CH NG 1- H TH C L NG TRONG TAM GIÁC VUÔNGƯƠ Ệ Ứ ƯỢ
H th c v c nh và đng caoệ ứ ề ạ ườ
KI N TH C C B NẾ Ứ Ơ Ả
Khi gi i các bài toán liên quan đn c nh và đng cao trong tam giác vuông, ngoài vi c n m v ng các ả ế ạ ườ ệ ắ ữ
ki n th c v đnh lý Talet, v các tr ng h p đng d ng c a tam giác, c n ph i n m v ng các ki n ế ứ ề ị ề ườ ợ ồ ạ ủ ầ ả ắ ữ ế
th c sau:ứ
Tam giác
A BC
vuông t i ạ
A
, đng cao ườ
A H
, ta có:
1)
2 2 2
a b c= +
.
2)
2 2
. '; . 'b a b c a c= =
3)
2
'. 'h b c=
4)
. .a h b c=
.
5)
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
.
6)
. Chú ý: Di n ệ
tích tam giác vuông:
1
2
S ab=
Ví d 1. ụCho tam giác
A BC
vuông t i ạ
A
, đng cao ườ
A H
. Bi tế
: 3 : 4A B A C =
và
21A B A C cm+ =
.
a) Tính các c nh c a tam giác ạ ủ
A BC
.
b) Tính đ dài các đo n ộ ạ
, ,A H BH CH
.
Gi i:ả
a). Theo gi thi t: ả ế
: 3 : 4A B A C =
,
suy ra
3
3 4 3 4
A B A C A B A C+
= = =
+
. Do đó
3.3 9A B = =
( )
cm
;
( )
3.4 12A C cm= =
.
Tam giác
A BC
vuông t i ạ
A
, theo đnh lý Pythagore ta có:ị
2 2 2 2 2
9 12 225BC A B A C= + = + =
, suy ra
15BC cm=
.
b'
c'
h
c
b
a
H
C
B
A
A
B
C
H
b) Tam giác
A BC
vuông t i ạ
A
, ta có
. .A H BC A B A C=
, suy ra
( )
. 9.12 7, 2
15
A B A C
A H cm
BC
= = =
.
2
.A H BH HC=
. Đt ặ
( )
0 9BH x x= < <
thì
15HC x= -
, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
22
7, 2 15 15 51, 84 0 5, 4 9, 6 5, 4 0x x x x x x x= - ￛ - + = ￛ - = - =
( ) ( )
5, 4 9, 6 0 5, 4x x xￛ - - = ￛ =
ho c ặ
9, 6x=
(lo i) V y ạ ậ
5, 4BH cm=
.
T đó ừ
( )
9, 6HC BC BH cm= - =
.
Chú ý: Có th tính ể
BH
nh sau:ư
2
.A B BH BC=
suy ra
( )
2 2
95, 4
15
A B
BH cm
BC
= = =
.
Ví d 2: ụCho tam giác cân
A BC
có đáy
2BC a=
, c nh bên b ngạ ằ
( )
b b a>
.
a) Tính di n tích tam giác ệ
A BC
b) D ng ự
BK A C^
. Tính t s ỷ ố
A K
A C
.
Gi i:ả
a). G i ọ
H
là trung đi m c a ể ủ
BC
. Theo đnh lý Pitago ta có:ị
2 2 2 2 2
A H A C HC b a= - = -
Suy ra
2 2
1 1
.
2 2
A B C
S BC A H a b a= = -
2 2
A H b aￛ = -
b). Ta có
1 1
. .
2 2
A B C
BC A H BK A C S= =
Suy ra
2 2
. 2BC A H a
BK b a
A C b
= = -
. Áp d ng đnh lý Pitago trong tam giác vuông ụ ị
A KB
ta có:
( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
4b a
a
A K A B BK b b a
b b
-
= - = - - =
. Suy ra
2 2
2b a
A K b
-
=
do đó
2 2
2
2b a
A K
A C b
-
=
.
K
H
C
B
A
Ví d 3: ụCho tam giác
A BC
v i các đnh ớ ỉ
, ,A B C
và các c nh đi di n ạ ố ệ
v i các đnh t ng ng là: ớ ỉ ươ ứ
, ,a b c
.
a) Tính di n tích tam giác ệ
A BC
theo
a
b) Ch ng minh: ứ
222
4 3a b c S+ + ￛ
Gi i:ả
a). Ta gi s góc ả ử
A
là góc l n nh t c a tam giácớ ấ ủ
,A BC B Cￛ
là các góc nh n. Suy ra chân ọ
đng cao h t ườ ạ ừ
A
lên
BC
là đi m ể
H
thu c c nh ộ ạ
BC
.
Ta có:
BC BH HC= +
. Áp d ng đnh lýụ ị
Pi ta go cho các tam giác vuông
,A HB A HC
ta có:
2 2 2 2 2 2
,A B A H HB A C A H HC= + = +
Tr hai đng th c trên ta có:ừ ẳ ứ
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
.c b HB HC HB HC HB HC a HB HC- = - = + - = -
2 2
c b
HB HC a
-
ￛ - =
ta cũng
có:
2 2 2
2
a c b
HB HC a BH a
+ -
+ = ￛ =
. Áp d ng đnh lý Pitago cho tam giác vuôngụ ị
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
a c b a c b a c b
A HB A H c c c
a a a
ￛ ￛ ￛ ￛￛ ￛ
+ - + - + -
ￛ ￛ ￛ
ￛ ￛ ￛ
ￛ ￛ ￛ
ￛ = - = - +
ￛ ￛ ￛ
ￛ ￛ ￛ
ￛ ￛ ￛ
ￛ ￛ ￛ
ￛ ￛ ￛ
ￛ ￛ ￛ ￛￛ ￛ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
.
2 2 4
a c b b a c a b c a c b b a c b c a
a a a
ￛ ￛ ￛ 
+ - - - + + + - + - + -
ￛ ￛ ￛ 
ￛ ￛ ￛ 
= =
ￛ ￛ ￛ 
ￛ ￛ ￛ 
ￛ ￛ ￛ 
Đt ặ
2p a b c= + +
thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
16 2
4
p p a p b p c
p p a p b p c
A H A H a
a
- - -
- - -
= ￛ =
. T đó tính đcừ ượ
( ) ( ) ( )
1.
2
S BC A H p p a p b p c= = - - -
H
C
B
A
b). T câu ừ
)a
ta có:
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c= - - -
. Áp d ng b t đng th c Cô si ta có:ụ ấ ẳ ứ
( ) ( ) ( )
33
3 27
p a p b p c p
p a p b p c ￛ ￛ
- + - + - ￛ
ￛￛ
- - - ￛ =
ￛￛ
ￛￛ
ￛ
ￛ ￛ
. Suy ra
3 2
.27 3 3
p p
S pￛ =
. Hay
( )
2
12 3
a b c
S+ +
ￛ
. M t khác ta d ch ng minh đc: ặ ễ ứ ượ
( )
( )
22 2 2
3a b c a b c+ + ￛ + +
suy ra
( )
2 2 2
2 2 2
3
4 3
12 3
a b c
S a b c S
+ +
ￛ ￛ + + ￛ
D u b ng x y ra hki và ch khi tam giác ấ ằ ả ỉ
A BC
đu.ề
Ví d 4. ụCho tam giác nh n ọ
A BC
đng cao ườ
CK
;
H
là tr c tâm c a ự ủ
tam giác. G i ọ
M
là m t đi m trên ộ ể
CK
sao cho
?
0
90A MB =
.
1 2
, ,S S S
theo th t là di n tích các tam giác ứ ự ệ
,A MB A BC
và
A BH
. Ch ng minh ứ
r ng ằ
1 2
.S S S=
.
Gi i:ả
Tam giác
A MB
vuông t i ạ
M
có
MK A B^
nên
2
.MK A K BK=
(1).
A HK CBKD D:
vì có
?
?
0
90A KH CKB= =
;
?
?
KA H KCB=
(cùng ph v i ụ ớ
?
A BC
). Suy ra
A K HK
CK BK
=
, do đó
. .A K KB CK KH=
(2)
T (1) và (2) suy ra ừ
2
.MK CK HK=
nên
.MK CK HK=
;
1 2
1 1 1 1
. . . . . . .
2 2 2 2
A MB
S A B MK A B CK HK A B CK A B HK S S= = = =
.
V y ậ
1 2
.S S S=
.
Ví d 5. ụCho hình thang
A BCD
có
?
?
?
0 0
90 , 60 , 30 ,A D B CD cm CA CB= = = = ^
. Tính di n tích c a hình ệ ủ
thang.
Gi i:ả
D
K
M
H
C
B
A
Ta có
?
?
0
60CA D A BC= =
(cùng ph v i ụ ớ
?
CA B
), vì th trong tam giác vuông ế
A CD
ta có
2A C A D=
.
Theo đnh lý Pythagore thì: ị
2 2 2
A C A D DC= +
hay
( )
22 2
2 30A D A D= +
Suy ra
2 2
3 900 300A D A D= ￛ =
nên
10 3A D =
( )
cm
.
K ẻ
CH A B^
. T giác ứ
A HCD
là hình ch nh t vì có ữ ậ
?
?
?
0
90A D H= = =
, suy ra
( )
30 ; 10 3A H CD cm CH A D cm= = = =
.
Tam giác
A CB
vuông t i ạ
C
, ta có:
2
.CH HA HB=
, suy ra
( )
( )
2
2
10 3 300 10
30 30
CH
HB cm
HA
= = = =
,
do đó
( )
30 10 40A B A H HB cm= + = + =
.
( ) ( )
( )
2
1 1 .10 3. 40 30 350 3
2 2
A BCD
S CH A B CD cm= + + =
.
V y di n tích hình thang ậ ệ
A BCD
b ng ằ
2
350 3cm
.
T s l ng giác c a góc nh nỉ ố ượ ủ ọ
KI N TH C C B NẾ Ứ Ơ Ả
1. Các t s l ng giác c a góc nh n ỉ ố ượ ủ ọ
a
(hình) đc đnh nghĩa nh sau:ượ ị ư
sin ; cos ; t an ; cot
A B A C A B A C
BC BC A C A B
a a a a
= = = =
+ N u ế
a
là m t góc nh n thì ộ ọ
0 sin 1; 0 cos 1;
a a
< < < <
tan 0;cot 0
a a
> >
2. V i hai góc ớ
,
a b
mà
0
90
a b
+ =
,
ta có:
sin cos ;cos sin ; t an cot ; cot tan
a b a b a b a b
= = = =
.
N u hai góc nh n ế ọ
a
và
b
có
sin sin
a b
=
ho c ặ
cos cos
a b
=
thì
a b
=
.
3.
2 2
sin cos 1; . cot 1tg g
a a a a
+ = =
.
α
C nh điạ ố
C nh huy nạ ề
C nh k ạ ề
C
B
A