TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
NGUYỄN THỊ THU
TÌM HIỂU VỀ PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ
MOMEN VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG
PHÁP THỐNG KÊ MOMEN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH
HÀ NỘI – 2017
LỜI CẢM ƠN
Đề tài: “Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng
dụng của phương pháp thống kê momen” đã đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực
của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy cô, bạn bè.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo
hƣớng dẫn – TS. Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo em trong
quá trình hoàn thành đề tài.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn
thành đề tài này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bƣớc đầu làm quen
với phƣơng pháp nghiên cƣú khoa học nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót và hạn chế. Vì vậy em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của các
thầy cô và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày …. tháng …. năm 2017
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu
LỜI CAM ĐOAN
Đây là đề tài nghiên cứu khoa học do em thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn
của cô Phạm Thị Minh Hạnh.
Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này
là trung thực và không trùng lặp với các khóa luận khác. Em cũng xin cam
đoan rằng sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã đƣợc cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong khóa luận này đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc. Nếu sai em
xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày …. tháng …. năm 2017
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 2
CHƢƠNG 1. PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN .................................. 3
1.1. Momen và hàm tƣơng quan ....................................................................... 3
1.1.1. Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng
lƣợng tự do ........................................................................................................ 4
1.1.2. Hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q ................ 7
1.2. Công thức tổng quát về momen ............................................................... 14
1.2.1. Công thức tổng quát về momen ............................................................ 14
1.2.2. Các ví dụ về momen tƣơng quan bậc cao ............................................. 15
1.3. Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do ............................................. 18
Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 20
CHƢƠNG 2. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ
MOMEN .......................................................................................................... 21
2.1. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của
tinh thể ............................................................................................................. 21
2.1.1. Trƣờng hợp mạch thẳng ........................................................................ 21
2.1.2. Trƣờng hợp lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối .................. 29
2.2. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất đàn hồi của
tinh thể. ............................................................................................................ 37
2.2.1. Các khái niệm cơ bản ............................................................................ 37
2.2.2. Các yếu tố cơ bản của lí thuyết biến dạng đàn hồi ............................... 40
Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 46
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 48
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đã biết rằng khi sử dụng phƣơng pháp thống kê lƣợng tử để
nghiên cứu dao động điều hòa của mạng tinh thể, nhiệt dung riêng đẳng tích
của vật rắn theo mô hình Einstein và Debye vẫn có sự sai khác so với thực
nghiệm ở vùng nhiệt độ cao do không tính đến đóng góp phi điều hòa của
dao động mạng.
Trong 20 năm trở lại đây, có một phƣơng pháp thống kê mới gọi là
phƣơng pháp thống kê momen đƣợc xây dựng từ phƣơng pháp thống kê
lƣợng tử. Đây là một phƣơng pháp thống kê mới đã và đang đƣợc áp dụng để
nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các tinh thể. Việc nghiên
cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể theo phƣơng pháp thống
kê momen là một trong những vấn đề hấp dẫn, lý thú, thu hút đƣợc sự quan
tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm.
Với mong muốn tìm hiểu về phƣơng pháp thống kê momen cũng nhƣ
mở rộng hiểu biết về những ứng dụng của phƣơng pháp này. Đồng thời, bƣớc
đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tôi đã chọn đề tài :“ Tìm
hiểu về phƣơng pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phƣơng
pháp thống kê momen“ làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đ ch nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của khóa luận là: Tìm hiểu hƣơng pháp thống kê
momen và ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung tìm hiểu phƣơng pháp thống kê momen và một vài
ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen.
1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt đƣợc mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu và tìm hiểu phƣơng pháp thống kê momen.
- Áp dụng các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp thống kê momen để ứng
dụng trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu.
- Đọc và tra cứu tài liệu.
2
CHƢƠNG 1
PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN
1.1. Momen và hàm tƣơng quan
Giả sử có một tập các biến số ngẫu nhiên q1, q2, …, qn tuân theo quy luật
thống kê, đƣợc mô tả bởi hàm phân bố ω(q1, q2, …, qn). Hàm này thỏa mãn
điều kiện chuẩn. Trong lí thuyết xác suất momen cấp m đƣợc định nghĩa nhƣ
sau:
(1.1)
Momen này còn gọi là momen gốc. Ngoài ra còn có định nghĩa momen
trung tâm cấp m:
(1.2)
Nhƣ vậy đại lƣợng trung bình thống kê chính là momen cấp một và
phƣơng sai chính là momen trung tâm cấp hai. Từ các định
nghĩa trên ta thấy rằng, về nguyên tắc nếu biết hàm phân bố ω(q1, q2, …, qn)
hoàn toàn có thể xác định đƣợc các momen.
Trong vật lí thống kê cũng có định nghĩa tƣơng tự. Riêng đối với hệ lƣợng
tử đƣợc mô tả bởi toán tử thống kê , các momen xác định nhƣ sau:
(1.3)
Toán tử tuân theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử.
trong đó […, …] là dấu ngoặc poisson lƣợng tử.
3
Nhƣ vậy, nếu biết toán tử thống kê thì có thể tìm đƣợc momen. Tuy
nhiên việc tính các momen không phải là bài toán đơn giản. Ngay đối với hệ
cân bằng nhiệt động, dạng của thƣờng đã biết (phân bố chính tắc, chính tắc
lớn, …) nhƣng việc tìm các momen cũng rất phức tạp.
Giữa các momen có mối quan hệ với nhau. Momen cấp cao có thể biểu
diễn qua momen cấp thấp hơn. Các hệ thức liên hệ giữa các momen đóng vai
trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi
tuyến. Việc chứng minh tổng quát đối với hệ lƣợng tử để tìm hệ thức liên hệ
giữa các momen sẽ đƣợc xây dựng trong phần này.
Xét một hệ lƣợng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hƣớng tọa
độ suy rộng Qi. Nhƣ vậy Hamiltonian của hệ có dạng:
(1.4)
với là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng.
Dƣới tác dụng của ngoại lực không đổi, hệ chuyển sang trạng thái cân bằng
nhiệt động mới, đƣợc mô tả phân bố chính tắc:
(1.5)
trong đó ψ là năng lƣợng tự do của hệ, kB là hằng số Boltzmann.
1.1.1. Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng
lượng tự do
Thực hiện đạo hàm theo ngoại lực aK đối với điều kiện chuẩn của toán tử
thống kê.
(1.6)
Sử dụng các công thức toán tử:
4
(1.7)
trong đó:
là các toán tử tùy ý, λ và τ là các thông số.
Đạo hàm theo aK biểu thức (1.6), ta đƣợc:
(1.8)
Đặt và . Áp dụng công thức đạo hàm theo
thông số của toán tử (1.7) cho số hạng thứ 2 trong (1.8) ta đƣợc:
5
Chú ý rằng: , do đó ta có:
(1.9)
(1.10) trong đó:
Vì:
và nên (1.9) đƣợc viết lại dƣới dạng:
(1.11)
. trong đó <…>a biểu thị trung bình theo
6
Đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có và do đó .
Nhƣ vậy ta thu đƣợc hệ thức:
(1.12)
Công thức (1.12) cho phép tính năng lƣợng tự do của hệ lƣợng tử khi có
ngoại lực tác dụng.
1.1.2. Hàm tương quan giữa đại lượng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q
Để xác định hàm tƣơng quan giữa một đại lƣợng tùy ý F và tọa độ suy
rộng Q, trƣớc hết ta lấy đạo hàm biểu thức giá trị trung bình của F theo ngoại
lực aK:
(1.13)
Đạo hàm toán tử theo aK bằng:
nên ta có:
(1.14)
Thế (1.14) vào (1.13) ta đƣợc:
7
Mặt khác, từ (1.12) ta có: nên
(1.15)
Kết quả này cho phép xác định hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ
suy rộng Q dƣới dạng:
(1.16)
Xét trƣờng hợp , thay vào (1.16) ta đƣợc:
(1.17)
Cho k = 1, từ phƣơng trình (1.16) ta có:
8
(1.18)
Trong phƣơng trình (1.18), thay thu đƣợc:
(1.19)
Cộng vế với vế các phƣơng trình (1.17) và (1.19) ta đƣợc:
Chú ý rằng: và
suy ra:
Từ đó ta có:
9
(1.20)
(1.20) chính là kết quả thu đƣợc bởi Cramononvich bằng phƣơng pháp
thông số trật tự của Feymann.
Trong công thức (1.18) toán tử là tùy ý, do đó có thể thay thế bởi toán
tử :
(1.21)
Ta có đối với hệ cân bằng nhiệt động , trong đó:
(1.22)
Thực vậy, với n = 1, ta có:
suy ra . Vậy ta có:
(1.23)
Áp dụng tính chất không phụ thuộc thời gian của trung bình đạo hàm theo
thời gian, ta đƣợc:
10
suy ra: (1.24)
Đặt n = 0 vào (1.24) ta có:
(1.25)
Kết hợp (1.23), (1.24) và (1.25) ta đƣợc:
Tƣơng tự ta có:
(1.26)
Thực vậy, vì:
Áp dụng (1.24), suy ra:
Thay bởi vào (1.23) ta đƣợc:
(1.27)
Kết hợp (1.24), (1.26) và (1.27) ta đƣợc:
Tƣơng tự trên, trƣờng hợp tổng quát ta có hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng
và :
11
(1.28)
Nhờ phƣơng trình (1.28) ta viết lại phƣơng trình (1.16) nhƣ sau:
Nếu cộng các số hạng cùng bậc của (1.29) ta đƣợc:
Tƣơng tự ta có:
Cộng các phƣơng trình (1.30) và (1.31) vế với vế ta đƣợc:
12
trong đó B2m là hệ số Becnulli.
Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ
và . Đại lƣợng QK. Muốn vậy cần phải biết các đại lƣợng
có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn đƣợc xác
định từ các phƣơng trình động lực.
Trƣờng hợp đặc biệt ta có biểu thức xác định chính xác đối với
phƣơng sai:
(1.33)
Chú ý rằng QK không phụ thuộc rõ ràng vào aK, nên đối với hệ cổ điển
công thức (1.33) trở nên đơn giản:
(1.34)
Trƣờng hợp đặc biệt ta thu đƣợc hệ thức cho phép xác định thăng
giáng của xung lƣợng:
(1.34a)
Ngoài ra, từ (1.32) có thể xác định hàm tƣơng quan giữa và đối với
hệ có Hamiltonian :
13
(1.35)
Trong đó <…> biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltonan
.
1.2. Công thức tổng quát về momen
1.2.1. Công thức tổng quát về momen
(1.32) đƣợc sử dụng để viết công thức truy chứng đối với momen tƣơng
quan cấp cao. Muốn vậy, ta đƣa vào định nghĩa toán tử tƣơng quan cấp n:
(1.36)
Ví dụ toán tử tƣơng quan cấp 1 chính là tọa độ suy rộng . Toán tử
tƣơng quan cấp 2 có dạng:
(1.37)
Tƣơng tự ta có:
Thay trong (1.32) ta thu đƣợc:
14
Lƣu ý rằng và thay k =
n + 1 vào phƣơng trình (1.39) ta đƣợc công thức truy chứng:
Công thức này là công thức tổng quát của momen cho phép xác định các
momen cấp tùy ý. Đó là công thức xác định momen cấp cao qua momen cấp
thấp hơn, thậm chí có thể biểu diễn qua momen cấp 1. Nhƣng biểu thức thu
đƣợc khá phức tạp. Đối với các hệ cụ thể, nó có thể có dạng đơn giản hơn.
1.2.2. Các ví dụ về momen tương quan bậc cao
Thay n = 1 vào (1.40) ta thu đƣợc biểu thức momen tƣơng quan bậc 2:
hay:
Thay n = 2 vào (1.40) ta đƣợc biểu thức momen tƣơng quan bậc 3:
15
trong đó là toán tử hoán vị vòng chỉ số. Biểu thức (1.42) có thể viết dƣới
dạng gọn hơn:
các số hạng có
(1.43)
Tƣơng tự, thay n = 3 vào (1.40) ta thu đƣợc biểu thức momen tƣơng quan
bậc 4:
+ các số hạng có chứa (1.44)
16
Biểu thức cho momen bậc cao hơn có dạng phức tạp hơn. Từ kết quả nhận
đƣợc ta thấy rằng hoàn toàn có thể xác định các momen của hệ nếu biết
Các đại lƣợng có thể tìm
đƣợc từ điều kiện cân bằng của hệ, còn đƣợc tìm từ phƣơng trình
động lực học.
Trƣờng hợp cổ điển các công thức trên nhận đƣợc dạng khép kín. Thực
vậy, đối với hệ cổ điển hệ thức xác định momen tƣơng quan cấp cao có dạng:
(1.45)
Điều đó có nghĩa là từ điều kiện cân bằng tìm đƣợc đại lƣợng và do
đó có thể tìm đƣợc tất cả các momen tƣơng quan.
Ta có thể viết (1.45) dƣới dạng:
(1.46)
trong đó toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán sau:
Trƣờng hợp thông thƣờng biểu thức (1.46) có dạng:
(1.47)
Đối với hệ cổ điển, nếu đƣa vào định nghĩa momen trung tâm bậc n:
(1.48)
17
thì ta nhận đƣợc công thức khép kín:
(1.49)
trong đó là toán tử hoán vị vòng chỉ số. Công thức (1.49) có thể dễ
dàng đƣợc chứng minh bằng cách lấy đạo hàm theo an biểu thức đối với
.
Biểu thức của momen trung tâm có dạng:
(1.50)
Từ (1.49) dễ nhận thấy đối với hệ cổ điển tuyến tính, các momen trung tâm
bậc lẻ bằng không, còn các momen bậc chẵn khác không.
(1.51)
Cũng có thể viết công thức này dƣới dạng:
(1.52)
trong đó P, π dƣới dấu có nghĩa rằng tổng đƣợc lấy theo tất cả các sự
phân hoạch có thể có của các chỉ số 1, 2,…,2n thành cặp.
1.3. Công thức tổng quát t nh năng lƣợng tự do
Trong vật lí thống kê năng lƣợng tự do liên hệ với tổng trạng thái theo biểu
thức:
18
(1.53)
Tuy nhiên việc tìm ψ không đơn giản. Đối với các hệ lí tƣởng chỉ có thể
tìm dƣới dạng gần đúng biểu thức chính xác của năng lƣợng tự do. Có một số
phƣơng pháp khác nhau trong việc xác định năng lƣợng tự do nhƣ phƣơng
pháp lí thuyết nhiễu loạn, phƣơng pháp biến phân Bogoliubov, phƣơng pháp
momen. Ở đây ta sẽ tìm công thức tính tổng quát tính năng lƣợng tự do theo
phƣơng pháp momen và áp dụng công thức này vào việc giải bài toán dao tử
điều hòa và phi điều hòa lƣợng tử:
Giả sử Hamiltonian của hệ lƣợng tử có dạng:
với α là thông số và là toán tử tùy ý.
Tƣơng tự nhƣ (1.12) ta dễ dàng thu đƣợc biểu thức:
(1.54)
Biểu thức này tƣơng đƣơng với công thức:
(1.55)
và coi nhƣ đã trong đó ψ0 là năng lƣợng tự do của hệ với Hamiltonian
biết.
Bằng cách nào đó tìm đƣợc (có thể sử dụng các công thức momen) thì
từ (1.55) có thể thu đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do .
Nếu Hamiltonian H có dạng phức tạp thì ta tách:
19
sao cho
của hệ, khi đó Giả sử biết năng lƣợng tự do ψ0 ứng với Hamiltonian
. Tiếp theo tìm năng lƣợng tự do tìm năng lƣợng tự do ψ1 ứng
, v.v…Cuối cùng chúng ta thu đƣợc biểu thức đối với ψ2 ứng
năng lƣợng tự do ψ của hệ.
Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng 1, em đã trình bày về:
- Momen và hàm tƣơng quan.
- Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình giữa đại lƣợng bất kì và năng
lƣợng tự do.
- Hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng bất kì và tọa độ suy rộng Q.
- Công thức tổng quát về momen.
- Các ví dụ về momen tƣơng quan bậc cao.
- Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do.
20
CHƢƠNG 2
MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ
MOMEN
2.1. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu t nh chất nhiệt
động của tinh thể
2.1.1. Trường hợp mạch thẳng
2.1.1.1. Độ dời của hạt khỏi nút mạng.
Để đơn giản, trƣớc hết chúng ta hãy khảo sát một mạch thẳng gồm N hạt,
có cấu trúc tuần hoàn. Tƣơng tác chủ yếu trong mạch là tƣơng tác cặp.Khi sử
dụng phƣơng pháp quả cầu phối vị [4] thế năng tƣơng tác có thể viết dƣới
dạng:
là thế năng ở đây ai là vị trí cân bằng của hạt thứ i; ui là độ dời của nó;
tƣơng tác giữa hạt thứ i và hạt thứ 0 (hạt chọn làm gốc).
Trong trƣờng hợp các hạt dao động mạnh, ta có thể khai triển thế năng
theo độ dời ui. Ở phép gần đúng bậc 4 thế năng tƣơng tác giữa hai
hạt có dạng:
Theo [3] các số hạng v.v... có dạng nhƣ sau:
21
(2.1)
trong đó:
(2.2)
với các kí hiệu (1), (2), (3), (4) trên đầu hàm là đạo hàm các cấp
tƣơng ứng.
Nhƣ vậy, tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ 0 bằng:
Chú ý rằng trong biểu thức này tổng lực đã giảm đi vì ta đã tính tới sự
tƣơng tác giữa các hạt thứ i.
Nếu hạt thứ 0 còn chịu tác dụng thêm lực không đổi phụ a (thƣờng là nhỏ)
thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phƣơng trình:
(2.3)
22
Các momen và có thể đƣợc biểu diễn qua nhờ các công
thức (1.40) và (1.41). Chú ý rằng, do tính chất đối xứng nên độ dời của các
hạt ở nút mạng đều bằng nhau và có thể đƣa ra ngoài dấu tổng. Ngoài ra, từ
(2.1) và (2.2) dễ dàng nhận thấy đối với mạch thẳng thì:
Nhƣ vậy phƣơng trình (2.3) biến đổi về dạng đơn giản:
(2.4)
(2.4) là phƣơng trình vi phân tuyến tính, ta tìm nghiệm của nó dƣới dạng
gần đúng. Vì ngoại lực a là tùy ý và nhỏ, nên có thể tìm nghiệm dƣới dạng
đơn giản:
(2.5)
y0 là độ dời tƣơng ứng với trƣờng hợp không có ngoại lực tác dụng lên
mạch.
Thay (2.5) vào (2.4) ta có:
Do đó ta có:
23
Vì ngoại lực a là tùy ý và nhỏ do đó ta có:
(2.6)
Hệ này cho phƣơng trình tƣơng đƣơng chứa y0 và A1 :
(2.7)
24
Phƣơng trình này cho phép tìm đƣợc biểu thức đối với y0. Muốn vậy, chú
ý rằng trong phép gần đúng chuẩn điều hòa, phƣơng trình (2.4) có dạng đơn
giản:
ky-a=0,
nghĩa là ở phép gần đúng này không khó khăn tìm đƣợc
Thay kết quả này vào (2.7) ta có phƣơng trình đối với y0 :
(2.8)
Đối với tinh thể thƣờng , do đó có thể lấy nghiệm của (2.8) dƣới
dạng:
(2.9)
Biểu thức này là độ dời trong phép gần đúng chuẩn điều hòa.
Muốn có kết quả tốt hơn, thay (2.9) vào (2.7) và thu đƣợc phƣơng trình đối
với A1 :
(2.10)
Phƣơng trình này cho nghiệm gần đúng:
25
(2.11)
lại thay kết quả này vào phƣơng trình (2.7), ta thu đƣợc phƣơng trình trùng
phƣơng đối với y0. Cuối cùng phƣơng trình đó cho kết quả gần đúng đối với
độ dời y0 :
(2.12)
Trong trƣờng hợp cổ điển các số hạng a1, a2, a3,...có giá trị đơn giản:
Nhƣ vậy, đối với trƣờng hợp cổ điển biểu thức (2.12) cho kết quả khai
triển theo nhiệt độ tới bậc T8.
2.1.1.2. Năng lượng tự do
Trong phép gần đúng tới bậc 4 thế năng tƣơng tác giữa các hạt có dạng:
26
Nhƣ vậy đối với mạch thẳng thế năng trung bình bằng:
(2.13)
Momen đƣợc biểu diễn qua momen cấp thấp hơn nhờ (1.40). Công
thức đầy đủ của nó có dạng khá phức tạp. Nếu chỉ giữ tới các số hạng thuộc
tổng đầu tiên, nó có dạng:
(2.14)
Bằng con đƣờng tƣơng tự , trong đó đƣợc thay bằng (2.12), ta tìm
đƣợc công thức gần đúng:
(2.15)
Để tính năng lƣợng tự do của mạch thẳng, sử dụng cách tính nhƣ công thức
(1.55). Kết quả tìm đƣợc:
(2.16)
với có ý nghĩa của năng lƣợng tự do đối với N dao tử điều hòa.
Entropy của mạch thẳng có dạng:
27
(2.17)
trong đó S0 là entropy của N dao tử điều hòa.
Biểu thức (2.17) chứng tỏ S > S0, nghĩa là khi tính tới hiệu ứng phi tuyến
entropy tăng, độ bền vững của mạch giảm.
Từ biểu thức: E = F +TS, ta tìm đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng của
mạch:
(2.18)
Tƣơng tự, có thể xác định đƣợc các đại lƣợng nhiệt động khác nhờ có biểu
thức (2.16) của năng lƣợng tự do.
28
2.1.2. Trường hợp lập phương tâm diện và lập phương tâm khối
2.1.2.1. Độ dời của hạt khỏi nút mạng
Biểu thức khai triển của thế năng tƣơng tác trong trƣờng hợp tinh thể 3
chiều có dạng phức tạp:
Dạng của v.v… đƣợc xác định nhƣ trong [3]:
Trong đó các lƣợng , , v.v…vẫn có dạng nhƣ (2.2)
Do tính chất đối xứng nên đối với tinh thể lập phƣơng tâm diện và lập
phƣơng tâm khối các số hạng sau đây đều bằng 0.
29
Khi tính tới tính chất này thì điều kiện cân bằng đối với hạt thứ 0:
(2.20)
cho phƣơng trình có dạng nhƣ (4.4) nhƣng các thông số k, bằng:
(2.21a)
Nhƣ vậy, đối với tinh thể lập phƣơng tâm diệnvà lập phƣơng tâm khối độ
dời của các hạt khỏi nút mạng vẫn có dạng của biểu thức (2.12). Biểu thức
này cho biết sự thay đổi của độ dời theo nhiệt độ.
Do đó khoảng cách gần nhất giữa hai hạt đƣợc xác định bởi a = a0 + y0 , trong đó a0 là khoảng cách ở 00K. Nói cách khác, từ biểu thức (2.12) hoàn
toàn có thể xác định đƣợc khoảng cách a ở các nhiệt độ khác nhau.
2.1.2.2. Năng lượng tự do
Khác với trƣờng hợp mạch thẳng, trong trƣờng hợp tinh thể 3 chiều thế
năng tƣơng tác trong bình của tinh thể lập phƣơng tâm diện hoặc lập phƣơng
tâm khối đƣợc xác định bởi biểu thức ;
; (2.21b )
30
Nhƣ vậy, nhờ các công thức momen (1.40) và (2.14) đối với và
ta hoàn toàn xác định đƣợc . Từ cách viết biểu thức (1.55) có thể tìm năng
lƣợng tự do thông qua các biểu thức đối với momen. Thực vậy, năng lƣợng tự
do của tinh thể có thể tính nhƣ ở mục 2.1.1.2 phần 2.1.1. Theo phƣơng pháp
này ta phải tính các tích phân:
và
Khi thay các công thức của momen , vào và tiến hành tính các
tích phân, ta thu đƣợc biểu thức gần dung của năng lƣợng tự do đối với tinh
thể lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối.
(2.22)
Kết quả (2.22) cho phép tìm năng lƣợng tự do ở nhiệt độ T nếu biết giá trị
của các thông số k, , ở nhiệt độ T0 ( chẳng hạn T0 =0K). Nếu nhiệt độ T0
không xa nhiệt độ T thì có thể xem dao động của hạt xung quanh vị trí cân
bằng mới ( tƣơng ứng với T0) là điều hòa. Nhƣ vậy, năng lƣợng tự do của tinh
thể có dạng nhƣ năng lƣợng tự do của hệ N dao tử điều hòa, nghĩa là:
(2.23)
Khi sử dụng biểu thức này cần chú ý rằng các thông số k, và đại lƣợng
u0 phụ thuộc vào nhiệt độ.
31
2.1.2.3. Các đại lượng nhiệt động
Hệ số dãn nở và hệ số nén
Theo định nghĩa hệ số nén đẳng nhiệt đƣợc xác định bởi biểu thức:
(2.24)
trong đó V0 là thể tích của tinh thể ở 00K.
Vì V = NV ( đối với các tinh thể nguyên tử), do đó suy ra:
(2.25)
Áp suất P đƣợc biểu thị qua năng lƣợng tự do dƣới dạng:
(2.26)
Do đó từ (2.24) dễ dàng tìm đƣợc kết quả:
(2.27)
Trong trƣờng hợp thể lập phƣơng tâm diện có thể tích thì:
(2.28)
Còn trong trƣờng hợp thể lập phƣơng tâm khối có thể tích thì:
(2.29)
32
Biểu thức đối với có thể đƣợc xác định từ (2.23):
(2.30)
Nếu chọn T0 = T để tính các thông số thì biểu thức trên có dạng đơn giản
hơn:
(2.31)
Hằng số mạng aT đƣợc xác định nhờ biểu thức a = a0 + y0,trong đó độ dời
ở nhiệt độ T hoàn toàn có y0 xác định bởi (2.12), nên các thông số
thể tìm đƣợc. Vì vậy khi sử dụng (2.27) ta sẽ tìm đƣợc các giá trị của hệ số
nén đẳng nhiệt .
Hệ số dãn nở dài đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
(2.32)
nghĩa là có thể viết:
Khi sử dụng(2.12), tìm đƣợc kết quả:
(2.33)
Biểu thức này cho phép xác định khi biết y0 . Nếu thay (2.12) vào (2.30)
ta thu đƣợc một hàm phức tạp. Tuy nhiên, trong trƣờng hợp giới hạn cổ điển
biểu thức (2.33) dẫn tới kết quả là hàm khai triển của nhiệt độ.
Sử dụng hệ thức này và (2.32) ta tìm đƣợc nhƣ sau:
33
Thay vào biểu thức (*) ta có:
Chú ý rằng trong nhiệt động học có hệ thức:
Mặt khác:
Thay vào (**)ta đƣợc:
Thay (***) vào (*) ta có:
34
.(*’)
Biểu thức này có thể viết dƣới dạng khác nếu sử dụng (2.26):
Vì
Vậy (*’) có dạng:
(2.34)
Kết quả này cho thấy có thể tính đƣợc nếu biết và ngƣợc lại.
Năng lượng và nhiệt dung của tinh thể
Khi áp dụng hệ thức nhiệt động Gibbs-Helmholtz và biểu thức đối với
năng lƣợng tự do (2.22), chúng ta tìm đƣợc biểu thức của năng lƣợng mạng
tinh thể:
, (2.35)
Trong đó E0 là năng lƣợng của N dao động điều hòa:
Nhƣ vậy, nhiệt dung riêng đẳng tích của mạng đƣợc xác định bởi biểu
thức:
(2.36)
Trong trƣờng hợp cổ điển các biểu thức trên cho:
35
(2.37)
Kết quả này có thể còn chính xác hơn nếu trong biểu thức đối với năng
lƣợng E lấy thêm các số hạng gần đúng tiếp theo.Và nhƣ vậy, biểu thức đối với Cv trong trƣờng hợp cổ điển sẽ có thêm các số hạng chứa T2 .
Nhiệt dung riêng đẳng áp đƣợc xác định nhờ áp dụng hệ thức nhiệt động:
(2.38)
Nhƣ vậy có thể tìm đƣợc hệ số nén đoạn nhiệt nhờ hệ thức:
(2.39)
Ngoài ra còn có thể xác định các suất môđun đàn hồi đẳng nhiệt BT và
đoạn nhiệt BS :
(2.40)
Các đại lượng nhiệt động khác
Entropy S của mạng theo nhiệt động học bằng:
Thay các kết quả (2.22) và (2.35) vào biểu thức này ta đƣợc:
(2.41)
ở đây S0 là entropy của N dao tử điều hòa:
Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp mạch thẳng, trong trƣờng hợp 3 chiều thông
thƣờng S > S0.
36
Trong trƣờng hợp tinh thể lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối,
với mô hình nhƣ đã đƣợc xét ở trên, có thể dễ dàng xác định hằng số
Gruneisen.
Thực vậy, theo giả thiết của Gruneisen thì:
(2.42)
trong đó là hằng số Gruneisen, là tần số dao động khi thể tích của
tinh thể bằng V, còn là tần số khi thể tích của tinh thể bằng V0 . Đối với
các tinh thể đang xét, mọi nút đều dao động cùng một tần số, do đó dễ dàng
suy ra:
(2.43)
Ngoài ra cũng có thể xác định hằng số Gruneisen từ phƣơng trình
Gruneisen[1]:
(2.44)
2.2. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu t nh chất đàn
hồi của tinh thể.
2.2.1. Các khái niệm cơ bản
Dƣới tác dụng của ngoại lực, vật rắn bị biến dạng, nghĩa là thay đổi hình
dạng và kích thƣớc. Trong lí thuyết biến dạng, vật rắn đƣợc khảo sát nhƣ một
môi trƣờng liên tục. Vị trí của mỗi điểm trong vật rắn đƣợc đặc trƣng bằng
bán kính véc tơ (x1, x2, x3), với x1, x2, x3 là các thành phần vô hƣớng của
véc tơ trong hệ tọa độ tùy ý. Trong quá trình biến dạng, mỗi điểm( mỗi
nguyên tử) trong vật rắn sẽ dịch chuyển từ vị trí xác định bằng véc tơ sang
vị trí xác định bằng véc tơ (x’1, x’2, x’3). Sự dịch chuyển của các nguyên
37
tử tạo ra sự biến dạng.Ngƣời ta thƣờng chia biến dạng ra làm hai kiểu: biến
dạng đàn hồi và biến dạng phi đàn hồi hay biến dạng phi tuyến.
Vật thể dƣới tác dụng của ngoại lực sẽ bị biến dạng , nếu sau khi cất
tải(thôi tác dụng), biến dạng bị mất đi và vật thể lại trở về hình dạng và kích
thƣớc ban đầu thì biến dạng này gọi là biến dạng đàn hồi.
Khi tăng ngoại lực tác dụng (tăng tải) đến một giới hạn đủ lớn, các
nguyên tử trong vật rắn chuyển dời sang một vị trí mới xa hơn và ổn định
hơn, không trở về vị trí cân bằng cũ khi cất tải.Tổng sự dịch chuyển của các
nguyên tử sang vị trí mới tạo nên một độ biến dạng dƣ, hay một sự thay đổi
hình dạng và kích thƣớc vật thể, biến dạng này gọi là biến dạng dư hay biến
dạng phi tuyến.
Trong biến dạng phi tuyến, để tạo nên sự dịch chuyển sang vị trí mới của
các nguyên tử mà vẫn không gây nên sự phá hủy các mối liên kết, ta phải đảm
bảo điều kiện trong quá trình dịch chuyển của các nguyên tử, khoảng cách
giữa các nguyên tử không đƣợc vƣợt quá kích thƣớc vùng lực tác dụng tƣơng
hỗ kéo giữa các nguyên tử.( hình 2.1)
o é k
Lực kéo
c ự
Lực tổng hợp
l c ự
Lực đẩy
l y ẩ đ
c ự
l
Hình 2.1:Biểu đồ thế năng giữa các nguyên tử, r là
khoảng cách giữa các nguyên tử, r0 là khoảng cách giữa các
nguyên tử khi ở vị trí cân bằng
38
Sau khi cất tải, các nguyên tử có xu thế chiếm vị trí cân bằng mới, thiết lập
lại mối quan hệ và liên kết giữa các nguyên tử. Tuy nhiên biến dạng phi tuyến
không làm thay đổi thể tích của vật thể biến dạng.
Nhìn chung, khi nghiên cứu về biến dạng phi tuyến và biến dạng dẻo của
vật rắn, ta thƣờng gặp hai loại vật thể: vật dẻo lí tƣởng và vật đàn- dẻo.
- Nếu ngay từ thời điểm bắt đầu có tác dụng của ngoại lực, vật thể đã
không tuân theo quy luật đàn hồi, vật thể đó gọi là vật thể dẻo lí tƣởng.Biểu
đồ ứng suất – biến dạng của nó đƣợc chỉ ra trên hình 2.1a
- Nếu ở giai đoạn đầu của quá trình đặt tải, vật thể có tính đàn hồi và chỉ
từ một giai đoạn nào đó trở đi mới xuất hiện biến dạng phi tuyến thì vật thể đó
gọi là vật thể đàn - dẻo. Biểu đồ ứng suất – biến dạng của nó đƣợc cho trên
hình 2.2b. Đoạn OA biểu diễn quá trình biến dạng đàn hồi, đoạn OB biểu
diễn quá trình biến dạng phi tuyến.
B
A
O O a) b)
Hình 2.2: Hai kiểu đƣờng cong ứng suất – biến dạng
39
2.2.2. Các yếu tố cơ bản của lí thuyết biến dạng đàn hồi
Đặc điểm của biến dạng đàn hồi là trong phạm vi giới hạn của ngoại lực
thì vật rắn trở lại hình dạng và kích thƣớc ban đầu.Khi vật thể chịu biến dạng
đàn hồi, độ dịch chuyển của các nguyên tử trong vật có thể mô tả bằng véc tơ
dịch chuyển với các thành phần
(2.45)
Ta thấy các thành phần ui của véc tơ dịch chuyển thay đổi từ điểm này
sang điểm khác trong vật thể , chúng là những hàm liên tục của tọa độ.
Tenxơ biến dạng có dạng:
(2.46)
Rõ ràng tenxơ này là đối xứng .Trong trƣờng hợp biến dạng nhỏ,
thành phần thứ ba trong (2.46) có thể bỏ qua và lúc đó tenxơ biến dạng có
dạng đơn giản hơn:
(2.47)
Ở trạng thái biến dạng, trong vật rắn luôn tồn tại các nội lực có xu thế kéo
vật rắn thái cân bằng, ta nói vật thể ở trong trạng thái ứng suất. Nếu cắt vật
rắn bằng một mặt cắt bất kì, trên đó tại điểm A lấy ra một mặt cắt bất kì, trên
đó tại điểm A lấy ra một phân tố diện tích vô cùng nhỏ .Giả sử trên
xuất hiện nội lực , ta gọi:
(2.48)
Là ứng suất toàn phần tại điểm A trên mặt , phƣơng của ứng suất này
trùng với phƣơng của nội lực .Nếu phân tích thành hai thành phần
vuông góc và song song với thì ta đƣợc:
40
trong đó, gọi là ứng suất pháp tuyến và gọi là ứng suất tiếp tuyến
trên mặt . Để đơn giản trong cách kí hiệu, ứng suất pháp tuyến kí hiệu
là , còn ứng suất tiếp tuyến kí hiệu là .
pháp tuyến của
Hình 2.3: Nội lực và ứng suất trong vật rắn
Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, tenxơ biến dạng tƣơng ứng với ứng
suất cũng có dạng là tenxơ đối xứng hạng hai.
Trong trƣờng hợp tổng quát, năng lƣợng đàn hồi đƣợc viết dƣới dạng:
(2.49)
Ở đây, Cijkl tạo thành tenxơ hạng 4 và đƣợc gọi là môđun đàn hồi bậc 2,
còn Cijklmn tạo thành tenxơ hạng 6 đƣợc gọi là môđun đàn hồi bậc 3. Những
thành phần bậc cao hơn trong khai triển năng lƣợng đàn hồi theo biến dạng
đƣợc bỏ qua vì chúng quá nhỏ.
Trong lí thuyết đàn hồi tuyến tính, thành phần thứ hai trong (2.49) cũng
đƣợc bỏ qua, khi đó biểu thức năng lƣợng đàn hồi có dạng:
(2.50)
41
Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng
tuân theo quy luật của định luật Hooke tổng quát
(2.51)
hay: (2.52)
với Sijkl đƣợc gọi là tenxơ đàn hồi, liên hệ với Cijkl bằng hệ thức
(2.53)
là kí hiệu Croneker. ở đây, Iijpq là tenxơ đơn vị,
Rõ ràng:
(2.54) Ciklm = Ckilm = Cikml =Clmik ,
và tƣơng tự
(2.55) Siklm= Skilm= Sikml = Slmik ,
Vì vậy, số các thành phần độc lập Ciklm và Siklm giảm xuống, trong trƣờng
hợp tổng quát giảm từ 81 xuống còn 21. Ngƣời ta cũng đã chứng minh đƣợc
rằng đối với vật thể đàn hồi đẳng hƣớng, số hằng số đàn hồi độc lập chỉ còn là
2. Khi biểu diễn tenxơ môđun đàn hồi và tenxơ hằng số đàn hồi dƣới dạng ma
trận, sẽ thu đƣợc dạng ma trận của định luật Hooke tổng quát.
Đối với vật rắn đàn hồi đẳng hƣớng, biểu thức năng lƣợng đàn hồi có
dạng:
(2.56)
ở đây, K là môđun nén khối theo mọi phƣơng, G là môđun trƣợt còn
A,B,C là các môđun đàn hồi bậc 3 theo Landau.
Trong lí thuyết đàn hồi tuyến tính, khi bỏ qua các thành phần bậc cao, biểu
thức năng lƣợng đàn hồi có dạng:
(2.57)
42
Nhƣ vậy, từ (2.8) và (2.15), định luật Hooke tổng quát đƣợc viết lại nhƣ
sau:
(2.58)
ở đây, E là môđun đàn hồi Young, là hệ số Poisson đƣợc xác định bằng
tỉ số giữa độ co ngang với độ dãn dài của vật thể.
(2.59)
với (2.60)
Xét biến dạng trƣợt( biến dạng mà tất cả các lớp mặt phẳng của vật rắn bị
dịch đi và luôn song song với một mặt phẳng nào đó trƣớc khi bị dịch đi và
không bị uốn cong, không thay đổi kích thƣớc) dƣới tác dụng của ứng suất
tiếp tuyến . Góc là góc trƣợt và đƣợc tính bằng radian, góc này tỉ lệ với
ứng suất tiếp tuyến
(2.61)
với G là môđun trƣợt.
43
l d
d0
a, Biến dạng dƣới tác dụng b, Biến dạng trƣợt dƣới tác dụng
của ứng suất pháp tuyến . của ứng suất tiếp tuyến .
Hình 2.4
Khi nén vật theo mọi hƣớng, sự thay đổi thể tích tƣơng đối của vật
luôn tỉ lệ với ứng suất pháp tuyến tác dụng phân bố đều trên bề mặt vật rắn,
nghĩa là
(2.62)
với K là môđun nén khối.
Trong thực tế, tất cả các đơn tinh thể là đàn hồi dị hƣớng.Các môđun đàn
hồi E, G, K của vật đa tinh thể đều phụ thuộc vào cấu trúc vật liệu, mức kết
44
cấu nên dẫn tới đàn hồi dị hƣớng.Nếu không kể đến kết cấu thì vật đa tinh thể
cũng có thể coi là vật thể đàn hồi đẳng hƣớng. Voigh và Reuss [5,6] đã trình
bày phƣơng pháp tính môđun đàn hồi của vật đa tinh thể đẳng hƣớng theo các
giá trị đặc trƣng đàn hồi của vật đơn tinh thể.
Phƣơng pháp này đã đƣa ra đƣợc các giá trị giới hạn của các môđun Kmin,
Gmin, Kmax, Gmax, Các giá trị thực cuả các môđun K và G thỏa mãn điều kiện:
và (2.63)
Theo Voigh [84]
(2.64)
Trong [5] , Reuss đã đƣa ra các giá trị giới hạn nhƣ sau:
hay (2.65)
Trong [12] , R.Hill cho rằng, để xác định môđun đàn hồi của vật đa tinh
thể ta có thể sử dụng giá trị trung bình số học ( hoặc trung bình hình học) của
các mođun đã đƣợc tính bởi Reuss và Voigh. Trong nhiều trƣờng hợp, các kết
quả tính các môđun đàn hồi bằng phƣơng pháp Voigh-Reuss-Hill khá phù hợp
với thực nghiệm [11] . Tuy nhiên phƣơng pháp Voigh-Reuss-Hill chƣa tìm
đƣợc sự phụ thuộc vào nhiệt độ của các môđun đàn hồi.
Đối với các vật đàn hồi đẳng hƣớng, ta có:
(2.66)
Khi đó:
(2.67)
(2.68)
45
(2.69)
(2.70)
Kết luận chƣơng 2
Trong chƣơng này em đã trình bày về:
- Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của
tinh thể.
- Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất đàn hồi của
tinh thể.
46
KẾT LUẬN
Với đề tài “Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng
dụng của phương pháp thống kê momen” của em đã giải quyết đƣợc một số
vấn đề sau:
- Bƣớc đầu tiếp cận với phƣơng pháp thống kê momen, nắm đƣợc định
nghĩa của momen cũng nhƣ cách tính momen bậc cao dựa vào các momen
bậc thấp.
- Áp dụng đƣợc các kết quả thu đƣợc bởi phƣơng pháp thống kê momen
để nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể.
Qua đề tài này em đã biết thêm về một phƣơng pháp nghiên cứu
khoa học mới và đã từng bƣớc áp dụng phƣơng pháp thống kê momen để
nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể.Tuy nhiên, do
trình độ, kinh nghiệm và thời gian còn nhiều hạn chế nên chắc chắn cuốn luận
văn này còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng kiến đóng
góp của các thầy cô và các bạn để cuốn luận văn này đƣợc hoàn thiện hơn.
47
[1] Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và
TÀI LIỆU THAM KHẢO
đàn hồi của tinh thể_ Vũ Văn Hùng
[2] G.Leibfried - Lí thuyết vi mô đối với các tính chất cơ và nhiệt của tinh thể
(tiếng Nga)- M- 1963.
[3] G.Leibfried, W . Ludwig – Lí thuyết các hiệu ứng phi tuyến trong tinh thể
(tiếng Nga) – M – 1963.
[4] G.S. Jdannov – Vật lí chất rắn – M -1962 (tiếng Nga).
[5] Reuss A. (1928), Berechder Fliesgrenze von Mischkristallen aul Grund
der Platistal Sberechnung fur Einkristalle, Z – angen Math Mech, pp.49-
58
[6]Voigt W. (1928), Lehrbuch der Kristall Physik, Springer, Leipzig, s500.
[7]Hill R. (1952), Proc. Phys. Soc. A65, pp.349-354.
[8 ]V.I.Zubov- Các vấn đề lý thuyết thống kê của tinh thể - M-1975 (tiếng
Nga).
[9] D.A. Kirjnitz – Phƣơng pháp trƣờng trong lí thuyết nhiều hạt – M – 1963
(tiếng Nga).
[10] I.P. Bazarov, P.N.Nicolaev- Lí thuyết tƣơng quan của tinh thể -M-1981
(tiếng Nga).
[11] N.M Plakida – Trong sách “Vật lí thống kê và lí thuyết trƣờng lƣợng tử”
(tiếng Nga) – M – 1973.
[12] Alejandro Stranchan et al. (2004), Mod. Simul. Mater. Sci. Eng., 12, 445.
48
