www.MATHVN.com
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
KÌ THI THỨ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 1 NĂM HỌC 2012 -2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Điểm
Đáp án
Câu
1.(1 điểm) Khảo sát…. • TXĐ D = ℝ • Sự biến thiên
0.25
2
( = y ' 3 x
) 1
;
= (cid:219) y ' 0
- = (cid:219) 2 x
1 0
- Chiều biến thiên
1
-
)
và (
= x 1 = - x , nghịch biến trên khoảng (
)1;1
0.25
3
3
- ¥ - - 1; +¥ .
) = -
) = +¥
+ 3x 2
+ 3x 2
= fi+¥
) - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1 ; ycđ = 4, đạt cực tiểu tại x 1= và yct = 0. 1= - - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x ( = - Các giới hạn tại vô cực: ; lim x lim y x x
( lim x x
lim y fi+¥ x
- Bảng biến thiên:
- ¥ - fi - ¥ fi - ¥
-1 1 +¥
Câu 1 (2.0 điểm)
0.25
x y’ y
+ 0 - 0 + 4 +¥
- ¥
0
y
- ¥
(
)
(
; với Oy là
) C 0;2
• Đồ thị: Giao với Ox là
A 1;0 , B( 2;0)
4
2
0.25
O
x
1
-1
+ - =
, nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
2.(1.0 điểm) Vì tiếp tuyến vuông góc đường thẳng x 9y 8 0
=
2
x
0.25
0
Gọi tọa độ tiếp điểm là (
1 3
.
= (cid:219) f '(x ) 9 0
- = (cid:219) 2 x 0
) I x ; y . Ta có 0
0
= -
0
=
-
2 ) +
• Nếu
x ( )( y f ' 2 x 2
2= ,
= d : y 9x 14 1
0x
0y
4= . Khi đó phương trình tiếp tuyến là 1d :
- (cid:219) -
0.25
(
và
) M 3;13
M là giao điểm của D
. Vậy
1d suy ra tọa độ M là nghiệm của hệ
y 9x 14 y
( ) f 2 = x 3 = y 13
• Nếu
2= -
,
= = - 0= .Tương tự ta có phương trình tiếp tuyến là
0x
0y
0.25
- (cid:219)
.
Vậy
và
M là giao điểm của D
2d nên tọa độ M là nghiệm của hệ
= = -
M ;
y 9x 18 y
+ + 2x 19
1 207 11 11
+ 2x 19 = + 2d : y 9x 18 = 1 x 11 207 = y 11
(
)
Vậy tọa độ của điểm M là:
.
M 3;13 và
0.25
M ;
1 207 11 11
(cid:219)
- „ (cid:219) - „
(
)
3 sin x sin 2x
0
sin x
3 2cos x
0
1. (1.0 điểm) Giải phương trình … Điều kiện xác định của pt:
.
0.25
Trang 1 – www.mathvn.com
2
+
(
- -
www.MATHVN.com ) )( = 2sin x 1 cos 2x sin x 1
0.25
2
+ =
) + = 2
(
)(
(
(cid:219) - - (cid:219) - -
(
sin x 3 4 cos x )(
.
) 2sin x 1 cos 2x 2sin x 1
0
Câu 2 (2.0 điểm)
=
=
+
x
p k2
(cid:219) = x
sin x
p k2
Phương trình đã cho tương đương ( ) + 2sin x 1 cos 2x sin x 1 p + 6
1 2
+ ) sin x 4sin x 1 p 5 6
(cid:218) •
Đối chiếu đkiện ta thấy x
2
2
+
0.25 p + + = = không thỏa mãn điều kiện, thỏa mãn đk. p k2 x p k2 6 p 5 6 p • - (thỏa mãn) + = (cid:219) cos 2x 2sin x 1 0 cos 2x = (cid:219) = 0 + x 4 p k 2 0.25 p + = = + Vậy phương trình có các nghiệm là: và , k ˛ ℤ . x x p k2 4 p k 2 p 5 6 2. (1.0 điểm) Giải phương trình…
+
- =
Điều kiện x
0„
2
+
=
+
= (cid:219) = (cid:218) =
) ( 2 +
Đặt
t
0
. (1) trở thành:
- = (cid:219) 2t 3 0
t 1
) 2t 1
0
t 1 t
.
0.25
x 2
+
1 2
2x
9
<
9 . Phương trình đã cho tương đương (1). 3 0 0.25 2x 2 2x 9 - „ - 2x x (
x
x
.
x
t
= 2x
2x
+ (cid:219) 2 9
• Với
0.25
2
2
0 =
+
< 0 (cid:219) = - = 2
3 2 2
1 = ⇒ - 2
4x
2x
9
9
2x
>
>
x
x
2
- (cid:219)
= ⇒ =
• Với
vô nghiệm.
t 1
x
2x
+ (cid:219) 9
2
2
2
0 + =
1 2 t 0 =
+
9 0
x
x
2x
9
0.25
= -
.
Vậy nghiệm của phương trình là
x
3 2 2
(cid:219)
Điều kiện
.
1 x
0.25
2
2
2
2
4
+ 2
15 2 = - 2
- £ £
) 2 +
(
)
Ta có
(
(1)
y
2xy
7y
+ 2 x
+ (cid:219) 7x 8
y
x
( 7 y
) - = (cid:219) x
8 0
y
)( = - + x 1 y
x 8
0
2
2
2
- = (cid:219)
= +
<
- - - - -
Vì
nên
.
+ . Khi đó (1)
x
; 2 y
+ > 8
y
x 1 0
y
x 1
x
y
8
0.25
15 2
Thế
2y
+ (cid:219)
=
+
x 1 +
£ (cid:219) -
(
)
+ 15 2x
x 1
2x
)( x 1 15 2x
15 2 = + vào phương trình dưới, ta được = + 3x 16
= 15 2x
+ x 1
3x 16
- - (cid:219) - -
2
Câu 3 (1.0 điểm) 0.25 0 0 (cid:219) (cid:219) x 3 - - = (cid:218) = 3 x x 6x = 13x 15 0 ‡ x (cid:219) =- 5 6
3= ta có
)
2y Với x 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (
) ( 3; 2 , 3; 2
Trang 2 – www.mathvn.com
‡ x = (cid:219) = – y 4 0.25 - .
www.MATHVN.com
D
=
Gọi I trung điểm BC, ta có
. Gọi H là hình chiếu của điểm
AI
A'
C'
a 3 2
⇒ ^
.
BC AH
B'
^ ^
(
)
A 'BC
.
Câu 4 (1.0 điểm)
H
A trên đường thẳng A 'I . Ta có BC AI, BC AA' AH Vì G là trọng tâm D ABC và AG nên
=
=
.
d
= AH 3d
a
C
(
)
(
)
(
)
(
)
A; A 'BC
G; A 'BC
A
G
I
3 5 1
^
vuông tại A có:
AIA'
B
2
2
2
= = D ⇒ . AA ' a 3 1 AH 1 + 2 AA' AI
ABC
0,25 0,25
2
3
a
3
=
=
=
(đvtt).
a 3 = Ta có S 4
V AA'.S
a 3.
ABC
4
3a 4
0.25
Gọi D là điểm đối xứng của B’ qua A’, ta có ABA 'D là hình bình hành suy ra A’B và AD song song. Do đó góc giữa đường thẳng A’B và AC’ bằng góc giữa đường thẳng AC’ và AD.
2
2
=
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A 'B'C' là
=
=
.
C 'D
2 = B'D B'C '
a 3
,
Ta có B'C 'D
= AD A 'B
2a
vuông tại C’, suy ra 2
0.25
- D
(cid:3) 2 =
= . Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng A'B và AC' bằng
cos DAC'
2
2AD C 'D 2AD
5 8
+ 2 AB AA ' 5 8
3
3
=
+
> khi đó
Do a, b,c 0> , đặt
x
0, y
0
x
y
= 1
0.25
3
3
=
+
= +
+
+
b c +
)
)
)
+ x y
x
( 3xy x y
( 1 3xy x y
.
a = > c 3 y
Ta có (
=
Chia tử và mẫu của biểu thức M cho
và thay
> ta được
2c
0„
x
0, y
0
a = > c
b c
2
0.25
2
2
-
=
=
M
- - -
)
)
+ 1 y x )( ( 1 x 1 y
( ) + x y ( + + x y
- - - Câu 5 (1.0 điểm)
1
3
3
Đặt
, vì x, y
0> nên ta có
= + ⇒ = t x y
xy
2
3t 3t
2xy 1 + xy 1 > t 1
3
- (cid:219) . 1 t 4 - t 1 £ ‡ t (cid:219) < £ 4 t 4 > t 1 3 0.25 3t
3
3
3
3
t = = Biểu thức trở thành M = + 1 - + 3t 2 + - 2 - - - 3t 3t 1 + t 2 t 1 t
⇒ < - 0
3
3
£ - ‡ suy ra . Vì < £ 1 t 4 t 1 4 1 f (t) - 3 t 1 + 4 2 4 1 0.25
3 a 2
3
= = . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là khi a b,c - + 4 2 4 1
Chương trình chuẩn
2
2
2
= Diện tích hình vuông là nên . S = AB.AD = 2AI 25= AI
=
+
)
0.25
Điểm
( I a;5 a
AI
2a
= - + ˛ - ⇒ I d : y x 5 5 2 2 6a 9 với a
2
+
+ =
= (tm điều kiện).
a
2a
6a 9
(cid:219) = a
0> , 25 2
7 2
+ . 1 2
(
Câu 6a (1.0 điểm) Tọa độ tâm
, vi I trung điểm AC nên tọa độ đỉnh
) C 4; 4 .
I
0.25
- Khi đó a nghiệm phương trình (loại),
1 9 ; 2 2
Trang 3 – www.mathvn.com
Đường thẳng D
. Vì điểm B thuộc
- D
www.MATHVN.com ) ( 7; 1
nên phương trình là
- + = : 7x y 1 0
vuông góc AI có
(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) D = n
2
2
0.25
+
(
)
= BI AI
1 7b
b
nên
B b;1 7b+
. Ta có
- + = : 7x y 1 0
0
1 + 2
9 = 2
25 2
= b 1 = b
(
) D 1;8 ;
do I trung điểm BD nên
b
(
) ( B 0;1 ) (
(cid:219) - - (cid:219) D
)
)
(
)
(
)
) D 0;1 . (
( B 1;8 ,C 4;4 và
) D 0;1 hoặc
( B 0;1 ,C 4; 4 và
) ( D 1;8
= ⇒ 0 = ⇒ b 1 B 1;8 và • Với • Với 0.25
10
Câu 7a (1.0 điểm)
+ +
+ + k
)10 =
0.25
a
... a x
P(x)
˛ 0.25 (cid:219) - - = (cid:219) = 2 n 10n 0 n 0 (nhận) n (loại), n 10=
+ 0
a x ... a x 1
k
10
=
+
Khi
,
10 2
P
a
+ + ...
0.25
0
1 2
a 1 2
10
= . Do đó
.
T 2=
Ta có tổng T bằng giá trị của P(x) tại
x
0.25
a 10 10 2 1 2
3
= , ta có x Vậy tọa độ các đỉnh B, C, D là: ‡ℕ Điều kiện n , , n 2 = (cid:219) 1 2 Phương trình 2C 8C n n ( = - Với n 10= 1 6x = 1 2
0.25
Điều kiện
.Ta thấy x 1= không là nghiệm.
< 0 x, x
, x
1 2
4 2
Câu 8a (1.0 điểm)
1
0.25
=
„ „
(1)
3
+
+
+ )2
phương trình tương đương 1 2
1 = 3 log 2
1 2
( 1 log 2
x
x
(cid:219)
Với x 1„ 1 + 2 log 2x x = Đặt
t
1 log 2x x , t
1; t
3
log 2 x
0.25
3
2
+
= ⇒ +
+ - = (cid:219) t 5 0
3t
t
2
+ =
)
( 4t 5 0 vô nghiêm
t
= t 1 + 2
1 1 + 3 t 2 = (cid:219) = x
2
(nhận). Vậy nghiệm của phương trình là: x
) 2=
0.25
„ - „ -
1 (1) trở thành ( + 1 t Với t 1= suy ra log 2 1 x Chương trình Nâng cao Do tam giác ABC vuông tại A nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm trùng với trung điểm cạnh BC
0.25
=
và bán kính bằng
BC 5
AI
)
= . (cid:4)(cid:4)(cid:5) u
( 1; 2
d '
= = - (cid:4)(cid:4)(cid:5) u nên d và d’ song song, suy ra I cách đều d và d’
Câu 6b (1.0 điểm)
Gọi tọa độ tâm là ( 2y
1 2 ) I x ; y ,do 0 + 2y
0 x
d 21
0
0
0
0
0
0
0
2
2
- - - 0.25 1 x = = (cid:219) - - Hay . x + 2y = (cid:219) 10 0 x 2y 10 5
(
)
(
)
0 5 = (cid:219) AI 5
2y
+ 10 3
y
4
= 25
4; y
8
0
= 0
= y 0
0
0y thỏa mãn
0.25
2
2 =
- - - (cid:219) Khi đó
)
(
)
Với
4
25
0y
0.25
2 +
-
2;4 )
+ x 2 )
+ (
( = ⇒ - I ( I 6;8
= ⇒ 8
x 6
y 4 ) 2 = y 8
25
0y
) W =
(
Với Không gian mẫu W
) , phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ( , phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ( có
4845
C
n
0.25
= 4 20
0.25
=
540
Câu 7b (1 điểm)
Biến cố A=”lấy được ít nhất 2 cái bút cùng màu” thì biến cố đối A =”không có hai cái bút cùng màu” 1 Số cách chọn 4 bút không có 2 bút cùng màu là 6
1 1 C .C .C C 6 3
1 5
=
=
0.25
- -
)
.
Xác suất của biến cố A là
( P A
W
( n A (
) )
n
) =
.
Khi đó xác suất của biến cố A là
36 323 ( = - P(A) 1 P A
0.25
287 323
Trang 4 – www.mathvn.com
www.MATHVN.com
(
)( =
)(
)
x 3
Đặt ;
3t
+ = (cid:219) 7t 6 0
+ t 1 t 2 t 3
0
Câu 8b (1.0 điểm)
0.25
+
+
1
1
13
x
⇒ - x 3
= 3
x
log
+ 3 - - - - 27 t t 9t ;PT trở thành 3 = ⇒ - x x 3 27 = x 27
3
13 (cid:219) = 2
2
⇒ - x 3
= (cid:219) = x 3 3
x 1
• t
2=
0.5
3 = (cid:219) 1 x 3 3 = (cid:219) 2 x 3
• t 1=
x
=
• t
3= -
⇒ - x 3
3
3
x
log
3
21 3 (cid:219) = 2
3 = - x 3
21 3 2 +
- - (cid:219)
13
1
=
=
và
.
x
log
x
log
Vậy nghiêm của phương trình đã cho là x 1= ,
3
3
0.25
2
21 3 2
---------------Hết---------------
-
Chú ý: Mọi cách làm đúng khác với đáp án đều cho điểm tương ứng.
Trang 5 – www.mathvn.com
