ƯƠ Ứ ƯỢ CH Ệ NG 1 H TH C L NG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
ệ ứ ề ạ ườ H th c v c nh và đ ng cao
Ứ Ơ Ả Ế KI N TH C C B N
ữ
ả i các bài toán liên quan đ n c nh và đ ợ ứ ề ị ế ạ ườ ề ườ ng cao trong tam giác vuông, ngoài vi c n m v ng các ồ ệ ắ ữ ả ắ ủ ế ạ ầ ng h p đ ng d ng c a tam giác, c n ph i n m v ng các ki n
Khi gi ế ki n th c v đ nh lý Talet, v các tr ứ th c sau:
A
2
ườ ng cao Tam giác A BC vuông t i ạ A , đ A H , ta có:
2 2 = + .
2
1) a b c
b
c
h
2
= = 2) 2 b a b c . '; a c . '
b'
H
c'
C
3) h b c= '. '
B
a
4) a h . b c= . .
2
5) = + . 1 2 c 1 2 h 1 2 b
2
6) = . Chú ý: Di n ệ 'b a b a
tích tam giác vuông: S 1 ab= 2
+
=
A C
A B
ườ ng cao tế A H . Bi
i ạ A , đ . cm Ví d 1. ụ Cho tam giác A BC vuông t A B A C = và 21 3 : 4 :
ủ ạ a) Tính các c nh c a tam giác A BC .
A
, , ạ ộ b) Tính đ dài các đo n A H BH CH .
H
C
B
Gi i:ả
ả ế a). Theo gi thi t: , A B A C = : 3 : 4
= = A C cm 3.4 12 = = = suy ra . Do đó . 3 A B = 3.3 = ( 9
) cm ;
(
)
A B 3 A C 4 A B 3 A C+ + 4
2
2
2
2
ị Tam giác A BC vuông t i ạ A , theo đ nh lý Pythagore ta có:
2 = + 9
, suy ra . BC cm= 15 = + = BC A B A C 12 225
= = = = , suy ra . b) Tam giác A BC vuông t i ạ A , ta có A H cm A H BC . A B A C . 7, 2
(
)
2
A B A C . BC 9.12 15
= BH x x 0 . Đ t ặ , ta có: HC x = - 15
(
) < < thì 9
2
2
= A H BH HC .
= - ￛ - + - = - = x x x x 7, 2 15 x 15 51, 84 = ￛ 0 5, 4 9, 6 5, 4 0
(
)
(
)
( x x
)
(
)
ￛ - - = = x x x x = BH cm 5, 4 9, 6 = ￛ 0 5, 4 9, 6 5, 4 ạ ậ ho c ặ (lo i) V y .
(
) (
)
= = HC - BC BH cm 9, 6 T đó ừ .
(
)
2
2
ể ư Chú ý: Có th tính BH nh sau:
suy ra . = = = BH cm 5, 4 = A B BH BC .
(
)
29 15
A B BC
ạ BC ằ a= , c nh bên b ng 2
Ví d 2: ụ Cho tam giác cân A BC có đáy ( b b
) a> .
ệ a) Tính di n tích tam giác A BC
^ b) D ng ự . Tính t ỷ ố s . BK A C A K A C
Gi i:ả
2
2
2
2
A
ể a). G i ọ H là trung đi m c a ị ủ BC . Theo đ nh lý Pitago ta có:
2 = - b
2
2
= - A H A C HC a
A BCS
2
2
K
= = - Suy ra a b a BC A H . 1 2 1 2
H
ￛ = - A H b a
A BC
C
B
2
2
= = b). Ta có S BC A H . BK A C . 1 2 1 2
2
2
2
2
ụ ị = - = Suy ra . Áp d ng đ nh lý Pitago trong tam giác vuông BK b a A KB ta có: BC A H . A C a 2 b
22 a
- b - b a 2
(
) 2
2
2
2
2
2
2 = - b
. Suy ra do đó = A K = - - = A K A B BK b a
(
)
2
2
2
b a 4 2 b b
2
- b a 2 . = A K A C b
, ỉ ệ ạ ố ,A B C và các c nh đ i di n
ươ ứ ỉ Ví d 3: ụ Cho tam giác A BC v i các đ nh ớ v i các đ nh t ng ng là: ớ , ,a b c .
2
2
2
ệ a) Tính di n tích tam giác A BC theo a
ứ b) Ch ng minh: + + ￛ a b c S 4 3
A
Gi i:ả
ả ử ấ ủ ớ a). Ta gi s góc A là góc l n nh t c a tam giác
ￛ A BC B C , ọ là các góc nh n. Suy ra chân
H
B
C
ườ đ ng cao h t ạ ừ A lên BC là đi m ể
=
ộ ạ H thu c c nh BC .
+ BH HC
ụ ị Ta có: B C . Áp d ng đ nh lý
2
2
2
2
2
Pi ta go cho các tam giác vuông
2 HB A C ,
, = + = + A HB A HC ta có: A B A H A H HC
2
2
2
2
2
2
ừ ứ ẳ Tr hai đ ng th c trên ta có:
c b - = - = + - = c b HB HC - a HB HC . ta cũng ￛ =
(
) ( HB HC HB HC
)
(
)
2
2
- HB HC - a
2 + - c a 2
2
2
2
2
2
2
b a ụ ị có: . Áp d ng đ nh lý Pitago cho tam giác vuông = + HB HC = ￛ a BH
2
2 = - c
2 + - c a 2
2 + - c a 2
2 + - c a 2
2 ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ
2
2
a b a b a b ￛ + A HB A H ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ = - ￛ c ￛ ￛ ￛ ￛￛ ￛ ￛ ￛ ￛ c ￛ ￛ ￛ ￛ ￛￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ
2
2
- - a b c a a + + b + - c + - a + - c a
)
(
) ( c a
) ( c b
)
2
= = a . Đ t ặ 2p = + + b c
) + - c a 2
( a 2
) ( b b a 4
ￛ ( ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ b ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ
- - - c - - - c 16
( p p
) ( a p
) ( b p
)
( p p
) ( b p
)
2
2
ừ thì . T đó tính đ ượ c = ￛ = A H A H 2 a
) ( a p a 4
= = - - - S c BC A H .
( p p
) ( a p
) ( b p
)
1 2
= - - - ấ ẳ ụ ứ ừ b). T câu )a ta có: . Áp d ng b t đ ng th c Cô si ta có: S c
( p p
) ( a p
) ( b p
)
3
3
2
3
- + - + - p p a p b p c ￛ = - - - ￛ = S p . Suy ra . Hay . p c
(
) ( a p
) ( b p
)
2
p 27 3 p 27 ￛ ￛ ￛ ￛ ￛￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ 3 3
a + + b c
(
) 2
2
2
ễ ứ ặ ￛ . M t khác ta d ch ng minh đ a + + b c a b 3 ￛ S ượ ( c:
)
(
) 2 + + suy ra c
2
2
12 3
2 + + b
a c 3
(
)
2
2
2
ￛ ￛ + + ￛ S a b c S 4 3 12 3
ấ ằ ả ỉ D u b ng x y ra hki và ch khi tam giác A BC đ u.ề
ự ủ CK ; H là tr c tâm c a Ví d 4. ụ Cho tam giác nh n ọ A BC đ
090
, ể ộ . tam giác. G i ọ M là m t đi m trên S S S , 1 2 A MB =
ứ ự ệ ứ theo th t là di n tích các tam giác ườ ng cao CK sao cho ? A MB A BC và A BH . Ch ng minh ,
A
= S r ng ằ . S S 2. 1
D
M
Gi i:ả
2
Tam giác A MB vuông t i ạ M có
H
^ nên (1). MK A B = MK A K BK .
B
C
K
vì có D A HK CBK D:
090
? ; ? = = ? = A KH CKB KA H ? KCB
2
= = (cùng ph v i , do đó (2) A K KB . CK KH . ụ ớ ?A BC ). Suy ra A K CK HK BK
ừ T (1) và (2) suy ra nên ; = = MK CK HK . MK CK HK .
A MB
. = = = = S A B CK HK A B MK . . . . . . S S 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A B CK A B HK . 2
= S V y ậ . S S 2. 1
0 60 ,
ủ ệ . Tính di n tích c a hình = = ^ Ví d 5. ụ Cho hình thang A BCD có ? ? = = A D ?0 B CD cm CA CB 90 , 30 ,
thang.
Gi i:ả
060
? (cùng ph v i A CD ta có A C A D= 2 = = CA D A BC ụ ớ ?CA B ), vì th trong tam giác vuông ế
2
2
2
2
Ta có ? .
2 30
ị Theo đ nh lý Pythagore thì: + = + A D= A D 2 A C A D DC hay (
) 2
2
2
Suy ra nên = ￛ =
(
) cm .
A D A D 3 900 300 A D = 10 3
090
ứ ữ ậ ^ . T giác , suy ra K ẻ CH A B = = = ? ? ? A D H
= = = = A H CD A D cm . 30 cm CH ; 10 3 A HCD là hình ch nh t vì có (
)
2
2
2
10 3
)
(
, , suy ra Tam giác A CB vuông t i ạ C , ta có: = CH HA HB . = = = = HB cm 10
(
)
CH HA 30 300 30
= = + = A B + A H HB cm 10 30 40 do đó .
(
)
= + + = . S CH A B CD cm .10 3. 40 30 350 3
(
)
(
)
(
)2
A BCD
2
1 2 1 2
ệ ậ V y di n tích hình thang A BCD b ng ằ 350 3cm .
ỉ ố ượ ủ ọ T s l ng giác c a góc nh n
Ứ Ơ Ả Ế KI N TH C C B N
ỉ ố ượ ủ ượ ị ư 1. Các t s l ng giác c a góc nh n ọ a (hình) đ c đ nh nghĩa nh sau:
= = = = a a a sin ; cos ; t an a ; cot B A B BC A C BC A B A C A C A B
ạ
ề C nh huy n
ạ
ố C nh đ i
ọ + N u ế a là m t góc nh n thì ộ
α
A
C
< < < < a a 0 sin 1; 0 cos 1;
ạ
ề C nh k
> > a a t an 0; cot 0
090
ớ 2. V i hai góc ,a b mà , a b+ =
= = = = a b a b a cos ; cos sin ; t an cot b a ; cot t an ta có: sin b .
2
2
a a b= sin b= cos ế N u hai góc nh n ọ a và b có sin ho c ặ cos thì a b= .
+ = 3. a a a tg a g sin cos 1; . cot = . 1
0
0
0
0
ặ ớ ệ ộ ố 4. V i m t s góc đ c bi t ta có: = = = = sin 30 cos 60 ; sin 45 cos 45 2 2 1 2
0
0
0
0
0
0
0
0
1 = = = = . cos 30 sin 60 ; cot 60 t an 30 = = = = t an 45 cot 45 1; cot 30 t an 60 3 3 2 3
t ế a = . Tính cos , t ana a và cot a. Ví d 1. ụ Bi sin 5 13
C
Gi i:ả
vuông t Cách 1. Xét A BCD i ạ A .
α
A
B
a = sin Đ t ặ ?B a= . Ta có: A C BC 5 = 13
= suy ra = , do đó k A C 5 BC 13
2
2
2
2
2
2
= = A C k BC 5 , k 13 . Tam giác A BC vuông t i ạ A nên:
, suy ra . = - = - = A B k= 12 A B BC A C k 13 k 5 k 144
(
)
(
)
2
2
2
= = = = = V y ậ a = a = a = cos t an ; cot A B BC A C A B A B A C k 12 k 13 12 = ; 13 k 5 k 12 5 12 k 12 k 5 12 5
2
2
Cách 2. Ta có , mà a = sin sin + = , do đó a a sin cos 1 5 a = suy ra 13 25 169
= , suy ra a a cos = - 1 sin = - 1 cos 25 169 144 169 12 a = . 13
= = = = = = a a t an cot a a a a sin cos 5 12 : 13 13 5 13 . 13 12 5 = ; 12 cos sin 12 5 : 13 13 12 13 . 13 5 12 = . 5
ả ứ ấ ể ạ cách gi
2
2
2
ủ cos , t an , cot i th nh t ta bi u th đ dài các c nh c a tam giác ỉ ố ượ ng ứ ủ ể ọ Ở ị đ nh nghĩa t s l ị ộ ng giác c a góc nh n đ tính a a a. ạ ượ A BC theo đ i l ả Ở cách gi ồ ử ụ k r i s d ng ử ụ i th hai, ta s d ng
ả ế ể gi thi t cosa t ừ a = đ tính sin + = . Sau đó ta tính t an a và a a sin cos 1 ồ sin a r i tính 5 13
cot a qua sin a và cosa.
ườ ắ ng cao
A
. ứ ằ t ế . Ch ng minh r ng A D và BE c t nhau tgB tgC = . 3 Ví d 2. ụ Cho tam giác nh n ọ A BC hai đ i ạ H . Bi t HD HA = : 1 : 2
E
H
C
B
D
Gi i:ả
2
= = Ta có: . tgB tgC ; A D BD A D CD
Suy ra (1) = C B t an . t an A D BD CD .
090
? (cùng ph v i . = = ? = HBD CA D ụ ớ ?A CB ); ? HDB ? A DC
2
ừ = = (g.g), suy ra , do đó (2). T (1) và (2) suy ra Do đó BDH D A DC D: BD DC . DH A D . DH DC BD A D
= ả ế (3). Theo gi thi t = suy ra hay = = C B t an . t an 1 + HD + A H HD 1 2 HD A H 1 2 A D DH A D DH A D .
ượ = = , suy ra . Thay vào (3) ta đ c: A D C HD= 3 B t an . t an = . 3 HD 3 DH HD A D 1 3
t ế a a = . Tính sin , cosa a. Ví d 3. ụ Bi sin . cos 12 25
Gi i:ả
ể ầ ả ươ ớ ẩ a Bi t ế sin , cosa a ta c n tính ồ r i gi i ph ng trình v i n là sin a+ cos sin . cos 12 a a = . Đ tính 25
2
2
sin a ho c ặ cosa.
+ = + + = . Suy ra a a a a a a sin cos sin cos 2 sin . cos = + 1 2. sin a+ cos Ta có: (
) 2 a
2
12 25 49 25 7 = 5
2
- = - = ￛ a a cos cos cos cos ừ nên . T đó ta có: a a sin cos 12 25 7 5 12 25 ￛￛ ￛ a ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ a ￛ ￛ ￛￛ 7 = - 5
- + = ￛ - - - = ￛ a a a a 25 cos 35 cos 12 0 5 cos 5 cos 4 4 0
)
( 3 5 cos
)
7 5 ( a
- - ￛ a a 5 cos 3 0 = . Suy ra cos cos
(
) ( 4 5 cos
)
4 a = ho c ặ 5 3 a = . 5
+ N u ế a = cos sin 4 a = thì 5 12 4 : 25 5 3 = . 5
+ N u ế a = cos sin 3 a = thì 5 12 3 : 25 5 4 = . 5
= V y ậ a = , a a sin cos sin , cos 3 5 4 a = ho c ặ 5 4 5 3 = . 5
ệ ứ ề ạ H th c v c nh và góc trong tam giác vuông.
Ứ Ơ Ả Ế KI N TH C C B N
ỗ ạ ằ ộ 1. Trong m t tam giác vuông, m i c nh góc vuông b ng:
ạ ề a) C nh huy n nhân v i ớ cos in góc k .ề ố ớ sin góc đ i hay nhân v i
ố = = = = = = ạ a gC C B a c gC b) C nh góc vuông kia nhân v i a b . sin ớ cot c a góc k . ủ ớ t an c a góc đ i hay nhân v i ề = = c B b ; . cot ủ a . cos b tgC . c tgB . C c ; . sin cos ; b . cot
ả ấ ả ư ạ ế ủ 2. Gi i tam giác vuông là tìm t t c các c nh và các góc ch a bi t c a tam giác vuông đó.
060
= A B A C 16, = và ? 14 . Ví d 1. ụ Cho tam giác A BC có B =
ạ ộ a) Tính đ dài c nh BC
A
ệ b) Tính di n tích tam giác A BC .
Gi i:ả
0
ẻ ườ a). K đ ng cao A H .
C
H
0
= = = = Xét tam giác vuông A BH , ta có: BH A B . cos . cos 60 16. 8 A B 600 1 2 B B
ụ ị . Áp d ng đ nh lý Pythagore vào tam giác vuông = = = = A H A B B A B . sin . sin 60 16. 8 3 3 2
2
2
2
A HC ta có:
214
= - = - - = = . Suy ra HC A C A H 8 3 196 192 4 HC = . V yậ 2
) 2
= BC + CH HB
( = + = . 10 8
2
A BCS
= = = b) Cách 1. (đvdt) BC A H . .10.8 3 40 3 1 2 1 2
A BCS
0
Cách 2. (đvdt) = = = B BC BA . . sin .10.16. 40 3 1 2 1 2 3 2
?0 t ế ? bán A BC bi ệ Ví d 2: ụ Tính di n tích tam giác = = A BC A CB 45 , 60
ườ kính đ ạ ế ng tròn ngo i ti p tam giác A BC là R .
A
Gi i:ả
ả ế ặ ố ệ Gi thi t có các góc có s đo đ c bi ư t , nh ng tam
ườ ẽ ạ ng nên ta s t o ra tam giác A BC là tam giác th
600
450
B
C
H
ự ằ ườ giác vuông b ng cách. D ng các đ ng
D
ẳ ầ ượ ớ th ng qua ,C B l n l t vuông góc v i
ủ ể ườ ng ,A C A B . G i ọ D là giao đi m c a hai đ
ẳ th ng trên. Khi đó tam giác A BD và A CD là các tam giác
A D
R= 2
0
, , , ằ ườ ườ vuông và 4 đi m ể A B C D cùng n m trên đ ng tròn đ ng kính .
ẻ ườ Ta có: . K đ ng cao ứ .T c là: A H suy ra H BCￛ = = = A B A D A D R . sin 60 . 3 3 2 = BC + BH CH . Tam giác A HB vuông góc t i ạ H nên
0
R 2 6 ặ . M t khác tam giác A CH vuông t i ạ H = = = = = A H BH A B A D . sin 45 . A B 2 3 2 2 2 2
2
2
2
+ R 1 2 R
(
)
= + ￛ = A C A H CH CH ừ ượ nên . T đó tính đ ệ c di n tích ￛ = BC 2 2
+ R 3
( 2 3
)
. = S 4
, ớ ệ ạ ố ,A B C và các c nh đ i di n
2
2
2
ươ ứ ứ ằ ỉ Ví d 3:ụ Cho tam giác A BC v i các đ nh ớ ng ng là: v i các đ nh t ỉ , ,a b c . Ch ng minh r ng:
a) = + - a b c A bc 2 cos
ườ ng phân giác trong góc b) G i ọ D là chân đ ứ A . Ch ng minh:
bc 2 . cos A 2 ￛￛ ￛ ￛ ￛ ￛ = AD + b ￛ ￛ ￛ ￛ ￛￛ c
B
Gi i:ả
BH c a tam giác
c
a
ABC ta có:
ườ ủ ự a). D ng đ ng cao
A
C
H
b
=
+ A H HC
ộ ạ Cách 1: Gi s ả ử H thu c c nh A C .
Ta có: A C .
ụ ị Áp d ng đ nh lý
2
2
2
2
2
Pi ta go cho các tam giác vuông
2 HB BC ,
, = + = + A HB BHC ta có: A B A H BH HC
ừ ứ ẳ Tr hai đ ng th c trên ta có:
2
2
2
2
2
2
c a - = - = + - = c a HA HC - b HA HC . ta cũng có: ￛ =
(
) ( HA HC HA HC
)
(
)
2
2
- HA HC - b
2 + - c b 2
2
2
a b = . Xét tam giác vuông A HB ta có: + HA HC = ￛ b A H
2
2
2
2 + - c bc 2
b a . = = ￛ = + - A a b c A cos bc 2 cos A H A B
2
2
2
2
2
2
2
Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có:
Ta có: = + = + = + + - BC BH HC BH - A C A H BH A H A C A C A H 2 .
(
) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
suy ra hay = A H CB A . cos = + + - BH A H A A C CB 2 . . cos BC 2 A C 2 ￛ = + + ￛ = + - - BC BA A C A a b c A A C CB 2 . . cos bc 2 cos
ể ứ ế ầ ả b). Đ ch ng minh bài toán ta c n k t qu sau:
= a a a + sin 2 2 sin . cos
0
= + S ab C sin 1 2
? ậ ậ ự ể ườ *) Th t v y xét tam giác vuông ng cao , g i ọ M là trung đi m c a ủ BC , d ng đ A H . A BC A = , 90
A
Đ t ặ ? . = = ￛ a A CB ? A MB a 2
b
h
H
α
= = a = C Ta có sin sin A H A C h b
2α
M
B
C
= = a = C cos cos A C BC b a
= a = ? A MH sin 2 sin ừ . T đó ta A H A M h 2 a
h = = a 2
= . a a a suy ra: sin 2 2 sin . cos
E
ự ườ ng cao *) Xét tam giác A BC . D ng đ BE ta có: A
A BCS
= = (1) BE A C . BE b . 1 2 1 2
B
ặ M t khác trong tam giác vuông A EB
C
= ￛ = A BE c A ta có: sin . sin BE A B
thay vào (1)
= Ta có: S ab C sin 1 2
A
ở ạ Tr l i bài toán:
A BD
1
21
b
= = S A A D c A D A B . sin . . sin Ta có A 2 1 2 1 2 ￛￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛￛ c
A CD
2
D
B
C
= = S A A D b A D A C . sin . . sin 1 2 1 2 A 2 ￛ ￛ ￛ ￛ ￛￛ ￛￛ ￛ ￛ ￛ ￛ
A CD
A BD
= + = S S S Suy ra A BC
A BCS
= + A D b sin ặ = ￛ . M t khác bc A sin 1 2 A 2 ￛ ￛ ￛ ￛ ￛￛ ￛￛ ￛ ￛ c ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ 1 2
bc 2 cos bc sin A 2 ￛ = = A D bc A A D sin sin + c b A 2 ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛￛ ￛ ￛ + = c b ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ + b c sin
(
)
2
2
A 2 A ￛ ￛ ￛ ￛ ￛￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ
0
ứ ượ ế ả Ta ch ng minh đ c k t qu sau: . Chú ý r ng:ằ = - = - a a a cos 2 2 cos 1 1 2 sin
? ậ ậ ự ể ườ Th t v y xét tam giác vuông ng cao , g i ọ M là trung đi m c a ủ BC , d ng đ A H . A BC A = , 90
A
=
Đ t ặ ? . = = ￛ a A CB ? A MB a 2
= ,
a =
C
sin
A B BC
c a
c
b
2
2
2
= a = = sin C Ta có : cos cos A C BC b a
α
M
B
C
2α a
2
2
2
2
2
2
A M A B = = a ? A MH cos 2 cos - + MB A M MB 2 .
2
2
2 ￛ ￛ c ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ a ￛ ￛ
2 ￛ ￛ b ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ ￛ a ￛ ￛ
2 a + - 4 a a 2 2
2
2
c - - a a b c 2 a 4 ừ = = = - . T đó suy ra = - 1 2 = - 1 2. 2 1 a a 2 .
2
2
2
2
2
2
2
= - = - a a a cos 2 2 cos 1 1 2 sin
2
2
2
= + - ￛ = + - - a b c A a b c bc 2 cos bc 2 Áp d ng ụ . A 2 ￛ ￛ ￛ 2 cos ￛ ￛￛ ￛￛ ￛ 1 ￛ ￛ ￛ
b a
(
2
2
2 + - c bc 2
b a ứ ườ . Thay vào công th c đ ng phân giác ta có: ￛ = = 2 cos + ￛ 1 cos A 2 A 2
) 2 + - c bc 4
2
2
a b
(
bc 2 bc 2 cos ứ ụ ấ ẳ . Áp d ng b t đ ng th c Cô si bc b + - c + + c a
(
)
A 2 = = = A D + + c b
) + - c bc 4 + c
b
) ( a b c
b
b + - c + + c a
(
)
+ b c a ta có: v i ớ 2p = + + . b c ￛ ￛ ￛ = - bc A D a p p ( ) 2
) ( a b 2
2
2
2
ụ ượ ệ ứ ấ ọ ứ . Ta cũng ch ng minh đ c h th c r t quan tr ng trong = + - b a c A cos
ẳ ọ ứ : Áp d ng công th c bc 2 ị hình h c ph ng ( Đ nh lý Stewart) đó là:
2
2
ằ ạ ủ ‘’Cho đi m ể D n m trên c nh BC c a tam giác A BC khi đó ta có:
2 A B CD A C BD BC A B .
+ = + . ’’
)
(
BD DC . A
ậ ậ ^ + Th t v y :Ta gi ả ẻ A H k BC
ấ ổ không m t tính t ng quát,
H
D
B
C
ằ ạ ta gi s ả ử D n m trong đo n
2
2
2
2
2
HC . Khi đó ta có:
2
2
2
(1) = + - = + - A B A D BD ? A DB A D BD A D BD 2 . . cos DB DH 2 .
ươ ứ ẳ ứ ẳ (2). Nhân đ ng th c (1) v i ớ ớ DC đ ng th c (2) v i + DC DH DC 2 .
2
2
ta có: ạ + = A C A D ế i theo v ta có: ự ng t T ồ ộ BD r i c ng l
2 A B CD A C BD BC A B .
+ = + . BD DC .
(
)
ứ ả ố ằ Ví d 3. ụ Không dùng máy tính và b ng s hãy ch ng minh r ng
0
+ 2 6 . = sin 75 4
A
Gi i:ả
ẽ V tam giác A BC vuông t i ạ A
B
C
H
I
ộ ộ v i ớ BC a= (a là m t đ dài tùy ý) 2
075
015
, suy ra ? . B = , ? C =
ể G i ọ I là trung đi m c a ủ BC , ta có
0
0
ạ ỉ ủ = = i đ nh . IA IB IC a I c a tam giác cân IA C nên ? = = . Vì ?A IB là góc ngoài t A IB ? C= 2 30
0
a 3 ^ thì ; K ẻ A H BC A H A I= . cos 30 = IH A I= . cos 30 a = ; 2 2
+ a 2 3
(
)
a 3 . + = + = = CH CI IH a 2 2
2
2
2
ị Tam giác A HC vuông t i ạ H , theo đ nh lý Pythagore, ta có:
24 a
+ 2 3 + + a a 2 3 4 4 3 + + 3
(
)
, suy
(
)
(
) 1
2
2
2
+ a= 3
( 2 2
)
2 a + = 4
= = + = A C CH A H 4 4 4
0
2
+ + a 3 2 3 4 2 3 ra . = = = = = B sin 75 sin + A C a= 2 3 A C BC + 2 a 2 2 2 2
+ 3 + 2 3
(
) 1
) 1
+ + 3 1 6 2 . V yậ = = = = 4 2 2 2 2
( 2 2. 2
0
+ 2 6 . = sin 75 4
