H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ả
Ừ
Ừ
Ầ Ậ BÀI T P V LŨY TH A Ậ Ề D NG : RÚT G N
Ạ
I.
LŨY TH A V I S MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đ n gi n các bi u th c sau ( v i gi
t chúng có nghĩa )
ứ
ể
ả
ơ
ớ
2
2
4
3
4
1
(
)
(
)
a.
( đáp s : D=1 ) ố
2
1
( y x (
)
3 x y + 2 2
- - + + + 3 y - y = + + + D x y x y : - xy + - x xy y x x y
Ọ Ừ Ớ Ố thi ế ả 1 ) � 3 � � �
� x � � �
1
1
b.
1 2
2 � � � �
- - - 9 a + = B - - - + a 4 3 a 1 1 2 2 a 1 2 - - a 3 a a a � 4 � � 2 �
Gi
iả
a/
2
2
2
3
4
3
4
)
)
(
) (
)
1
(
)
(
)
2
2
( y x (
)
)
)
) ( +
(
3 x y + 2 2
1 x
( + x
1 � 3 � � �
( - � x = � � �
1 � 3 � � �
3
1
)
(
)
( � x �
1 � 3 : �
- - + 3 - - + + + 3 y y y x y x y y 1 + + + + = = x y : x y 3 xy D xy + - - + ( + x ) x xy y x y x y y x y � x � � � - - = + + = y x y 1
1
1
2
)
(
)
b/
)
) 1
1 2
1 2
2 � � � �
( � 2 � � �
2 � � � �
1 2
1 2
- - + + - - - - a 3 a 3 9 a a a 3 = + = + = = B 9 a - - - - 4 ( + 2 ( a 2 a 9 3 4 a a 1 2 - + a 4 3 a 1 1 2 2 - - a a 3 a a a � 4 � � 2 a �
2 � � � � � � � t chúng có nghĩa )
a a � � � � � a � �
Bài 2. Đ n gi n các bi u th c sau ( v i gi
thi
ứ
ớ
ả
ế
ả n
ơ n
n
(
)
a.
n
n
n
1
1
-1
(
b.
1
1 + 1
1
1
ể n b b 1 � a � a �
- - - - + - = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) A ab 0; a b - - - - - b b a a - - - - + 1 - - = - + n ) B xa ax - - - - + - a a 1 4 x x a a x x � � �
Gi
iả
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(
) 2 =
n
n
n = n
2
n
n
n
n
n
n
n
a.
) (
)
n n a b 4 n 2 a
) b
( b
n n a b
n n a b
- - - - + - - + + n - - b a b = - - A - - - - + n - - b + - - a ( a a b b a a b b b a a
2
2
1
1
2
2
2
2
(
1
-1
) =
(
)
b/
1
1 + 1
1
1
a n n a b � � � a b + n � a b � n n a b � = n � � � - - - - + a � b � � + 1 - - - 2 x a - x = - B xa ax - - - - + - - 1 4 x x x x a ax x a x a 1 4 ax + 1 2 a ax a a � = � � � a � a � � � 1 x = � � 4 � � + � x a � + �� + x a � �
Bài 1. Cho a,b là các s d
LŨY TH A V I S MŨ H U T Ữ Ỷ ng .Rút g n bi u th c sau
Ừ Ớ Ố ứ ể ọ
1 4
9 4
1 2
3 2
1 2
1 2
b.
ố ươ 2 � � �
1 4
5 4
1 2
1 + 2
- - - a a b b - - - a . b - a + b b a � 1 2 � � � �� : a �� � � � - a a b b
Gi
iả
Trang 1 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ậ
Ầ
Ả
2
(
)
2
1 2
1 2
(
)
.
2
2 � = � �
)
(
2 � : � � �
- b a 1 = - - - - a . b b a . b a + b b a a b 1 b - � a � � � 1 2 � � � � : � � � � 1 � � � = b a
2
1 4
1 2
1 4
9 4
1 2
(
)
b/
2
1 4
5 4
3 2 = 1 2
1 4
1 2
1 + 2
(
)
( (
) 2 = + + = + a a ) 1
ng .Rút g n bi u th c sau :
ứ
ể
ọ
3
3
3
1 3
1 3
2 3
2 3
3
3
- - - - - - 1 a a b 1 b a a b b - - 2 1 1 - - - - - a a b b a 1 a b b
b.
+ + + + - ab a b b �+ b a b b a
Bài 2. Cho a,b là các s d ) a. ( � a � �
ố ươ � � �
� a � � � : 2 � �� �� � � � �
iả
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2 3
2 3
)
(
+ + - -
Gi )
)
(
)
(
(
) + a
) 3 = + b
a/ (
( � 3 � �
2 � = � �
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
a b b ab + a b + 3 a b a b a b � a � � � = � �
1 a b 3
1 a b 3
1 3
1 3
1 3
3
3
b/
1 3
2 3
1 a b 3 1 3
1 3
1 3
+ + b b � a � � + + + = = b a b b a � � � 2 3 � a � � � � : 2 � �� �� � = � � � + + + � � � 1 3 � a � � 1 a b 3 2 a b b a b
Bài 3.Đ n gi n các bi u th c sau ( v i gi
thi
ứ
ể
ơ
ớ
ả
2 � � +� a � � � t chúng có nghĩa ) ế
2
2
ả 3 2
2
1 4
1 4
2
a.
b.
3
3 a b 3 b a
+ a 4 = B a = + A b a 4 a b � � � � � � � � � � + a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � : � � � � a � � �- 4 + � a 2 �
Gi
iả a/
2
3 2
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
3
3
3 a b 3 b a
3
1 4
1 4
3 a b 2 3 b a 2
1 � � � 2 � � � + � � � 1 � � 2 � � � �
2 2 a b � a � �
2
2
2
2
2
2
)
thi
t chúng có nghĩa )
ớ
ị
ả
ế
+ a 1 = + + + + A b b b a 2 3 a b 1 ab a � � b � � : � � a b � = � � � a � � � = � � � a � � � = � � + b ab � � � � � � � + a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � : � � � � � : � � � � � � (cid:0) (cid:0) (cid:0) + + 2 : a 0 2 a a 4 4 = = = = (cid:0) B - (cid:0) 2 : < a 0 a (cid:0) + a ( a a 4 a 4 2 4 a � a � � �- 4 + � a 2 �
2
2
-
= -
Bài 4. Tính giá tr các bi u th c sa ( v i gi )
(
a.
. V i ớ
ể - + x x
ứ 1 2 � � �
3 5
3 2
5 2 + - 2 A x x = 3,92 - 1 2 x 2 x + + x + x x 2 x � 1 � 2 �
2
2
b.
. V i y = 1,2
ớ
5
5 � � � � �
- = + - B 3 32 10 y y y � � 2 .3 � � � � � +� 2 27 � � � +� 2 3 � � �
Gi
iả
Trang 2 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ả
Ậ
Ầ
2
2
2
3
(
2
2
) 2 x = -
(
)
)
(
a/
2
( ) 2 5 2 ) 5 2
1 � � �
2
- - - - - 4 = - - A + - 2 = 2 x 5 2 = 5 2 x 8 2 x - - - x ( + + x + x x 2 x - + x x 1 2 x 2 x + 4 x ( 4 10 ) 2 x x � 1 � 2 �
)
1 � � � � 0,16
V i x=ớ
= = 2 - - 3,92 x 3,92 4 x 0, 08 � � x � � ( 2 4 = 2 x � � �
3 1 � � + 2 � �
3 5
3 2
2
2
2
1 5
1 2
5
1 5
5 � � � = � � � �
2 - - = + - - B 3 32 10 y 3.2 y y y + 2 3 y � � 2 .3 � � � � � +� 2 27 � � � +� 2 3 � � � � � � 2 3 � � � �
2
2
2
1 2
1 2
1 5
1 + 5
2 + 5
2 3
. V i y=1,2 suy ra
ớ
5 2 � � = 5 � � � �
3 � � 1 � � 5 � � 3. y 5 � � � � � � � � � � + = � � � 1 � � 2 � � � � � � 5 � = � � �
- = - - y y y = 1, 44 2 2 .3 y y 3.2 y � 2 3 � � � � � � � � �
Bài 5. Rút g n bi u th c sau :
ứ
ọ 4 3
ể 1 a b 8 3
2 3
3
a.
ĐS: A=0
3
2 3
2 3
1 � � � �
- - a = - - A a b a � . 1 2 � � � + + a 2 ab
1 3
1 3
b.
1 a b 3 1 3
1 3
2 3
2 + 3
1 + 3
b 4 1 3 - - a = + B - - - - - b a 8 6 - a b 4 a b 2 1 a b 3 2 b � � � � 2 �
iả
4 3
1 3
)
1 a b 8 3
2 3
3
2 = a 3
a/
3
2 3
2 3
2 3
2 3
1 3
1 3
1 � � � �
2 3
- - � � � � � Gi 1 ( 3 - a a a = - - - A . a b a b 8 1 3 � . 1 2 � � � + + + + - a 2 ab a 2 a b 2
)
2 = 3
2 = a 3
2 3
1 3
1 3
2 3
2 a b 3
1 a b 3
1 3
1 3
2 3
- - 4 b ( b 4 ) a a b 8 a = - - a 0 - a 1 a b 3 2 ( 3 a b 8 + + - - - a 1 a b 3 b 8 2 a b 3 2 2 a 4 4 b 8
2 a b 3
1 3
1 3
1 3
2 3
b/
1 a b 3 1 3
1 3
2 3
2 a b 3 1 3
1 3
2 3
2 + 3
1 + 3
1 a b 3
2 3
1 3
2 3
1 3
1 3
- b 2 - - - a = + + B - - - - - b a 8 6 b a 8 6 � a � � 2 3 � � � 1 3 - + + a b 4 a b 2 1 a b 3 2 b a 2 a � � � � 2 � � � = � � � � 4 b � � � � � � � � � -� b 2 � � � � � = � � � �
1 a b 3
2 � � �
2 3
2 a b 3
3
1 3
3 � � � � -� � � � 2 b � � � �
+ + - 2 a b 2 - = = ab b a 8 6 - � 6 ab b a 8 � -� 8 6 b a � = � � � -� a � 1 3 a � � 4 b � � � � � � � � � � � �
Bài 6. Rút g n bi u th c sau
ứ
ể
ọ
7 4
1 4
1 2
a.
( đáp s : A= 15/2 )
ố
1 � : 16 : 5 .2 .3 3 � �
5 3 � � � 3 .5 : 2 3 2 � � � � � � �
1 � � 2 � � � � � � � � �
- A= �� �� �� �� � � � � �
Trang 3 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ậ
Ầ
Ả
4
3
0,25
(
)
(
)
b.
1 1 1 � � 2 + � � 4 � �
- - - = - - - B 0,5 625 19. 3 2
Gi
iả
5 3
1 3
1 4
3 2
1 4
7 4
1 4
1 2
a/
7 3 5 2 .5 2 3 4 4 2
1 2 2 � � 3 5 2 � � 2 2 � �
1 � : 16 : 5 .2 .3 3 � �
5 3 � � � 3 .5 : 2 3 2 � � � � � � �
1 � � � 2 � � � = � � � � � � � � � �
1 � 2 � � � �
b/
- = = A= 15 2 �� �� �� �� � � � � �
3 2
4
3
0,25
4
1 4
(
)
(
(
)
) = 3
3
)
1 1 1 � � 2 + � � 4 � �
4 1 � � � � 2 � �
2. 3 � � + � � 2 � �
- - - - - - 1 = - - - - - - - - 0,5 B 625 19. 2 5 = 16 5 10 - = 19 ( 8 27 19 27 3
Bài 7 . Rút g n bi u th c sau :
ứ
ể
ọ
3 4
3 4
3 4
3 + 4
1 2
1 2
1 4
1 4
a.
b.
1 4
3 4
1 4
1 4
1 2
1 � � �
- - b b - - a b � a � � � � � = = - - A b B ab �� a �� �� 1 2 + + - a b 1 a b 2 a b a b � � � a � � � � � -� : a �� � � � � � � � � �
Gi
a/
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
� � � � � � � iả
1 4
1 4
1 4
1 4
3 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 � = 4 � �
1 2
1 4
1 4
1 2
1 4
1 4
1 2
1 2
1 2
- + - - - - - a b a b = 1 = - - - - A b = b � a � � � a � � � � � a b a a b 1 4 + + + + + - a b 1 a b 2 a b a b b b a b � � � a � � � � : � � � a b 1 � a 4 � � � � � � a � � . � � a � � � � � � � � � � � a � � � � � � : � � � �
1 2
1 2
1 2
3 4
3 4
3 2
3 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3 + 4
b = b a a
1 a b 2
) =
(
)
b/
1 2
1 2
1 2
- - - - - - b b b b a b b � � � = - - B ab a b �� a �� �� 1 2 � a � � 1 2 � ( � � 1 2 - - a b a b b � � � �-� � a b � = � � �-� � a b � 3 � � a 4 � � � � � � � � � � a � � � � = � � � � � � � �
1 2
3 2
3 2
1 2
(
)
� � � a � � � � � � = � � -� a � � � � 1 2 - - a = + C ax
Bài 8 .a. Rút g n các bi u th c sau :
ứ
ể
ọ
(đáp s C=1) ố
1 2
1 2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
a � a � �- x a � � �� x �� �� �� �� � x � � -� x �
.
b. Ch ng minh :
4 2 a b
4 b a
ứ
+ + + = + a b a b
) 3
(
Gi
iả
Trang 4 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ả
Ậ
Ầ
1 2
1 2
1 + 2
1 x a 2
3 2
3 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
(
)
1 x a 2
a/
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 + 2
2 � � � � � � �
2
1 2
1 2
- a a - - - a = + � � � + C ax - a x a �� + x �� �� 1 2 x 1 2 - - - a x a a a � x � � x � � �� x �� �� �� �� a �� x �� �� � � � � � 2 x � � � � � � = � � � � � � � �� �� �� �� � x �� � �� � ��
1 2
1 2
= = 1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
�+� � x a � � � 2 �+� � x a � � �
4 2 a b
4 b a
ứ
+ + + = + a b a b
) 3
(
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
3
2
4 2 a b
2 4 a b
2 2 a b
2 4 a b
4 2 a b
4 2 a b
2 4 a b
b. Ch ng minh : )
+ + + + + + = + + + a b 2 2 a b a 3 3 b �
)
(
(
2
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
2 2 a b
2 4 a b
4 2 a b
2 4 a b
4 2 a b
2 2 a b
8 4 a b
4 8 a b
8 4 a b
6 6 a b
4 8 a b
+ + = + + + = + + a b 2 2 �
3
3
2 � Bài 9.
Không dùng b ng s và máy tính hãy tính :
a.
ả
ố
( đáp s : =3 ) ố
8
8
4
4
+ + - 6 6 847 27 847 27
(
) (
) (
)
Ch ng minh r ng :
b.
ứ
ằ
8
8
= - 3 2 + 3 2 + 3 2 1 + 3 2
Gi
3
3
3
a/ Đ t y= ặ
3
2
3
+ + = 3 - - 6 6 y + 12 3 y + 12 3 y 36 � 847 27 847 27 847 27 847 27 847 = 27 �� + 6 �� �� �� � + 6 � � � � � = � � � � � �
(
)
= - - -
iả � � 3 � � ) ( +
8
8
8
4
4
4
4
4
+ 12 3 y y y y y = 4 y 3 y � �
) (
)
b/
= - - 125 27 ( 8 + 12 5 ) ( = 12 0 ) ( + 3 y ( = 0 � ) ( 1 2 2 2 + 3 2 + 4 3 2 + 3 2 + 3 VP 3 3 ) 2 ; �
- � ( 3 + 3 2 2 3 2 1 VT �
Bài 10 .Vi
i d ng lũy th a v i s mũ h u t
các bi u th c sau :
ừ ớ ố
ữ ỷ
ứ
5
3
11 16
.
b.
5 ) ( + 3 3 ) ) ( = - = = t d ế ướ ạ
)
ể (
2
4
3
5
= > a A = . 2 2 2 B a a a a a : a 0
(
)
(
)
c.
d.
= > = > C x x x 0 D 0 ab
iả
5
3
3 1 2 5
3 10
1 3 � � 3 2 � � � �
1 1 � � 5 2 .2 2 � � � �
1 � 1 � � 3 � 2 .2 2 � � � � � � �
= = = = = a A . 2 2 2 .2 2 2 .2
1 � � � 5 � � � � = 2 � � � � � � � � �
b a 3 a b Gi 1 � 5 � � � � � � � � � � �
Trang 5 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ậ
Ầ
Ả
15 16
11 16
11 16
11 6
11 16
1 4
b/
11 16
1 7 � � 2 + 1 8 � � � �
a = = = = = = B a a a a a : a a a : : a : a a
1 � 3 � � 2 � a 2 � � � � � � �
1 � 2 � . a � � �
1 � 3 � � 2 + 1 � . a a 4 � � � � � � �
1 � 2 � � � �
a � � � � � � �
Ỷ
Bài 1. Đ n gi n các bi u th c :
ể
ả
ơ
1 � 2 � � � � � LŨY TH A V I S MŨ VÔ T Ừ Ớ Ố ứ
2 1
p
3
2
p 4
2.
3 2
-
) 3
3a
b.
d.
c. (
a.
2 .a
4.
1,3 a .
a a : a a : a 1 � � � � a � �
Gi
iả
2 1
2 1
1 2
2
1
2
p
2
p 4
4
1 2
(
)
. b/
a.
2 1 a a
2 .a
p a
p
2.
- - - - = = a a a = = = a . a : a a a a a
3
3. 3
3
2.
3 2
3
1,3 a .
1,3 a
d/
c/ (
1,3 a . 2
a = = = = 1 � � = � � a � � ) 3 a a : a a a a
Bài 2. Đ n gi n các bi u th c :
ứ
ể
ả
2 2
2 3
3 3
2 3
ơ b
- a + 2 3 + 3 -
)
(
2
b.
(đáp s : ố
2
3
4 3
3
a. (
a a a a + 1 a + ) 3 1 -
)
a b -
) ( 1 a
p
5
7
1
a
p
2
p
p b
(
)
c.
) d.
p b
(đáp s : ố
(đáp s : ố a
5 3
7 3
2 5 3
2 7 3
p� � - � � ab 4 � �
3 a b 3
- a - + a a b- b 7 3 + + a b
Gi
iả
2
3
3
2 2
2 3
2
3
2
-
(
) (
)
2
2
3
2
3
2
3
3
2
a b a b + 2 + 3 - - a b a b a b a = + = 1 + = 1 2 2 - - b a
(
)
- - b
)
+ 2 )
(
2 3
3 3
3
3
2 3
a b a
+ 2 3 + 3 - - b (
)
a/ ( (
)
3
a a a a a + 3 a a + + 3 1 a = = +
(
a
) 1
b/
4 3
3
3
3
2 3
- -
) ( 1 a
a
) ( 1 (
a ) a a
) 1 ) ( 1
5 3
7 3
2 7 3
2 5 + 3
7 + 3
a a ( + + 3 1 a
3 a b 3
5
7
c/
5 3
7 3
2 5 3
7 3
2 7 3
2 5 3
2 7 3
3 a b 3
p
1
2
2
p
p
p
p
p
p
p
2
2
- b b - a � a � � � �� a �� �� �� � � � � = = - a b b 7 3 + + + + a b a b
(
)
(
3 a b 3 )
d/
p a
p b
p a b 2
p = b
p b
p� � = 4 ab � � � �
+ + + - - - - = a b 4 a a b a
D NG : SO SÁNH CÁC C P S
Ặ Ố
Ạ
• N u hai s là hai căn không cùng ch s , thì ta ph i đ a chúng v d ng có cùng ch
ề ạ
ỉ ố
ố
ỉ
ế s , sau dó so sánh hai bi u th c d ố ế
ể ừ
ứ ướ ấ ả
ả ư i d u căn v i nha . ớ ế ơ ố
• N u hai s là hai lũy th a , thì ta ph i chú ý đ n c s , sau đó s d ng tính ch t c a ấ ủ
ử ụ
lũy th a d ng b t đ ng th c .
ố ừ ạ
ấ ẳ
ứ
Trang 6 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
Ừ
Ả
Ậ
Ầ
5
3
3
4 5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 20 30 7 17 28
Bài 1. Hãy so sánh các c p s sau : a. 3
ƯỚ ặ ố b.
c.
2
3
5
7
5
4 13
f.
d.
e.
(cid:0) 23 4 4(cid:0)
15
5
15
3
3
5
5
a/ 3
. Ta có
15
3
15
3
5
12
12
4
1 3 Gi 1 � � � �(cid:0) � � � � 3 � � � � iả 5 (cid:0) = = (cid:0) 243.10 30 30 > (cid:0) (cid:0) 30 20 � 30 20 = = (cid:0) 20 20 8.10 (cid:0)
3 5
3
4
3
4 5
b/
. Ta có :
4
12
3
12
6
3
6
(cid:0) = = (cid:0) 125 5 (cid:0) (cid:0) 5 >� 7 7 = = (cid:0) 7 2401 7 (cid:0)
3
3
c/
. Ta có :
6
2
3
6
20
20
4
(cid:0) = = (cid:0) 17 17 4913 > (cid:0) (cid:0) 17 28 � 17 28 = = (cid:0) 28 28 784 (cid:0)
5 13
5
4
5
4 13
d/
. Ta có :
20
5
20
4 23
2
3
3
(cid:0) = = (cid:0) 13 371.293 (cid:0) (cid:0) 23 >� 13 23 = = (cid:0) 23 279.841 (cid:0)
e/
. Vì
5
5
2 � � � � < � � � � � � � � � 7
> 3 2 1 3 1 3 1 3 1 � � � �(cid:0) � � � � 3 � � � �
f/
7 4 ;
ặ ố
1,2
> < 4 7 5 4 4 � �
Bài 2. Hãy so sánh các c p s sau : 1,7
0,8
1,7 2
a.
b.
c.
0,8 � � � � � � � � � � � �
2 � � � � � � � � � � � � � � � �
(cid:0) (cid:0) 2(cid:0) 1 2 1 2 3 2 3 2
12
5 6
1 3
d.
e.
f.
5 5 � � (cid:0) 2 � � 7 � �
0,8
- - (cid:0) 2 (cid:0) 1 0, 7 0, 7
1,7 2
0,8 2 ;
1,7 2
> vi 2 �
2,5 1 � � � � 2 � � iả Gi b/
a/
.
1,7
0,8
1,7
0,8 � � � � � � � � � � � � �
1,2
1,2
c/
2 � � � � � � � � � � � � � � � � �
2 � � � � > � � � � � � � � � � � �
0
5 2
d/
;
5 5 � � 2 � � 7 � �
(cid:0) > :1, 7 0,8 � > 1, 7 0,8 (cid:0) (cid:0) ; do : � 1 2 1 2 1 2 0 1 (cid:0) 1 � � � �< � � � � 2 � � � � (cid:0) 1 < < 2 (cid:0) < 1, 2 2 (cid:0) (cid:0) ; do : � 3 2 3 2 3 2 3 2 < < (cid:0) 0 1 (cid:0) 3 2 (cid:0) - - - (cid:0) 0 (cid:0) = (cid:0) do : 1 1; � � 5 7 5 � � � �> � � � � 7 � � � � (cid:0) 1 0 (cid:0) (cid:0) 5 < 2 5 < < 7
Trang 7 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ậ
Ầ
Ả
2
(
)
2,5
6,25
12
12
(
)
(
)
e/
2,5 1 � � � � 2 � �
(cid:0) < - - - - (cid:0) - - 6, 25 < = (cid:0) 2 ; do : 2 2 2 � � (cid:0) 12 > 2 1 (cid:0)
>
5 36
4 36
1 3
2 � �� � = � �� � � �� �
2 � � 5 = � � � � 6 � �
5 6
5 6
1 3
1 0, 7 ; 3
f/
20
30
(cid:0) (cid:0) < (cid:0) do : 0, 7 0, 7 0, 7 � � (cid:0) < < 0 0, 7 1 (cid:0)
+ > 2 3 2
Bài 3. Ch ng minh : ứ
Gi
iả
20
20
20
30
Ta có :
30
30
2
sin
x
(cid:0) > (cid:0) 2 = 1 1 + > (cid:0) 2 3 2 � > (cid:0) 3 = 1 1 (cid:0)
Bài 4. Tìm GTLN c a các hàm s sau . ủ x
(
)
a.
b.
ố - += 3 x
y y = 0,5
Gi
i ả
x
a/
.
- += 3 x
y
( t t
) 0 ��
Đ t ặ
x
4
4
1 4
Do v y : ậ
= t x y = - + x = - + 2 x t = - + = y t 2 ' 1 0 t m axy=y 0 �� = � � 1 2 1 4 1 � � = � � 2 � �
- += x 3
2
2
2
sin
x
2
sin
x
sin
x
= = (cid:0) (cid:0) y 3 3 GTLNy 3
(
)
1 0,5
b/
. Vì :
= (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 0 sin x y 0,5 GTLNy 0 0,5 1 �� �� �� y = 0,5 1 2 1 2
Bài 5. Tìm GTNN c a các hàm s sau “ ủ
ố
x
2
2
x
x
x
1
3
x
os
x
2
1
x
a.
b.
c.
e.
sin 5
- - + = + y = 2 2 y 2 2 y = + 5x c y e +=
Gi
iả
a/
x
x
x
1
x
3
x
1
3
x
- + - x
1 3
x
2
b/
2
2
x
c os
x
= (cid:0) 2 - (cid:0) y x x x 0 = - =(cid:0) + = x x 2 2 2 � � - 2 GTNNy =�(cid:0) 2 - - (cid:0) = - - = + = = = = y 2 2 2 2 2 2 4 min y 4 x 2 � � 2 ��(cid:0) (cid:0) 2 - = - 1 3 x x (cid:0)
2
2
2
2
sin 5
x
sin
+ x c
os
x
c/
2
2
2
x
x x 2
1 2
(cid:0) = p (cid:0) = (cid:0) + os x = (cid:0) y 2 5 2 min y 2 c os2x=0 x= p k = + sin c 5 5 � � � 5 = 4 2 (cid:0) sin x c os x (cid:0)
e/
{
x += e 1
= = = y e e x 1 e � �
V Đ TH Ẽ Ồ Ị
ẽ ồ ị ủ
ộ ệ ụ
Bài 1. Hãy v đ th c a m i c p hàm s sau trên cùng m t h tr c 5
5
ỗ ặ =
2
4
1 4
1 2
ố =� y
b.
c.
a.
v đ th )
y x x - = = y x x x =� y
=� y x ( H c sinh t ự ẽ ồ ị y ọ
Trang 8 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
Ả
Ầ
Ừ
H Bài 2. Ch ng minh hàm s sau đây là đ n đi u :
ƯỚ ố
Ậ ệ
ơ
x
ứ x
. Sau đó kh o sát và v đ th c a nó ?
ẽ ồ ị ủ
ả
- - 2 = y 2 2
iả
x 1
x 2
(
) 1
x
x
x 1
2
2
x 1
(
) 1
x 1
x 2
Gi
s :
ả ử
x 2
x 1
x 2
x > - 1
(cid:0) 2 2 > 2 2 (cid:0) - - - - x 2 x 1 < -
Gi ) ( 1 )
)
(
(
(
)
(
)
x
x 2
2
x 1
x 1
. V y hàm s luôn đ ng bi n trên R .
ế
ậ
ố
ồ
)
( y x 2
ế
ố
ố
ố
ồ
x
> ) 2 2 2 2 � 2 � � � � (cid:0) - - (cid:0) - - (cid:0) 2 2 2 > � (cid:0) � > � 2 � > ���� � 1 1 � � � �< ( 2 � � � � � � � 2 2 � � � � > x 2 ) > (cid:0) 2 2 2 (cid:0) x 1 ( y x 1
b.
d.
a.
c.
1 = = y y y y 2 2 3 p� �= � � 3 � � 2 x � �= � � e � �
Bài 3. Trong các hàm s sau đây , hàm s nào là đ ng bi n , hàm s nào là ngh ch bi n ? x � � �
ị - � x 3 � -� 3
Gi
ế x 3 � � �+� � � iả
x
x
a/
. Do
. Là m t hàm s đ ng bi n
ố ồ
ế
ộ
p > y 1 y 3 p� � =� � � 3 � �
b/
. Do
Là m t hàm s ngh ch bi n ố
ế
ộ
ị
y 0 1 y 2 < < e p� �= � � 3 � � 2 x � �= � � e � �
x 2 � � =� � � e � � (
) <
c/
. Do
là m t hàm s ngh ch bi n ố
ế
ộ
ị
x 3 � � �+� � �
x � � �
x
x
= = - 3 3 y 2 1 3 + 3 2 3 2 2 3 � =� � y +� 3
x
d/
là m t hàm s đ ng bi n (
ố ồ
ế
ộ
(
)
x �+ 2 � � 3 �
- 1 1 3 = + y 3 3 2 > ) 3 - - 3 2 3 2 � � � � � � = � � 3 � � � � � = � � � � �
Ậ Ề Ị
Ử Ụ
Ề
BÀI T P V LÔ-GA-RÍT I. S D NG Đ NH NGHĨA V LOGARIT ủ
ị
ố 2
2
a.
b.
c.
f.
5
0,3
3
2
ậ x x
1 2
1 5
- - = = = = y log log y y log y log + + 1 5 x x x x x x 3 1 � log � � � log � � �+ 2 �+ 5 �
2
- - 1 = + 2 - = - - -
Bài 1. Tìm t p xác đ nh c a các hàm s sau : �+ 1 �+ 3 � (
) + 4
e.
d.
g.
2
2
1 2
= lg y x + x 3 6 y log log x x y log + - - - x x 1 1 x x 2 1 3 x x 6
Gi
iả
a/
1 2
- = y log x x 1 ệ + . Đi u ki n : ề 5
1 2 1 1
- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) log 0 1 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - + + 1 0 0 x 1 x x 1 1 � � � - 1 + 1 < - > > 1 1 1 1 > x � > x � 0 0 x � � x � � x � 2 � � + x 1 � < - � x � (cid:0) (cid:0) + (cid:0) (cid:0) x � x � x � x 1 1 1 1 � � -� x + x
Trang 9 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ậ
Ầ
Ả
(
)
V y D=
ậ
2
1; +(cid:0)
2
5
2
1 3
2
2
2
b/
. Đi u ki n :
5
ệ
ề
5
1 5
2
(cid:0) (cid:0) - - 2 x (cid:0) (cid:0) 0 log (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) �+ 1 � + 3 � � log � � x (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) 14 (cid:0) = 1 0 log 0 y log log x x + + 1 3 x x � � � �+ 1 �+ 3 � < (cid:0) 5 x + 3 x 5 + x 3 > - 3 + + (cid:0) + x � + x � � 0 � 1 3 2 x x 1 3 < (cid:0) 5 � � � � 0 � x � � x � � + + x ��� x 1 3 x x (cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
)
( x � �
( �
ầ
(cid:0) 1 3 - < < - x - - (cid:0) 3; 2 2;7 � 2 (cid:0) �
i ể
ị ủ
ứ
log 4 9
log
8
125
log 2 7
1 1 4 2
+ log 3 3log 5
2
5
+
+ 1 log 5
25
a.
b.
4
1 2
+
16
4
-� 81 � �
� .49 � �
>� x 2 - < < - < < - 7 3 x x � gi i h c sinh t Ph n còn l ự ả ạ ọ Bài 2. Tính giá tr c a các bi u th c sau :
log 9 log 6
7
7
log
4
3
1 2
1 lg2
+
log 5 6
5
+
c.
d.
36
10
log 36 3 9
� 72 49 � �
� � �
- - - -
Gi
iả
3
log 4 9
4
log 4 9
log
8
125
log 2 7
2log 2 3 5
2log 2 7
1 1 4 2
+
=
1 1 � � 4 2 �
� + � �
)
25
5
a/
� ( 3 � �
� 7 � �
� .49 � �
2 .3log 2
5
3
log 4 7
1 3
- -
=
� 81 � � -� 1 log 4 3 � �
+ log 3 3log 5
2
5
+
)
( 2 1 log 5
+ log 3 6log 5
+ 1 log 5
6
4
5
2
b/
4
1 2
=
+
+
=
=
16
4
2
+ = 5 = 4 4 19 3 4 � � + � � � � � 7 � �
log 9 log 6
7
7
log
4
log 9 2log 6
2log 4
5
7
7
5
1 2
+
+
=
+
5
( 72 7
5
72
18
c/
4,5=22,5
+ 16.25 3.2 ) 9 1 � + � 36 16 �
592 � = � �
- - - -
1 lg 2
� 72 49 � � log 5 6
+
= log5
+
d/
4 � = � � + log 25 6 6
36
10
= log 36 3 9
10
= 25 5 30
- -
II. S D NG CÁC CÔNG TH C V LO-GA-RÍT
Ứ Ề
Bài 1. Tính giá tr c a các bi u th c sau :
Ử Ụ ể
ị ủ
ứ
3
a.
b.
9
9
1 3
1 3
1 3
)
(
- + - B = 2 log 6 + log 400 3log 45 A = log 15 log 18 log 10 9 1 2
2
3
c.
d.
1 4
D = log log 4.log 3 - C = log 2 36 1 2 log 3 1 6
Gi
iả
a/
9
9
9
9
3
= + - A = log 15 log 18 log 10 log = 3 log 3 9 = 3 log 3 3 15.18 = 10 3 2
b/
1 3
1 3
1 3
1 3
= = - 2 - B 2 log 6 + log 400 3log = 45 log 4 = - 4 log 3 3 1 2 1 2 36.45 � � = � � 20 � � log 9 1 3
Trang 10 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
Ừ
Ậ
Ả
c/
- C = log 2 36 + log 2 6 = log 3 6 = log 2.3 6
H ƯỚ 1 2
Ầ 1 2
1 2 1 2 = log 3 1 6
)
(
) = -
(
2
4
2
3
4
3
d/
1 4
= - 1 2 ) ( = - log log 4 D = log log 4.log 3 log log 3.log 4 2 = - log 2 2 1 2 1 2
Bài 2. Hãy tính
3
3
3
3
3
(
) +
(
)
b.
a.
4
4
2
p = - B = log 7 3 log + 49 + 21 9 A log 2sin p log os c 2 12 12 � � � � + � �
d. D
c.
10
10
4
4
4
4
= = + - + log tan 4 log cot 4 log x log 216 2 log 10 4 log 3 1 3
iả
p = = log 1 A log 2sin log
Gi p c . os
a/
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1 2 12 12 12 � = � � � � �
)
( log 7 3
b/
4
4
4
4
(
c/ C=
10
10
3
= = - - - � + � � ) + � � � ( 7 p � � = log sin � � 2 6 � � ) ( + 49 3 + 21 9 1 B log 7 3 log + 49 + 21 log = - ) = � � p log os c 2 ( = = + p 2sin ) = 9 ) log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 4 12 ( � 3 � = log1 0
d/
4
4
4
4
4
4 6.3 2 10
5 3 50
= + - - log x = log 216 2 log 10 4 log 3 log =� x log 6 4 + 2 log 10 4 = 4 log 3 4 1 3 1 3
(
) 2011!
a.
4
3
2011
2
1 + + + = = + .......... x A 1 log x x log x x
Bài 3. Hãy tính : 1 1 log log b. Ch ng minh :
ứ
(
)
•
ax
a
+ log x = log bx b a + 1 log log a x
•
( k k 2 log
) 1 x
2
k
a
a
a
a
+ + + + = ......... 1 log x 1 log x 1 log x
Gi
iả
x
x
x
x
a/
2
3
4
2011
1 = + + + + = + + + = A .......... log 2 log 3 ... log 2011 log 1.2.3...2011 1 log 1 log x x 1 log x log x
(
) 2011!
x
ế
= 1= log 2011!
2011! x
)
ax
b/ Ch ng minh :
ứ
log + log = bx log
(
)
ax
V trái :
ế
. N u x=2011! Thì A= b ( a + 1 log + b a + 1 log
a
Ch ng minh :
ứ
( k k 2 log
) 1 x
2
k
a
a
a
a
log x = = = (cid:0) bx log VP dpcm log a x a log a x bx log a log ax a + + + + = ......... 1 log x 1 log x 1 log x
2
k
(
)
VT=
x
x
x
x
( 2 log
) x
a
+ k 1 k + + = = log a log a ...log a = + + + + 1 2 3 ... k log a VP
Bài 4. Tính :
Trang 11 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ậ
Ả
Ầ
2
33
5 a a
3
2
5
5 a a
a.
b.
c.
3 a a
1 a
0
0
= = A a log B a a loga log a a 4 a a
0 log tan 3
0 log tan1 A =
+ + + + log tan 2 .... log tan 89
d. e.
3
4
5
16
15
log 2.log 3.log 4......log 14.log 15
iả
3
3
5 a a
a/
a
a
= = A log a log 3 a 1 = + + = 2 1 5
Gi 37 10
2
2
5
1 1 � + +� 2 5 �
1 � 3 � �
3 a a
b/
a
a
3
2
33
1 1 + +� � 2 5 � � � � � + 1 � a � � � 3 2 5 3
5 a a
= = B log a a log = + 1 3 10 � 1 27 � � 3 � = + 1 � � � � � 10 � �
c/
a
1 a
1 1 + 2 4
0
0
0
0
0
0
0
= - - log log 3 = - 4 91 60 a 4 a a � � �
0 log tan1
0
0
d/ ( vì :
; T
ng t
0 cot1
0 tan1 tan 89
0 0 tan1 cot1
ự
suy ra k t qu ả ế
+ + + = � � + + 1 a 34 � � � = - � � � � 15 � � a � � + 0 log tan 3 .... log tan 2 log tan 89 log tan1 tan 89 .tan 2 .tan 87 ...tan 45 0 = � � = = = tan 89 1 � � ươ �
e/
5
4
3
16
3
4
5
16
15
15
16
= = = - A = log 2.log 3.log 4......log 14.log 15 log 15.log 14....log 4.log 3.log 2 log 2 1 4
ằ > 2; c a
ứ 2 a
+ = > > (cid:0) (cid:0) 0, 1
Bài 5. Ch ng minh r ng : 2 a.N u : ế b b
, thì : = a
+ c b
c b
c b 0, + a - -
ệ ắ
ộ ấ ố
b. N u 0 b a a ( )
1 c c a
.log
ng a,b,c t o thành m t c p s nhân c
0,
2 log
log
log
+
c b
c b
t có và đ đ ba s d
ố ươ
ủ ể a
ạ 1(cid:0)
thì đi u ki n
ề
đó ) là : - = (cid:0) a b c
,
, - N
N N
N log
log log
log log
log x z y c. N u : ế ạ ứ ự c log a , log b
, log ( đó )thì :
)
1 b a
x a c 2 2 d. Gi s a,b là hai s d ng th a mãn : . Ch ng minh : ả ử ố ươ ỏ ứ 2 2 < = (cid:0) log 0 y , , x y z a b c
,
, , N
N
b
c t o thành c p s c ng ( theo th t
ấ ố ộ
.log
z
x
+
z
log 2 log
log + ln a ln b = + = ln a b 7 ab +
a b
3 2 ( ) ( ) ( ) ) (
+
c b c b = =
2 - - - a c b +
c b c b a/ T gi t : a ừ ả ế +
log
a +
c b c b c b +
c b thi
1
log +
c b 2b + = = + 2 2 log a
.log a log a log a � � - - 1
log a - c b
ố ế đó l p thành c p s nhân thì ta có :
ấ ố ậ ac= ơ ố ấ a
b/ N u 3 s a,b,c theo th t
ứ ự
L y lo ga rít c s N 2 v :
ế N N N a c b a a b . ( đpcm ) b
N
c
N b a b c c b c = + - - 2 log b log a log c � � 1
log N - - - = = � � - log
a
log N
N log
.log N
b
N log
b
log N
N log
.log 1
log
log
log =
N
N
N 1
log
log
log N
N
N 1
log
log
log N
N
N Trang 12 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ + = log a , log x y z x z y c/ N u : ế ạ c a log c 2 log b b + = = log y � � 1
log x 1
log z 2
log y a c b a c 2 2 2 ( ) . L y lê be 2 v ta có : d/ N u : ế ế ấ ấ ố ộ
x
.log
z
a
+
log
x
z
2
+� �
a b
� � �
3
� �
+
b
ln + = = = a b 7 ab +
a b 9 ab ab � a ln + 2 ln ln a ln b ln � 2 +
a b
� �
=
� �
3
� � t : ế +
a b
� �
=
� �
3
� �
Ử Ụ . Bi
30 . Bi t: ế c.
=
c e. Tính : = = = C = log 135
3 b
= b
;log 3 b
a= A =
B =
D = log 5
2
log 32 . Bi . Bi
. Bi 49 125
log 35
6 t : ế a
;log 3
2
log 14
2 a
;log 7
8 x=
log 27
12
=
a
;log 2
t : ế log 3
=
log 5
t : ế
27 a/ . T : ừ - - 3 x = = = x x � � � A = log 4
3 =
log 2
3 log 27
12 log 16
6 + 3 (*) 4 3
= - =
1
x x 3
2 x
x log 27
3
log 12
3 3 . Thay t (*) vào ta có : A= Do đó : ừ (
2 3
(
x x )
x
+
3 3 3 3 c/ T : ừ - - x = = = A = log 16
6 .2
) x
12 4
+
x
3 4 log 2
+
1 log 2 log 2
3
log 6
3 + a = = + = 3 3 C =
3
log 135 log 5.3 log 5 3
3 b
3
b log 5
2
log 3
2 d/ Ta có : (*) 3 )
1 2 2 Suy ra : (
b a
3
+
b 2 = = = = = = a log 5 3 ; a b � � log 5
3 log 5
27 log 7
8 log 7
2 b
log 7 3
2 a
+ = + =
b
1
3 + + = = = = = = D log 35
6 + log 3.log 5 log 7
3
1 log 3 +
b a
.3
+
1 3
b
b 1 e/ Ta có : 2
log 7
2 V y : ậ 2 ( 2
5
2 log 7 = = = -
a 1 a 1 log 7 +
log 5 log 7
2
2
+
1 log 3
a
� log 14
2 1
3
log 5.7
2
log 2.3
2
+
�
5 = = = log 32
49 - 5
)
1a 2 log 2
2
log 7
2 ( ) ứ
ể
) (
+
2 log = - - log log A a b log b log a 1 a b a b )
+
1 x 2 4 (
log log
x 2 ( )
x x b. 2 2
2 + = + B x log log x log 2
2 ) (
2 log ab
1
2
log c. a p a ap a + + = - C log p log a p p log p 2 ( ) ) (
2 log a/ a b a ab b )
- =
a
ab a log = + + - - A log b log a b log b log - =
a
1 1 log 1 b
a
log �
�
� �+
1
(
�
b
� a a a a a a 2
��
1
��
�� 2
��
��
�� 2
��
1
��
��
1 b a a + + + log 1 log 1 log 1 - - - 1 log
log a
ab b
a
log b 1
+
1 log - =
b b
a
log b b
log
a
+
1 log b � �
- =
1
� �
� � � �
1
� �
� � �
�
� �
�
� b
a
log
log = - =
1 log a b
a
+
b
a
log b 1
log =
b Trang 13 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ 2 )
+
1 x 2 4 (
log log
x 2 ( ) ( ) ( = + = + = + + )
x x )
+ +
1 b/ 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 B x log x 1 2 log x log x log x 4 log x log log 2
2 1
2 ( ) ) ) (
8 log 2 2 2 2 2 ( + + + = + + 1
2
(
9 log 1 3log x log x x x 3log 1 x ) c/ (
2 log a p a ap a a a a
log a ) 2
+ �
1
�
p
� 3 ( log p = + + - - C log p log a p log p log =
p log p log =
p log
a
+
1 log p p
2
a �
�
� ( ) a a a
log a a )
+ �
2
1
log
a
�
+
1 log
p
� log p p = = p p log log p = = - b 3;log 2 c : a a ỗ ườ ợ t ế log 2 2 4 a. b. c. 3 2
a b 3 log a x , bi �
�
�
ng h p sau , hãy tính
4 3 a b = = = x x c x bc
4 a
3 ab c c 3 ( ) 3 2
a b a/ Ta có : a a a a = = + + = + - = = log x log 3 2 log b log c 3 2.3 1 8 2 c b/Ta có : a a a a c/ Ta có : 2 2 4 = - = - log x log = +
4 log c 3log = +
4
c 6 10 1
)
(
- + =
2
3 28
3 1
3 2
3 � �
4 3
a
b
� �� �
3
c
� � a a a a a + = - - - - - = +
2 log b 2 log c 4 log b log 4 12 1 log x log = + -
c
2
a bc
4 1
4 1
3 1
2 1
+ =
3 161
12 3
4 ab c �
a
�
�
3
� �
�
�
� 2 2 ( ) ( ) a. v i : ớ b. Cho a,b,c đôi m t khác nhau và khác 1, ta có : - - > > + = log a b
3 =
log 2 +
log
a log b a b
3 0; a b
9 10 ab 1
2 • c a 2
a 2
a ; ộ
b
c = log a = 1 log log c
.log .log
b
b c
b • Trong ba s : ố ấ ộ ố ớ ơ 2
a
b 2
b
c 2 2 log ;log ;log c
b a
c ( ) 2
=
b
3 a/ T gi thi t : ừ ả ế > > + = =
2 - - a b
3 0; a b
9 10 ab b
2
a luôn có ít nh t m t s l n h n 1
c
a
iả
Gi
2
a
6 +
ab ab ab b
9 4 4 a � � )
= ( ) ) ( ( Ta l y log 2 v : ế ấ - - - 2 log a b
3 +
2 log 2 log +
a log b log a b
3 =
log 2 +
log a log b � 1
2 . b/ Ch ng minh : ứ 2
a 2
a * Th t v y :
ậ ậ a a a 2
a a 2
a 2
�
=
�
� a a c b a = log log b
c - = = - log log log log log log � b
= -
c c
b c
b �
�
� = = = b
c
a c
b
1
c
� �
� �
b
� �
b
.log
log 1 c
b
log a a 1 ả .log .log
* log
c
b
�
b
* T 2 k t qu trên ta có :
ế
ừ Ch ng t
ứ ỏ ộ ố ớ
trong 3 s luôn có ít nh t m t s l n ấ ố 2
b
c 2
c
a a
b b
c c
a 2
�
�
� = = log log .log log log 1 a
c b
a b
c c
a a
b �
log
�
� c
2
a
b
b
h n 1ơ Trang 14 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ ế ế ơ ố ườ ng h p (0;1)
ợ • N u so sánh hai loga rít có cùng c s thì ta chú ý đ n c s trong hai tr
ơ ố
và l n h n m t đ so sánh hai bi u th c b lo ga rít hóa v i nhau
ể ớ ơ ứ ị ườ ọ
ng h p hai lo ga rít khác c sô , khác bi u th c b lo ga rít hóa thì ta ch n ơ ộ ể
ợ • Trong tr
ộ ố m t s b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít v i s b . T đó suy ra k t qu
ả ế ớ
ứ ị
ừ ể
ớ ố 4 • Ví d 1: so sánh hai s : . Ta có : ụ ố (cid:0) log log 4
3 1
3 3 3 3 4 4 log 0,99
6 = > = > < log 4 log 3 1;log log 4 log � log 4 1
4 1
3 log 1
6 log 0,99
6 ụ
log 1,1
3
6 . Ta có :
>
log 1,1
3
�
6 • Ví d 2. So sánh :
>
log 1
1; 7
3
6
ả 1
3
log 1,1
3
6
log 0,99
6 < = = 7(cid:0)
7 1 7 log 5 log 3
5 1
2 a. b. c. d. 0,4 0,2 5
3 3
4 2 + log 3 log 2 4 1
2 5
11 e. f. g. log 5 log 2
6 6 1
2 log +
2 log 3 3 8
9 1
9 h. k. (cid:0) (cid:0) (cid:0) log log log 2 log 0,34 log 2
3 log 3
2 2 3(cid:0) 2
5 3
4
+
2log 5 log 9 (cid:0) (cid:0) log 3
2 log 11
3 (cid:0) 2 8 4 18 - (cid:0) 18 (cid:0) 9 5 1
� �
� �
6
� � (cid:0) = < (cid:0) 0,4 a/ . Ta có : 0,2 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2 log log 1 0
0,4 (cid:0) (cid:0) log >
0,3 log 2 � log 2 log 0,34 = > (cid:0) > (cid:0)
2 1
< (cid:0)
0,3 1 log 0,3 log 1 0 (cid:0) 5
3 b/ . Ta có : 5
3 3
4 3
4 5
3 3
4 0 log 3
5 log 1
5 (cid:0) < = > (cid:0)
1 0 log (cid:0) 3
< < (cid:0)
1
4 3
4 5
3 (cid:0) log 1 0
5
3 (cid:0) > log log (cid:0) log log � 3
4 2
5 2
5 3
4 (cid:0) > = 1, 0 log 0 (cid:0) 3
< <
4 2
< < (cid:0)
1
5 2
5 (cid:0) log 1 0
3
4 5 5 log 5 log 3
5 1
2 c/ . Ta có : 5 5 5 1
2 log
3 log 1
3
5 0
3 5 3 3 d/ . Ta có : 2 3 2 2
< (cid:0) > = = >
log 3 log 1 2 2 2 1 � (cid:0) (cid:0) >
log 3 log � 2 3(cid:0) < < = = 1
2 (cid:0) log 1 � log 1
5 (cid:0) 1
2 < < < < (cid:0) � (cid:0) (cid:0) >
log 3 log 2 � log 2
3 log 3
2 < < < < (cid:0) (cid:0) 0 log 2 1
3
1 log 3 2
2 e/ . Ta có : 3 2 3 3 2 log +
2log 5 log 9 2 2 1
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) >
log 11 log 3 � log 3
2 log 11
3 log 1 log 2 log 3
3
log 2 log 3 log 4
2
<
1 log 3 2
2
> = log 11 log 9 2 (cid:0) +
2log 5 log 9
= 25
=
9 1
2 f/ . Ta có : 2 2 2 2 1
2 2 +
2log 5 log 9 2 1
2 = + = - 2 log 5 log 9 log 25 log 9 log 2 2 � (cid:0) 2 8 25
9 25
9 Nh ng :
ư = = < < = 8 8 2 � 25
2
9 625
81 648
81 25
9 + log log 9 log log 3 log 2log 3 log 2 2 2 2 4 2 2 + log 3 log 2 4 9 11
5 5
11 1
2 5
11 5
11 5
11 g/ . Ta có : - - = = = = = 4 2 2 2 (cid:0) 4 18 81.11
5 9 11
5 Trang 15 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ + log 3 log 2 4 5
11 Nh ng :
ư log +
2 log 3 8
9 1
9 h/ . Ta có : > = > = 18 4 18 � 81.11
5 891
5 90
5 log +
2 log 3 (cid:0) 9 5 3 2 log 3 3 3 9 8
9 8
9 1
9 2.3
� �
� �
8
� � 8
9 2log
3 log 2 log
3 log
3 log 5 log 2
6 6 1
2 3 k/ . log 5 log 2
6 6 1
2 log 6 log 2 log 5 3 6 6 log 10
6 1
10 3 Ta có : - - = = = = = < = 9 5 36
8 40
8 6
8 - (cid:0) 18 1
� �
� �
6
� � - - - - = = = = = < 6 6 6 18 1
10 1
1000 3 1
� �
� �
6
� �
Bài 2. Hãy so sánh : a. b. c. (cid:0) (cid:0) 2 ln e 8 ln -� log 10
2 log 30
5 log 5
3 log 4
7 1
e 2 2 a/ . Ta có : 5 2 5 > = (cid:0) (cid:0) (cid:0) >
log 10 log 30 � log 10
2 log 30
5 log 10 log 8 3
=
< log 30 log 36 3 (cid:0) 5
= 3 3 b/ . Ta có : 7 3 7 7 3 > (cid:0) (cid:0) (cid:0) >
log 5 log 4 � log 5
3 log 4
7 log 5 log 3 1
= < log 4 log 7 1 (cid:0) 3 3 c/ . Ta có : (cid:0) = 2 ln e =
2.3 6 (cid:0) - (cid:0) 8 ln 2 ln e � 2 ln e 8 ln -� - 1
>
e 1
e 8 ln 8 1 9 (cid:0) (cid:0) 1
= + =
e log 7
5 log 4
5 3 a. b. c. 3 7 ứ
1
2 1
2 + < - > + log 3 log 2 log 7 log 3 2 4 7= log 3
2 d. f. e. log 5
3
2 + 5 7 + - (cid:0) log 3 log19 log 2 � 5= log 1
2 2 +
log 5 log 7
2 ( ) 3 3 a/ . Ta có : 3 3 1
2 1 1 = + * log 2
� � + < - log 3 log 2 1
2 log 3
1
2 log log 1
2 1
2 1
2 3 3 Nh ng :
ư 3 3 log 7
5 log 7.log 4 log 7
5 log 4
7 7 5 log 4
5 log 7
5 log 4
5 1 1 < - - log 0 log 2 log 2 � � 1
2 1
2 1
+
3
2 log log < -
1
2 ( b/ . Ta có : . V y 2 s này b ng nhau ằ ậ ố = = = >
1
2
) 4 7 7 7 4 7= 3 3 c/ 7 3 log 5
2 log 5.log 3 log 3
5 2 5 log 3
2 log 3
2 > + = + > + 2 � log 7 log 3 2 log 7 0
3 log 7 log 3 log 7
7 > . Ta có : 1
log 7
3 ( ) log 5
3
2 d/ . Ta có : log 5
3
2 = = = 5 5 5 5= Trang 16 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ e/ . Ta có : (cid:0) + = = = +
log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 (cid:0) (cid:0) 1
2 + - (cid:0) log 3 log19 log 2 � 1
2 (cid:0) = - log19 log 2 log log (cid:0) (cid:0) 19
=
2 361
4 > + > - log 900 log log 3 log19 log 2 � � 361
4 1
2 . Ta có : f/ + + + 5 7 5 7 5 7 (cid:0) 5. 7 log log 5. 7 log = (cid:0) � 2 +
log 5 log 7
2 2 2 +
log 5 log 7
2 b. c. d. a. 3 3 1
2 1
2 p (cid:0) (cid:0) log e log (cid:0) log log log 9
1
3 log 17
1
3 2 2 (cid:0) log log 6
5
5
2 5
6
3
2 3 3 a/Ta có : 3 3 3 3 . Ho c : ặ 3 3 (cid:0) > = (cid:0) log log 0 (cid:0) > (cid:0) (cid:0) > > (cid:0) (cid:0) log log log log � � 6
5 6
5 5
6 5
6 (cid:0) (cid:0) < = 5
6
5
6
>
3 1 (cid:0) log log 0 (cid:0) (cid:0) 6
5
5
6 5
5
6
6 b/ . Ta có : 1
3 1
3 (cid:0) (cid:0) 1 0 (cid:0) (cid:0) >
log 9 log 17 � log 9
1
3 log 17
1
3 (cid:0) 1
< <
3
<
9 17 (cid:0) c/ . Ta có : 1
2 1
2 1
2 1
2 (cid:0) (cid:0) 1 0 p (cid:0) log e log p > (cid:0) log e log � (cid:0) 1
< <
2
p < e (cid:0) ạ ố x x 2 x ( ) ( - - = = - = 2 2 a. b. c. x x 2 +
x x y y s inx-cosx e y - + e
e e
e (
= + ) ( )
1 d. e. f. 2 x x 2 x 2 x = + = ln x y y 1 ln x ln x y ln x
x ) ( ) ) = - - - x +
x 2 e =
'
y 2 x 2 +
e x y a/ 2 x 2 x 2 x 2 x x e � (
( (
( (
) ( ) b/ x x x x x x x x x x ( = = + = - 2
) y s inx-cosx e y ' e 3sin x c osx e - - - - - + + - - - �
( cosx+sinx
) ( 2 2 x x c/ x x x x )
)
+ ) ( ) e
) - e e e e e e e = = = y y ' � - - - + e
e e
e 4
+ e
( e e e e 2 ( )
1 d/ e/ (
= + ) f/ - x x = = - = + y y ' . x ln x � ln x y =�
y
' 2
2 x
+ 1 ln
2
x x 1 1
�
�
2
x
x
� �
=
�
� x x = + = y 1 ln x ln x y ' � 1
ln
x
x ln
x
+
1 2 ln
x +
1 ln
x Trang 17 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ ố 2 ạ
2 2 3 ( )
1 a. b. c. 2 2ln 2 = + = x y x ln 1 log x x- + y x d. e. f. 2 3 - = log y y log y x
x x
x � �-
9
= � �+� �
5 �
1
= �
log
�
2
� �
�
�
� 3 2 2 2 2 = + + + = + + y x ln x 1 =
' 2 .ln
x y x 1 x
2 .ln x 1 � a/ ( ( + )
1 )
1 2 x
2
x 2 2 ( )
1 2 2 b/ ( - = y log x - +
x =�
'
y 2
x
- +
x 1
)
1 ln 2 x 3 2 2
3 1
3 ) ) ( c/ - = = y ln x x ln x 1
x 2
3
ln x �
(
=
'
y
ln
� �
� �
=
'
�
� d/ 2 2 2 ( ) 2 2 - - = = : y log y ' � + - x
x 4
4 x
x 1
ln 2 16
)
4 ln 2 x 4 4
� �
� �
+
4
� � 3
x
�
=
�
�
� e/ 3 ( ) ( ) +
2 + - - 9 = = : y log y ' x
2 + - 16
+
(
x x
( x
x 1
ln 3 x +
10
x
2
x 9
)
9 ln 3 5 x � �-
9
x
�
� �+
5
x
� � �
=
�
�
� )
5
+
)
1 f/ ) + + 9
5
( x +
2
x
+
5
)
1 - - = = : y log y ' � - 1
ln10 x x 1
2 x
x x
x x
(
8 ln10 1 x x �
1
�
�
2
� �
�
�
� 2
3
�
�
(
�
x
�
�
2
�
�
�
(
�
�
�
16
� �
=
�
�
�
Ớ Ạ )
1 (
ln 4 )
1 + + x x )
+ -
1 i h n sau :
ớ ạ
)
(
+
x
1
ln 2 b. c. a. + 5 x 3 3 )3 (
ln 1 e. f. d. (
ln 3 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 lim
x
0 x - - x
+
x e e (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 (cid:0) lim
x
0 2 x 2 x )
+ -
1 (
ln 2 )
1 )
1 )
1
= - = a/ x +
x = - 3 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 lim
x
0 x x x (
+
x
ln 3
3
3 )
1 )
1 (
ln 4 )
1 (
ln 4 )
1 b/ c/ (
ln 3
sin 2 5 x + x x 5 x 3 3 3 + 3 x + + + x x x = = = 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 lim
x
0 lim 4
x
0 x x 3
= ,
2 x 4 x 3 ( )
+ + =
1 1 d/ , e/ x (
x
ln 3
x
3
sin 2
x
2
)
1
) (
2. 5 i h n sau ớ ạ 2 x 3 x 3 x - 2
x
( - - - e e 1 e e = = = x =
1.2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 lim
x
0 e
lim 5
0 x 2 x x e
5
2 e
x 1
+ -
1 1 )
1 a. b. c. + - - x e e 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 lim
x
0 x e
x 5 x Trang 18 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ 1
x f. d. e. - 1 x x (cid:0) (cid:0) lim
(cid:0) +(cid:0)
x lim
x
0 lim
x
0 os5
c
2
x sin 3
x �-�
�
xe
x
�
�
� )
1 )
1 a/ b/ (
ln 2
tan (
x
ln 2
x
2
tan
x
x 2 x 3 x x 3 x 2 + 2 x + x = = 2 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 x x 3 x 3 x 1
x - - - e 1 = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 lim 3
x
0 e
x 5 e
(
5 3 3
2
1
= - = -
)
x
5
5 1
5 .2 x e
5
2 1
x 1
x c/ d/ 2 - - - e 1 e 1 - - = = x x e =
1 1 3 lim
(cid:0) +(cid:0)
x lim
(cid:0) +(cid:0)
x lim
(cid:0) +(cid:0)
x (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim 3
x
0 x 3 x �
xe
�
� �
=
�
� � �
� �
� � � �
� �
e
1
=� �
1
� �
x
� � e/ f/ 2sin - 1 x x x = = = = 3 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim 3
x
0 os5
c
2
x 25
2 sin 3
x sin 3
x
3 x
5
2
2
x
4 5
� �
� �
25 2
� � i h n sau : ớ ạ ( )
2 sin a. b. c. d. 2 4 2 - - x c
osx - + t anx x c
2 (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
(cid:0) +(cid:0)
x lim
p
x 1
c x
os (cid:0) �
�
� �
�
� lim
p
x os3
x
x sin 3
x sin �
�
�
�
�
� �
�
2 2 cos
�
p
� �
�
-� �
x
�
4
� �
� ( ) a/ 2 2 - - - 2sin 2 sin x x x c
osx = = = 4 c
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
x
0 lim
x
0 lim
x
0 os3
x
x sin x b/ 2 - t anx (cid:0) lim
p
x sin
1
c x
os �
�
� Đ t : ặ 2 p �
.
�
�
p - 1 = = - - - - - t x =
x t t anx= cot t � � 2 2 1
c
osx =
2 1
sin t c
ost
sint cos p
1
� �
t
tan
� �
p
� � � �
-� �
t
2
� � . Khi 2 ( ) ( )
2 sin )
2 sin c/ . Đ t : ặ (
t
lim 6
t
0 ) 2sin tan p t
2 = = t
2
= - tan x 0 ; t anx t
� � � � (cid:0) lim
t
0 (cid:0) lim
p
x t
2 x 2
t 2 1
�
�
c
os
� �
=
�
� 2sin c
os t
2 t
2 t
2 +(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; t 0 (cid:0) = + = + = + t x 3 3 x (cid:0) lim
(cid:0) +(cid:0)
x lim
(cid:0) +(cid:0)
x + = = + x
��(cid:0)
( x 2 2 t
6 3 1
x 3
x 3
x (cid:0) (cid:0) 3
x 1
� �
+
t
3
� �
t
� � Trang 19 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹ d/ ) (
2 1 4 2 p (cid:0) (cid:0) (cid:0) x = +
t ; x ; t 0 (cid:0) 4 4 (cid:0) p - p (cid:0) - - (cid:0) x t 2 2 cos - - (cid:0) x lim
p
x +
4 = (cid:0)
4 (cid:0) = sin 2 2 cos
p � �
t
� �
� �
=
t sin c
ost+sint
sint �
�
�
�
�
� �
�
2 2 cos
x
�
. Đ t : ặ
p
� �
�
-� �
x
�
4
� �
� sin x (cid:0) (cid:0) � �-� � (cid:0) ) (
2 1 Do đó : + + 2sin 2sin c
os sin c
os - c
ost+sint t
2 t
2 t
2 = = = + 2 2 2 tan 2 sint t
2 2sin c
os c
os t
2 4
� �
t
t
2
2
t
2 t
2 V y : ậ o 4 - x + 2 2 (cid:0) (cid:0) lim
p
x t
2 �
=
�
� sin �
�
�
�
�
� �
�
2 2 cos
�
�=
lim 2 tan
�
p
� �
� �
t
-� �
x
�
4
� �
� Trang 20 Nguy n Đình S -ĐT:0985.270.218 ễ ỹGi
iả
=
2 log
�
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
Ầ
Ậ
H
b
, log
Ừ
log
ƯỚ
Ả
c t o thành c p s c ng thì
2 log
log
III. S D NG CÔNG TH C Đ I C S
Ứ Ổ Ơ Ố
Bài 1. Tính
log 16
a.
6
log
b.
d.
iả
2
Gi
3
1 log 4
2
Bài 2. Rút g n các bi u th c
ọ
+
b
a.
Gi
iả
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ậ
Ầ
Ả
Ừ
(
Bài 3. Trong m i tr
iả
Gi
1
2
Bài 4. Ch ng minh
ứ
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ả
Ậ
Ầ
IV. BÀI T P V SO SÁNH
Ậ Ề
Bài 1. Không dùng b ng s và máy tính .Hãy so sánh :
ố
Gi
iả
2
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ậ
Ả
Ầ
Gi
iả
Bài 3. Hãy ch ng minh :
Gi
iả
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ậ
Ả
Ầ
Bài 4. Hãy so sánh :
Gi
iả
HÀM S LO-GA-RÍT
I. Đ O HÀM :
Ố
Ạ
Bài 1. Tính đ o hàm các hàm s sau :
)
2 x
e
iả
)
=
2
e
Gi
+
x
2
(
2 s inx-cosx
) (
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ậ
Ầ
Ả
Bài 2. Tính đ o hàm các hàm s sau :
)
(
-� �
4
x
� �+� �
4
x
iả
)
)
)
(
(
(
Gi
2
x x
+
2
x
II. GI
I H N
Bài 1. Tìm các gi
(
ln 3
(
ln 3
sin 2
x
x
1
e
+ -
1 1
x
iả
Gi
(
+
x
ln 2
2
2
Bài 2. Tìm các gi
(
ln 2
tan
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ả
Ậ
Ầ
Gi
iả
Bài 3. Tìm các gi
Gi
iả
4 cos .sin
x
x
sin
H
NG D N GI I BÀI T P LŨY TH A VÀ LO GA RÍT
ƯỚ
Ừ
Ả
Ầ
Ậ
p
