H sinh, c s , s chi u và h ng c a m t h vectệ ơ ở ố ề ạ ủ ộ ệ ơ
________________________________________________
1. H sinh:ệ
1.1 Đ nh nghĩa: ịCho S là m t t p con c a không gian vect ộ ậ ủ ơ V. Ta g i t p h p các tọ ậ ợ ổ
h p tuy n tính c a các ph n t c a ợ ế ủ ầ ử ủ S là bao tuy n tínhế c a S và ký hi u là ủ ệ E(S). S đ cượ
g i là ọh sinhệ c a ủV n u E(S) = ếV. Ta g i S là ọh sinh t i ti uệ ố ể n u nó không ch a t pế ứ ậ
con th c s cũng là h sinh. ự ự ệ
Không gian vect có m t h sinh h u h n đ c g i là ơ ộ ệ ữ ạ ượ ọ không gian h u h n sinhữ ạ hay
không gian h u h n chi u. ữ ạ ề
Do đó, n u cho ế
1 2
{ , ,..., } ,
n
S u u u V=
S là h sinh c a ệ ủ V khi và ch khi:ỉ
1 2 1 1 2 2
, ( , ,..., ) : ...
n
n n n
u V u u u u
α α α α α α
∀ ∃ = + + +� �
ﾡ
.
N u ếS là h sinh c a ệ ủ V thì ta ký hi u ệ
1 2
{ , ,..., }
n
V S u u u
= =
.
1.2 Ví d : ụ
1. N u ế
{ }S
=
thì
( ) { }E S
=
.
2. Đ i v i không gian vect ố ớ ơ
n
ﾡ
, h vect g m các vectệ ơ ồ ơ
1 2
(1,0,...,0); (0,1,0,...,0);...; (0,0,....,1)
n
e e e= = =
là m t c s c a không gian vect ộ ơ ở ủ ơ
n
ﾡ
.
3. T p các đ n th c ậ ơ ứ
{ | 0}
n
t n
là m t h sinh c a không gian các đa th c K[t]. ộ ệ ủ ứ
4. N u S là h sinh c a ế ệ ủ V, thì m i t p ch a nó đ u là h sinh c a ọ ậ ứ ề ệ ủ V. Nói riêng V là
h sinh c a ệ ủ V.
1.3 Nh n xét: ậ
Đ ch ng minh ể ứ S là m t h sinh c a ộ ệ ủ V ta ch ng minh m i t p con h u h nứ ọ ậ ữ ạ
là h sinh c a ệ ủ V. Khi đó, ta có th s d ng m t trong các ph ng pháp sau:ể ử ụ ộ ươ
Ph ng pháp 1:ươ
Ch ng minh v i m i vector ứ ớ ọ v thu c ộV thì có các s ố
1 2
, ,...,
n
α α α
thu c tr ng ộ ườ K sao
cho
1 1 2 2
...
n n
v v v v
α α α
= + + +
.
Trong không gian vector
m
K
v i ớ
n m
đi u này t ng đ ng v i h ph ng trình:ề ươ ươ ớ ệ ươ
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
luôn có nghi m v i ệ ớ
1 2
( , ,..., )
m
m
v b b b K
=
trong đó
1i 2i
( , ,..., ), 1,..,
i mi
v a a a i n
= ∀ =
.
Ph ng pháp 2:ươ
N u bi t tr c 1 h sinh ế ế ướ ệ
1 2
, ,...,
m
u u u
c a ủV thì c n ch ng t m i vector ầ ứ ỏ ỗ
i
u
bi u di nể ễ
đ c qua các vector ượ
1 2
, ,...,
m
v v v
v i i = 1, …, m. ớ
Ví d : ụCh ng minh r ng h 4 vector ứ ằ ệ
(1,2,3); (0,2,1); (0,0,4); (2;4;5)u v w z
= = = =
là hệ
sinh c a không gian vector ủ
3
ﾡ
.
Gi i:ả
Xét h ph ng trình ệ ươ
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 3
1. 0. 0 2
2. 2. 0 4
3. 1. 4. 5
x x x x b
x x x x b
x x x x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
H này có nghi m vì h ng c a ma tr n h s b ng v i h ng c a ma tr n h s mệ ệ ạ ủ ậ ệ ố ằ ớ ạ ủ ậ ệ ố ở
r ng và nghi m c a h ph ng trình là:ộ ệ ủ ệ ươ
1 1
2
2 1
3 3 1
4
2
( 3 ) / 4
0
x b
b
x b
x b b
x
=
= −
= −
=
1.4 Đ nh lý:ị E(S) là không gian con c a V và là không gian con nh nh t c a V ch aủ ỏ ấ ủ ứ
t p S. ậ
1.5 Đ nh lý:ị S là h sinh t i ti u c a E(S) khi và ch khi S là h đ c l p tuy n tính.ệ ố ể ủ ỉ ệ ộ ậ ế
2. C s , s chi u và h ng c a h vect : ơ ở ố ề ạ ủ ệ ơ
2.1 Đ nh nghĩa: ịTa g i h vect ọ ệ ơ
S V
là c sơ ở c a ủV n u ếS là h sinh t i ti u c aệ ố ể ủ
V. Nói cách khác S là c s c a ơ ở ủ V n u và ch n u ế ỉ ế S là h sinh c a ệ ủ V và S là h vect đ cệ ơ ộ
l p tuy n tính. ậ ế
N u t p đ c s p th t ế ậ ượ ắ ứ ự
{ | }
i
S u i I=
là c s c a ơ ở ủ V và
u V
thì b các s ộ ố
( )
i i I
α
đ c g i là ượ ọ t a đọ ộ c a ủu theo S n u ế
i i
i I
u u
α
=
.
Ví d : ụ
Trong
4
ﾡ
xét c s chính t c g m 4 vector sau đây:ơ ở ắ ồ
1 2 3 4
(1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (0,0,0,1)u u u u= = = =
khi đó vector
4
(1,2,3,4)u= ﾡ
đ c bi u th tuy n tính qua các vector ượ ể ị ế
1 2 3 4
, , ,u u u u
nh sau:ư
1 2 3 4
2 3 4u u u u u= + + +
. Suy ra t a đ c a vector ọ ộ ủ u đ i v i c s trên là ố ớ ơ ở u = (1, 2, 3,
4).
M t khác, trong ặ
4
ﾡ
xét c s g m các vector sau: ơ ở ồ
1 2 3 4
(1,0,0,1); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (1,1,0,0)v v v v= = = =
thì khi đó vector
4
(1,2,3,4)u= ﾡ
đ c bi u th tuy n tính qua các vector trên nhượ ể ị ế ư
sau:
1 2 3 4
2 3 3u v v v v= − − + +
. Khi đó, t a đ c a ọ ộ ủ u đ i v i c s này là ố ớ ơ ở u = (-2, -1, 3, 3).
2.2 Đ nh lý:ị N u V là không gian h u h n sinh thì s vect trong m i c s c a V làế ữ ạ ố ơ ọ ơ ở ủ
nh nhau. S này g i là s chi u c a V. Ký hi u là dimV.ư ố ọ ố ề ủ ệ
2.3 Ví d : ụ
- Các vect ơ
1 2
(1,0,0,...,0); (0,1,0,...,0);...; (0,0,....,1)
n
e e e= = =
l p thành m t c s c aậ ộ ơ ở ủ
không gian vect ơ
n
ﾡ
. Ta g i đây là c s chính t c (c s t nhiên) c a ọ ơ ở ắ ơ ở ự ủ
n
ﾡ
, v yậ
dim
n
n
=
ﾡ
. M t vect ộ ơ
1 2
( , ,..., )
n
x x x x=
có t a đ v i h ọ ộ ớ ệ
1 2
{ , ,..., }
n
e e e
là
1 2
( , ,..., )
n
x x x
. Tuy
nhiên, t a đ c a ọ ộ ủ x theo h ệ
2 1
{ , ,..., }
n
e e e
l i là ạ
2 1
( , ,..., )
n
x x x
- Các ma tr n ậ
1 2 3 4
1 0 0 1 0 0 0 0
; ; ;
0 0 0 0 1 0 0 1
I I I I
� � � � � � � �
= = = =
� � � � � � � �
� � � � � � � �
l p thành m t c sậ ộ ơ ở
c a không gian các ma tr n M(2;ủ ậ K). M t ma tr n ộ ậ
a b
Ac d
� �
=� �
� �
s có t a đ đ i v i h cẽ ọ ộ ố ớ ệ ơ
s này là (a, b, c, d).ở
- Trong không gian vect các ma tr n ơ ậ
( ; )M m n
ﾡ
, ta có th l p m t h c s baoể ậ ộ ệ ơ ở
g m các ma tr n ồ ậ
ij
E
trong đó các ph n t t ng ng dòng i và c t j v iầ ử ươ ứ ở ộ ớ
1 ;1i m j n
b ng 1 còn các ph n t còn l i c a ma tr n ằ ầ ử ạ ủ ậ
ij
E
này đ u b ng 0. Khi đó,ề ằ
dim ( ; )M m n K mn
=
.
-
( )
n
xﾡ
là t p h p các đa th c h s th c b c nh h n hay b ng n v i các phép toánậ ợ ứ ệ ố ự ậ ỏ ơ ằ ớ
thông th ng là m t không gian vect . Trong đó, h ườ ộ ơ ệ
2
1, , ,...,
n
x x x
là m t c s c a khôngộ ơ ở ủ
gian vect này. Do đó, ơ
dim ( ) 1
n
x n= +ﾡ
.
2.4 Đ nh lý: ịCho S là m t h vect c a không gian vect V. Khi đó, các đi u ki nộ ệ ơ ủ ơ ề ệ
sau t ng đ ng:ươ ươ
i) S là c s c a V;ơ ở ủ
ii) M i vect c a V có th bi u di n duy nh t qua các vect c a h S; ỗ ơ ủ ể ể ễ ấ ơ ủ ệ
iii) S là m t h đ c l p tuy n tính t i đ i c a V. Khi ta có dimV = n thì các đi uộ ệ ộ ậ ế ố ạ ủ ề
ki n trên t ng đ ng v i: iv) S là m t h sinh có đúng n ph n t ;ệ ươ ươ ớ ộ ệ ầ ử
v) S là m t h đ c l p tuy n tính có n ph n t ;ộ ệ ộ ậ ế ầ ử
vi) S có đúng n ph n t và ma tr n các c t (dòng) là các vect t a đ c a các ph nầ ử ậ ộ ơ ọ ộ ủ ầ
t c a S theo m t c s đã bi t có đ nh th c khác không.ử ủ ộ ơ ở ế ị ứ
2.5 Nh n xét:ậ
Đ i v i ố ớ không gian h u h n chi uữ ạ ề (gi s dim ả ử V = n ) thì đ ch ng minh m t hể ứ ộ ệ
vector g m n vector là c s c a không gian ồ ơ ở ủ V ta ch c n ch ng minh h vector này làỉ ầ ứ ệ
đ c l p tuy n tính. ộ ậ ế
2.6 H qu 1: ệ ả
i) B t kỳ h sinh nào c a V cũng ch a m t c s c a V.ấ ệ ủ ứ ộ ơ ở ủ
ii) B t kỳ h đ c l p tuy n tính nào cũng có th b sung các vect đ tr thành cấ ệ ộ ậ ế ể ổ ơ ể ở ơ
s . ở
2.7 H qu 2: ệ ả
i) Không gian con c a không gian h u h n chi u là không gian có s chi u h u h n.ủ ữ ạ ề ố ề ữ ạ
ii) Không gian ch a m t không gian vô h n chi u là vô h n chi uứ ộ ạ ề ạ ề .
2.8 Đ nh nghĩa: ịCho m t h h u h n vect ộ ệ ữ ạ ơ
{ }
ii I
x
trong không gian vect ơV. Số
ph n t c a m t h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a ầ ử ủ ộ ệ ộ ậ ế ố ạ ủ
{ }
ii I
x
là m t h ng s (khôngộ ằ ố
ph thu c vào cách ch n h con, ch ph thu c vào b n ch t c a h ụ ộ ọ ệ ỉ ụ ộ ả ấ ủ ệ
{ }
i
x
). H ng s nàyằ ố
đ c g i là ượ ọ h ng c a h vectạ ủ ệ ơ
{ }
ii I
x
. Ta ký hi u h ng c a h ệ ạ ủ ệ
{ }
ii I
x
là
( )
i i I
rank x
.
2.9 Đ nh lý: ịG i A là ma tr n có các dòng (c t) là các t a đ c a các vect ọ ậ ộ ọ ộ ủ ơ
i
x
khi đó
ta có
( ) ( )
i i I
rank A rank x
=
.
Nh n xét:ậ T đ nh lý trên mu n tìm h ng c a m t h vect ta có th l p ma tr nừ ị ố ạ ủ ộ ệ ơ ể ậ ậ
g m có các dòng là t a đ c a các vect và tìm h ng c a ma tr n đó. ồ ọ ộ ủ ơ ạ ủ ậ
Ví d : ụ
Xét h vector ệ
1 2 3 4
(1,0,0,1); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (1,1,0,0)u u u u= = = =
. Khi đó,
1,4
( )
ii
rank u rankA
=
=
= 4 v i ớA là ma tr n có các dòng là t a đ c a các vector ậ ọ ộ ủ
i
u
trong
c s chính t c c a ơ ở ắ ủ
4
ﾡ
.
4 4 1 4 4 2
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1
d d d d d d
A
− −
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
=
� � � � � �
� � � � � �
− −
� � � � � �
3. Không gian h u h n chi u: ữ ạ ề
3.1 Đ nh nghĩa: ịKhông gian vect V đ c g i là ơ ượ ọ không gian vect n chi uơ ề n u c sế ơ ở
c a V có n vect .ủ ơ
3.2 Tính ch t: ấ
Cho V là m t không gian h u h n chi u, ộ ữ ạ ề dimV = n. Khi đó:
(a) M i h vect có nhi u h n n vect đ u ph thu c tuy n tính.ọ ệ ơ ề ơ ơ ề ụ ộ ế
(b) M i h có n vect đ c l p tuy n tính đ u là c s c a ọ ệ ơ ộ ậ ế ề ơ ở ủ V.
(c) M i h có n vect là h sinh c a ọ ệ ơ ệ ủ V đ u là c s c a ề ơ ở ủ V.
(d) M i h đ c l p tuy n tính có k vect đ u có th b sung thêm n-k vect đ l pọ ệ ộ ậ ế ơ ề ể ổ ơ ể ậ
thành m t c s c a ộ ơ ở ủ V.
Chú ý: T tính ch t (b) và (c) ta suy ra, n u bi t ừ ấ ế ế dimV = n thì đ ch ng minh m t hể ứ ộ ệ
n vect là c s thì ta c n ch ng minh đó là h đ c l p tuy n tính ho c đó là h sinh. ơ ơ ở ầ ứ ệ ộ ậ ế ặ ệ
Bài t pậ
3.2.trong các tr ng hườ p sau đây, xét xem W có ph i là không gian con c aợ ả ủ
không gian vect Rơ3
a) W =
( )
{ }
3
1 2 3 1
, , ) : 0x x x R xγ
b)W =
( )
{ }
3
1 2 3 1 2 3
, , : 2x x x R x x x
+ =�
C)w =
( )
{ }
3
1 2 3 1 2
, , : 0x x x R x x
= =�
Bài gi iả
a) V i u = (1,2,3) u ớ
W , Ta có -3u = (-3,-6, -9)
W( Vì -3≤ 0)
Do đó W không là không gian con c a Rủ3
b) ta có 0 = (0,0,0)
W ( vì 0 + 2.0 = 0 ). Suy ra W
v i m i u = ( xớ ọ 1,x2,x3)
W nghĩa là x1 + 2x2 = x3
và v = (y1, y2,y3 )
W nghĩa là y1 + 2y2 = y3
suy ra x3 + y3 = x1 +y1 + 2x2 + 2y2 = x1 + y1 + 2(x2 + y2)
ta có u + v = (x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3 ) = (x1 + y1,x2 + y2, x1 + y1 + 2(x2 + y2) )
v y u + v ậ
W (1)
m t khác, ta l i có ặ ạ
v i m i ớ ọ
α
R
α
u = (
α
x1,
α
x2,
α
x3) = (
α
x1,
α
x2,
α
(x1 + 2x2))
= (
α
x1,
α
x2,
α
x1 + 2
α
x2)
v y ậ
α
u
W (2)