Ở
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HÓA
Ụ ƯỜ
TR
NG
Ạ THPT BA ĐÌNH
Ế
Ệ
SÁNG KI N KINH NGHI M
ƯỚ
Ọ
Ấ
H
Ọ Ẫ NG D N H C SINH KHAI THÁC TÍNH CH T HÌNH H C Ể Ả
Ọ
Ề
Ọ Ộ
Ẳ
Đ GI I BÀI TOÁN V TAM GIÁC TRONG HÌNH H C T A Đ PH NG.
ươ
ệ
ị
i th c hi n: D ng Th Thu
ộ
ườ ự Ng ứ ụ Ch c v : Giáo Viên SKKN thu c môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2016
2
Ụ Ụ M C L C
ộ
N i dung I. M Đ UỞ Ầ
ề
ọ 1. Lí do ch n đ tài ụ ứ 2. M c đích nghiên c u ứ ố ượ 3. Đ i t ng nghiên c u ứ ươ ng pháp nghiên c u 4. Ph Ộ II. N I DUNG
ậ
ạ
ấ ườ ng trong tam Trang 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
ấ ủ ườ ấ ủ ườ ử ụ ử ụ
ng phân giác trong ng cao ấ ủ ặ ệ t
ậ ươ ự
ệ ệ
Ế Ị ơ ở 1. C s lí lu n ự ề ấ 2. Th c tr ng v n đ ả ệ ự 3. Gi i pháp th c hi n ử ụ 3.1.Các bài toán s d ng tính ch t các đ giác a. S d ng tính ch t c a đ b. S d ng tính ch t c a đ ử ụ 3.2.Các bài toán s d ng tính ch t c a tam giác đ c bi ng t Bài t p t ế ả ủ 4. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m Ậ Ế III. K T LU N, KI N NGH 3 10 16 20 21 22
3
Ở Ầ I. M Đ U
ươ ớ ng trình toán l p 10 h c sinh đ
ặ ướ ọ ề ươ ẳ ầ c đ u bi
ọ ế ậ ư ậ
ề ọ c h c v ph ứ ơ ả t v n d ng ki n th c c b n vào gi ẳ ườ ng th ng, ph ả ượ ế ụ ươ ng trình đ ề ng elip…và các bài toán v góc, kho ng cách. Bài toán t a đ
ề ệ ướ ạ ọ ậ ườ ng tròn, đ ẳ ặ
ố ề ấ ầ
ộ ầ ướ ả ị ỏ ọ ng t
ấ ể
ấ ề ượ
ọ ể ả ứ ố c đi m “m u ch t” c a bài toán. ủ ề ộ ề ượ ủ ề ề i quy t t
ọ ấ ữ ả ắ ế ố ượ t đ ỏ ọ
ề
ấ ấ ọ ọ ẩ ể ả ả ố ể ế ấ
ậ ấ ọ
ề ậ
ẫ ọ ọ ọ ộ ả ượ i đ ấ ề ẳ ề ướ i bài toán v tam giác trong hình h c t a đ ph ng ”.
ụ
ướ ề ấ
ề
ượ ấ
ế ượ ả ấ i quy t đ
ể ả i quy t đ ả ẳ
ấ ượ ơ ữ ể ạ ế ọ ạ ng d y h c Toán.
ứ ng nghiên c u:
ọ ủ ể ả ướ ấ ng khai thác tính ch t hình h c c a tam giác đ gi i bài toán v ề
ẳ
ươ ươ ứ ứ ơ ở ự ế 1. Lí do ch n đ tài: ọ ộ ng pháp t a đ Trong ch ả ộ ố i m t s trong m t ph ng và b ươ ng trình bài t p trong sách giáo khoa nh l p ph ộ ọ ườ đ ề c và đ thi trong m t ph ng luôn xu t hi n trong đ thi đ i h c các năm tr ố THPT qu c gia hai năm g n đây. Tuy nhiên bài toán này trong đ thi THPT qu c ố ư gia ngày càng nâng d n m c đ khó, đòi h i h c sinh ph i đ nh h t, t ủ duy tìm đ ề c khai thác r t nhi u trong các đ thi. Ch đ v tam giác là ch đ r ng đ ẳ ộ c bài toán v tam giác nói riêng và bài toán t a đ ph ng Đ gi ố t tính nói chung đòi h i h c sinh ph i n m v ng tính ch t hình h c và khai thác t ượ ch t hình h c đó. Trong nhi u bài toán các em còn ph i mày mò tìm ra đ c tính ch t hình h c n trong bài toán đó là đi m “m u ch t” đ gi i quy t bài toán. ố Trong quá trình ôn t p và thi THPT qu c gia r t nhi u h c sinh lúng túng không ọ gi c bài toán này. Vì v y tôi ch n đ tài : “H ng d n h c sinh khai thác ọ ể ả tính ch t hình h c đ gi ứ 2. M c đích nghiên c u: ẫ ọ ứ ơ ở Trên c s nghiên c u đ tài: “H ng d n h c sinh khai thác tính ch t hình ẳ ọ ọ ộ ọ ể ả i bài toán v tam giác trong hình h c t a đ ph ng ” cùng quá trình ôn h c đ gi ố ướ ị ọ ố ọ ệ ng và khai thác t t luy n cho h c sinh, tôi mong mu n giúp h c sinh đ nh h ể ư ọ ọ ẩ tính ch t hình h c cũng nh tìm đ c tính ch t hình h c n trong bài toán đ ế ượ ừ ề c các gi đó các em có th gi c bài toán v tam giác, t ọ ộ ỳ bài toán t a đ ph ng nói chung, giúp các em có th đ t k t qu cao trong k thi ố THPT qu c gia và nâng cao h n n a ch t l ố ượ 3. Đ i t ị Cách đ nh h tam giác trong hình h c t a đ ph ng Oxy. 4. Ph Ph ọ ọ ộ ng pháp nghiên c u: ng pháp nghiên c u xây d ng c s lí thuy t.
4
Ộ
ậ ơ ở
ự ố ượ các đ i t
ượ ượ ừ c xây d ng t ừ ớ ng tròn… T l p 7 các em đã đ
ộ ấ ủ
ọ ẳ ế ế ớ t t i ki n th c hình h c ph ng mà các em đã bi
ặ ậ ộ ứ ọ ọ i. Khi gi
ị ế ủ
ặ ả ầ ế ệ ầ ẳ t c a bài toán, đ nh h ấ t gì, c n ph i làm gì. Đ c bi ư ể ẳ ườ ng nh đi m, đ ng th ng, ề ọ c h c v các tam giác ọ ng trong tam giác và tính ch t c a chúng. Bài toán t a đ trong ế ở t ả ộ ả i m t bài toán hình h c t a đ trong m t ph ng ta c n ph i ướ ả ẽ ng thi ọ ủ t là khai thác tính ch t hình h c c a
ấ
ọ ữ
ị ượ ườ c đ ọ ọ ố ng l ư ậ ẳ ả ươ ng pháp gi
ỏ ướ ộ c nh ng bài toán hình h c t a đ ph ng nh v y h c sinh th ọ i, ph ấ ng h
ạ ề ớ ế ươ ạ
ộ ặ ế ả ượ i đ
ộ
ệ ẽ ạ ọ ề ư ỹ ả ố t là khi đ c đ ch a k đã v i làm ngay, có th s th ả ẽ
ấ ố ơ ế ọ ướ ể ị t h n trong quá trình gi ệ ng t
ộ ầ ạ ướ ả ọ ị ề ờ ng l i gi
ả i: ta c n ph i làm gì, gi ư ệ ế ặ ườ ng ề i, nhi u h c sinh ằ ng. Các em cho r ng ạ ả i các d ng ộ ố ọ c. M t s h c ể ự ử ự ớ i toán s không cao. V i th c ọ ả i toán hình h c ườ i giáo ả ầ ọ ấ ặ t khai thác tính ch t đ c tr ng hình h c
t đi u gì, đ c bi ả ề i.
ứ ơ ả ọ
ế ộ ủ ườ ế
ủ ề ọ
ướ ị
ầ ể ỉ ạ ườ ấ
ườ ế ng trung tuy n; bài toán s ử ụ ng cao, đ
ư ườ ấ ủ ư ề ặ
ớ ử ụ ệ ộ ố ị ờ i gi
i, trình bày l ọ ặ i, đ c bi ư ướ ng tìm l
ể ả ộ
ng trong tam giác.
ử ụ II. N I DUNG 1. C s lí lu n: ọ ẳ Hình h c ph ng đ ườ ứ giác, đ tam giác, t ườ ệ ặ t, các đ đ c bi ẳ ặ m t ph ng liên quan m t thi ướ ớ l p d ỹ ầ ọ đ c k đ u bài, v hình chính xác, phân tích gi bài toán cho bi bài toán. ự ề ạ 2. Th c tr ng v n đ : ướ ứ Đ ng tr lúng túng không xác đ nh đ ạ không tránh kh i tâm tr ng hoang mang, m t ph ư ế nhi u d ng toán nh th thì làm sao nh h t các d ng toán và cách gi toán đó, n u bài toán không thu c d ng đã g p thì không gi sinh có thói quen không t ư nghi m đó s có k t qu nh ng hi u su t gi ạ tr ng đó đ giúp h c sinh đ nh h ẳ ặ ọ t a đ trong m t ph ng nói chung và bài toán v tam giác nói riêng ng viên c n t o cho h c sinh thói quen đ nh h ế t bài toán cho ta bi thi ờ ủ ể c a bài toán đ tìm l i gi ệ ự ả i pháp th c hi n: 3.Gi ầ ướ ế ề ươ ữ ắ ng trình c h t, yêu c u h c sinh n m v ng các ki n th c c b n v ph Tr ỗ ớ ể ơ ứ ề ọ ẳ ườ và c a đi m. V i m i ng tròn, ki n th c v t a đ c a vect ng th ng, đ đ ừ ự ở ẽ ụ ể tr c bài toán c th yêu c u h c sinh v hình chính xác, b i nhi u bài toán t ả ấ ủ ẽ i. Sau quan hình v ta có th ch ra tính ch t c a hình và đ nh h ng tìm cách gi ng trong đó tôi phân thành hai d ng bài toán: bài toán s d ng tính ch t các đ ườ ử ng phân giác trong, đ tam giác nh đ ỗ ệ ụ d ng tính ch t c a các tam giác đ c bi t nh tam giác vuông, cân, đ u. V i m i ư ấ ặ ư ạ d ng toán đó tôi đ a ra m t s tính ch t đ c tr ng mà các bài toán hay s d ng, ả ả ướ ụ ụ ể t là ng cách gi các ví d c th , phân tích đ nh h ướ ậ ả ờ ị i, thông qua đó giúp h c sinh t b duy và v n i gi c phân tích đ nh h ấ ố ụ i bài toán khác m t cách t d ng đ gi t nh t. ườ ấ ử ụ 3.1. Các bài toán s d ng tính ch t các đ ấ ủ ườ a. S d ng tính ch t c a đ ng phân giác trong.
5
ế ng phân giác trong:
ọ
A
ể ắ ng phân giác trong ứ i đi m th hai là E.
BD (cid:0) DC
N'
ậ ỉ ệ Nh n xét 1 : . : Ta có t l
N
O
(cid:0) Ki n th c liên quan t ớ ườ ứ i đ ườ ườ ộ ế Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn tâm O, g i AD là đ góc A (D(cid:0) BC); M là trung đi m BC; phân giác AD c t (O) t ạ ể AB AC ộ ườ N u đi m N thu c đ ẽ ế ố ứ ng th ng AB thì ng AC.
D
M
B
C
ữ
ẳ ’ đ i x ng v i N qua AD s thu c đ ộ ườ E là đi m chính gi a cung BC ạ ủ ể
E
i trung đi m M c a BC. ậ
ụ
ọ ộ
ể ậ Nh n xét 2: ớ đi m Nể ể ậ Nh n xét 3: ớ và OE vuông góc v i BC t ứ ễ D dàng ch ng minh các nh n xét 1,2,3. (cid:0) Ví d áp d ng: ụ ặ ế ườ ủ ẳ
ườ ươ ẳ t r ng hình chi u vuông góc c a C trên đ ủ ng phân giác trong c a góc A có ph ể ng cao k t ng trình : xy+2=0 và đ
C
ủ ọ ộ ỉ Ví d 1:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy, hãy tìm t a đ đ nh C c a tam giác ABC ế ằ ng th ng AB là đi m H(1;1), bi ẻ ừ ườ đ B có ph ng trình: 4x+3y1=0.
K
ướ ng: ng trình đ
D
H'
ể
I
ố ứ
ươ
B
A
H
ng phân giác trong góc A và ượ ọ c t a ’ đ i x ng v i H qua phân giác AD và H ’ ạ ng trình c nh AC c ph ượ ọ ộ c t a đ
ể ượ ọ ộ ể
(cid:0) i:
’ đi qua H và vuông góc v i AD là: x+y+2=0.
ố ứ
0
'
H
I
)0;2(
)1;3(
0
2
x x ẳ
ườ ọ ộ ủ ớ ’ là nghi m c a h : ủ ệ ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
’ và vuông góc v i BK nên có PT: 3x4y+13=0. 0
A
)7;5(
4 y
3 x
13 0
2
+
a 3
13
ườ ươ (cid:0) Đ nh h ị ươ ế ườ t ph Ta bi ộ ạ ọ ộ ể t a đ đi m H thu c c nh AB nên có th tìm đ ớ ộ ể đ đi m H ậ ượ ộ thu c AC. Khi đó ta l p đ đi qua H’ và vuông góc v i BK nên tìm đ ớ ừ đi m A. T đó tìm đ c t a đ đi m C. ả ờ L i gi ’ là đi m đ i x ng v i H qua phân giác AD. G i Họ ớ ể ẳ PT đ ng th ng HH T a đ trung đi m I c a HH y y Đ ng th ng AC đi qua H (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ y (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m A là nghi m c a h : . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
C a ( ;
)
4
ể ộ Đi m C thu c AC nên .
a 3
17
HC
a
a
HA .
0
(6
.8)1
0
C - (
)
10 3
4
10 3 ; 3 4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có : => .
C - (
)
10 3 ; 3 4
V y ậ .
6
ặ ẳ ọ
;2
)
ạ ế ườ Ví d 2:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), đ ộ phân giác trong góc A có PT: xy1=0, tâm đ ườ ng ng tròn ngo i ti p tam giác ABC
3 2
ế ươ ế ệ ằ là I( . Vi t ph ạ ng trình c nh BC bi ầ t di n tích tam giác ABC b ng hai l n
di n tích tam giác IBC.
ướ ệ (cid:0) Đ nh h ị ng:
ẫ
ươ ạ ể
ả ườ ể ươ ế t ph ằ ng trình đ
ạ ế ứ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t (cid:0)
D (cid:0) ID (cid:0) BC. Ph ộ ể ươ ư ử ụ ọ ư ườ ng phân giác trong góc A nh ng ng trình đ ậ ử ụ ặ t đi m n m trên hai c nh AB ho c AC (khác đi m A), v y s d ng ư ế ng phân giác trong nh th nào? Kéo dài phân giác ạ i đi m th hai là D ta có ạ ế ng tròn ngo i ti p ng trình đ ả ế ể ườ ID. S d ng ti p gi
ABC ế ạ ượ t th hai đ tìm PT c nh BC. thi (cid:0) Trong bài toán này v n cho ph không bi ế thi gi ắ ườ trong góc A c t đ ữ ể D là đi m chính gi a cung BC ậ ta l p đ c, suy ra t a đ đi m D và l u ý BC ứ ể ờ i: L i gi
A
ể ọ ủ ườ ả G i D là giao đi m c a đ ớ ng phân giác trong góc A v i
ABC
I
(cid:0) ườ ạ ế IA đ ng tròn (C) ngo i ti p . Ta có , đ ngườ 5(cid:0) 2
C
2
2
B
ươ tròn (C) có tâm I và bán kính IA nên có ph ng trình:
x
y
)
(
)2
(
3 2
D
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) .
25 4 ệ
01
D
(
;
)
2
2
1 2
1 2
x
y
(
)2
(
)
3 2
25 4
ể ủ ệ T a đ giao đi m D là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ x y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) BC
ﾷ ữ ể => D là đi m chính gi a cung BC => ID Ta có ﾷ
; 2)
(cid:0) - ẳ ườ ươ Ta có ID nên có ph ng trình 3x+4y+m=0. = BAD DAC uur ID = - (
3 2 S M t khác :
IBC
= (cid:0) D ) ặ
m
ABC m
=
2
m
16
5
(cid:0) . Đ ng th ng BC D= S 2 + 24 d A BC ; ( + 12 (cid:0) (cid:0) (cid:0) . d I BC ) 2 ( ; = m 0 = - (cid:0)
5 ng th ng BC là 3x+4y=0 ho c 3x+4y16=0
ậ ườ ẳ ặ V y PT đ
ẳ ặ ộ
ầ ượ Ví d 3:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy,cho tam giác ABC có ph ườ t là (d đ ọ ng phân giác trong góc A và phân giác ngoài góc B l n l ươ ng trình 1): x=2 và
7
ế t I(1/2;1); J(2;1)
ỉ (d2): x+y+7=0. Tìm t a đ các đ nh A,B,C c a tam giác ABC bi ạ ế ầ ượ l n l ủ ọ ộ ộ ế ủ ng tròn ngo i ti p và n i ti p c a tam giác ABC.
ABC
ế ườ ng: t bài toán cho bi (cid:0) ả ế ườ ậ ử ụ ộ ế thi t tâm đ ng tròn n i ti p
ươ ư ế ượ
A
ng trình đ ừ (cid:0) ươ ả ng phân giác ngoài góc B, v y s d ng gi , ta i gi ng phân giác trong góc B (đi qua J và vuông ượ ọ ộ ể ạ ế c t a đ đi m B ABC ng tròn ngo i ti p
I
J
ng trình đ ọ ộ ể
C
B
ử ụ
A'
ủ
’.
ớ t là tâm đ (cid:0) Đ nh h ướ ị ườ ế ả Gi t PT đ thi ớ ư ế t này nh th nào? Hãy l u ý t thi ườ ể ậ có th l p đ c ph ớ góc v i phân giác ngoài).T đó tìm đ ườ suy ra ph ồ r i suy ra t a đ đi m A. ấ ủ ọ ộ ể ể Đ tìm t a đ đi m C ta s d ng tính ch t c a ’ là giao ườ ể ng phân giác trong góc A tìm đi m A đ ể ớ ườ ng tròn (I). đi m c a phân giác trong góc A v i đ ườ Đ ng th ng BC đi qua B và vuông góc v i IA (cid:0) ả ẳ ờ L i gi i:
2): x+y+7=0 nên có
ớ
ườ ươ - = y- 1 0 Đ ng phân giác ngoài góc B đi qua J và vuông góc v i (d ng trình: ph x . - (cid:0) - = y x 1 0 (cid:0) - - (cid:0) B ( 3; 4) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m B là nghi m c a h : + + = (cid:0) y x 7 0
((cid:0)I
)1;
ABC
1 2
2
2
(cid:0) = ạ ế ườ Đ ng tròn ngo i ti p có tâm và có bán kính R IB= 5 5 2
x
y
(
(
)1
)
1 2
125 4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ườ Ph ng trình đ ng tròn (I) :
x
2
A
)6;2(
2
2
A
)4;2(
y
x
(
)1
(
)
125 4
1 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ệ ọ ộ ệ ể T a đ giao đi m A là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ọ ớ ủ ườ *) V i A(2;6): G i A ng phân giác trong góc A v i đ ớ ườ ng
’ là giao đi m c a đ ể 5 2
= (cid:0) - ườ ẳ uur ' IA tròn(I). Ta có A’(2;4) . Đ ng th ng BC đi qua B và vuông góc ; 5) (
’ nên có ph
x
y
5
0
C
)0;5(
2
2
x
y
(
)
(
)1
2 1 2
125 4
ươ v i IAớ ng trình x2y5=0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m C là nghi m c a h : . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) ớ ươ *) V i A(2;4) ph ng trình BC: x+2y+11=0 (cid:0) ạ A’(2;6) (cid:0) C B(cid:0)
). V y A(2;6); B(3;4); C(5;0).
C(3;4) (lo i vì ậ (cid:0) Nh n xét: ậ
8
ử ụ ụ ẵ ấ ọ
ườ ủ ớ V i ba ví d trên ta hoàn toàn s d ng tính ch t hình h c có s n trong bài toán là đ ng phân giác trong c a tam giác.
ọ ạ ẳ
ườ
ẳ ẳ ứ ặ ế ộ ườ
ỉ ọ ộ ế
ABC
(cid:0) ư ng. ng: ế ườ t đ nh ng không bi
ế ể ể ủ ng phân giác trong góc A c a ườ t đi m H là chân đ
ể ậ ả thi (cid:0) ừ ả ế ạ ng vuông góc k t ế ứ i A ta ch ng minh đ ế thi t ng trung tuy n AM đi qua đi m K. V y ba gi ABC
ấ ườ ế ớ . Đ n đây ta s d ng t i tính ch t đ
(cid:0) ể ộ Ví d 4ụ : Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC vuông t i A. Đi m ủ ủ H(5;5) là hình chi u vuông góc c a A lên BC. Đ ng phân giác trong góc A c a ế ườ ng th ng d: x7y+20=0. Đ ng th ng ch a trung tuy n tam giác ABC thu c đ ể ủ t đi m B AM c a tam giác ABC đi qua K(10;5). Tìm t a đ các đ nh A, B, C bi ộ ươ có tung đ d (cid:0) Đ nh h ướ ị ế t Bài toán cho bi ẻ ừ ộ ạ A lên đi m thu c c nh AB, AC mà bi ố ườ t này có m i liên BC và đ ượ ườ ớ ệ ng phân h gì v i nhau? T gi c đ vuông t giác trong góc A cũng là phân giác trong góc ﾷHAK . Đó chính là tính ch t hình ấ ử ụ ọ ẩ h c n trong bài toán ng phân giác trong ể ả i bài toán. đ gi ờ i: L i gi
ọ ớ ng phân giác trong góc A v i BC.
D ể cân t ﾷ = MAC MCA
B
K
H
D
ủ ườ ạ i M nên (cùng ph v i ﾷ ụ ớ ﾷABH ) ﾷ ﾷ (cid:0)
M
I
ả G i D là giao đi m c a đ Ta có MAC Mà ﾷ = MCA HAB ﾷ = MAC HAB ﾷ ﾷ (cid:0) ạ L i có
H'
(cid:0) ﾷ = HAD DAM ng phân giác trong góc
C
A
ớ ố ứ AD là đ ọ
ườ ớ
ẳ ươ
- (cid:0) ể x (cid:0) (cid:0) I ) ( (cid:0) + y 7 + - y x ﾷ = BAD DAC ﾷHAK . ườ ể G i H’ là đi m đ i x ng v i H qua AD thì ộ H’ thu c AM. Đ ng th ng d đi qua H và vuông góc v i ng trình 7x+y40=0. AD có ph ủ ệ ủ ọ ộ T a đ giao đi m I c a d và AD là nghi m c a h : = 20 0 = 40 0 7
ủ H ể Vì I là trung đi m c a HH’ nên '( ) ệ 26 18 ; 5 5 27 11 ; 5 5 ườ ể ẳ ươ Đ ng th ng AM đi qua hai đi m H’ và K nên có ph ng trình : 2x+11y35=0 - (cid:0) x + y (cid:0) (cid:0) A (1;3) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m A là nghi m c a h : 7 + - (cid:0) x y 2 11 = 20 0 = 35 0
9
= ẳ ườ ươ nên có ph ng trình: r uuur n AH= (4;2)
Đ ng th ng BC đi qua H(5;5) và có VTPT 2x+y15=0 (cid:0) x + - y 2 (cid:0) (cid:0) M ( ;2) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m M là nghi m c a h : + - (cid:0) x 2 11 = 15 0 = y 35 0 13 2
ABC
2 +
(cid:0) ạ ế ườ Đ ng tròn ngo i ti p có tâm M và bán kính nên có ph ngươ MA = 125 4
2 = 2)
2 +
2 = 2)
- - x y trình : ( ) ( . 13 2 125 4 (cid:0) - - (cid:0) x y ( ) ( (cid:0) ọ ộ ệ ể ủ ệ T a đ hai đi m B,C là nghi m c a h : 125 4 (cid:0) (cid:0) = 15 0
(cid:0) - C (4;3), (9; 3) 13 2 + - y x 2 ộ ươ ng) ( Vì đi m B có tung đ d
ể V y A(1;3); B(4;3); C(9;3).
ỉ ấ ọ ẩ c tính ch t hình h c n trong bài toán đó
ườ ầ i bài toán này ta c n ch ra đ ng phân giác trong góc
ẳ ặ ọ ộ
ể
ẳ ế ườ ươ ươ ng th ng AC bi t A(1;1); B(5;3) và ph ạ ng trình đ ầ ượ t t là M,N. ườ ng ể ầ ượ ng trình đ
ng: B ậ (cid:0) Nh n xét: ậ ượ ể ả Đ gi ﾷHAK . là: AD là đ Ví d 5:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC. Các đi m E,F l n l ộ thu c các c nh AB, AC sao cho BE=CF. Trung đi m BE và CF l n l ế Vi t ph ẳ th ng MN là 2x+2y19=0. (cid:0) Đ nh h ị
ả t c a bài toán không liên quan t
ớ ườ i đ ẳ ươ ườ
ế ủ i thi ộ ể t t a đ đi m A,B và ph ườ ng trình đ ặ ế ọ ớ ẳ ớ nhiên ta nghĩ t i các đ
ẳ ấ ớ
ớ
ế ượ ượ ấ ằ ố ứ ẽ ế c. V n đ là làm th nào ch ng minh đ i quy t đ
ề ế ố ạ
ể D ủ ủ ứ ế ể ẳ ệ ữ ượ c ế ố cân, t
ườ ớ ng phân ộ ng th ng MN. M t ự ng th ng qua A ho c B và vuông góc v i MN. ể ự ng th ng d qua A và vuông góc v i MN. B ng tr c quan ta th y d có th ộ ể ng phân giác trong góc A. Khi đó đi m B’ đ i x ng v i B qua d s thu c ứ c d ằ đo n th ng b ng nhau BE=CF ố này? đóừ IMN ng phân giác trong góc
A
ﾷ d là phân giác trong góc A. và d IKP ẳ ng th ng IK qua I vuông góc v i MN là đ (cid:0) = MIN BAC (cid:0)
E
I
ủ ể
F
N
M
K
B'
J
B
C
ọ ọ ẳ ớ ướ Trong bài toán này các gi giác trong mà cho bi ư duy t t ẽ ườ V đ ườ là đ ả AC. Bài toán lúc này gi là phân giác trong góc A. Bài toán có các y u t và các trung đi m M, N c a BF và CE. Hãy tìm m i liên h gi a các y u t ọ N u g i I là trung đi m c a EF ta hoàn toàn ch ng minh đ ườ suy ra đ ﾷMIN . Mà ﾷ ả ờ L i gi i: ầ ượ G i I, K l n l ườ G i d là đ t là trung đi m c a EF và MN. ng th ng qua A và vuông góc v i MN.
d
10
= = CF . 1 2 D IMN MI Ta có: Mà BE=CF (cid:0) (cid:0) ườ 1 2 cân ng phân giác trong
BE NI ; MI=NI (cid:0) IK ^ MN và IK là đ d IKP .
ﾷ = (cid:0) góc ﾷMIN (cid:0) M t khác : . P P IM AB IN AC MIN BAC
(cid:0)
ﾷ ặ ; d là phân giác trong góc ﾷBAC . ườ ẳ ớ ươ ng
D ẳ ươ : x+y8=0 ng trình D ườ ọ ộ ệ qua B(5;3) và vuông góc d có ph ủ ệ là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) J (4;4) (cid:0) x
Đ ng th ng d qua A(1;1) và vuông góc v i MN: 2x+2y19=0 nên có ph trình : xy=0. Đ ng th ng ể ủ T a đ giao đi m J c a d và - = y x 0 + - = y 8 0 ố ứ ọ ộ (cid:0) ể ể
ườ = ủ G i B’ là đi m đ i x ng c a B qua d thì B’ thu c AC. B’(3;5). J là trung đi m BB’ ể ẳ Đ ng th ng AC đi qua hai đi m A(1;1); B’(3;5) nên có VTCP . uuur r ' u AB= (2;4) (cid:0) ươ ườ ẳ ng th ng AC là 2xy1=0.
Ph ng trình đ (cid:0) Nh n xét: ậ
ẳ ườ ọ ẩ ng th ng d qua A
ớ ấ ườ ng phân giác trong góc A.
ầ ử ườ ng THPT Anh S n 2 l n 2năm 2016) Trong m t ặ
ẳ ng tròn tâm
ế ầ ượ ạ ế ườ ớ ng tròn (I) v i các c nh AB, AC,
ọ ộ ạ ủ ủ ỉ i c a tam giác
ể t H(2;1). ướ ng:
ế ọ ộ ệ ữ ố
C'
ứ ớ
ừ ự ẽ ượ ề
ể c đi u này ta s tìm đ ươ ử ụ ng trình BC và tìm đ ng trình BI, ph
ấ ẽ ậ ượ ả i bài toán. Khi đó ta s l p đ c t a đ đi m B. S d ng BI là ớ
ể ậ ươ ộ ượ ọ ộ ể ố ứ c t a đ đi m C’ đ i x ng v i C qua BI và C’ A ng trình AB. Đ l p ph ử ng trình AC ta s
K
N
M
I
Trong bài toán này tính ch t hình h c n trong bài toán là đ và vuông góc v i MN là đ Ví d 6ụ : (Đề thi th tr ơ ể ọ ộ ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC có đi m C(1;2) ngo i ti p đ ạ ủ ườ ể ọ I. G i M, N, H l n l t là ti p đi m c a đ BC. G i ọ ớ K(1;4) là giao đi m c a BI v i MN. Tìm t a đ các đ nh còn l ế ABC, bi (cid:0) Đ nh h ị ể ế ả thi t bài toán cho bi Gi t t a đ ba đi m H, K, C, hãy tìm m i liên h gi a A, ẽ ớ B v i ba đi m trên. T tr c quan hình v ta th y BK vuông góc v i KC. Ch ng ượ ướ c h c ng gi minh đ ươ ph ượ ọ ộ ể phân giác trong góc B ta tìm đ ươ ậ ượ c ph thu c AB. T đó l p đ ề ể ụ d ng tính ch t đi m I cách đ u AC và BC. (cid:0) ừ ấ ả ờ L i gi i:
C
H
B
11
0
ﾷ ﾷ + = = + Ta có: ﾷ KIC IBC ICB ﾷ ABC ﾷ ACB 1 2 1 2
= -
090
90 ﾷ = ﾷ BAC ﾷ = = - ﾷ BAC ﾷ KNC ANM AMN ﾷ (cid:0) (cid:0)
đ
(cid:0) ^ .
ơ
= ươ nên có ph ng trình: y+4=0. ﾷ = KIC KNC ứ ộ ế ườ t ng tròn giác KNIC n i ti p đ ﾷ 090 INC = ườ ng kính IC (vì ). ﾷ 090 IKC = hay BK KC ẳ ườ Đ ng th ng BK đi qua K(1;4) và có vec t r uuur n KC= pháp tuy n ế (0;2)
= ẳ ơ ỉ ươ ch ph ng nên có r uuur u CH= (3;3)
ườ ươ Đ ng th ng BC đi qua H(2;1) và có vec t ph ng trình: xy1=0. + = (cid:0) y (cid:0) - - (cid:0) B ( 3; 4) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m B là nghi m c a h : . - (cid:0) 4 0 - = y x 1 0
ọ ộ
ể ể
ườ ể ẳ ươ ng trình:
ườ ẳ ớ ươ ng trình:
2
ớ ố ứ G i C’ là đi m đ i x ng v i C qua BK thì C’ thu c AB. ủ K là trung đi m c a CC’ nên C’(1;6). Đ ng th ng AB đi qua hai đi m B(3;4) và C’(1;6) nên có ph x+y+7=0 Đ ng th ng IH đi qua H(2;1) và vuông góc v i HC nên có ph x+y3=0 + = (cid:0) y (cid:0) - (cid:0) I (7; 4) ủ ệ ệ T a đ đi m I là nghi m c a h : . (cid:0) 4 0 + - = y x 3 0
= (cid:0) ơ ế ủ ườ ng th ng AC ( v i ). là vec t pháp tuy n c a đ ọ ộ ể r n ớ 2 a b+ 0
+ + = ươ + + ax by a = (cid:0) 2) 0 + + 1) ẳ ng trình: b 0 2
2
2
2
2 = (cid:0) b 46
G i ọ a b ( ; ) ẳ ườ Đ ng th ng AC đi qua C(1;2) có ph b y a x ( ( Ta có: - a + + b a b 7 4 2 = = (cid:0) IH d I AC ( ; ) 5 2 + b a = - (cid:0) a b (cid:0) - - a ab 14 32 0 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) ạ (cid:0) BC) (cid:0) ọ ch n b= 1 thì a=1 b 23 ọ ch n b=7 thì a=23 a 7 ươ ph ph b 23 ng trình AC: xy1=0 (lo i vì AC ươ ng trình AC: 23x+7y+37=0.
b= - = a ọ ộ ể ệ *) V i ớ a *) V i ớ 7 ủ ệ T a đ đi m A là nghi m c a h :
12
+ + (cid:0) y = 37 0 (cid:0) - (cid:0) A ( ; ) x 7 + + = (cid:0) 23 x y 7 0 3 4 31 4
- - - B V y ậ ; ); A ( ( 3; 4) . 31 4
3 4 (cid:0) Nh n xét: ậ ể ả ượ ấ i bài toán này ta c n tìm đ
ầ ử ụ ố ứ ườ ể ớ ọ ẩ c tính ch t hình h c n trong bài là BK ấ ng phân giác
Đ gi vuông góc v i KC và s d ng tính ch t đi m đ i x ng qua đ trong .
b. S d ng tính ch t đ
A
ủ ng cao tam giác:
E
(cid:0) ọ
ABC ng cao h t
t
I
H
F
IM
P
B
C
M
ạ ừ ng cao c a tam giác: ớ ườ i đ ộ ế ườ ng tròn (I); ầ ượ . G i E,F l n l t là B và C; M là trung
K
D
ể
ứ ố ứ
ườ ớ
(cid:0) ạ ế
AH 2(cid:0) : : IA (cid:0) EF ủ ọ : G i K là giao đi m th hai c a ng tròn (I) .Khi đó K đ i x ng ườ ng tròn ớ ườ ng ẳ ng th ng BC. ng cao h t
ng th ng BC và đ ố ứ ườ ườ ạ ừ ố ườ A xu ng BC thì H là tâm đ ng tròn (cid:0)
ậ ậ
(cid:0) ủ ườ
= At//EF (cid:0) (cid:0) IA (cid:0) EF ﾷ BCA ng tròn (I) ﾷEF A ﾷEF A
ử ụ ấ ườ (cid:0) Ki n th c liên quan t ứ ế Cho tam giác ABC n i ti p đ ự H là tr c tâm ườ chân đ ạ ể đi m c nh BC. ậ Nh n xét 1 ậ Nh n xét 2 ậ Nh n xét 3 ớ ườ AH v i đ ẳ v i H qua đ ạ ế ngo i ti p tam giác HBC đ i x ng v i đ ABC qua đ tròn ngo i ti p ọ ậ : G i P là chân đ Nh n xét 4 ộ ế . n i ti p EFP ẽ ứ ứ ễ Ta s ch ng minh nh n xét 2: D dàng ch ng minh các nh n xét 1,3,4. ﾷ ﾷ = ế ẻ ế K ti p tuy n At c a đ BAt BCA (cid:0) ﾷ = ộ ế ứ T giác BCEF n i ti p nên BAt (cid:0) Ví d áp d ng: ụ ụ ặ ự ẳ
ươ ườ ẳ ng trình đ ế ườ t đ
ệ ể ộ ọ Ví d 7:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy,cho tam giác ABC có tr c tâm H(5;5); ạ ế ứ ạ ph ng tròn ngo i ti p ng th ng ch a c nh BC: x+y8=0. Bi tam giác ABC đi qua hai đi m M(7;3);N(4;2). Tính di n tích tam giác ABC.
ướ ng:
(cid:0) Đ nh h ị ệ ể ế ọ ộ (cid:0) ế
ầ ng tròn (I) ngo i ti p ươ ượ ộ ng tròn (I) và s tìm đ ạ ế ng trình đ
ỉ t t a đ các đ nh A, B, C. Bi ể , n u ta có th tìm thêm đ ẽ ớ ố ứ
c ph ậ ấ ủ ể ố ế ể Đ tính di n tích tam giác ABC ta c n bi t 2 đi m ượ ể ộ ườ c 1 đi m M, N thu c đ ABC ộ ượ ọ ườ ậ c t a đ các thu c (I) thì l p đ ộ ể ử ụ ỉ đ nh A,B,C. S d ng nh n xét 3 ta có đi m K đ i x ng v i H qua BC thì K thu c (I). Đi m K chính là “m u ch t” c a bài toán.
13
(cid:0) i:
A
M
ộ ườ ạ ế ả ờ L i gi ể ọ ố ứ ng tròn (I) ngo i ti p tam
ươ ể ng trình xy=0.
0
I
H
J
K
)4;4(
)3;3(
C
B
J
ệ ớ G i K là đi m đ i x ng v i H qua BC thì K thu c đ giác ABC. ẳ ườ Đ ng th ng HK đi qua đi m H(5;5) và vuông góc ớ v i BC nên có ph ủ ệ ủ ể ọ ộ T a đ trung đi m J c a HK là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ABC
x y 8 x y 0 ng trình đ
N
K
(cid:0) ươ ạ ế là ng tròn (I) ngo i ti p
a
a
9
5
0
49
b c
0 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ ọ G i ph x2+y2+2ax+2by+c=0. Vì (I) đi qua 3 đi m M(7;3);N(4;2);K(3;3) nên ta có: cb 6 cb 4 cb 6
y
4 36 2+y2 10x 8y+36=0. x 0
8
2
2
x
y
36
0
ể 14 a 84 16 a 699 ườ ươ Ph ng trình đ ng tròn (I): x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m B,C là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
8
x ặ B(6;2); C(3;5) ho c B(3;5); C(6;2) ươ
(cid:0) (cid:0)
y 10 23(cid:0)BC ườ
y
0
A
)6;6(
2
2
x
y
x
y
10
8
36
0
ườ ẳ ẳ ng th ng HK là ph ng trình đ Ph ng trình đ ng th ng AH. (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ x (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m A là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
866
S
BC
BCAd ;
(
).
23.
6
.
1 2
2
ệ Di n tích tam giác ABC là: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (đvdt).
1 2 b ng 6.
ABC
(cid:0) ằ ậ ệ V y di n tích
ẳ ự ọ ộ
ặ ạ ế ườ ủ ể
ng tròn ngo i ti p I(1;0). Trung đi m M c a BC n m trên đ ươ ọ ộ ỉ
ộ ể ế ể Ví d 8:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy,cho tam giác ABC có tr c tâm H(2;1), ằ ẳ ườ ng th ng tâm đ ạ ế ườ t đ d có ph ng tròn ngo i ng trình: x2y1=0. Tìm t a đ các đ nh B, C bi ỏ ơ ti p tam giác HBC đi qua đi m E(6;1) và hoành đ đi m B nh h n 4.
ướ (cid:0) ể ạ ế HBC ng: t bài toán cho bi ế ườ t đ ng tròn ngo i ti p ợ đi qua đi m E(6;1) g i
HBC
ướ (cid:0) . (cid:0) ướ ướ ạ ế ng tròn ngo i ti p HBC (cid:0) Đ nh h ị ế ả Gi thi cho ta hai h H ng 1: Tìm thêm 1 đi m thu c đ H ng 2: Tìm tâm J đ ng suy nghĩ: ộ ườ ể ườ ng tròn ngo i ti p ạ ế .
14
HBC
ấ ể (cid:0) ặ ạ ế ướ ả ớ ơ ở ng 2 ta chú ý t ộ ế thi i gi
ố ng th ng d g i cho ta tham s hóa t a đ trung đi m M.
ọ ộ ẳ ể ử ụ ậ
ợ ể ớ ể ướ ế ắ ứ H ng th nh t ta g p b t c vì không có c s nào đ tìm thêm m t đi m ộ ườ ng tròn ngo i ti p thu c đ t trung . Theo h ủ ể đi m M c a ộ ườ ẳ BC thu c đ ấ ề Ta th y tâm J cách đ u 2 đi m B, C nên I, J, M th ng hàng. S d ng nh n xét 3 ố ứ ấ ta th y J là đi m đ i x ng v i I qua BC. (cid:0) ể ả i:
A
ờ L i gi ể (cid:0) ố ứ G i J là đi m đ i x ng v i I qua BC ể
(cid:0) 2
H
I
IJ AH giác AHJI là hình bình hành
C
M
B
(cid:0) ủ ọ ớ M là trung đi m c a IJ IM (cid:0) JH=IA (cid:0)
J
E
2
(cid:0) (cid:0) ạ ế (cid:0) - 1 0 : JB=IC=JH . HBC nên M(2t+1;t) (cid:0) (cid:0)
)1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) J(4t+1;2t) nên JH=JE 2 t )1 1 HBC t 2( (cid:0)
HBC
2
)5
(cid:0) (tâm J, bán kính JH) là: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ng tròn ngo i ti p y 10 ạ ế 2 )2 Ta có (cid:0) ứ t ặ M t khác JB=JC=IB=IC=IA ườ ng tròn ngo i ti p J là tâm đ - = y M d x 2 Vì ộ ườ ạ ế ng tròn ngo i ti p Vì E thu c đ 2 2 t t t 4( 2( 4( )1 )5 M(3;1) và J(5;2) ươ ng trình đ Ph
( ẳ
IMn
)1;2(
(cid:0) (cid:0) ườ x ( ườ ng trình đ ng th ng BC đi qua M(3;1) và có VTPT là:
x
y
2
7
0
2
2
x
(
)2
10
)5 ộ
y ( ỏ ơ
ươ Ph 2x+y7=0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m B,C là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
B(2;3); C(4;1) (vì đi m B có hoành đ nh h n 4).
ậ
ặ ươ ườ ủ ế ể ọ ẳ ng trình đ ộ ng th ng BC bi
A
ậ . L p ph ẳ ướ ng:
ủ ể
I
(cid:0) ể V y B(2;3); C(4;1). ự Ví d 9:ụ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC có tr c tâm H(2;1), 52(cid:0)BC ằ ẳ t trung đi m M c a BC n m ườ trên đ ng th ng d: x2y1=0. (cid:0) Đ nh h ị ế ọ ộ ợ
H
(cid:0) ộ t t a đ hai đi m A, H và trung đi m M c a BC thu c ạ ế ng tròn ngo i ti p ế ả ể ườ ế ợ ớ ẳ k t h p v i gi thi t
uuuur AH ọ ộ ể
C
B
M
ế uuur IM= 2 đ tìm t a đ đi m M.
(cid:0)
ABC
(cid:0) i: ườ ạ ế ọ Ta bi d: x2y1=0 g i cho ta nghĩ đ n tâm I đ ứ ABC và đ ng th c 52(cid:0)BC ể ả ờ L i gi G i I là tâm đ ng tròn ngo i ti p ta có
15
IM
AH
IM
2
52
5
IM
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
IB
BM
10
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
:
IM 01
2
aM 2(
a );1
AH 2(cid:0) Ta có IA xdM Vì
IM
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) I(2a1;a1) . Mà
IA
a
a
a
a
10
2(
)1
10
;1
AH 2(cid:0) 9 5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) ộ ươ ng).
uuur AH =
(4;2)
ơ ế ẳ pháp tuy n là nên có
ng trình: 2x+y7=0
ườ ẳ M(3;1) ( vì M có tung đ d ườ Đ ng th ng BC đi qua M(3;1) và có vect ươ ph ậ V y PT đ ng th ng BC là 2x+y7=0.
ế t E(1;2); F(2;2);
ỉ ườ ủ ạ ng trình 3 c nh c a tam giác ABC bi ủ ạ ừ 3 đ nh A,B,C c a tam giác ABC. ng cao h t
A
F
P
ABC ượ
Q
H
ườ t t a đ 3 chân đ (cid:0)
C
(cid:0)
B
E
(cid:0) .
ể EFQ ể ấ ườ ậ EFQ ủ ng phân giác trong đ tìm
(cid:0) ả Ví d 10:ụ ế ươ Vi t ph ầ ượ Q(1;2) l n l t là chân đ (cid:0) Đ nh h ị ướ ng: ế ọ ộ ế ả t bài toán cho ta bi thi Gi ng ế cao c a ủ ượ ọ ộ ự c t a đ tr c tâm H , n u tìm đ ớ ế ả c gi thì bài toán đ i quy t. Liên quan t i chân ớ ớ ườ i nh n xét 4 khi đó H là tâm ng cao ta nh t đ ườ ộ ế ng tròn n i ti p đ hay H là giao đi m 3 ườ đ ng phân giác trong c a 3 góc trong ử ụ S d ng tính ch t đ ọ ộ ể t a đ đi m H. ờ i: L i gi
= -
ọ ủ
P
(
;2)
4 5
= -
(cid:0) ng phân giác trong ta có: uuur uuur PF PQ
uuur PH
1 3 uuur EH
H
1 3
=
(cid:0) ạ Ta l i có: ể G i P là giao đi m c a AE và QF. ấ ườ Theo tính ch t đ PQ QE 4 = (cid:0) = EF PF 5 PH PF = EH EF
(0;1) r uuur n EH=
(1;3)
ẳ nên có ph ngươ
n
(cid:0) HF
)1;2(
=
(cid:0) ườ ẳ ươ nên có ph ng trình:
uuur r n QH=
(1; 1)
1 = (cid:0) 3 ườ Đ ng th ng BC đi qua E(1;2) và có VTPT trình: x+3y+7=0 Đ ng th ng AC đi qua F(2;2) và có VTPT 2x+y6=0 ườ Đ ng th ng AB đi qua Q(1;2) và có VTPT trình
- ẳ nên có ph ngươ
16
ươ ạ ậ xy+3=0 V y ph ng trình các c nh là AB: xy+3=0; AC: 2x+y6=0; BC: x+3y+7=0.
ẳ ặ ộ ế ườ
ạ ừ B, C c a tam giác ABC l n l
ủ ạ ế ứ ươ ộ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC n i ti p đ ườ ng cao h t ườ ng trình đ ng tròn ngo i ti p t ng tròn ầ ượ t ế t giác BCHK bi
ế ộ ươ ọ Ví d 11:ụ tâm I(1;2), bán kính R=5. Chân đ là H(3;3), K(0;1). Vi đi m A có tung đ d t ph ng.
ng:
ộ ươ ợ ớ ộ ể ọ t đi m A có tung đ d ng g i cho ta nghĩ t i tìm t a đ đi m A. Bi ế t
ớ ớ ườ i nh n xét 2:
ng cao H, K và tâm I đ ượ ọ ộ ể ạ ế ng tròn ngo i ti p ta nh t ế ọ ộ ể ồ ậ c t a đ đi m A r i tìm ti p t a đ đi m B, C. ể (cid:0) Đ nh h ướ ị ể ế ả thi Gi t a ọ ộ đ chân đ IA (cid:0) (cid:0) ườ ừ .T đó tìm đ ả
IA (cid:0) HK ng tròn (I;IA).
.
A
t
H
ﾷ (1)
K
ộ ế
HK ờ L i gi i: ướ ế ứ c h t ta ch ng minh Tr ủ ườ ế ẻ ế K ti p tuy n At c a đ Ta có ﾷ = ACB BAt D th y t ﾷ = ACB AKH
I
ễ ấ ứ giác BCHK n i ti p ﾷ (cid:0)
B
C
(cid:0) ừ
ABC
2
y
25
(
(2) ﾷ ﾷ = BAt AKH IA (cid:0) (cid:0) IA (cid:0) HK. ạ ế ng tròn ngo i ti p 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) .
y
4
0
x
3
11
0
4
y 2
2
x
(
)1
25
)2 ng)
ể ớ ươ ng trình (cid:0) (cid:0) (cid:0) At//HK mà At (cid:0) ươ ườ ng trình đ x ( )1 )2 ườ x T (1) và (2) (cid:0) Ph là Đ ng th ng IA đi qua đi m I(1;2) và vuông góc v i HK nên có ph 3 ẳ 11 . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m A là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) y x y 3
01 0
12
2 ng th ng AB đi qua hai đi m A(3;5); K(0;1) là x ng th ng AC đi qua hai đi m A(3;5); H(3;3) là y
x
y ( ộ ươ ể A(3;5) (vì đi m A có tung đ d ể ể 01
2
B
)3;1(
2
2
x
y
(
)1
(
)2
25
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ ườ ẳ ẳ (cid:0) ươ Ph ươ Ph ng trình đ ng trình đ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m B là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
y
3
12
0
C
)2;6(
2
2
x
y
(
)1
(
)2
25
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m C là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
17
'
ể ế ứ ạ giác BCHK có tâm J là trung đi m BC, bán kính
2
2
ườ Đ ng tròn ngo i ti p t R (cid:0) BC 2
x
y
(
(
)
)
7 2
1 2
25 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ườ Ph ng trình đ ầ ng tròn c n tìm là .
ườ ẻ ừ ắ ườ ng cao k t B và C c t đ ng tròn Ví d 12ụ : Cho tam giác nh n ABC. Các đ
D ế ạ ế ABC M ngo i ti p i ạ ( ) t và N(1;3) (khác B, C). Trung tuy n AD có
ươ ộ ỉ ế ủ ể ọ 21 7 ; 5 5 ọ ng trình 3xy6=0. Tìm t a đ các đ nh A, B, C bi t trung đi m D c a BC
ph ộ có tung đ nh h n 1.
ướ ể ể ấ c? Ta th y đi m A có nhi u gi
ề ệ ể ế ơ ươ ng th ng AD đã có ph
ủ ừ ể
ừ
ộ ự ủ ọ ộ ể ọ ộ ể ộ ả ỏ ơ (cid:0) Đ nh h ướ ị ng: ể Trong ba đi m A, B, C ta tìm đi m nào tr ộ ườ thi t h n, vì A thu c đ ớ v i các đi m M, N đã bi AM=AN(=AH) nên A thu c trung tr c c a MN, t tìm t a đ đi m B, C ta ph i tìm t a đ đi m D, đi m D liên h t ả ẳ ng trình. Hãy liên h đi m A ấ ấ ế ọ t t a đ ? T tính ch t c a tr c tâm ta th y ể ườ ng
= = D ạ ế ờ ệ ứ ể AH AN ID ABC . Đ ngườ tròn ngo i ti p và hai đi m A, H nh h th c
D D AMN ABC ự ọ ộ ể đó suy ra t a đ đi m A. Đ ệ ớ ể i tâm I đ 1 2 ượ ọ ộ ể c t a đ đi m 1 2 , suy ra đ
A
M
là đ ừ ng tròn ngo i ti p ả ượ i đ ạ ế c bài toán. (cid:0)
E
F
I
N
ượ ễ ớ ố ứ c M, N đ i x ng v i
H
2
2
B
C
ộ ườ ạ ế tròn ngo i ti p ọ ộ ể I và t a đ đi m D. T đó gi ả ờ i: L i gi ứ Ta d dàng ch ng minh đ H qua AC và AB nên AM=AH=AN . Vì A thu c AD nên A(a;3a6).
D
2
2
2 +
= (cid:0) = AM AN AM AN
2 = )
(cid:0) - - - - a a ( ) a (3 ( + 1) a (3 9) 21 5 37 5 (cid:0) (cid:0)
D ạ ể ươ ABC Đ ng tròn ngo i ti p đi qua ba đi m A, M, N nên có ph ng trình:
2 4 y Tâm I đ
= a 3 A(3;3). ườ 2 + - - ế . x 0 (cid:0) D x ườ ạ ế ABC = y 2 ng tròn ngo i ti p là I(2;1). (cid:0) ộ
= = = AH AN ID Ta có ID2 =(t2)2+(3t7)2 = (cid:0) .2 1 (t2)2+(3t7)2=1 Vì D thu c AD nên D(t;3t6) 1 2 1 2 1 2
18
2
= (cid:0) (cid:0) t D 2 (2;0) (cid:0) (cid:0) - t 10 + t 46 = (cid:0) 52 0 (cid:0) (cid:0) = t D ( ) (cid:0) 13 5 13 9 ; 5 5
ộ ỏ ơ ;0).
ớ ươ ng trình y=0.
2
2
ườ ẳ ọ ộ ể ệ Vì D có tung đ nh h n 1 nên D(2 Đ ng th ng BC đi qua D(2;0) và vuông góc v i ID nên có ph T a đ đi m B, C là nghi m c a h = (cid:0) = (cid:0) y 0 (cid:0) ủ ệ : y 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = + - - (cid:0) (cid:0) x x 0; 4 (cid:0) x = y 2 (cid:0) x 4 ặ
y 0 B(0;0) ; C(4;0) ho c B(4;0) ; C(0;0). ặ ậ V y A(3;3); B(0;0); C(4;0) ho c A(3;3); B(4;0); C(0;0)
ặ ệ ử t:
ỉ ọ ặ ẳ
ớ ắ ế ườ ấ ủ ộ ẳ Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC vuông cân đ nh A, ạ i ng trung tuy n. Đ ng th ng qua A và vuông góc v i BM c t BC t
ủ ọ ộ ỉ ị ủ t tr ng tâm c a tam giác ABC là G(2;2). Xác đ nh t a đ các đ nh c a
ng:
ế ọ ầ ọ
ế ấ ộ ể t t a đ đi m G và t a đ đi m E ta c n xoay quanh hai ượ c (cid:0) ủ ể ạ ứ i trung đi m N c a BC. vuông cân t (cid:0)
B
1
(cid:0)
GN
GE
2
(cid:0) ể ặ 3.2. Các bài toán s dung tính ch t c a tam giác đ c bi Ví d 13:ụ ườ BM là đ đi m ể ế ọ E(2;1). Bi tam giác ABC. (cid:0) Đ nh h ướ ị ộ ể ỉ ế ả t ch cho bi Gi thi ẽ ậ ừ ự ể đi m này. T tr c quan hình v ta nh n th y GE//AC. N u ch ng minh đ ề ậ ượ ể đi u này thì có th suy lu n đ c NEG ườ ự ủ ng trung tr c c a GE MN là đ ự ậ ượ c PT trung tr c MN l p đ (cid:0) đi m N
N
E
G
H
C
A
M
ấ ọ tính ch t tr ng tâm tam giác. M t khác (cid:0) (cid:0) ừ i: (cid:0) AN (cid:0) BC. (cid:0) ọ ọ ủ BH (cid:0) AE
(cid:0)
NEG MN là đ
(cid:0) GE//AC. vuông cân t i N (cid:0) ể Đi m A t ả ờ L i gi ể G i N là trung đi m BC ể G i H là giao đi m c a BM và AE (cid:0) ự G là tr c tâm tam giác ABE GE (cid:0) AB (cid:0) Ta có ANC (cid:0) vuông cân t (cid:0) ự ủ ườ ạ i Nạ ng trung tr c c a GE
19
=
(cid:0) ủ ạ ơ ể Đ ng th ng MN đi qua trung đi m I(2;3/2) c a đo n GE và có vec t pháp
(0;1)
3(cid:0)y 2
1
1
ươ tuy n ế nên có ph ng trình . ườ ẳ uuur r n EG=
GN
GE
;(aN(cid:0)
)
;
(N
)
3 2
3 2
3 2
= -
(N
;
)
2 uuur GA
2 uuur (cid:0) GN 2
(cid:0) (cid:0) (N ; ) mà (cid:0) ho c ặ . 5 2 3 2
3 2
*)V i ớ ta có: A(3;3).
ươ ể
3 2 ẳ ẳ ẳ
y
B
)3;0(
3 y
x
3
0
ng trình x+y3=0 ươ ươ ườ ườ ườ Đ ng th ng BC đi qua hai đi m N, E nên có ph Đ ng th ng AB đi qua A và song song v i MN nên có ph Đ ng th ng AC đi qua A và vuông góc v i MN nên có ph ng trình y3=0. ng trình x3=0. (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ớ 0 (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ . T a đ đi m B là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
C
)0;3(
3 y
x x
0 3
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ . T a đ đi m C là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(N
)
;
GA
GN
2(cid:0)
5 2
3 2
(cid:0) *)V i ớ ta có (cid:0) A(1;3)
ươ ươ ươ ng trình AC: x1=0;
ự ư ươ ng trình BC xy1=0; ph ng t ng trình AB: y3=0; ph ;3); C(1 ;0).
ậ ặ Ph nh trên ta có B(4 Hoàn toàn t V y A(3;3); B(0;3); C(3;0) ho c A(1;3); B(4;3); C(1;0).
ượ ả Trong ví d này ta c n ph i tìm đ c tính ch t hình h c n (cid:0) Nh n xét: ậ (cid:0) ượ ụ cân t ấ ọ ẩ ấ ủ ậ ừ tính ch t c a tam
ạ ầ ề i N. Đi u này đ ế ườ trong bài toán là NEG giác vuông cân t ạ i A: trung tuy n AN là đ c suy lu n t ng cao và AN=NC=NB.
ẳ ặ ỉ ộ
ươ ươ ng ể ng trình x+y+1=0; đi m
A
Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC cân đ nh A, ph ẻ ừ ng cao k t ọ ộ B có ph ỉ ọ ườ C. Tìm t a đ các đ nh A,B,C.
ườ
H
ể
M
N
ẻ ừ ng cao k t B ế ả t thi C và tam giác ậ
I
ượ ươ
B
C
D
ạ ẻ ừ ế t đã cho ta l p ng th ng đi qua M và B t i N;
ẳ ẻ ừ ng cao AH suy ra
ườ Ví d 14:ụ ạ trình c nh BC là 2x+y2=0; đ ộ ườ ẻ ừ M(1;1) thu c đ ng cao k t (cid:0) Đ nh h ướ ị ng: ạ ươ ế ng trình c nh BC và đ t ph Bi ượ ọ ộ ể c t a đ đi m B. Ta còn gi ta tìm ngay đ ộ ườ đi m M(1;1) thu c đ ng cao k t ả ớ ỉ thi ABC cân đ nh A. V i 4 gi ườ ng trình đ c ph ngay đ ắ ườ ớ ng cao k t song song v i BC c t đ ố ứ ườ M, N đ i x ng nhau qua đ ể ộ trung đi m I c a MN thu c AH. ươ ậ ượ Ta l p đ ng cao AH và tìm ủ c ph ng trình đ
20
ủ ể ừ ọ ộ c trung đi m D c a BC t đó suy ra t a đ
y
x
0
B
)4;3(
y
2 01
(cid:0) ả ượ đ đi m Cể ờ L i gi i: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể ủ ệ ệ T a đ đi m B là nghi m c a h : . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ẳ ươ
2 x ớ ng cao k t
y
0
N
)5;4(
y
01
ườ ọ ộ ẻ ừ ườ ng trình 2x+y3=0 ủ ệ ệ B là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ ng th ng d đi qua M và song song v i BC có ph ể T a đ giao đi m N c a d và đ x 2 x
I
(
)2;
5 2
(cid:0) ể ọ ộ ủ Trung đi m I c a MN có t a đ
ạ ự ủ ố ứ i A nên M, N đ i x ng nhau qua trung tr c c a BC nên I
ộ ườ Vì tam giác ABC cân t ng cao AH. thu c đ
x
y
2
0
^ BC nên có ph
13 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ ẳ ươ Đ ng th ng AH đi qua I và AH ng trình .
x
2
2
0
D
(
;
)
C
(
;
)
21 5
11 5
x
y
2
0
6 5
2 5
13 2
ọ ộ ể ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ệ ủ T a đ trung đi m D c a BC là nghi m c a h : y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ớ ườ ườ ẳ ẳ Đ ng th ng CA đi qua C và vuông góc v i đ ng th ng x+y+1=0 nên có
x
(cid:0) y
0
8 (cid:0) 5
(cid:0) ươ ph ng trình .
x
y
2
0
13 2
A (
;
)
33 10
49 10
x
y
0
8 5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ệ ọ ộ ệ ể T a đ đi m A là nghi m c a h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
B
C
A (
);
);4;3(
(
;
;
)
33 10
49 10
6 5
2 5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V y ậ .
ặ ẳ ọ ộ ạ Ví d 15ụ : Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC cân t
ể ạ ế ườ ẻ ừ ể là trung đi m c nh BC. Bi t chân đ ng cao k t B là đi m và )
D - + = x y : 2 0 ườ ạ ể ằ ẳ ng th ng i A có M(3;2) 6 13 K - ; ( 5 5 ộ ọ . Tìm t a đ các
ướ trung đi m c nh AB n m trên đ ỉ đ nh A,B,C. (cid:0) Đ nh h ị ng:
21
D : 2 0 ộ ế ủ t trung đi m N c a AB thu c
ọ ướ ể - + = x y ợ ể g i cho ta nghĩ t ệ ớ ố c. N và hai đi m M, K có m i liên h v i nhau nh th ớ i ư ế
ộ ể
ể ễ ậ ộ
ậ nên l p đ
ớ c t a đ đi m N. V i ấ c đi u gì? D th y ọ ng trình AC. Tham s hóa t a đ đi m A suy ra t a ử ụ ể Bài toán cho bi ộ ể tìm t a đ đi m N tr nào? Hai tam giác AKB và AMB vuông nên NK=NM ta tìm đ ế ọ ể t t a đ có th suy lu n đ ba đi m M, N, K đã bi AC MNP ươ ượ c ph ố ộ ể đ đi m B theo tham s và s d ng AM ượ ọ ượ ề ọ ộ ể ố ^ BM đ tìm tham s . ố (cid:0) i: ờ L i gi
A
2
2
2
2 +
ọ D ể - + = y x : nên N(t;t+2).
2 = + t (
2 + - (
N
K
= (cid:0) (cid:0) - NM NK t t t 3) ( ) ) ả G i N là trung đi m AB. 2 0 Vì N thu c ộ Ta có tam giác AKB và AMB vuông nên NK=NM 3 5 6 5 = (cid:0) t 1
B
C
M
(cid:0) N(1;3).
ườ ẳ và có vec tơ ) Đ ng th ng AC đi qua K - (
= - ươ ỉ ươ 6 13 ; 5 5 nên có ph ng trình : r uuuur u MN= ( 2;1)
(cid:0) B(2a2;6a)
= - (cid:0) - - - a a a a (2 5;4 ) ng ch ph x+2y4=0 A thu c AC nên A(42a;a) uuur = MB (1 2 ; 2) ;
2
- - - - a a a ộ uuur MA Ta có : uuur uuur MA MB . = (cid:0) 0 a (1 2 )(2 + 5) ( = 2)(4 ) 0
(cid:0) - a 5 + a 18 = 13 0
= (cid:0) (cid:0) a A (2;1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) - (cid:0) a K A ( ) (cid:0) 1 13 5 6 13 ; 5 5 (cid:0) ể
ủ ể ;1)
A(2;1) . Vì N(1;3) là trung đi m AB nên B(0;5) . ể ậ Đi m M(3;2) là trung đi m c a BC nên C(6 V y A(2;1); B(0;5); C(6;1).
ố
ề ẳ ạ
ớ ệ ọ ủ ố ứ ủ ể Ví d 16ụ : (Đ thi THPT qu c gia năm 2015) ặ ọ ộ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC vuông t i A. G i H là ế hình chi u vuông góc c a A trên BC. D là đi m đ i x ng c a B qua H; K là hình
22
ẳ ng th ng AD. Gi s H(5 ;5); K(9;3) và trung
ủ ộ ườ chi u vuông góc c a C trên đ đi m c nh AC thu c đ
ả ử : xy+10=0. Tìm t a đ đi m A. ể ể ế ọ ộ ườ ẳ ng th ng d ướ : Bài toán cho bi ọ ộ ể ộ t t a đ hai đi m H, K và đi m M thu c ng
ư ượ ứ ừ ế ạ ể (cid:0) Đ nh h ị ngườ đ ươ c MH=MK, t
ễ ầ ố ớ
nh VD 14 ta d dàng ch ng minh đ ệ ữ ấ ẽ ộ đó tìm ể ể ta c n tìm m i liên h gi a đi m A v i 3 đi m đã ^ HM. Ch ng minh ứ
ờ ừ ự ượ ế ả ẳ th ng d, t ng t ượ ọ ộ ể đ ế ọ bi ượ đ ự c t a đ đi m M. Bây gi t t a đ là M, H, K. T tr c quan hình v ta th y AK c gi c đi u này thì bài toán đ i quy t. (cid:0) ề ờ L i gi ả : i
B
090
ﾷ Vì M thu c dộ : xy+10=0 nên M(t;t+10). Ta có ﾷ = nên MH=MK
2
H
K
2
2
2
= AHC AKC 2 = (cid:0) MK MH
2 + + t (
I
D
+ (cid:0) = - t ( 9) 13) 5) + + t (
t = (cid:0) (cid:0) 15) M (0;10) 0
A
C
M
ộ ế giác AHKC n i ti p nên
( cùng ph v i ﾷ ﾷ = HKA HCA ụ ớ ﾷABH ) (cid:0)
D ﾷ nên ﾷ (cid:0) cân đ nh Hỉ AKH = HKA HAD ( t ứ Vì t Mà ﾷ = HCA HAB ﾷ = HKA HAB Mà ﾷ = HAB HAD (cid:0)
(cid:0) HM là đ
ự ủ nên có ph ng trình: x+3y=0.
ẳ ẳ
ng trung tr c c a AK. r uuuur n HM= ươ ng trình: 3xy+10=0. ệ ươ ọ ộ ể ể ườ M t khác ta có MA=MK Đ ng th ng AK đi qua K và có VTPT Đ ng th ng HM có ph ủ ệ G i I là trung đi m AK, t a đ đi m I là nghi m c a h : + = (cid:0) ﾷ ﾷ ﾷ HA=HK. ặ ườ ườ ọ x (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) I A ( 3;1) ( 15;5) (cid:0) y 3 - + y 3 0 = 10 0
ậ
x V y A(15;5). (cid:0) Nh n xét: ậ ụ ế ứ
ấ ủ ể ỉ ề ề ấ
ớ ử ụ Trong ví d này ta s d ng tính ch t c a tam giác vuông : trung tuy n ng v i ọ ẩ ử ạ ằ ạ c nh huy n b ng n a c nh huy n đ ch ra tính ch t hình h c n trong bài toán ớ này là AK vuông góc v i HM.
ng t
ự : ẳ ự
ớ ệ ụ ọ ạ ế ẻ ừ ườ ng tròn ngo i ti p là I(3;3), chân đ ng cao k t
ỉ ậ ươ Bài t p t ộ ặ 1. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho tam giác ABC có tr c tâm H( ườ 1;3), tâm đ A là K(1;1). ọ ộ Tìm t a đ các đ nh A, B, C.
23
ặ ớ ệ ụ ọ
ẳ ườ ẻ ừ ộ ỉ ế ng trình đ
ươ ạ ng trình các c nh c a tam giác. t ph
2 +
t là x+2y5=0; 4x+13y10=0. ớ ệ ụ ọ ủ ộ ế ế ộ ặ ẳ ỉ ộ 2. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho tam giác ABC có đ nh C(4;3), ủ ươ ng phân giác trong và trung tuy n k t ph m t đ nh c a tam giác ầ ượ l n l Vi 3. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho tam giác ABC n i ti p đ ườ ng
2 = 3)
- - ươ ọ tròn (C) có ph ng trình , đi m Gể là tr ng tâm tam (1; ) x y ( 2) ( 26
ẳ ể ườ
ộ ể ớ ớ ế ằ ỉ ộ ọ ủ 8 3 ng th ng đi qua A và vuông góc v i BC, ơ t tung đ đi m B l n h n
ộ ẳ ớ ệ ụ ọ i A, H là
ể ế ủ M trung đi m c a BC, D là hình chi u vuông góc c a H trên AC, là trung ) (
ủ y+ - = x 4 0 ươ ườ ươ ẳ giác ABC và đi m M(7;2) n m trên đ M khác A. Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC bi ộ ể tung đ đi m C. ạ ặ 4. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho tam giác ABC cân t 3 11 ; 4 4 ng trình đ ườ ng ; ph
ng trình đ = 10 0 ể ẳ
ớ ệ ụ ọ x 3 ặ
ế ạ ạ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC c t BC t i D, đ
ườ ộ ạ ươ ể
ế t ph
ﾷADB có ph ẳ ườ ng th ng AC. ớ ệ ụ ọ ẳ
ạ ộ ạ ể ể ạ ọ ủ đi m c a HD, ph ng th ng BD: y+ - ọ ộ ể th ng AB: . Tìm t a đ đi m C. ế ộ ẳ 5. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), ti p ạ ế ắ ủ ườ i A c a đ tuy n t ng phân ủ giác trong c a góc ng trình xy+2=0, đi m M(4;1) thu c c nh AC. ươ ng trình đ Vi ộ ặ 6. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho tam giác ABC vuông t i A có ể AC=2AB. Đi m M(2;2) là trung đi m c nh BC. G i E là đi m thu c c nh AC
ủ ể ọ ị K sao cho EC=3EA, đi m ể ) là giao đi m c a AM và BE. Xác đ nh t a đ ộ (
ỉ ẳ ườ ằ t đi m E n m trên đ
ng th ng d: x+2y6=0. ọ 4 8 ; 5 5 ế ớ ệ ọ
ẳ ươ ườ ầ ượ ng th ng BC có ph - = x ứ y+ x 5 A và đ 4 0 ng trình l n l . Đ ng th ng qua A vuông góc v i BC c t đ
ạ ươ ớ t ph
ế ớ ơ ng th ng AB,AC bi
ặ ể ộ ườ ẳ ườ ế ứ ể i đi m th hai là D(4;2). Vi ộ ể t hoành đ đi m B không l n h n 3. ộ ớ ệ ọ ự
ể D ọ ọ ẳ v i h t a đ Oxy cho tam giác ABC có tr c tâm H(3;0) và ng trình: x+2y3=0. ộ ị . Xác đ nh t a đ ẳ B và C c a t là chân đ
ươ ỉ ủ ng th ng DE có ph
ươ ABC ng trình: x2=0. ạ ẳ
ọ ng trình: y+3=0 và đi m D(4;1). G i E,F l n l
ầ ượ ạ ế ộ ủ ạ ạ i A(1;2), c nh ể t là trung đi m các ng tròn ngo i ti p tam giác DEF đi ế ườ t đ
. M - + (2; 1
ủ các đ nh c a tam giác ABC bi ẳ ẳ v i h t a đ Oxy cho tam giác ABC nh n. Đ ng th ng ặ 7. Trong m t ph ng ẻ ừ ế t là ch a trung tuy n k t - = y- 8 0 3 ắ ườ ng và ạ ế ng trình các tròn ngo i ti p tam giác ABC t ẳ ườ đ 8. Trong m t ph ng ườ ạ trung đi m c nh BC là M(6;1). Đ ng th ng AH có ph ầ ượ ẻ ừ ườ ng cao k t G i D,E l n l ủ ẳ ế ườ các đ nh c a tam giác ABC bi t đ ớ ệ ọ ộ ặ 9. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho tam giác ABC vuông t ể ươ BC có ph ọ đo n BD, CD. Tìm t a đ c a B,C bi qua đi m ể 6)
24
ế ệ
ớ ộ ả ự ế
ạ ấ ọ ọ ướ ế
ấ
ỏ
ọ ọ ậ i bài toán. Các em t ữ ượ ớ
ệ ể ệ
ằ ng nhau c a l p 12C năm 20152016 b ng vi c gi
ộ ươ ặ ộ
ườ ằ ẳ
ả ằ ng th ng AB b ng 3 5 ”.
ừ ượ ế ả ủ ệ 4. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m: ầ ẳ trong quá trình gi ng d y ph n hình h c t a đ ph ng l p 10 và ôn Th c t ệ ị ớ ố ọ thi THPT qu c gia cho l p 12 tôi th y vi c đ nh h t khai ng cho h c sinh bi ẳ ộ ọ ọ ề ọ ể ả i bài toán v tam giác trong hình h c t a đ ph ng thác tính ch t hình h c đ gi ứ ả ướ ệ ra h ng thú tích ng gi giúp h c sinh phát hi n nhanh h ệ ớ ạ ể ề ự c c h c t p. Đi u này đ c ki m nghi m qua nh ng l p tôi d y: l p 10I năm ọ ặ ớ t ki m nghi m trên hai nhóm h c 20142015; l p 12C năm 20152016. Đ c bi ệ ả ủ ớ ươ ng đ sinh có trình đ t i ớ ệ ụ ọ ẳ ộ ế bài toán: “Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho tam giác ABC n i ti p ủ ự ườ ng tròn tâm I(1;2). Tr c tâm H c a tam giác ABC n m trên đ ng th ng d: x đ ế ộ ể ọ ươ ườ ẳ 4y5=0. Đ ng th ng AB có ph t ng trình 2x+y14=0. Tìm t a đ đi m C bi ẳ ế ườ kho ng cách t C đ n đ ể ệ ở ả ả K t qu thu đ c th hi n b ng sau:
ờ ờ Nhóm ọ h c i gi
ng
ố S HS có l ố ượ S l 19 15 ả i gi i %ỉ ệ T l 95% 75% ố S HS có l ố ượ S l ng 15 10 ả i đúng %ỉ ệ T l 75% 50%
ố S sinh 20 I 20 II
Ậ Ế III. K T LU N
ạ ố ớ
ế ng pháp gi
ư ạ
ả ọ ọ ẫ ủ i các bài toán hình h c t a đ
ẳ ầ ẽ ướ ọ ậ ầ thi
ớ ọ ấ ủ ệ ữ ự ố ầ
ả ộ ệ ố ủ ọ ư ể ả ỹ duy và k năng làm bài c a h c sinh.
ộ ọ ị
ạ
ậ ụ ể ư
ả ươ ả ế ạ ủ t cho bài d y c a mình. ươ ộ ọ ọ
ể ả ế i chúng. Trong bài vi
ề ề ặ
ỉ ớ ư ọ ọ ủ ư ế ớ ọ ọ ỗ Trong quá trình d y h c , đ i v i m i bài toán nói chung và bài toán hình h c ả ợ ươ ơ ở ế ế t tìm ra c s lý thuy t , đ a ra ph nói riêng, n u giáo viên bi i h p ậ ụ ẽ ạ ượ ự ứ ộ c s h ng ng d n h c sinh v n d ng m t cách linh ho t thì s t o đ lý và h ọ ọ ộ ọ ạ thú h c t p c a h c sinh. Khi d y h c sinh gi ế ủ t c a bài ph ng c n yêu c u h c sinh v hình tìm m i liên h gi a các gi ậ ừ toán v i các tính ch t c a hình . Giáo viên c n xây d ng m t h th ng bài t p t ễ ế d đ n khó đ nâng cao kh năng t ề ạ Là m t giáo viên tôi xác đ nh cho mình ph i luôn t o cho h c sinh ni m ọ ậ ọ ứ h ng thú say mê trong quá trình h c t p; luôn c i ti n ph ng pháp d y h c, ứ ế duy, v n d ng ki n th c ph c v t phát tri n t ẳ ộ Bài toán hình h c t a đ ph ng r t đa d ng không có m t ph chung nào đ gi bài toán tam giác hay g p trong đ thi đ i h c, đ thi h c sinh gi ầ đ y đ , ch a bao quát h t, v i mong mu n giúp cho h c sinh có đ nh h ụ ụ ố ạ ấ ộ ố t này tôi ch m i đ a ra m t s ví d v ạ ọ ư ỏ i nên ch a th ướ ị ố ng t ng pháp ụ ề ể ố t
25
ậ ượ ữ
ượ ủ c nh ng góp ý chân thành c a ơ c hoàn thi n h n.
Ủ ƯỞ
Ủ
Ậ
t c a tôi đ ả ơ
Ơ Ị NG Đ N V :
ặ ơ h n khi g p các bài toán này , tôi mong nh n đ ệ ế ủ ể ệ ồ đ ng nghi p đ bài vi Tôi xin chân thành c m n! XÁC NH N C A TH TR
ủ ế ủ t c a i khác.
ườ ế Thanh Hóa ngày 25/5/2016 Tôi xin cam đoan đây là bài vi ườ mình không sao chép c a ng i vi Ng t:
ươ ị D ng Th Thu
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O
ọ
ổ ẻ ố ố ề ề ườ ệ
ủ ả ọ 1. Báo Toán h c và Tu i tr ủ ở ử ộ 2. Đ thi th THPT Qu c gia c a S GD và ĐT Hà N i ơ ủ ử ng THPT Anh S n 2 Ngh An 3. Đ thi th THPT Qu c gia c a tr ụ 4. Sách:”Chinh ph c hình h c gi i tích” c a nhóm LOVEBOOK
26
