Trong toán học, một vectơ là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài).
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - VECTƠ
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
H NH HO C 10 – Chöông I
Ì Ï Email: tranhung18102000@yahoo.com
VECTƠ
A – TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng
uuur uuu
r
Cho AB thì A: điểm gốc, B: điểm ngọn, đường thẳng AB là giá của AB
uuur
- Chiều đi từ A đến B là hướng của AB
uuur
- Độ dài của vectơ AB , kí hiệu: .
r
- Vectơ không: 0 , vectơ đơn vị
II. Quan hệ giữa hai vectơ
r
1. Vectơ cùng phương: Hai vectơ khác 0 được gọi là cùng phương khi giá của chúng song song
hoặc trùng nhau.
2. Vectơ bằng nhau: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
3. Vectơ đối nhau: Hai vectơ đối nhau khi chúng ngược hướng và có cùng độ dài.
III. Phép cộng các vectơ:
uuu r uuu r
r r
rr r uuu r r
r
Cho 2 vectơ a, b . Từ điểm O bất kỳ, vẽ OA = a,AB = b thì ta có: c = OB = a + b
uuu uuu uuu
r r r
- Quy tắc 3 điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có: OB = OA + AB
uuu uuu uuu
r r r
- Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD, ta co: AB + AD = AC
IV. Phép trừ các vectơ
rrr r
()
1) a − b = a + − b
uuu uuu uuu
r r r
2) Quy tắc 3 điểm đối với phép trừ: OA − OB = BA
V. Phép nhân một vectơ với một số thực:
rr r r
1) Cho a a 0 và k v 0. Vectơ ka là một vectơ cùng phương với a và thỏa các tính chất sau: -
r r
Cùng hướng với a nếu k > 0 , ngược hướng với a nếu k < 0
r r
- Có độ dài: ka = k a
r rr
2) Quy ước: k.0 = 0.a = 0
VI. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
rr r r
( ) r r
Hai vectơ a, b b a 0 cùng phương � ∃k � : a = k.b
R
VII. Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng
uuu
r uuur uuur
uuur
Ba điểm A, B, C thẳng hàng ẳ AB cùng phương với AC � ∃k � : AB = k.AC
R
VIII. Quy tắc trung điểm và quy tắc trọng tâm
uu uu r uuuu uuur uur
rr r u
1) I là trung điểm của AB � IA + IB = 0 � MA + MB = 2MI (M là điểm bất kỳ)
uuu uuu uuu r
r r r
� GA + GB + GC = 0 uuuu
2) G là trọng tâm tam giác ABC
uuuu uuur uuur
r r
� MA + MB + MC = 3MG (M là điểm bất kỳ)
B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1. Chứng minh một đẳng thức vectơ
Ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
1. Biến đổi vế trái thành vế phải hay ngược lại, hoặc biến đổi hai vế thành một đại lượng thứ
ba.
2. Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức hiển nhiên đúng.
3. Biến đổi một đẳng thức vectơ cho trước tới đẳng thức cần chứng minh.
Lưu y: Thường áp dụng các quy tắc: ba điểm, trung điểm, trọng tâm, hình bình hành trong quá trình biến
đổi.
uuu uuu uuu
r r r uuu r
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB + AC + AD = 2AC
Bài 2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng:
1
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
H NH HO C 10 – Chöông I
Ì Ï Email: tranhung18102000@yahoo.com
uuu uuu uuu r
r r r
a) GA + GB + GC = 0
uuuu uuur uuur uuuu
r r
b) MA + MB + MC = 3MG (M là điểm bất kỳ)
Bài 3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
uuu uuu uuu uuu
r r r r uuu uuu
r r uuu uuu
r r
a) AB + CD = AD + CB b) AB − CD = AC − BD
uuu uuu uur uuu uur uuu
r r r r
c) AD + BE + CF = AE + BF + CD
Bài 4. Cho tứ giác ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. Chứng
minh rằng:
uuu uuu uuu uuu r
r r r r uuuu uuur uuur uuuu
r r uuuu
r
a) OA + OB + OC + OD = 0 b) MA + MB + MC + MD = 4.MO
Bài 5. Cho tam giác ABC, vẽ bên ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.
uu uu uu r
rr r
Chứng minh rằng: RJ + IQ + PS = 0
Bài 6. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’. Chứng minh rằng:
uuuu uuur uuur
r uuuu
r
AA ' + BB' + CC' = 3.GG '
Bài 7. Cho tam giác ABC, gọi A’, C’, B’ là các điểm được định bởi:
uuuu
r uuuu r uuuu
r r uuuu r uuuu
r r uuuu r
r
2.A 'B + 3.A 'C = 0; 2.B'C + 3.B'A = 0; 2.C'A + 3.C'B = 0
Chứng minh rằng: hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
Bài 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G.
uuu 2 uuu 1 uuu
r r r uuu r 1 uuu uuu
r r
( )
a) Chứng minh: AH = AC − AB và CH = − AB + AC
3 3 3
uuuu 1 uuu 5 uuu
r r r
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: MH = AC − AB
6 6
Vấn đề 2. Xác định vị trí của một điểm M thỏa một điều kiện vectơ cho trước
uuuu r
r r
- Khai triển hệ thức để được đẳng thức: AM = u , trong đó A cố định, u không đổi.
Bài 9. Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M thỏa:
uuuu uuur uuur r
r uuuu uuur uuur uuu
r r
a) MA + MB + 2MC = 0 b) MA + MB − MC = BC
uuu uuu uuu uuu r
r r r r
Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí của điểm O sao cho: OA + OB + OC + OD = 0
Vấn đề 3. Chứng minh vectơ tổng, hiệu không đổi. Tính độ dài vectơ tổng, hiệu
- Biến đổi vectơ tổng, hiệu thành vectơ duy nhất rồi tính độ dài vectơ dó.
Bài 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kỳ. Chứng minh các vectơ sau không đổi và tính độ
dài của nó:
r uuuu uuur uuur
r r uuuu uuur uuur uuuu
r r
a) u = 2MA − MB − MC b) u = 4MA − 3MB + MC − 2MD
uuu uuu
r r
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AC = a, AB = 2a. Tính độ dài vectơ: AB + AC và
uuu uuu
r r
AB − AC uuu uuu
r r uuu uuu
r r
Bài 13. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài vectơ: AB + AC và AB − AC
Bài 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi H là trung điềm của BC, M và N lần lượt là hai điểm thỏa:
uuuu uuur r uuu
r r uuu rr
MA + MB = 0 và NA + 3NC = 0
uuuu
r
uuuu
r uuu
r
uuur
b) Tính MN
a) Tính MN thao HA và HC
Vấn đề 4. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm
Bài 15. Cho tam giác ABC và 2 điểm I, F xác định bởi:
uu
r uu r uuu
r r uur uur u
IA + 3IC = 0 = FA + 2FB + 3FC
2
- Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
H NH HO C 10 – Chöông I
Ì Ï Email: tranhung18102000@yahoo.com
Chứng minh I, F, B thẳng hàng
uuu uuu uuu
r r r
Bài 16. Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho: BD = DE = EC
uuu uuu uuu uuu
r r r r
a) Chứng minh: AB + AC = AD + AE
uur uuu uuu uuu uuu
u r r r r uu
r
b) Tính vectơ AS = AB + AD + AC + AE theo AI
c) Suy ra 3 điểm A, I, S thẳng hàng.
Bài 17. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm bất kỳ. Gọi:
uuu uuuu uuur uuur uuuu
r r r
MS = MA + MB + MC + MD .
Chứng minh rằng: MS luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
uur uu r
r
uu
r uu
r
Bài 18. Cho tam giác ABC, gọi I, J là 2 điểm xác định bởi: IA = 2IB ; 3JA + 2JC = 0
ur r uuu r
uuu
a) Tình IJ theo AB và AC
b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Vấn đề 5. Tìm tập hợp điểm thỏa hệ thức
uuuu
r r r
- Nếu là hệ thức vectơ thì biến đổi về dạng: AM = k.v , trong đó k là số thực thay đổi, v là
r
vectơ cho trước, A là điểm cố định. Lúc đó: tập hợp M là đường thẳng qua A và cùng phương với v .
uuuu
r
- Nếu là hệ thức về độ dài thì rút gọn về dạng: AM = l ( l là độ dài cho sẵn). Kho đó tập hợp M
+ Đường tròn tâm A, bán kính l nếu l >0
là:
+ Điểm A nếu l = 0
+ + nếy l < 0
Bài 19. Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:
uuuu uuur uuur uuuu
r r
MA + MB + MC + MD = 4AB
Bài 20. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp M thỏa:
uuuu uuur
r uuuu uuur
r
( )
MA + MB = 5 MA − MC
Bài 21. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện sau:
uuuu uuur uuur r
r
uuuu uuur
r
b) MA + MB + MC = 0
a) MA = MB
uuuu uuur
r uuuu uuur
r uuuu uuur uuur
r
c) MA + MB = MA + MC d) MA + MB + MC = 4
Bài 22. Chi hình bình hành ABCD. Tìm quỹ tích các điểm M thỏa:
uuuu uuur uuuu uuuu
r r r
MA + MB = MA − MD
Bài 23. Cho tứ giác ABCD
uuu
r uuu
r uuur
a) Xác định điểm O sao cho: OB + 4.OC = 2OD
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa hệ thức: MB + 4MC − 2MD = 3MA
Bài 24. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm tập hợp các điểm M thỏa:
uuuu uuur uuur uuuu uuur uuu
r r r uuuu uuuu
r r
MA + MB + MC + MD + ME + MF = 3 MA − MD
3
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
