TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ
TRẦN THỊ THÁI
TÌM HIỂU QUÁ TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON THÀNH HAI PHOTON
KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI, 2017
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ
TRẦN THỊ THÁI
TÌM HIỂU QUÁ TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON THÀNH HAI PHOTON
Chuyên ngành:Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Huy Thảo
HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo,
người đã chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học
tập và hoàn thành bản khóa luận này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô trong
khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ
và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để tôi có
thể hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên
Trần Thị Thái
LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo
và sự nỗ lực của bản thân, tôi đã hoàn thành bản khóa luận này. Tôi xin
cam đoan đây là đề tài nghiên cứu khoa học do tôi thực hiện, không trùng
lặp với bất kỳ công trình khoa học nào khác. Các thông tin trích dẫn trong
khóa luận đều đã được ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên
Trần Thị Thái
Mục lục
MỞ ĐẦU 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đích chọn đề tài 2
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2
4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2
5 Phương pháp nghiên cứu 2
6 Cấu trúc khóa luận 3
NỘI DUNG 4
Chương 1: Cơ sở của lý thuyết tán xạ 4
1.1 Cách xây dựng phần đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Tương tác không chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tương tác chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Quy tắc Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Các ngoại tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Hàm truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Các thừa số đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Các biến Mandelstam . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt . . . . . . . . . 19
1.3.3 Trong hệ khối tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.4 Trong hệ phòng thí nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 2: Quá trình hủy electron thành hai photon 28
2.1 Biên độ tán xạ kênh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Biên độ tán xạ kênh u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Tiết diện tán xạ toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
KẾT LUẬN 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
MỞ ĐẦU
1
Lý do chọn đề tài
Vật lý hạt ngày nay đã trở thành một trong những mũi nhọn hàng
đầu của Vật lý hiện đại; là ngành khoa học nối những vật thể siêu nhỏ với
thế giới vĩ mô. Một trong những mục tiêu của Vật lý hạt là tìm hiểu, phân
loại, sắp xếp các thành phần sơ cấp của vật chất và những định luật cơ bản
chi phối tương tác giữa chúng. Lĩnh vực này còn được gọi là Vật lý năng
lượng cao bởi vì có rất nhiều hạt cơ bản không xuất hiện ở điều kiện môi
trường tự nhiên mà chỉ được tạo ra trong các vụ va chạm giữa các hạt và
máy gia tốc năng lượng cao.
Khoa học luôn đặt nhiệm vụ cho mình là phải tìm hiểu thế giới vật
chất được hình thành từ thứ gì và cái gì gắn kết chúng với nhau.Trong
quá trình đi tìm lời giải đáp, cấu trúc của vật chất ngày càng được hiểu
rõ hơn thông qua mô hình chuẩn. Theo mô hình này, vũ trụ cấu trúc từ 6
hạt quark và 6 hạt nhẹ (lepton), chia đều thành 3 nhóm, chúng kết nối với
nhau nhờ 4 tương tác cơ bản: tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác
hấp dẫn và tương tác điện từ.
Trong hơn 30 năm qua kể từ khi mô hình chuẩn ra đời đã thu được
rất nhiều thành công nổi bật bao gồm những tiên đoán và cả các kết luận
mới. Một loạt phép đo các thông số điện yếu được tiến hành trên các máy
1
đo gia tốc lớn LHC với độ chính xác cao đã trở thành động lực to lớn cho
ngành Vật lý hạt, bởi khoa học tin rằng có thể thu được một số nhân tố lý
giải cách thức hình thành vũ trụ. Việc tìm hiểu quá trình hình thành hay
tán xạ của các hạt cơ bản sẽ góp phần mở rộng hiểu biết, bước đầu tìm
hiểu một vấn đề khoa học. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài: “Tìm hiểu quá
trình hủy cặp electron thành hai photon” cho khóa luận tốt nghiệp
của mình.
2 Mục đích chọn đề tài
- Tìm hiểu quá trình hủy cặp electron thành hai photon.
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Tán xạ trong QED
4 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đưa ra cơ sở của lý thuyết tán xạ.
- Tìm hiểu quá trình hủy cặp electron thành hai photon.
5 Phương pháp nghiên cứu
- Đọc, tra cứu tài liệu.
2
- Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán.
6 Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai nội
dung chính sau:
Chương 1: Cơ sở của lý thuyết tán xạ
1.1. Cách xây dựng phần đỉnh
1.2. Quy tắc Feynman
1.3. Tiết diện tán xạ
Chương 2: Quá trình hủy cặp electron thành hai photon
2.1. Biên độ tán xạ kênh u
2.2. Biên độ tán xạ kênh t
3
2.3. Tiết diện tán xạ toàn phần
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT TÁN XẠ
1.1 Cách xây dựng phần đỉnh
Lagrangian của hệ gồm hai phần: Lagrangian tự do chứa các số hạng
bậc hai theo toán tử trường và Lagrangian tương tác chứa các số hạng từ
bậc ba trở lên theo toán tử trường. Tuy nhiên, điều kiện tái chuẩn hóa
trong không thời gian bốn chiều không cho phép các số hạng có bậc lớn
hơn bậc bốn theo toán tử trường. Do đó sử dụng phương pháp "bóc vỏ" sẽ
1.1.1 Tương tác không chứa đạo hàm
giúp ta thu được phần đỉnh từ Lagrangian tương tác.
Trong điện động lực học lượng tử Lagrangian tương tác:
LQED int = eψ(x)γµψ(x)Aµ(x)
ηψλ(x)Aν(x)
(1.1) = eψ(x)η(γν)λ
Vì Lagrangian chứa ba toán tử trường nên ta phải bóc vỏ (lấy đạo hàm)
ba lần theo các toán tử trường. Với mỗi lần lấy đạo hàm ta sẽ có thêm một
đường tương ứng trong phần đỉnh. Cụ thể,
Để có đường fermion ra với chỉ số α
4
α
α(γν)λ
ηψλ(x)Aν(x)
ta lấy đạo hàm
∂LQED α = eδη int ∂ψ
ηψλ(x)Aν(x)
(1.2) = e(γν)λ
Để có thêm đường fermion vào với chỉ số β
α β
α = eδβ
αAν(x)
λ(γν)λ
ta lấy đạo hàm
∂2LQED int ∂ψβ∂ψ
αAν(x)
(1.3) = e(γν)λ
Để có thêm đường photon với chỉ số µ
µ
β α
α = e(γν)β
αδν µ
ta lấy đạo hàm
∂3LQED int ∂Aµ∂ψβ∂ψ
(1.4) = e(γν)λ α
Như vậy, tương tác photon-spinor (ψ) -spinor (ψ) tương ứng với yếu tố sau
của giản đồ: β
µ
αα
5
ie(γµ)β α
1.1.2 Tương tác chứa đạo hàm
Trong đó thừa số i được đưa thêm vào do ma trận tán xạ S ∼ exp[i (cid:82) Lintd4x]
Ta biết rằng, đạo hàm ∂µ ứng với −ikµ trong không gian xung lượng. Vì
vậy trong tương tác chứa đạo hàm ta chuyển sang không gian xung lượng.
Khi đó biến đổi Fourier của các toán tử trường:
(cid:90) d4ke−ikxϕ(k) ϕ(x) = Nϕ
(cid:90) d4keikxϕ∗(k) ϕ∗(x) = Nϕ
µ (x) = Nw
µ (k)
(cid:90) W − d4ke−ikxW −
Qui ước:
Đối với ϕ(x), exponent với (−ikx) và xung lượng đi vào.
ϕ∗(x), exponent với (ikx) và xung lượng đi ra.
Ta xét trường hợp tương tác của trường vô hướng phức có điện tích e với
photon có tác dụng như sau:
(cid:90) (x) S SQED =
6
d4xLSQED int (cid:90) = ie (1.5) d4x[∂µϕ∗(x)ϕ(x) − ϕ∗(x)∂µϕ(x)]Aµ(x)
Chuyển sang không gian xung lượng ta có:
ϕNA
(cid:90) (x) = ieN 2 d4xd4p1d4p2d4qe−ix(p1+q+p2) SSQED int
.[ip2µϕ∗(p2)ϕ(p1) + ip1ϕ∗(p2)ϕ(p1)]Aµ(q)
ϕNA
int
(cid:90) = N 2 (1.6) d4xd4p1d4p2d4qLSQED (p1, p2, q)
Với:
(1.7) (p1, p2, q) = −e(p1 + p2)µ[ϕ∗(p2)ϕ(p1)]Aµ(q)δ4(p1 + q − p2) LSQED int
Exponent trong (1.7) cho ta hàm δ(p1 + q − p2) tương ứng với sự bảo toàn
xung lượng tại mỗi đỉnh. Đây là hệ quả của tương tác định xứ - tương tác
tại một điểm không - thời gian.
Để có đường vô hướng với xung lượng p(cid:48)(p(cid:48) (cid:54)= p2) đi ra
p(cid:48)
ta lấy đạo hàm
(p1, p2, k) ∂LSQED int = −e(p1 + p2)µδ4(p2 − p(cid:48))ϕ(p1)Aµδ4(p1 + q − p2) ∂ϕ∗(p(cid:48))
(1.8) = −e(p1 + p(cid:48))µδ4(p1 + q − p(cid:48))ϕ(p1)Aµ(q)
Để có đường vô hướng với xung lượng p đi vào
7
p p(cid:48) ta lấy đạo hàm
(p1, p2, k) = −e(p1 + p(cid:48))µδ4(p1 − p)Aµ(q)δ4(p1 + q − p(cid:48)) ∂2LSQED int ∂ϕ(q)∂ϕ∗(p(cid:48))
(1.9) = −e(p + p(cid:48))νAν(q)δ4(p + q − p(cid:48))
Để có đường photon với xung lượng k đi vào hoặc đi ra
k µ
p(cid:48) p
ta lấy đạo hàm theo Aµ(k)
= −e(p + p(cid:48))νgµνδ4(k − q)δ4(p + q − p(cid:48)) ∂3LSQED (p1, p2, k) int ∂Aµ(k)∂ϕ(p)∂ϕ∗(p(cid:48))
= −e(p + p(cid:48))µδ4(p + k − p(cid:48)) (1.10)
Như vậy, tương tác photon-vô hướng-vô hướng ứng với phần đỉnh:
p µ −ie(p + p(cid:48))µ
p(cid:48)
trong đó ta hiểu hàm delta của xung lượng 4 chiều ở mỗi đỉnh; i xuất hiện
8
từ biểu thức S của ma trận.
Do lí thuyết định xứ ta có sự bảo toàn năng xung lượng tại mỗi đỉnh:
int (cid:90) d4x
(cid:90) SQED = d4xLQED (x)
= e
(cid:90) d4x = e (2π)4 ψ(p)e−ipxγµeiqxψ(q)Aµeikx (2π)4 eix(q+k−p)ψ(p)γµψ(q)Aµ(k)
(1.11) = eδ4(q + k − p)ψ(p)γµψ(q)Aµ(k)
1.2 Quy tắc Feynman
Qui tắc Feynman cho điện động lực học lượng tử (spinor và vô hướng)
được xây dựng trên Langrangian toàn phần sau:
LtQED = − F µν(x)Fµν(x) − (∂µAµ)2 + iψ(x)γµ∂µψ(x) − M ψ(x)ψ(x) 1 4 1 2ξ
+ ∂µϕ∗(x)∂µϕ(x) − m2ϕ∗(x)ϕ(x) + qψψ(x)γµAµ(x)ψ(x)
ϕAµ(x)Aµ(x)ϕ∗(x)ϕ(x)
+ iqϕ[∂µϕ∗(x)ϕ(x) − ϕ∗(x)∂µϕ(x)]Aµ(x) + q2
(1.12)
trong đó qψ và qϕ là điện tích tương ứng của trường Fermion ψ và của
trường vô hướng mang điện ϕ. Vì tương tác là định xứ nên tại mỗi đỉnh ta
có hàm delta cho các xung lượng 4 chiều.
Có 2 loại đường mô tả hạt thật (quan sát được) ở trạng thái đầu hoặc
cuối. Các đường này chỉ nối một đầu với giản đồ và được gọi là đường
9
ngoài. Các đường trong mô tả hạt ảo nối hai điểm của giản đồ.
1.2.1 Kí hiệu
- Gán cho các xung lượng bốn chiều đi vào và đi ra là p1, p2, . . . , pn với các
spin tương ứng là s1, s2, . . . , sn.
- Các nội xung lượng bốn chiều là q1, q2, . . . , qn.
- Đặt các dấu mũi tên cho các tuyến như sau:
+ Mũi tên ở các ngoại tuyến Fermion chỉ ra; nó là một electron
hay positron.
+ Mũi tên ở các nội tuyến Fermion được gán sao cho hướng dòng
qua sơ đồ được bảo toàn (tức là mọi đỉnh phải có một mũi tên đi
vào và một mũi tên đi ra).
+ Mũi tên ở các ngoại tuyến photon hướng ra phía trước, với các
nội tuyến photon thì sự lựa chọn là tùy ý.
p1, s1 p4, s4
p2, s2 p3, s3
1.2.2 Các ngoại tuyến
Hình 1.1: Sơ đồ Điện động lực học lượng tử điển hình với các ngoại tuyến.
Các ngoại tuyến đóng góp như sau:
10
• Trường vô hướng (spin=0) : 1 cho các hạt ở trạng thái đầu và cuối.
• Trường spin 1/2
+ Hạt ở trạng thái đầu
s, α uα(p, s) p
+ Phản hạt ở trạng thái đầu
s, α vα(p, s)
p
+ Hạt ở trạng thái cuối
s, α uα(p, s)
p
+ Phản hạt ở trạng thái cuối
s, α vα(p, s)
p
• Trường ngoài
Aext(k) k
• Trường vector (spin 1)
+Trường vector mang điện ở trạng thái đầu
(cid:15)µ(k, λ)
µ, λ(cid:126)k
+Trường vector mang điện ở trạng thái cuối
(cid:15)∗µ(k, λ)
11
µ, λ(cid:126)k
1.2.3 Hàm truyền
Mỗi nội tuyến đóng góp một thừa số như sau:
i k2−m2+i(cid:15)
• Trường spin 0
k
• Trường spin 1/2
i (cid:54)p−m+i(cid:15)
(cid:0) (cid:1)α β β pα
• Phản hạt 1/2
i −(cid:54)p−m+i(cid:15)
(cid:0) (cid:1)α β β pα
• Trường chuẩn spin 1
−i k2−M 2+i(cid:15)
k2−ξM 2
(cid:3) (cid:2)gµν − (1 − ξ) kµkν ν kµ
• Trường vector khối lượng m
−i p2−m2+i(cid:15)
m2
1.2.4 Các thừa số đỉnh
(cid:3) (cid:2)gµν − PµPν ν pµ
Mỗi đỉnh đóng góp một thừa số như sau:
β µ
−iqψ(γµ)β α
12
α
p
−iqψ(p + p(cid:48))µ k µ
p(cid:48)
ψgµν
p k(cid:48) ν i2q2
µ k p(cid:48)
Các qui tắc:
- Sự bảo toàn năng xung lượng
+ Với mỗi đỉnh ta viết một hàm delta dưới dạng (2π)4δ4(k1 + k2 + k3).
+ Trong đó k1, k2, k3 là xung lượng bốn chiều đi vào các đỉnh. Nếu
các mũi tên hướng ra ngoài thì k sẽ là xung lượng bốn chiều của
tuyến đó nhưng mang dấu trừ, ngoại trừ positron bên ngoài. Thừa
số này buộc phải tuân theo sự bảo toàn của năng lượng và xung
lượng tại đỉnh. - Với mỗi nội tuyến, ta phải lấy tích phân theo xung lượng (cid:82) d4q (2π)4 . Nội tuyến xung lượng không bị giới hạn bởi định luật bảo toàn
năng xung lượng có nghĩa là nó có thể tiến tới vô cùng.
- Mỗi vòng Fermion (kể cả FP) khép kín nhân với (−1), trường
hợp có l vòng ta nhân với (−1)l.
13
- Chia cho hệ số đối xứng S: Mỗi vòng khép kín chứa n boson
giống nhau ta có thừa số . 1 n!
1.3.1 Các biến Mandelstam
1.3 Tiết diện tán xạ
Ta áp dụng cho quá trình tán xạ của hai hạt với hai hạt, mọi công thức
sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta biểu diễn xung lượng của các hạt theo một
tập hợp các biến được gọi là biến Mandelstam. Các biến Mandelstam được
định nghĩa như sau:
(1.13) s = (p1 + p2)2 = (p3 + p4)2
(1.14) t = (p1 − p3)2 = (p2 − p4)2
(1.15) u = (p1 − p4)2 = (p2 − p3)2
Ở đây:
p1, p2 là xung lượng 4 chiều của hạt đi vào.
p3, p4 là xung lượng 4 chiều của hạt đi ra.
Do đó,
s được hiểu là bình phương của năng khối lượng trung tâm (bất
biến khối lượng).
t được hiểu là bình phương moment xung lượng chuyển đổi.
Trong giản đồ Feynman đối với tán xạ 2 − 2, s, t, u cũng được sử dụng dưới
14
dạng kênh s, kênh t, kênh u.
p3 t p1
s u
p2 p4
Hình 1.2: Các biến Mandelstam.
kênh s p1 + p2 = p3 + p4
kênh t p1 − p3 = p2 − p4
kênh u p1 − p4 = p3 − p2
Các kênh này miêu tả giản đồ Feynman khác nhau hoặc quá trình tán xạ
khác nhau. Ở đây tương tác là sự trao đổi các lượng tử - các hạt giữa chúng,
bình phương các xung lượng bốn chiều kể trên là biểu thức s, t, u tách ra
theo thứ tự định sẵn.
- Kênh s: Tương ứng với quá trình hai hạt 1, 2 tương tác kết hợp
thành một hạt truyền tương tác trung gian, cuối cùng sinh ra
hai hạt 3, 4. Chỉ có kênh s mới có thể chỉ ra sự xuất hiện của
cộng hưởng và một hạt mới với điều kiện thời gian sống ở đây
là đủ dài để có thể đo được trực tiếp.
- Kênh t: Là quá trình hạt 1 phát ra một hạt tương tác và cuối
cùng trở thành hạt 3 và hạt 2 hấp thụ hạt tương tác để trở
15
thành hạt 4.
- Kênh u: Thực chất là kênh t, ở đó ta đổi vị trí của hai hạt 3 và
4 cho nhau.
Các biến Mandelstam được nhà Vật lý Stanley Mandelstam đưa ra vào năm
1938. Trong giới hạn năng lượng cao và trong tương đối tính, bỏ qua khối
lượng nghỉ ta có:
1 + p2
2 + 2p1p2 ≈ 2p1p2
s = (p1 + p2)2 = p2
2 nên
2 = m2
1; p2
1 = m2
Vì p2
s (cid:39)2p1p2 ≈ 2p3p4
t (cid:39) − 2p1p3 ≈ −2p4p2
u (cid:39) − 2p1p4 ≈ −2p3p2
Đối với các biến s, t, u ta có:
1 + m2
2 + m2
3 + m2 4
s + t + u = m2
Chứng minh
+ Trong gần đúng tương đối tính, bình phương xung lượng bốn
chiều của một hạt là khối lượng của nó.
i = m2 p2 i
(1.16)
+ Bảo toàn xung lượng bốn chiều:
p1 + p2 = p3 + p4
16
(1.17) ⇒ p1 = −p2 + p3 + p4
1 + p2
2 + 2p1p2
(1.18) s = (p1 + p2)2 = p2
1 + p2
3 − 2p1p3
(1.19) t = (p1 − p3)2 = p2
1 − p2
4 − 2p1p4
(1.20) u = (p1 − p4)2 = p2
+Thay (1.16) vào (1.18),(1.19), (1.20)
1 + m2
2 + 2p1p2
(1.21) s = (p1 + p2)2 = m2
1 + m2
3 − 2p1p3
(1.22) t = (p1 − p3)2 = m2
1 + m2
4 − 2p1p4
(1.23) u = (p1 − p4)2 = m2
+ Cộng (1.21), (1.22), (1.23) ta được
1 + m2
2 + m2
3 + m2
4 + 2p1p2 − 2p1p3 − 2p1p4
s + t + u = 3m2
1 + m2
2 + m2
3 + m2
4 + 2[m2
1 + p1(p2 − p3 − p4)]
= m2
(1.24)
+ Kết hợp (1.17), và (1.24) ta thu được mối quan hệ giữa các
biến Mandelstam:
1 + m2
2 + m2
3 + m2
4 + 2(m2
1 − p1p1)
s + t + u = m2
1 + m2
2 + m2
3 + m2
4 + 2(m2
1 − m2 1)
= m2
1 + m2
2 + m2
3 + m2
4(đpcm)
= m2
17
Trong trường hợp tán xạ hai hạt A + B → C + D, các biến Mandelstam
được đưa vào có dạng:
s = (pA + pB)2
t = (pA − pC)2
u = (pA − pD)2
Ở đây p là các vector moment năng xung lượng bốn chiều và bình phương
là một bất biến Lorentz. Ví dụ: p2 = gµνpµpν.
Dựa vào xung lượng đi vào, ra của các hạt, ta có sự phân loại tổng quát về
kênh tán xạ như sau:
p4 p3
p2 p1
Hình 1.3.1: kênh s
p4 p3
p2 p1
18
Hình 1.3.2: kênh t
p3 p4
p1 p2
Hình 1.3.3: kênh u
Ưu điểm của các biến Mandelstam là chúng bất biến đối với phép biến đổi
Lorentz với một vài giá trị là quán tính của hệ. Hơn nữa, thực nghiệm đã
chứng tỏ rằng các biến Mandelstam là thông số giới hạn giữa năng lượng
1.3.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt
và góc tán xạ.
Xét quá trình tán xạ cho hai hạt 1 + 2 → 3 + 4 xảy ra do tương tác, yếu tố ma trận được xác định bởi công thức: S = T exp((cid:82) Lint(x)d4x).
Ở đây T là T -tích, Lint(x) là Lagrangian tương tác, việc cụ thể hóa La-
grangian tương tác tùy thuộc vào bài toán.
Như vậy, để nghiên cứu bài toán tán xạ ta phải xác định yếu tố ma trận
Si→f =< f |S|i > (S- ma trận). Giả thiết rằng hằng số tương tác là nhỏ,
các quá trình tính toán Vật lý tuân theo lí thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
Sf i =< f |S|i >= δf i + iTf i
Tf i là ma trận chuyển dời (transition matrix) được định nghĩa như sau:
19
Tf i = (2π)4δ4(pf − pi)Mf i
Ở đây pf ,pi là tổng năng xung lượng của trạng thái cuối và đầu tương ứng,
Mf i là biên độ tán xạ hai hạt.
a a(cid:48)
b(cid:48) b
Hình 1.4: Tán xạ hai hạt thành hai hạt.
Đòi hỏi S là ma trận Unita dẫn tới
in(2π)4δ4(pf − pi)
f i = i (cid:80)
n Mf nM ∗
Mf i − M ∗
trong đó n là các trạng thái Vật lý dẫn trạng thái đầu tới trạng thái cuối.
Ta viết lại yếu tố ma trận của phép chuyển dời từ trạng thái đầu φi = |i >
đến trạng thái cuối φf = |f >:
(1.25) Si→f =< f |S|i >= δf i+ < f |S − 1|i >
Số hạng thứ hai ở vế phải tương ứng với tập hợp các giản đồ Feynman
< f |S|i >= δ4(pf − pi)Rf i.
a + p(cid:48)
b, pi = pa + pb.
Với pf = p(cid:48)
Xác suất chuyển dời từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối do tương tác:
(1.26) Wf i = | < f |S − 1|i > |2 = |Rf i|2(cid:0)δ(pf − pi)(cid:1)2
Theo định nghĩa hàm delta:
−T /2
V
20
(cid:90) (cid:90) T /2 (cid:0) (1.27) δ4(q) = d(cid:126)xeiqx(cid:1) dx0 lim T,V →∞ 1 (2π)4
Trong đó q = pf − pi. Do đó ta có:
T,V
(cid:90) (cid:90) (cid:90) eiqx]d4x [δ4(q)]2dδ4q = d4qδ4q[ lim T,V →∞
T,V
1 (2π)4 (cid:90) d4x = 1 (2π)4
T,V →∞
= lim (1.28) lim T,V →∞ V T (2π)4
Suy ra:
[δ4(pf − pi)]2 = δ4(pf − pi) limT,V →∞ V T (2π)4
Biểu thức cho xác suất có dạng:
(1.29) Wf i = |Rf i|2δ4(pf − pi) lim T,V →∞ V T (2π)4
Thể tích V và khoảng thời gian T rất lớn nên V, T chính là thể tích và
khoảng thời gian có thể xảy ra quá trình tương tác. Nhân (1.29) với các
a, d(cid:126)p(cid:48)
b ta thu được xác suất để hạt trong chùm hạt tương tác với nhau và sinh ra các hạt a(cid:48), b(cid:48) với xung lượng nằm trong khoảng
yếu tố thể tích d (cid:126)p(cid:48)
[ (cid:126)pa(cid:48), (cid:126)pa(cid:48) + d (cid:126)pa(cid:48)], [ (cid:126)pb(cid:48), (cid:126)pb(cid:48) + d (cid:126)pb(cid:48)] và hình chiếu spin đã cho:
(1.30) dWf i = |Rf i|2δ4(pf − pi)d (cid:126)pa(cid:48)d (cid:126)pb(cid:48) lim T,V →∞ V T (2π)4
Suy ra xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian, một đơn vị thể tích
trong điều kiện thời gian và thể tích rất lớn:
dWf i = |Rf i|2δ4(pf − pi)d (cid:126)pa(cid:48)d (cid:126)pb(cid:48)
Ta thấy rằng hai hạt tự do tương tác với nhau thì xác suất tỉ lệ nghịch với
21
thể tích chuẩn hóa V . Mà V là tùy ý, do đó, để đặc trưng cho quá trình
tán xạ không phụ thuộc vào V ta cần phải chia vi phân xác suất tán xạ
dWf i cho mật độ dòng của hạt tương tác đầu mà nó tỉ lệ nghịch với thể
tích chuẩn hóa. Đại lượng được xác định như vậy gọi là tiết diện ngang tán
xạ vi phân và được kí hiệu là: dσ = dWf i J
Trong hệ qui chiếu phòng thí nghiệm thì mật độ dòng J bằng tích mật độ
dòng của các hạt a, b trong một đơn vị thể tích nhân với vận tốc tương đối
của hai hạt đó.
aρl
bνl a
J = ρl
Trong cơ học tương đối tính, năng xung lượng của hạt được xác định bằng
biểu thức:
m(cid:126)v mc2 (cid:126)p = , p0 = E = (cid:114) (cid:114)
1 − 1 − (cid:126)v2 c2 (cid:126)v2 c2
Suy ra hệ thức liên hệ giữa năng lượng, xung lượng và vận tốc của hạt tự
do:
(cid:126)p = p0(cid:126)v c2
Hệ thức này đúng với mọi hệ qui chiếu. Ví dụ, trong hệ qui chiếu phòng
am2 b
thí nghiệm:
am2 b
= (1.31) vl a = (cid:112)(papb)2 + m2 −papb |pl a| pl a0
22
J = (1.32) (JaJb) Mật độ dòng của các hạt a, b trước va chạm có thể viết dưới dạng: (cid:112)(papb)2 + m2 papb
Với
(1.33) − 1(cid:1) = (JaJb) = ρaρb (cid:0) (cid:126)pa (cid:126)pb pa0pb0 ρaρb(papb) pa0pb0
am2 b
Tóm lại, mật độ dòng trước va chạm:
J = (1.34) ρaρb (cid:112)(papb)2 + m2 papb
Bây giờ ta viết yếu tố ma trận dưới dạng
a0p(cid:48) b0
1 (1.35) (2π)4Mf i Rf i = 1 (2π)6
gắn liền với mỗi đường ngoài của Ta đã tách từng thừa số (cid:112)paopb0p(cid:48) 1 1 √ (2π)3/2 p0
giản đồ Feynman và thừa số (2π)4. Yếu tố ma trận là một vô hướng. Nếu
ta chuẩn hóa vector trạng thái trong một đơn vị thể tích mật độ hạt ρa =
thì biểu thức của tiết diện tán xạ vi phân được viết lại: ρb 1 (cid:112)(2π)3
ad(cid:126)p(cid:48) d (cid:126)p(cid:48) b pa0pb0
am2 b
(1.36) dσf i = |Mf i|2δ4(pf − pi) 1 (2π)2 1 (cid:112)(papb)2 + m2
hay
2| | (cid:126)p3 E3E4
= (1.37) dσ dΩ |M |2 64π2F d| (cid:126)p3| d(E3 + E4)
3 = (cid:126)p2
3, E2
4 = (cid:126)p2
3 + m2
4 + m2 4
Với E2
Trong tán xạ đàn hồi A + B → A + B, hạt B đứng yên, khối lượng hạt bia
là rất lớn (mB ≈ EA) sự giật lùi là không đáng kể. Sử dụng vế phải của
(1.26) để xác định tiết diện vi phân tán xạ dσ/dΩ. Ở đây d3p = p2dpdΩ.
23
Sử dụng các biến Mandelstam s ta có:
2]1/2 = {[s−(m1+m2)2][s−(m1−m2)2]}3/2 = λ1/2(s, m2
1m2
1, m2 2)
2[(p1p2)2−m2
2) có dạng
1, m2
1.3.3 Trong hệ khối tâm
trong đó λ1/2(s, m2 √ √ √ √ λ(a, b, c) = (a − b − c)2 − 4bc = [a − ( b + c)2][a − ( b − c)2]
Nếu ta coi hệ hai hạt là một thể thống nhất thì hệ khối tâm là hệ qui chiếu
gắn liền và chuyển động cùng vận tốc với hệ hạt. Xung lượng bốn chiều
của hạt trong hệ khối tâm:
p1 = (E1; (cid:126)p)
p2 = (E2; −(cid:126)p)
p3 = (E3; (cid:126)p(cid:48))
p4 = (E4; −(cid:126)p(cid:48))
Ta có:
3 + |(cid:126)p(cid:48)|2 m2 d|(cid:126)p(cid:48)|
4 + |(cid:126)p(cid:48)|2 m2 d|(cid:126)p(cid:48)|
(cid:113) (cid:113) d d + E3E4 = E3E4 d(E3 + E4) d( (cid:126)p3)
= |(cid:126)p(cid:48)|(E3 + E4)
(1.38) = |(cid:126)p(cid:48)|(E1 + E2)
Thừa số dòng Fcm = |(cid:126)p(cid:48)|(E1 + E2), s = (E1 + E2)2
cm
24
Biểu thức của tiết diện tán xạ trong hệ qui chiếu khối tâm: (cid:19) = |M |2 (cid:18) dσ dΩ 1 64π2s |(cid:126)p(cid:48)| |(cid:126)p|
Biểu thức này phụ thuộc vào các biến độc lập vì:
1, m2 2)
|(cid:126)p|2 = λ(s, m2
3, m2 4)
|(cid:126)p(cid:48)|2 = λ(s, m2 1 4s 1 4s
√ √ √ √ b + c)2][a − ( b − c)2] Trong đó λ(a, b, c) = (a − b − c)2 − 4bc = [a − (
Mặt khác
t = (p1 − p3)2
1 + m2
3 − 2p1p3
= m2
1 + m2
= m2
1 + m2
3 − 2E1E3 + 2| (cid:126)p1|| (cid:126)p3| cos θ 3 − 2E1E3 + 2| (cid:126)p1||(cid:126)p(cid:48)| cos θ
= m2
Suy ra dt = 2| (cid:126)p1||(cid:126)p(cid:48)|d cos θ
Tiết diện tán xạ thông qua các biến Mandelstam s và t là
1, m2 2)
cm
1.3.4 Trong hệ phòng thí nghiệm
(cid:19) = (1.39) (cid:18)dσ dt |M |2 64πsp2 = |M |2 16πλ(s, m2
Trong hệ phòng thí nghiệm ta coi một hạt đứng yên và hệ qui chiếu gắn
với hạt này, hạt còn lại chuyển động đến và xảy ra tương tác. Khi đó các
biến động lực của hệ phòng thí nghiệm:
pµ 1 = (E1, p) pµ 2 = (m2, 0)
25
pµ 3 = (E3, p(cid:48)) pµ 4 = (E4, p4)
Trong đó:
E4 = E1 + m2 − E3 4 = (p − p(cid:48))2 = p2 + p(cid:48)2 − 2|p||p(cid:48)| cos θlab p2
Với mọi góc (ϕ, θ)lab cho trước ta có: p4dp4 = (p(cid:48) − p cos θlab)dp(cid:48)
Do đó E3E4 = p(cid:48)(E1 + m2) − pE3 cos θlab d(E3 + E4) dp(cid:48)
1 + m2
2 + 2E1E2
Thừa số dòng F = |p|m2, bình phương năng lượng s = m2
Trong hệ qui chiếu phòng thí nghiệm, tiết diện tán xạ vi phân:
lab
(cid:19) = (1.40) (cid:18) dσ dΩ |M |2|p(cid:48)| 64π2m2|p| 1 E1 + m2 − (p/p(cid:48))E3 cos θlab
1, E3 =
(cid:113) p(cid:48)2 + m2
Với E1 = (cid:112)p2 + m2 3 góc tán xạ θlab là góc giữa vector xung lượng của electron đi vào p và electron đi ra p(cid:48), đồng thời theo định
luật bảo toàn năng lượng ta có:
3 − m2 4)
(s + m2 E3(E1 + m2) − pp(cid:48) cos θlab = 1 2
Trong các trường hợp còn lại, giả sử m3 = m1, m4 = m2 ta có:
E3(E1 + m2) − pp(cid:48) cos θlab = E1m2 + m2 1
Điều này cho thấy rằng moment bốn chiều q = p3 − p1 liên quan tới các
biến khác theo biểu thức q2 = (p3 − p1)2 = 2m2(E3 − E1), mối liên hệ giữa
các đại lượng này được biểu thị qua biểu thức:
lab
26
(cid:19) ≈ (cid:18) dσ dΩ 1 1 + (E1/m2)(1 − cos θlab) |M |2 64π2m2 2
Do đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân trong phòng thí nghiệm được viết
lại:
lab
(cid:19) (cid:20) (cid:21)−1 = 1 − (1.41) (cid:18) dσ dΩ |M |2|p(cid:48)| 64π2m2|p| q2 2p(cid:48)2 (m2E3 − m2 1) 2m2
Trong điều kiện tĩnh (p4 = 0) thì p = p(cid:48), E1 = E3, và
E1 + m2 − (p/p(cid:48))E3 cos θlab ≈ m2 + E1(1 − cos θlab)
Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân trong phòng thí nghiệm được lấy
xấp xỉ:
lab
(cid:19) ≈ (cid:18) dσ dΩ 1 1 + (E1/m2)(1 − cos θlab) |M |2 64π2m2 2
Trong tương đối tính E1 ≈ p, E3 ≈ p(cid:48) thì vi phân tiết diện tán xạ có giá
trị gần đúng:
lab
27
(cid:19) (cid:19) ≈ (cid:18) dσ dΩ (cid:18)E3 E1 |M |2 64π2m2 2
CHƯƠNG 2: QUÁ TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON
THÀNH HAI PHOTON
Ta xét quá trình hủy cặp e+e− thành hai photon:
e−(p1, s1) + e+(p2, s2) → γ(ka, (cid:15)a) + γ(kb, (cid:15)b)
Trong khuôn khổ điện động lực học lượng tử, lí thuyết về tương tác của
các hạt mang điện với photon (QED), trong gần đúng bậc thấp nhất - gần
đúng cây, có 2 giản đồ Feynman cho đóng góp:
γ
e− p1 ka(cid:15)µ a
−ieγµ µ p1 − ka
p2 kb(cid:15)ν b ν −ieγν
γ
e+
ka(cid:15)µ a
e− p1 −ieγν
γ ν
p1 − kb
γ p2 µ −ieγµ
kb(cid:15)ν b
Hình 2.1.2: Giản đồ cho sự hủy cặp e+e→γγ
28
e+
Ta sẽ phân tích trong hệ qui chiếu electron đứng yên (hay trong phạm
vi hệ qui chiếu CM của cặp electron-positron). Thực tế, chúng di chuyển
khá chậm, với mục đích đi tính biên độ nên ta sẽ giả sử chúng đứng yên.
Nói cách khác, trường hợp này ta không thể tính trung bình trên các spin
ban đầu do các hệ tổ hợp đều có cấu hình đơn nhất (singlet) -các spin đối
song-hoặc theo cấu hình tam đẳng (triplet) -các spin song song và công
thức tính tiết diện va chạm là hoàn toàn khác nhau trong hai trường hợp.
2.1 Biên độ tán xạ kênh t
- Giản đồ Feynman cho quá trình
γ e−
−ieγµ p1 ka(cid:15)µ a µ
p1 − ka
ν p2 kb(cid:15)ν b −ieγν
γ
Hình 2.2: kênh t
29
e+
b(cid:15)∗
av2(−ieγν)
Mt = (cid:15)∗ i((cid:54) p1− (cid:54) ka + m) (p1 − ka)2 − m2 (−ieγµ)u1
(2.42) = −ie2v2(cid:54) (cid:15)∗ b (cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ au1
|Mt|2 = MtM ∗ t
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)∗ = −ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ b −ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ b
(cid:21) (cid:20) (cid:20) = −ie2u1 (cid:54) (cid:15)a −ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ b (cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ au1 (cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ au1
(cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ au1 (cid:21) (cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)bv2 (2.43)
Cho rằng tất cả Fermion đều không bị phân cực, lấy tổng theo tất cả các
spin rồi chia cho spin của các trạng thái ban đầu thì thu được spin trung
bình của bình phương ma trận. Hay nói cách khác, ban đầu ta có 2 hạt ,
(cid:88)
|Mt|2 =
|Mt|2
1 4
λ1,λ2
(cid:21)
(cid:21) (cid:20)
(cid:88) (cid:20)
=
ie2u1 (cid:54) (cid:15)a
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ b
au1
(cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)bv2
1 4 e4..T r((cid:54) p2 − m) (cid:54) (cid:15)∗
a((cid:54) p1 + m) (cid:54) (cid:15)a((cid:54) p1− (cid:54) ka + m) (cid:54) (cid:15)b
(cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ b((cid:54) p1− (cid:54) ka + m) (cid:54) (cid:15)∗
(2.44)
=
4[(p1 − ka)2 − m2]2
mỗi hạt này lại có 2 cách định hướng spin nên:
Biểu thức này ta thấy giống như vết của một tích gồm 8 ma trận. Nếu ta
lấy tổng toàn bộ độ xoắn của photon ở trạng thái cuối và sử dụng
λ1 (cid:88)
(cid:88) = −gµν (cid:15)a(λ1)µ(cid:15)a(λ1)ν∗
λ2
30
= −gµν (cid:15)b(λ2)µ(cid:15)b(λ2)ν∗
Khi đó vết trở thành:
b((cid:54) p1− (cid:54) ka + m) (cid:54) (cid:15)∗
a((cid:54) p1 + m) (cid:54) (cid:15)a((cid:54) p1− (cid:54) ka + m) (cid:54) (cid:15)b
U = T r((cid:54) p2 − m) (cid:54) (cid:15)∗
(2.45) = T r((cid:54) p2 − m)γµ((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)γν((cid:54) p1 + m)γν((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)γµ
Sử dụng một số định lí thu gọn
(2.46) γµ((cid:54) p2 − m)γµ = −2 (cid:54) p2 − 4m
(2.47) γν((cid:54) p1 + m)γν = −2 (cid:54) p1 + 4m
Áp dụng cho vết:
E = T r(−2 (cid:54) p2 − 4m)((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)(−2 (cid:54) p1 + 4m)((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)
= T r (cid:2)−2 (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) ka)(−2m (cid:54) p2 − 4m)((cid:54) p1− (cid:54) ka) − 4m2(cid:3) .T r (cid:2)−2 (cid:54) p1((cid:54) p1− (cid:54) ka) − 2m (cid:54) p1 + 4m((cid:54) p1− (cid:54) ka) + 4m2(cid:3)
= 4T r (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) ka) (cid:54) p1((cid:54) p1− (cid:54) ka) − 8m2T r (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) ka) + 4m2T r (cid:54) p2 (cid:54) p1
− 8m2T r (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) ka) + 8m2T r((cid:54) p1− (cid:54) ka) (cid:54) p1 − 16m2T r((cid:54) p1− (cid:54) ka)((cid:54) p1− (cid:54) ka)
+ 8m2T r (cid:54) p1((cid:54) p1− (cid:54) ka) − 16m4T r(I)
= 4T r (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) ka) (cid:54) p1((cid:54) p1− (cid:54) ka) + 4m2.4T r((cid:54) p1+ (cid:54) p2− (cid:54) ka) (cid:54) ka
(2.48) − 12m2T r (cid:54) p2 (cid:54) p1 − 16m4T r(I)
Ở đây ta đã bỏ qua thành phần vết của một tích một số lẻ các ma trận,
đồng thời sử dụng:
(cid:54) p1 (cid:54) p1 = p1.p1 = m2
31
(cid:54) ka (cid:54) ka = ka.ka = 0
Khi đó:
U = 4T r (cid:54) p2 (cid:54) ka (cid:54) p1 (cid:54) ka
+ 4m2[4T r (cid:54) p1 (cid:54) ka + 2T r (cid:54) p2 (cid:54) ka − 2T r (cid:54) p2 (cid:54) p1] − 16m4T r(I)
= 4.4[p2.kap1.ka − p2.p1ka.ka + p2.kaka.p1]
+ 4m2[4.4p1.ka + 2.4p2.ka − 2.4p1p2] − 16m4.4
= 4.4[2p1.kap2.ka] + 16m2[4p1.ka + 2p2.ka − 2p1p2] − 16.4m4
(2.49) = 32[p1.kap2.ka + m2(2p1.ka + p2.ka − p1.p2) − 2m4]
Vậy
32e4 |Mt|2 =
32
4[(p1 − ka)2 − m2]2 [p1.kap2.ka + m2(2p1.ka + p2.ka − p1p2) − 2m4] (2.50)
2.2 Biên độ tán xạ kênh u
- Giản đồ Feynman cho quá trình
ka(cid:15)µ a
e− p1 −ieγν
γ ν
p1 − kb
γ p2 µ −ieγµ
kb(cid:15)ν b
Hình 2.3: kênh u
e+
b(cid:15)∗
av2(−ieγν)
Mu = (cid:15)∗ i((cid:54) p1− (cid:54) kb + m) (p1 − kb)2 − m2 (−ieγµ)u1
(2.51) = −ie2v2(cid:54) (cid:15)∗ a (cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bu1
|Mu|2 = MuM ∗ u
(cid:21) (cid:20) (cid:21)∗ = −ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ a
(cid:21) (cid:20) = −ie2u1 (cid:54) (cid:15)b (cid:20) −ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ a (cid:20) −ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ a (cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bu1 (cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bu1
(cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bu1 (cid:21) (cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)av2 (2.52)
Cho rằng tất cả Fermion đều không bị phân cực, lấy tổng theo tất cả các
33
spin rồi chia cho spin của các trạng thái ban đầu thì thu được spin trung
bình của bình phương ma trận. Hay nói cách khác, ban đầu ta có 2 hạt ,
(cid:88)
|Mu|2 =
|Mu|2
1 4
λ1,λ2
(cid:21) (cid:20)
(cid:21)
(cid:88) (cid:20)
=
ie2u1 (cid:54) (cid:15)b
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ a
(cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)av2
(cid:54) p1− (cid:54) kb + m 1 (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bu1 4 e4.T r((cid:54) p2 − m) (cid:54) (cid:15)∗a((cid:54) p1− (cid:54) kb + m) (cid:54) (cid:15)∗
b((cid:54) p1 + m) (cid:54) (cid:15)b((cid:54) p1− (cid:54) kb + m) (cid:54) (cid:15)a
=
(2.53)
4[(p1 − kb)2 − m2]2
mỗi hạt này lại có 2 cách định hướng spin nên:
Biểu thức này ta thấy giống như vết của một tích gồm 8 ma trận. Nếu
ta lấy tổng toàn bộ độ xoắn của photon ở trạng thái cuối và sử dụng
λ1 (cid:88)
(cid:88) = −gµν (cid:15)b(λ1)µ(cid:15)b(λ1)ν∗
λ2
= −gµν (cid:15)a(λ2)µ(cid:15)a(λ2)ν∗
Khi đó vết trở thành:
a((cid:54) p1− (cid:54) kb + m) (cid:54) (cid:15)∗
b((cid:54) p1 + m) (cid:54) (cid:15)b((cid:54) p1− (cid:54) kb + m) (cid:54) (cid:15)a
U = T r((cid:54) p2 − m) (cid:54) (cid:15)∗
(2.54) = T r((cid:54) p2 − m)γµ((cid:54) p1− (cid:54) kb + m)γν((cid:54) p1 + m)γν((cid:54) p1− (cid:54) kb + m)γµ
Sử dụng một số định lí thu gọn:
(2.55) γµ((cid:54) p2 − m)γµ = −2 (cid:54) p2 − 4m
34
(2.56) γν((cid:54) p1 + m)γν = −2 (cid:54) p1 + 4m
Áp dụng cho vết:
I = T r(−2 (cid:54) p2 − 4m)((cid:54) p1− (cid:54) kb + m)(−2 (cid:54) p1 + 4m)((cid:54) p1− (cid:54) kb + m) = T r (cid:2)−2 (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) kb)(−2m (cid:54) p2 − 4m))((cid:54) p1− (cid:54) kb) − 4m2(cid:3) .T r (cid:2)−2 (cid:54) p1((cid:54) p1− (cid:54) kb) − 2m (cid:54) p1 + 4m((cid:54) p1− (cid:54) kb) + 4m2(cid:3)
= 4T r (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) kb) (cid:54) p1((cid:54) p1− (cid:54) kb) − 8m2T r (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) kb) + 4m2T r (cid:54) p2 (cid:54) p1
− 8m2T r (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) kb) + 8m2T r((cid:54) p1− (cid:54) kb) (cid:54) p1 − 16m2T r((cid:54) p1− (cid:54) kb)((cid:54) p1− (cid:54) kb)
+ 8m2T r (cid:54) p1((cid:54) p1− (cid:54) kb) − 16m4T r(I)
= 4T r (cid:54) p2((cid:54) p1− (cid:54) kb) (cid:54) p1((cid:54) p1− (cid:54) kb) + 4m2.4T r((cid:54) p1+ (cid:54) p2− (cid:54) kb) (cid:54) kb
(2.57) − 12m2T r (cid:54) p2 (cid:54) p1 − 16m4T r(I)
Ở đây ta đã bỏ qua thành phần vết của một tích một số lẻ các ma trận,
đồng thời sử dụng:
(cid:54) p1 (cid:54) p1 = p1.p1 = m2
(cid:54) kb (cid:54) kb = kb.kb = 0
Khi đó:
U = 4T r (cid:54) p2 (cid:54) kb (cid:54) p1 (cid:54) kb
+ 4m2[4T r (cid:54) p1 (cid:54) kb + 2T r (cid:54) p2 (cid:54) kb − 2T r (cid:54) p2 (cid:54) p1] − 16m4T r(I)
= 4.4[p2.kbp1.kb − p2.p1kb.kb + p2.kbkb.p1]
+ 4m2[4.4p1.kb + 2.4p2.kb − 2.4p1p2] − 16m4.4
= 4.4[2p1.kbp2.kb] + 16m2[4p1.kb + 2p2.kb − 2p1p2] − 16.4m4
35
(2.58) = 32[p1.kbp2.kb + m2(2p1.kb + p2.kb − p1.p2) − 2m4]
Vậy:
32e4 |Mu|2 =
4[(p1 − kb)2 − m2]2 [p1.kbp2.kb + m2(2p1.kb + p2.kb − p1p2) − 2m4] (2.59)
2.3 Tiết diện tán xạ toàn phần
(cid:21)∗ (cid:20)
(cid:21)
(cid:20)
(2.60)
M ∗
t .Mu =
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ b
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ a
(cid:20)
au1 (cid:21) (cid:20)
=
ie2u1 (cid:54) (cid:15)∗ a
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ a
(cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ (cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bv2
(cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bu1 (cid:21) (cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bu1
(cid:88)
M ∗
M ∗
t .Mu =
t .Mu
(cid:21) (cid:20)
(2.61) (cid:21)
(cid:88) (cid:20)
=
ie2u1 (cid:54) (cid:15)∗ a
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ a
1 4 1 (cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bv2 4 e4.T r((cid:54) p1 + m) (cid:54) (cid:15)a((cid:54) p1− (cid:54) ka + m) (cid:54) (cid:15)b((cid:54) p2 − m) (cid:54) (cid:15)∗
(cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bu1 a((cid:54) p1− (cid:54) kb + m) (cid:54) (cid:15)∗ b
=
4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
Tính
Trong chuẩn Feynman ta có:
a = −gµν
(cid:88) (2.62)
a(cid:15)∗ν (cid:15)u b (cid:15)∗ν (cid:15)u
b = −gµν
(cid:88)
Do đó:
t .Mu =
M ∗ e4.T r((cid:54) p1 + m)γµ((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)γν((cid:54) p2 − m)γµ((cid:54) p1− (cid:54) kb + m)γν 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
36
(2.63)
Sử dụng định lí thu gọn:
(2.64) γµ((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)γν((cid:54) p2 − m)γµ = −2((cid:54) p2 − m)γν((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)
t .Mu =
M ∗ e4.T r((cid:54) p1 + m)(−2)((cid:54) p2 − m)γν((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)((cid:54) p1− (cid:54) kb + m)γν 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
(2.65)
Có:
γν((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)((cid:54) p1− (cid:54) kb + m)γν = γν [(cid:54) p1 (cid:54) p1− (cid:54) p1 (cid:54) kb + m (cid:54) p1− (cid:54) ka (cid:54) p1
(2.66)
+ (cid:54) ka (cid:54) kb − m (cid:54) ka + m (cid:54) p1 − m (cid:54) kb + m2]γν program@epstopdf
= 4(8m2 − p1kb + kakb − kap1)
Vậy:
t .Mu =
M ∗ T r((cid:54) p2 − m)((cid:54) p1 + m) −2e4.(8m2 − p1kb + kakb − kap1) 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
(2.67)
= T r((cid:54) p1 (cid:54) p2 − m (cid:54) p1 + m (cid:54) p2 − m2)
= −2e4.(8m2 − p1kb + kakb − kap1) 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2] −2e4.(8m2 − p1kb + kakb − kap1).4(p1p2 − m2) 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
(cid:20)
(cid:21)∗
(cid:21) (cid:20)
(2.68)
Mt.M ∗
u =
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ b
au1
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ a
(cid:20)
(cid:21) (cid:20)
=
ie2u1 (cid:54) (cid:15)b
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ b
au1
(cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ (cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗
(cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ bu1 (cid:21) (cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)av2
37
Tính
(cid:88)
Mt.M ∗
Mt.M ∗ u
u =
(cid:21) (cid:20)
(2.69) (cid:21)
(cid:88) (cid:20)
=
ie2u1 (cid:54) (cid:15)b
−ie2v2 (cid:54) (cid:15)∗ b
au1
(cid:54) p1− (cid:54) kb + m (p1 − kb)2 − m2 (cid:54) (cid:15)av2
1 4 1 (cid:54) p1− (cid:54) ka + m (p1 − ka)2 − m2 (cid:54) (cid:15)∗ 4 e4.T r((cid:54) p2 − m) (cid:54) (cid:15)∗b((cid:54) p1− (cid:54) ka + m) (cid:54) (cid:15)∗
a((cid:54) p1 + m) (cid:54) (cid:15)b((cid:54) p1− (cid:54) kb + m) (cid:54) (cid:15)a
=
4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
Trong chuẩn Feynman ta có:
a = −gµν
(cid:88) (2.70)
b = −gµν
a(cid:15)∗ν (cid:15)µ (cid:15)µ b (cid:15)∗ν
(cid:88)
Do đó:
u =
Mt.M ∗ e4.T r((cid:54) p2 − m)γν((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)γµ((cid:54) p1 + m)γν((cid:54) p1− (cid:54) kb + m)γµ 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
(2.71)
Sử dụng định lí thu gọn:
(2.72) γν((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)γµ((cid:54) p1 − m)γν = −2((cid:54) p1 + m)γµ((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)
u =
Mt.M ∗ e4.T r((cid:54) p2 − m)(−2)((cid:54) p1 + m)γµ((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)((cid:54) p1− (cid:54) kb + m)γµ 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
38
(2.73)
Có:
γµ((cid:54) p1− (cid:54) ka + m)((cid:54) p1− (cid:54) kb + m)γµ = γµ (cid:2)2m2− (cid:54) p1 (cid:54) kb + m (cid:54) p1− (cid:54) ka (cid:54) p1
program@epstopdf + (cid:54) ka (cid:54) kb − m (cid:54) ka + m (cid:54) p1 − m (cid:54) kb]γν
= 4(8m2 − p1kb + kakb − kap1)
Vậy:
u =
Mt.M ∗ T r((cid:54) p2 − m)((cid:54) p1 + m) −2e4.(8m2 − p1kb + kakb − kap1) 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
= (2.74) −2e4.(8m2 − p1kb + kakb − kap1)T r((cid:54) p2 (cid:54) p1 + m (cid:54) p2 − m (cid:54) p1 − m2) 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
= (8m2 − p1kb + kakb − kap1) −2e4.4(p2p1 − m2) 4[(p1 − ka)2 − m2][(p1 − kb)2 − m2]
t .Mu và Mt.M ∗
u đều bằng 0. Khi đó:
Lấy me ≈ 0 thì 2 thành phần M ∗
t | + |M 2 u| = 8e4 p1.kap2.ka
(2.75) |M 2| = |M 2
4(p1.kb)2
4(p1.ka)2 + 8e4 p1.kbp2.kb + 2e4 p2.kb p1.kb = 2e4 p2.ka p1.ka
Mặt khác
(2.76) p1 + p2 = ka + kb
↔ p2 − ka = kb − p1
↔ (p2 − ka)2 = [−(p1 − kb)]2
39
↔ p2.ka = p1.kb
(2.77) p1 + p2 = ka + kb
↔ p2 − kb = ka − p1
↔ (p2 − kb)2 = [−(p1 − ka)]2
↔ p2.kb = p1.ka
p1.ka
(cid:105) −→ |M 2| = 2e4 (cid:104) p1.kb + p1.ka p1.kb
Xét sự va chạm của một electron và một pozitron trong hệ qui chiếu khối
tâm:
(2.78) p1.p2 = E2 + E2 = 2E2
p1.ka = E2 − EP cos θ = E2(1 − β. cos θ)
p1.kb = E2 + EP cos θ = E2(1 + β. cos θ)
E : Vận tốc của γ
Với β = P
Kết hợp e2 = 4πα (α: Hằng số cấu trúc) thì |M 2| trở thành
(cid:21) (2.79) + |M 2| = 2(4πα)2
E2(1 − β. cos θ) E2(1 + β. cos θ) (cid:21) = 2(4πα)2 + (cid:20)E2(1 + β. cos θ) E2(1 − β. cos θ) (cid:20)1 + β. cos θ 1 − β.cosθ 1 − β. cos θ 1 + β.cosθ
Sử dụng công thức tính tiết diện tán xạ trong hệ qui chiếu khối tâm:
(2.80) |M 2| = dσ dω
40
(cid:21) = .2(4πα)2 + (cid:20)1 + β. cos θ 1 − β.cosθ 1 − β. cos θ 1 + β.cosθ (cid:21) .β + = | (cid:126)P (cid:48)| 64π2s| (cid:126)P | P 64π2sE α2 2s (cid:20)1 + β. cos θ 1 − β.cosθ 1 − β. cos θ 1 + β.cosθ
Lấy tích phân theo toàn bộ góc dω = 2πd cos θ, tiết diện tán xạ toàn phần:
(cid:21) dσ = .β + .2π.d cos θ (2.81) (cid:20)1 + β. cos θ 1 − β.cosθ 1 − β. cos θ 1 + β.cosθ
0
(cid:21) α2 2s (cid:90) θ .β + .2π.d cos θ σ = α2 2s (cid:20)1 + β. cos θ 1 − β.cosθ 1 − β. cos θ 1 + β.cosθ
(cid:21)
(cid:20)
(cid:21)
(cid:90) θ
σ =
.β
+
.2π.d cos θ ≈
ln
(2.82)
− θm
α2 2s
(cid:20)1 + β. cos θ 1 − β.cosθ
1 − β. cos θ 1 + β.cosθ
2πα2 s
1 + θm 1 − θm
0
Quan sát tại một điểm ta thấy tiết diện tán xạ toàn phần chỉ đo được đối với các dòng e−e+ ở gần, nghĩa là góc θ nhỏ, khi đó θm ≈ cos θmin
Quá trình hủy cặp electron thành hai photon có liên quan đến tán xạ
Compton bởi vì tính đối xứng là giao nhau. Trong trường hợp không phân
cực, tiết diện tán xạ toàn phần được viết lại:
(cid:19) − ln(1 + 2ω) + − (2.83) σ = (cid:18) 1 2ω 1 + ω ω3 2(1 + ω)2 ω2(1 + 2ω) 1 + 3ω (1 + 2ω)2 8πα2.3 3m2 e.4
|M 2| = dσ dΩ | (cid:126)P (cid:48)| 64π2s.| (cid:126)P |
(cid:3) = + P E 1 − βcosθ 1 + βcosθ
(cid:3) + = (2.84) 1 64π2s α2β 2s 2(4πα)2(cid:2)1 + βcosθ 1 − βcosθ 1 − βcosθ 1 + βcosθ (cid:2)1 + βcosθ 1 − βcosθ
Lấy tích phân theo toàn bộ góc khối dΩ = 2πdcosθ, tiết diện tán xạ toàn
phần:
+ (cid:3).2πdcosθ dσ =
0
41
(cid:90) π + (cid:3).2πdcosθ (2.85) σ = α2β 2s α2β 2s (cid:2)1 + βcosθ 1 − βcosθ (cid:2)1 + βcosθ 1 − βcosθ 1 − βcosθ 1 + βcosθ 1 − βcosθ 1 + βcosθ
Sử dụng phần mềm Wolfram Mathematica tính giá trị của biểu thức
(2.85) và vẽ đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa tiết diện tán xạ toàn phần
√ với s thu được kết quả:
s
σ = 2πα2β .2, 04444
figure
42
Hình 2.4: Sự phụ thuộc giữa tiết diện tán xạ toàn phần theo xung lượng √ s
KẾT LUẬN
Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, về cơ bản đề tài đã hoàn thành
những mục tiêu đặt ra. Những kết quả chính của khóa luận bao gồm:
- Giới thiệu được cơ sở của lý thuyết tán xạ. Qua đó trình bày chi tiết cách
xây dựng phần đỉnh trong tương tác không chứa đạo hàm và tương tác
không chứa đạo hàm; qui tắc Feynman và tiết diện tán xạ trong hệ khối
tâm và hệ phòng thí nghiệm .
- Tính chi tiết biên độ tán xạ quá trình hủy cặp electron thành hai photon
theo các kênh t và u.
- Sử dụng phần mềm Woldfram Mathematica tính số giá trị của biên độ
tán xạ toàn phần. Kết quả cho thấy, tiết diện tán xạ toàn phần giảm theo
43
√ xung lượng vào s và đạt được một số giá trị phù hợp với thực nghiệm.
Tài liệu
[1] Hoàng Ngọc Long, 2006. Cơ sở Vật lý hạt. Hà Nội, Nhà xuất bản thống
kê.
[2] Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, 2003. Introduction to Quan-
tum Field Theory, Addison – Wesley Publishing Company.
[3] Michio Kaku, 1993. Quantum field theory. USA, Oxford University
Press.
44
[4] Roy Pike and Pierre Sabatier, 2002. Scattering.Japan, Academic Press.
