Tài liệu tóm tắt lý thuyết tứ giác nội tiếp và hướng dẫn giải bài 53,54,55,56,57,58,59,60 trang 89,90 SGK Toán 9 tập 2 sẽ giúp các em ôn tập, biết định nghĩa tứ giác nội tiếp, tính chất về góc của tứ giác nội tiếp, kỹ năng sử dụng được tính chất của tứ giác nội tiếp trong làm toán và thực hành. Mời các em cùng tham khảo.
Đáp án và Giải bài 53, 54, 55, 56, 57 trang 89; Bài 58, 59, 60 trang 90 SGK Toán 9 tập
2: Tứ giác nội tiếp – Chương 3 hình học.
A. Tóm tắt lý thuyết bài Tứ giác nội tiếp
1. Định nghĩa
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt
là nội tiếp đường tròn)
2. Định lí
Trong một tứ giác nôị tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 ABCD nội tiếp đường tròn
(O)
⇒
3. Định lí đảo
Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn
B. Hướng dẫn giải bài tập trong SGK Bài Góc nội tiếp Toán 9 tập 2 phần hình học trang
89, 90
Bài 53 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học
Trang | 1
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bẳng sau (nếu có thể)
Đáp án và hướng dẫn giải bài 53:
– Trường hợp 1:
Ta có ∠A + ∠C = 180o => ∠C = 180o – ∠A= 180o – 80o = 100o
∠B + ∠D = 180o => ∠D = 180o – ∠B= 180o – 70o = 110o
Vậy điểm ∠C =100o , ∠D = 110o
– Trường hợp 2:
∠A + ∠C = 180o => ∠A = 180o – ∠C = 180o – 105o = 75o
∠B + ∠D = 180o => ∠B = 180o – ∠D= 180o – 75o = 105o
– Trường hợp 3:
∠A + ∠C = 180o => ∠C = 180o – ∠A = 180o – 60o = 120o
∠B + ∠D = 180o => Chẳng hạn chọn ∠B = 70o ; ∠D= 110o
– Trường hợp 4: ∠D = 180o – ∠B= 180o – 40o = 140o
Còn lại ∠A + ∠C = 180o Chẳng hạn chọn ∠A = 100o ,∠B = 80o
– Trường hợp 5: ∠A = 180o – ∠C = 180o – 74o = 106o
∠B = 180o – ∠D = 180o – 65o = 115o
– Trường hợp 6: ∠C = 180o – ∠A = 180o – 95o = 85o
∠CB= 180o – ∠D = 180o – 98o = 82o
Trang | 2
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Vậy điền vào ô trống ta được bảng sau:
Bài 54 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học
Tứ giác ABCD có ∠ABC + ∠ADC = 180o. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD,
AB cùng đi qua một điểm.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 54:
Ta có Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện bằng 180o (∠ABC + ∠ADC = 180o)nên nội tiếp
đường tròn tâm O, ta có
⇒ OA = OB = OC = OD = bán kính (O)
⇒ O thuộc các đường trung trực của AC, BD, AB
Vậy các đường đường trung trực của AB, BD, AB cùng đi qua O.
Bài 55 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết ∠DAB = 80o, ∠DAM = 30o, ∠BMC =
70o.
Hãy tính số đo các góc ∠MAB, ∠BCM, ∠AMB, ∠DMC, ∠AMD, ∠MCD
và ∠BCD.
Trang | 3
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Đáp án và hướng dẫn giải bài 55:
Ta có: ∠MAB=∠DAB – ∠DAM = 80o – 30o = 50o (1)
– ∆MBC là tam giác cân (MB= MC) nên ∠BCM =( 180o – 70o )/2 = 55o (2)
– ∆MAB là tam giác cân (MA=MB) nên ∠MAB = 50o (theo (1))
Vậy ∠AMB = 180o – 2. 50o = 80o
∠BAD =1/2 sđBCD (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn)
=> sđBCD = 2 ∠BAD = 2. 80o = 160o
Mà sđBC = ∠BMC = 70o (số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn)
Vậy cung DC = 160o – 70o = 90o (vì C nằm trên cung nhỏ BD)
Suy ra ∠DMC = 90o (4)
∆MAD là tam giác cân (MA= MD)
Suy ra ∠AMD = 180o – 2.30o = 120o (5)
∆MCD là tam giác vuông cân (MC= MD) và ∠DMC = 90o
Suy ra ∠MCD = ∠MDC = 45o (6)
∠BCD = 100o theo (2) và (6) và vì CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD.
Bài 56 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học
Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD
Đáp án và hướng dẫn giải bài 56:
Tam giác ABF có ∠A + ∠B + ∠F = 1800
⇔ ∠A = 1800 – ∠B – ∠F
=1800 – ∠B -200 = 160 – ∠B (1)
Trang | 4
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Tam giác ADE có ∠A + ∠D + ∠E = 1800
⇔ ∠A = 1800 – ∠D – ∠E = 1800 – ∠D – 400 =1400 -∠D (2)
Công (1) và (2) ta có 2∠A = 1600 – ∠B + 1400 – ∠D = 3000 – (∠B +∠D)
Mà (∠B +∠D) = 1800 nên 2∠A =3000 – 1800 = 1200 ⇔ ∠A =600
Từ (1) ⇒ ∠B = 1600 – ∠A = 1600 – 600 = 1000
Từ (2) ⇒ ∠D = 1400 – ∠A = 1400 – 600 = 800
Ngoài ra ∠A + ∠C = 1800 nên ∠C = 1800 – ∠A = 1800 – 600 = 1200
Bài 57 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học
Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được một đường tròn:
Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân ?
Vì sao?
Đáp án và Hướng dẫn giải bài 57:
Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không
bằng 180o.Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật (hay hình vuông) thì nội
tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là 90o + 90o = 180o
Hình thang nói chung, hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn.
Hình thang cân ABCD (BC= AD) có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau ∠A = ∠B, ∠C = ∠D; mà ∠A +
∠D = 180o (hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD với AB// CD),suy ra ∠A + ∠C =
180o . Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng 180o nên nội tiếp được đường
tròn.
Bài 58 trang 90 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học
Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho
Trang | 5
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
DB = DC và ∠DCB =1/2∠ACB.
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.
Đáp án và Hướng dẫn giải:
a) Theo giả thiết, ∠DCB = 1/2 ∠ACB = 1/2. .60o = 30o
∠ACD = ∠ACB + ∠BCD (tia CB nằm giữa hai tia CA, CD)
=> ∠ACD = 60o + 30o = 90o (1)
Do DB = CD nên ∆BDC cân => ∠DBC = ∠DCB = 30o
Từ đó ∠ABD = 60o + 30o = 90o (2)
Từ (1) và (2) có ∠ACD + ∠ABD = 180o nên tứ giác ABDC nội tiếp được.
b) Vì ∠ABD = 90o nên ∠ABD là góc nội tiếp chăn nửa đường tròn đường kính AD, tâm O là
trung điểm của AD.
Tương tự ∠ACD = 90o, nên ∠ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD.
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD với tâm O là trung điểm của AD.
Bài 59 trang 90 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học
Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác
C. Chứng minh AP = AD
Trang | 6
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Đáp án và Hướng dẫn giải bài 59:
Do tứ giác ABCP nội tiếp nên ta có: ∠BAP + ∠BCP = 180o (1)
Ta lại có: ∠ABC + ∠BCP = 180o (2) (hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến CB và AB //
CD)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠BAP = ∠ABC Vậy ABCP là hình thang cân, suy ra AP = BC (3)
nhưng BC = AD (hai cạnh đối đỉnh của hình bình hành) (4)
Từ (3) và (4) suy ra AP = AD.
Bài 60 trang 90 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học
Xem hình 48. Chứng minh QR // ST.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 60:
Ta có tứ giác ISTM nội tiếp đường tròn nên: ∠S1 + ∠M = 180o
Mà ∠M1 + ∠M3 = 180o (kề bù)
nên suy ra ∠S1 = ∠M3 (1)
Tương tự từ các tứ giác nội tiếp IMPN và INQS ta được
∠M3 = ∠N4 (2)
∠N4 = ∠R2 (3)
Trang | 7
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Từ (1), (2), (3) suy ra do đó QR // ST.
- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 6 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH. Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…
- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.
- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.
Trang | 8
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
