là không gian có s chi u h u h n. ữ ạ ề . ii) Không gian ch a m t không gian vô h n chi u là vô h n chi u ạ ề ề ứ ạ ộ
i
i I
} x (cid:0)
i
2.8 Đ nh nghĩa: trong không gian vect ị Cho m t h h u h n vect ộ ệ ữ ạ ơ V. Số
i I
ộ ệ ộ ậ ộ ằ ố
ế ỉ ụ
i I
i
i
i I
i I
là ằ rank x (cid:0) ( )i h ng c a h vect ủ ệ ạ c a m t h con đ c l p tuy n tính t ph n t ầ ử ủ ph thu c vào cách ch n h con, ch ph thu c vào b n ch t c a h ọ ệ ộ ụ } } x (cid:0) x (cid:0) c g i là đ ượ ọ
} ơ { x (cid:0) ố ạ ủ { i đ i c a là m t h ng s (không ấ ủ ệ { }ix ). H ng s này ả ộ ố ủ ệ { . . Ta ký hi u h ng c a h ệ ạ ọ
G i A là ma tr n có các dòng (c t) là các t a đ c a các vect ơ ix khi đó ộ ủ ộ 2.9 Đ nh lý: ị ọ ơ { ậ
=
rank A )
(
ta có
I
.
rank x (cid:0) )i ( i ừ ị
=
=
=
=
u
(1, 0, 0,1);
(0,1, 0, 0);
(0, 0,1, 0);
u
(1,1, 0, 0)
Nh n xét: T đ nh lý trên mu n tìm h ng c a m t h vect ậ ố ủ ộ ệ ạ và tìm h ng c a ma tr n đó. ủ ta có th l p ma tr n ậ ể ậ ơ ậ ạ g m có các dòng là t a đ c a các vect ồ ọ ộ ủ ơ
2
u 1
u 3
4
=
rankA
rank u (
iu trong
. Khi đó,
i
ọ ộ ủ ậ
1
1
0
0
= 4 v i ớ A là ma tr n có các dòng là t a đ c a các vector .
d
d
d
d
d
d 1
4
4
4
4
2
=
A
0
0
(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
� � � � � 1 �
1 0 0 � � 0 1 0 � � 0 0 1 � 0 0 0 �
� � � � � 1 �
- - Ví d : ụ Xét h vector ệ )i = 1,4 c s chính t c c a ắ ủ ơ ở 1 0 0 1 � � 0 1 0 0 � � 0 0 1 0 � 1 1 0 0 �
1 0 0 � � 0 1 0 � � 0 0 1 � 0 1 0 � ề
4ﾡ � � � � � � 3. Không gian h u h n chi u: ữ ạ Không gian vect 3.1 Đ nh nghĩa:
V đ c g i là không gian vect n chi u ơ ị ượ ọ ơ ề n u c s ế ơ ở . c a V có n vect ủ ơ
ộ ữ ạ
đ u ph thu c tuy n tính. ộ ơ
ơ ở ủ V. ề
có nhi u h n n vect ề ơ ơ ộ ậ ơ ệ
ế ơ ể ậ đ l p 3.2 Tính ch t: ấ ề dimV = n. Khi đó: Cho V là m t không gian h u h n chi u, (a) M i h vect ế ụ ơ ề ọ ệ đ c l p tuy n tính đ u là c s c a (b) M i h có n vect ọ ệ ế ơ ở ủ V. là h sinh c a (c) M i h có n vect ủ V đ u là c s c a ề ọ ệ đ u có th b sung thêm n-k vect (d) M i h đ c l p tuy n tính có k vect ọ ệ ộ ậ ể ổ ơ ề ộ ơ ở ủ V. thành m t c s c a
Chú ý: T tính ch t (b) và (c) ta suy ra, n u bi t ộ ệ ấ n vect ế dimV = n thì đ ch ng minh m t h ể ứ là c s thì ta c n ch ng minh đó là h đ c l p tuy n tính ho c đó là h sinh. ặ ế ệ ộ ậ ừ ơ ở ứ ế ệ ầ ơ
Bài t pậ
ng h
ợ
ủ p sau đây, xét xem W có ph i là không gian con c a
ả
ườ Rơ 3
)
g
}
,
,
0
)
x x x 1 2 3
3 R x : 1
3.2.trong các tr không gian vect { a) W = (
+
=
)
}
,
,
2
�
x x x 1 2 3
3 R x : 1
x 2
x 3
{ b)W = (
=
)
,
,
x=
} 0
�
x x x 1 2 3
3 R x : 1
2
{ C)w = (
Bài gi
iả
a) V i u = (1,2,3) u
(cid:0) W , Ta có -3u = (-3,-6, -9)(cid:0) W( Vì -3≤ 0)
ớ
3
Do đó W không là không gian con c a Rủ
b) ta có 0 = (0,0,0) (cid:0) W ( vì 0 + 2.0 = 0 ). Suy ra W (cid:0)
1,x2,x3) (cid:0) W nghĩa là x1 + 2x2 = x3
v i m i u = ( x ọ ớ
và v = (y1, y2,y3 ) (cid:0) W nghĩa là y1 + 2y2 = y3
suy ra x3 + y3 = x1 +y1 + 2x2 + 2y2 = x1 + y1 + 2(x2 + y2)
ta có u + v = (x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3 ) = (x1 + y1,x2 + y2, x1 + y1 + 2(x2 + y2) )
(cid:0)
W (1)
v y u + v ậ
m t khác, ta l
i có
ặ
ạ
(cid:0)
R a u = (a x1, a x2, a x3) = (a x1, a x2, a (x1 + 2x2))
ọ a v i m i ớ
= (a x1, a x2, a x1 + 2a x2)
v y ậ a u (cid:0) W (2)
(cid:0)
T (1) và (2) ta suy ra W≤ R
ừ
c) ta có 0 = (0,0,0) (cid:0) W suy ra W (cid:0)
1,x2,x3) (cid:0) W nghĩa là u = (0,0,x3)
v i m i u = ( x ớ
ọ
và v = (y1, y2,y3 ) (cid:0) W nghĩa là v = (0,0,y3 )
ta có u + v = (0,0,x3 + y3)
(cid:0)
W(1)
v y u + v ậ
(cid:0)
m t khác ta l
R a u = (0,0, a x3)
ặ
ạ
ọ a i có v i m i ớ
v y ậ a u (cid:0) W (2)
T (1) và (2) ta suy ra W≤ R
ừ
(cid:0)
3.7trong không gian R4 cho các t p ậ
W1 = {( x1,x2,x3,x4) (cid:0) R4 : x1 + x2 = x3,x1 - x2 + x3 = 2x4}
W2 = {( x1,x2,x3,x4) (cid:0) R4 : x1 = x2 = x3}
W3 = {( x1,x2,x3,x4) (cid:0) R4 : x1 = x2 = 0}
a)Ch ng minh W
4
ứ
1, W2, W3 là các không gian con c a Rủ
b) tìm m t c s c a W
1, W2, W3
ộ ơ ở ủ
bài gi
i ả
a)
• Xét W1. Ta có 0 =(0,0,0,0) (cid:0)
W1 ( vì 0 + 0 = 0 và 0+0+0= 2.0)
Suy ra W1 (cid:0)
T đ bài ta có th vi
t : x
1 + x2 – x3 = 0 và x1 – x2 + x3 – 2x4 = 0
ừ ể
ể ế
1,x2,x3,x4) (cid:0) W nghĩa là x1 + x2 –x3 = 0 và x1 –x2 + x3 -2x4 = 0
v i m i u = ( x ớ
ọ
và v = (y1,y2,y3,y4) (cid:0) W nghĩa là y1 + y2 –y3 = 0 và y1 – y2 + y3 -2y4 = 0
(cid:0)
ta có u + v = ( x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4)
vì (x1+y1) + (x2+y2) – (x3+y3) = (x1 + x2 –x3) + (y1 + y2 –y3) = 0 + 0 = 0
và (x1+y1) – (x2+y2) + (x3+y3) -2(x4+y4) = (x1–x2+x3–2x4) + (y1-y2+y3-2y4)
= 0+0 = 0
Do đó u+v (cid:0) W (1)
ọ a M t khác v i m i
ặ
ớ
R a u = (a x1, a x2, a x3, a x4)
Vì αx1 + αx2 – αx3 = α(x1 + x2 – x3 ) = α.0 = 0 và
αx1 – αx2 + αx3 -2αx4 = α(x1 – x2 +x3 -2x4) = α.0 = 0
do đó αu (cid:0) W (2)
T (1) và (2) ta suy ra W
1≤ R
ừ
=
(
)
0
0, 0, 0, 0
= = 0 0 0
�
• Xét W2 ta có
W vi 2
(cid:0)
(
)
V i m i
nghĩa là x1 = x2 =x3 (1)
4
2
ớ
ọ
)
y y y y W(cid:0) ,
,
,
Và v = (
nghĩa là y1 =y2 =y3 (2)
1
2
3
4
2
Ta có u + v = (x1+y1,x2 +y2,x3+y3,x4+y4)
T (1) và (2) ta có x
1+y1 = x2+y2 = x3+y3
ừ
u v W+ (cid:0)
Do đó
(3)
2
a
= a
a
a
= (cid:0) u , , x x x x W , 1 3 2
u
(
,
,
,
)
R
M t khác v i m i
ặ
ọ
ớ
a x 1
a x 2
x 3
x 4
a
= a
=
(1) ta có
t ừ
x 1
a x 2
x 3
(cid:0)
a Do đó u R
(4)
T (3) và (4) suy ra W
2 ≤R
ừ
• Xét W3 d th y
ễ ấ
(cid:0)
=
(
)
u
,
,
x x x x W , 1 3 3
4
2
V i m i
nghĩa là u = (0,0,x3, x4)
ọ
ớ
=
(cid:0)
(
)
v
,
y y y y W , 1, 3 3
2
4
Và
nghĩa là v = (0,0,y3,y4)
Ta có u+v = (0,0, x3+y3,x4+y4)
u v W+ (cid:0)
Do đó
(1)
3
a
=
(
)
a
(cid:0)
u
a 0, 0,
,
R
a x 3
x 4
M t khác v i m i
ặ
ọ
ớ
a
(cid:0)
Do đó
(2)
u W 3
T (1) và (2) suy ra W
3 ≤R
ừ
b)
1
• Tìm m t c s c a W
ộ ơ ở ủ
Ta có x1 + x2 = x3 và x1 – x2 +x3 = 2x4 nên
(cid:0)
x 1
x 3
(x1,x2,x3,x4) = ( x1,x2, x1+x2,
) = (x1,x2x1+x2,x1)
+ x 2 2
=(x1,0,x1,x1) + (0,x2,x2,0) = x1(1,0,1,1) + x2(0,1,1,0)
1
V y 2 vecto u = (1,0,1,1) và v = (01,1,0) là t p sinh c a W
ủ
ậ
ậ
1 0 1 1
Xét ma tr n A =
ậ
r(A) =2 = S dòng c a A ố
ủ
0 1 1 0
Suy ra u và v đ c l p tuy n tính
ộ ậ
ế
1
V y u và v là m t c s c a W
ộ ơ ở ủ
ậ
2
• Tìm m t c s c a W
ộ ơ ở ủ
Ta có x1 = x2 = x3 nên
(x1,x2,x3,x4) = (x1,x1,x1,x4) = (x1,x1,x1,0) + (0,0,0,x4)
= x1(1,1,1,0) + x4(0,0,0,1)
-
2
V y 2 vect
u = (1,1,1,0) và v = (0,0,0,1) là t p sinh c a W
ậ
ơ
ủ
ậ
1 1 1 0
Xét ma tr n A =
ậ
r(A) =2 = S dòng c a A ố
ủ
0 0 0 1
Suy ra u và v đ c l p tuy n tính
ộ ậ
ế
=
=
(
(
{
}
u
) 1,1,1, 0 ,
v
) 0, 0,0.1
2
V y B =
ậ
là m t c s c a W ộ ơ ở ủ
3
• Tìm m t c s c a W
ộ ơ ở ủ
Ta có x1 = x2 = 0 nên
(x1,x2,x3,x4) = (0,0,x3,x4) = (0,0,x3,0) + (0,0,0,x4)
= x3(0,0,1,0) + x4(0,0,0,1)
3
V y 2 vect
u = (0,0,1,0) và v =(0,0,0,1) là t p sinh c a W
ậ
ơ
ủ
ậ
0 0 1 0
Xét ma tr n A =
ậ
r(A) = 2 = s dòng c a A ố
ủ
0 0 0 1
Suy ra u và v đ c l p tuy n tính
ộ ậ
ế
=
=
(
(
{
}
u
) 0, 0,1, 0 ,
v
) 0, 0, 0,1
3
V y B =
ậ
là m t c s c a W ộ ơ ở ủ
3.10
3
a) ch ng minh B là c s c a R
ơ ở ủ
ứ
1
0
1
=
u 1 u
1
2
2
L p A =
ậ
0
1
1
2 u 3
ế
ặ
ố
ơ ủ
c a B b ng 3 = ằ
ộ ậ 3
Ta có detA = 1 Suy ra B đ c l p tuy n tính, m t khác s vect dimR3 nên B là c s c a R
ơ ở ủ
3
Ch ng minh E là c s c a R
ơ ở ủ
ứ
- -
1
0
1
=
u 1 u
1
1
1
L p A =
ậ
-
1 2
2
2 u 3
ế
ặ
ố
ơ ủ
c a E b ng 3 = ằ
ộ ậ 3
Ta có detA = -3 suy ra E đ c l p tuy n tính, m t khác s vect dimR3 Nên E là c s c a R
ơ ở ủ
-
b)
•
tìm ma tr n chuy n c s t
B sang E
ể ơ ở ừ
ậ
Lâp ma tr n m r ng ậ
ở ộ
1 1
0 1
1 0 0 1 0
0
1
1
- -
0 2
1 0
0 1 0 2
1
1
1
2
(v1
T,v2
T,v3
T│u1
T,u2
T,u3
T) →
→
- -
1 2
1 1 1
0 0 1 4
1
4
2
- - -
1 0
0
-
2
1
1
V y P(B→E) =
ậ
-
4
1
4
]
[
]
u
,
u
• Cho u = (1,2,3) tìm [
B
E
1 1
0 1
1 0 0 1
-
0 2
1 2
0 1 0 0
L p ma tr n m r ng (v
T,v2 1
T,v3
T│uT) →
ở ộ
ậ
ậ
- (cid:0)
1 2
1 3
0 0 1 2
]
u
V y ậ [
B
1 � � � �= 0 � � � �- 2 � �
- -
1
1
1 1
- -
L p ma trân m r ng (u
T,u2 1
T,u3
T│uT) =
ở ộ
ậ
(cid:0)
0 1 1 1
2 2 2 3
1 0 0 1 � � 0 1 0 2 � � 0 0 1 0 �
� � � � �
-
]
V y ậ [
u
E
-� � 1 � �= 2 � � � �� � 0
b)
• Tìm P(E→ B)
1
0
0
-
)
E
Ta có P(E → B) =
( (cid:0)� P B �
1 � = �
-
4 3 1 3
� � � 4 � � 3 � 2 � 3 �
� � � 1 �- � 3 � 1 � 3 �
]
v
• Cho [
tìm v
B
3 � � � �= 2 � � � �- 1 � �
]
v
Ta có [
suy ra v = 3v1 + 2v2 – v3 = 3(1,0,1) + 2(1,2,2) – (0,-1,-1)
B
3 � � � �= 2 � � � �- 1 � �
= (5,5,8)
[
]
v
• Tìm
E
L p ma tr n m r ng ậ
ở ộ
ậ
- -
- -
(u1
T,u2
T,u3
T│vT ) =
(cid:0)
1 5 2 5 2 8
1 0 0 3 0 1 0 7 0 0 1 1
1 1 � � 0 1 � � 1 1 �
� � � � � � � � � �
� � � � �
- -
]
)
v
E
V y ậ [
E
( (cid:0)� P B �
1 � �
-� � 3 � �= 7 � � � �- 1 � �
-
Tài li u tham kh o ả
ệ
Bài gi ng môn h c đ i s A
ọ ọ ạ ố 1 – Lê Văn Luy n – Đ i h c Khoa H c
ạ ọ
ệ
ả
T Nhiên thành ph H Chí Minh
ố ồ
ự
Bài tâp toán cao c p - t p 1 – Nguy n Thu Thanh – nhà xu t b n ấ ả
ể
ấ
ậ
ỷ
Đ i h c Qu c Gia Hà N i ộ ố
ạ ọ
Chu ng 4: không gian vect
ơ
ơ - http://linearalgebra1.wikispaces.com/file/view/Chuong+4- Khong+gian+vector.doc
ả
ấ
ẩ 2 – C2 – Đ i H c Công Nghi p Th c Ph m
ự
ệ
ạ
ọ
Bài gi ng toán cao c p A Thành Ph H Chí Minh ố ồ
