TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ
NGUYỄN TUẤN ANH
SỨC CĂNG MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNGTỤ BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƯỜNG CỨNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI,2017
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên,em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo
Th.S Hoàng Văn Quyết người đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn
để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng
dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức
cơ bản trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như trong công việc sau
này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen
với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô
và các bạn để đề tài này được hoàn thiệnhơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 04 năm2017
Sinhviên
Nguyễn Tuấn Anh
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp “Sức căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose-
Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng” được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo Th.S Hoàng Văn
Quyết.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không
trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.
Hà Nội, tháng 04 năm2017
Sinhviên
Nguyễn Tuấn Anh
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .............................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................ 2
6. Đóng góp của đề tài ..................................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
Chương 1.TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN .................. 3
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển ............................................................ 3
1.2. Tổng quan các nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein
Condensates ................................................................................................... 10
1.2.1. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý .............................................. 10
1.2.2. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng ............................................. 12
1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein có
liên quan đến khóa luận ................................................................................ 15
1.3.1. Thống kê Bose – Einstein .................................................................... 15
1.3.2. Toán tử Hamilton .................................................................................. 24
1.3.3. Phương trình Gross-Pitaevskii ............................................................ 25
1.3.3.1. Hệ riêng biệt ..................................................................................... 26
1.3.3.2. Hệ hai thành phần ............................................................................ 28
1.3.3.2.1. Phương trìnhGross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian ..................... 28
1.3.3.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thờigian 30
1.4. Sơ lược về phương pháp gần đúng Parabol kép ................................. 33
CHƯƠNG 2. SUẤT CĂNG MẶT PHÂN CÁCH ...................................... 35
2.1 Trạng thái cơ bản của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị
giới hạn bởi hai tường cứng ......................................................................... 35
2.2 Suất căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành
phần bị giới hạn bởi hai tường cứng ........................................................... 38
2.2.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài ........................................................ 38
2.2.2. Suất căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành
phần bị giới hạn bởi hai tường cứng ............................................................ 41
KẾT LUẬN .................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 46
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ý tưởng ngưng tụ Bose-Einstein Condensates (BEC) là của Satyendra
Nath Bose (Ấn Độ) và Albert Einstein (Mỹ) tiên đoán từnăm1924. Nhưng mãi
tới năm 1980 kỹ thuật laze phát triển đủ để làm siêu lạnh các nguyên tử đến
nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện được và đến năm 1995 mới quan sát
được bằng thực nghiệm. BEC là trạng thái vật chất hết sức quan trọng trong
phòng thí nghiệm để quan sát nhiều hiệu ứng vật lý mà các vật chất khác
không có, nhất là đối với các hiệu ứng lượng tử. Trong một thập niên qua, nhờ
sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuật dùng trong thực nghiệm để tạo
ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trên thực nghiệm các BEC hai thành
phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau và điều quan trọng là
có thể điều khiển được cường độ tương tác giữa hai thành phần này để sinh ra
một trạng thái bất kì theo ý muốn. Đây chính là một môi trường lý tưởng để
kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau,
chẳng hạn sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách ngăn giữa hai thành
phần, các trạng thái soliton, các trạng thái ripplon, các đơn cực...
Ở Việt Nam BEC vẫn còn là một vấn đề mới mẻ, nhất là đối với học sinh và
sinh viên. Vì vậy việc tìm hiểu BEC đối với sinh viên là hết sức cần thiết. Do
điều kiện nghiên cứu thực nghiệm ở Việt Nam đối với sinh viên còn gặp
nhiều khó khăn (thiết bị, kinh phí,…) nên để tìm hiểu về BEC chúng ta chỉ
mới có thể tìm hiểu trên phương diện lí thuyết. Vì thời gian và kiến thức hạn
hẹp nên đối với sinh viên chúng em chỉ có thể tìm hiểu về một khía cạnh nhỏ
của BEC. Vì vậy em chọn và nghiên cứu đề tài: “SỨC CĂNG MẶT PHÂN
CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ
GIỚI HẠN BỞI HAI TƯỜNG CỨNG” làm đề tài nghiên cứu của mình.
1
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose-Einstein nghiên cứu sức căng mặt
ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi một
tường cứng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê của
hệ BCE hai thành phần
Phạm vi: chỉ nghiên cứu trường hợp hai chất lỏng không trộn lẫn nhau
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan được các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về BCE
Trình bày hệ phương trình Gross-Pitaevskii
Trình bày về phương pháp gần đúng Parabol kép
Áp dụng phương pháp gần đúng Parabol kép để nghiên cứu sức căng mặt
phân cách của ngưng tụ Bose –Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai
tường cứng
5. Phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii áp dụng phương pháp gần đúng
Parabol kép
6. Đóng góp của đề tài
Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.
2
NỘI DUNG
Chương 1.TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển
Albert Einstein (1897-1955) là một nhà vật lí lý thuyết sinh ra ở Đức.
Khi bước vào sự nghiệp của mình, Eisntein đã nhận ra cơ học Newton không
còn có thể thống nhất các định luật của cơ học cổ diển với các định luật của
trường điện từ. Từ đó ông phát triển thuyết tương đối đặc biệt, với các bài
báo đăng trong năm 1905. Tuy nhiên, ông thấy nguyên lý tương đối có thể
mở rộng cho cả trường hấp dẫn, và đến năm 1916 ông đã xuất bản một bài
báo cáo về thuyết tương đối tổng quát. Ông cũng là người đặt cơ sở cho lý
thuyết lượng tử ánh sáng. Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng
quát để miêu tả mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ...
Một trong những thành tựu khoa học của ông đó là ý tưởng về ngưng tụ
Bose-Einstein Condensates bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ
Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem
photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất. Satyendra Nath Bose chia
sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý
thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử và tiên đoán rằng nếu
các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng của chúng trở thành lớn đến mức
chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các nhân và tạo nên một trạng
thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác mộtsiêu nguyên tử - tức là một BEC
Về mặt lý thuyết các hạt trong vật lý được chia làm hai lớp cơ bản: lớp
các boson và lớp các fermion. Boson là những hạt có ''spin nguyên''
(0,1,2,...), fermion là những hạt có spin ''bán nguyên'' (1/2,3/2...). Các hạt
boson tuân theo thống kê Bose- Einstein, còn các hạt fermion tuân theo
thống kê Fecmi- Dirac. Ngoài ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lý
3
ngoại trù Pauli, ''hai hạt fermion không thể cùng tồn tại trên cùng một trạng
thái lượngtử''.
Ở nhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất giống nhau, giống
hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Mắcxoen- Bônxơman (bởi cả thống
kê Bose-Einstein và thống kê Fecmi- Dirac đều tiệm cận đến thống kê
Mắcxoen- Bônxơman ở nhiệt độ phòng). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ
thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion (chẳng hạn như khí điện tử
tự do trong kim loại). Thật vậy vì các hạt Boson không chịu sự chi phối của
nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả đều có năng
lượng = 0, do đó trang thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E = 0.
Còn đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ T = 00K các hạt lần lượt chiếm
các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermion, do đó năng lượng của cả
hệ khác không (E #0).
Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó
các electron và nucleon là chẵn,...) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose.
Khi nhiệt độ hạ xuống thấp Tc nào đó thì theo nguyên lý bất định
1 2⁄ do
⁄
Heisenberg các hạt boson có bước sóng Đơbrơi là 𝜆𝐵 = (2𝜋ħ2 mkBT) đó 𝜆𝐵tăng lên khi nhiệt độ giảm. Khi 𝜆𝐵có thể so sánh được với kích thước
không gian giữa các nguyên tử thì các sóng Đơbrơi này sẽ chồng chất lên
nhau tạo thành bó sóng và khi đó các hạt đều có cùng một trạng thái lượng tử
ta gọi là trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein (BEC ).
Sự chuyển pha dẫn đến ngưng tụ Bose Einstein xuất hiện khi nhiệt độ
của hệ ở dưới nhiệt độ giới hạn, đối với khí phân bố đều 3 chiều của hệ hạt
không tương tác mà không có bậc tự do nội tại trong nó, được cho bởi công
thức:
4
𝑛
Ϛ(3/2)
2/3 2πћ2 ) 𝑚𝑘𝐵
ћ2𝑛2/3 𝑚𝑘𝐵
≈ 3.3125 Tc= (
Tc là nhiệt độ giới hạn
n là mật độ hạt
m là khối lượng của từng boson
ћ là hằng số Plăng thu gọn
kB là hằng số Boltzmann
ς là hàm Zeta Riemann; ς(3/2)≈ 2.6124
Về thực nghiệm các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc
biệt mang lại một hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản.
Với việc chọn erbium, đội nghiêm cứu đứng đầu là Frencesca Ferlaino thuộc
Viện Vật lí Thựcnghiệm,ĐạihọcInnsbruck,đãchọnmộtnguyêntốrấtlạ,đólàvì
những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để
nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lí lượng tử.
"Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn
tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử", Ferlaino cho biết.
Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp
đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện
laser và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những độ gần độ không tuyệt đối, một
đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose-
Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. " Những thí nghiệm với erbium
cho phép chúng tôi thu được kết quả sâu sắc mới về những quá trình tương
tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và đặc biệt, chúng ta mang lại
những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên
tử lạnh", Franlainonói.
Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lí
5
ở Innsbbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột
phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu
của ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của cesium, dẫn tới vô số
những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ
START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của
Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của strontium
hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố
erbium.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khácnhau.
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của Heli-4 cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp
của một số vật liệu.
Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ
Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh
khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian
này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được
ngưng tụ Bose- Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000
nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của
hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý
năm2001.
6
Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong
trường hợp này là các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển
động của các nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động
nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước
khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên
phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều
nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu
trắng
Các nhà vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của
một trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein trong một hệ các giả hạt được làm lạnh
được gọi là "polariton". Mặc dù những khăng định tương tự đã từng được
công bố trước đó, nhưng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài
nghi rằng sự kết hợp này là một hiệu ứng của trùm laser được dùng để tạo ra
các polariton, có nghĩa là hệ không chắc chắn là ngưng tụ. Thí nghiệm mới
này đã hoàn toàn loại bỏ những nghi ngờ bằng cách tích lũy polariton từ
cácchùm.
Tuy nhiên, các polariton - các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống
và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có
7
thể tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên
về sự ngưng tụ này được công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại
học Tổng hợp Joseph Fourier, Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp
Thụy Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của
các polariton trong một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt đô khá cao 19k.
Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu
hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác
trong lĩnh vực này lại nghi nghờ rằng các polarition dù ở trạng thái BEC thật,
nhưng bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng được
kích thích bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợprồi.
Hình 1.2: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316,1007)
Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng
hợp Pittsburgh và các cộng sự ở phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ
tượng tự mà trong đó các polarition được tạo bởi các tia laser sau đó di
chuyển khỏi vung kích thích của laser. Điều này được thực hiện nhờ một
ghim nhỏ chiều ngang 50 micron, để tạo ra một ứng suất bất đồng trên vi
cầu, có nghĩa là tạo ra như một cái bẫy để tích lũy các polariton. Và ở hệ
này, trạng thái BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2K.
8
Mặc dù nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của
Kasprzak đã công bố, nhưng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi
xuất bản công trình này nhóm đã tạo ra hiện tượng này ở nhiệt độ cao tới 32
K.
Hơn nữa, các vi cầu ( hay vi hốc-microcavity) được tạo ra bởi vật liệu
bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tượng tự từng được dùng trong các khí
nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác.
Hình 1.3: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316,1007)
Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm
Snoke là trạng thái BEC trong các xu hướng truyền thống hay không vì các
polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt được trạng
thái chuẩn cân bằng. "Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm
BEC cho một hệ ở trong trạng thái cân bằng thực sự" - Snoke nói - "Mặt
9
khác, lại có một số người khác muốn tổng quát hóa chung trong một loại hệ
hỗn hợp bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật
ngữ thì đúng hơn".
1.2. Tổng quan các nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose -
Einstein Condensates
1.2.1. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý
Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi
cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon
sang trạng thái đốm màu.
Hình 1.4: Một "siêu photton" được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới
một trạng thái vật chất được gọi tên là "trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein"
Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một
trạng thái của vật chất. Với tên gọi "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein", nó
từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một
chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt
10
vì việc vừa làm lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ cùng lúc điều bất khả thi. Do
photon là các hạt không có khối lượng, chỉ mang năng lượng nên chúng đơn
giản dễ bị hấp thụ vào môi trường xung quanh và biến mất, đặc biệt là khi
chúng bị làm lạnh.
Bốn nhà vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách làm lạnh các hạt photon
mà không làm giảm số lượng của chúng. Để duy trì số lượng hạt photon,
những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm bằng những
tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng 1 micromet. Giữa
các gương, nhóm nghiên cứu đặt các phân tử "thuốc nhuộm" (về cơ bản chỉ
có một lượng nhỏ chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những
phân tử này, chúng bị hấp thụ và sau đó được tái tạo. Các tấm gương đã
"tóm" các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến - lui trong một trạng
thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt photon trao đổi nhiệt lượng mỗi
khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối cùng, chúng bị
làm lạnh tới mức nhiệt độ phòng. Mặc dù không thể đạt độ không tuyệt đối
nhưng nhiệt độ phòng thôi, cũng đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một
hạt khổng lồ, hay trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein.
Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà vật lý James Anglin
thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm
trên là "một thành tựu mang tính bước ngoặt".
Ứng dụng phát kiến này vào thực tế, chúng ta có thể tạo các loại laser
mới có bước sóng cực ngắn, trong dải tia cực tím, hoặc tia X.
Ví dụ ứng dụng quan trọng của laze nguyên tử : Là in hôlôgraf (“in ba
chiều”). Giống như hôlôgraf quang học nhưng nó có thể phân giải mịn gấp
70 ngàn lần ánh sáng.
11
Làm các gia tốc kế siêu nhạy.
Làm chip: Bằng cách rọi một chùm laze nguyên tử qua nột mặt nạ
hôlôgraf các nhà sản xuất có thể xây dựng các mạch với các đường dẫn mảnh
đúng bằng nguyên tử. Tương tự, kĩ thuật hôlôgraf có thể dùng vào việc chế
tạo ra các chi tiết linh kiện nano khác.
Du hành: Các con quay dùng dùng laze nguyên tử có thể gắn vào các hệ
thống dẫn đường quán tính, hoặc tương tự. Có thể dùng cho máy bay, tầu
ngầm và các loại tầu thuyền khác với tính năng định vị chính xác mà không
cần tham chiếu bất kỳ trạm bên ngoài nào, không như các hệ định vị vệ tinh
GPS thường làm.
Đo lường và phát hiện: Các giao thoa kế dùng các laze nguyên tử sẽ đủ
nhạy để phát hiện được cả những biến đổi nhỏ của trường hấp dẫn đến từ các
trầm tích dầu mỏ, các đường hầm hoặc các mắcma sâu trong lòng đất
1.2.2. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng
Các nhà vật lý Mỹ giờ đây đã có thể ghi một xung ánh sáng đồng bộ vào
một tập hợp các nguyên tử siêu lạnh - và sau đó khôi phục lại nguyên dạng
xung sáng đó từ một tập hợp các nguyên tử thứ hai ở cách đó một khoảng cách
nào đó.
Thí nghiệm đã chứng tỏ rằng các hạt vĩ mô là khó có thể phân biệt một
cách rạch ròi như cơ học lượng tử đã nói mặc dù chúng có thể tách biệt về
mặt vật lý. Thí nghiệm được tiến hành bằng cách sử dụng các nguyên tử
ngưng tụ Bose Einstein được làm lạnh tới nhiệt độ mà tất cả chúng ở cùng
một trạng thái lượng tử (Theo bài báo đăng trên tạp chí Nature).
Để bắt ánh sáng "nhảy" từ chỗ này sang chỗ khác, Lene Hau và các
đồng nghiệp ở Đại học Harvard đã khai thác một kỹ thuật được họ phát triển
từ năm 2001 để giữ các xung ánh sáng trong trạng thái ngưng tụ Bose-
Einstein, có thể làm cho ánh sáng laser đi chậm đến mức gần như đứng
12
lại. Kỹ thuật này bao gồm việc chiếu một xung từ một đầu phát laser vào các
nguyên tử Na ở trạng thái BEC, làm cảm ứng đến việc phân bố các dao động
nhỏ của điện tích trong nguyên tử.
Nhà vật lý Lene Vestergaard Hau sử dụng những tia laser và các đám
mây cực nhỏ để che nguyên tử siêu lạnh làm cho ánh sáng đi chậm đến mức
gần như đứng lại. Thông thường các lưỡng cực sẽ phát xạ và nhanh tróng bị
phân rã, nhưng khi chiếu một chùm laser có điều khiển vào các chuyên tử,
chúng sẽ chuyển các dao động trong điện tử thành các dao động của spin mà
dao động này ổn định hơn. Vì thế, khi mà xung laser này tắt đi, thông tin của
đầu phát laser sẽ được ghi lại trên dao động của lưỡng cực spin của nguyên
tử. Đảo tia laser điều khiển để giải phóng ánh sáng, cho phép các nguyên tử
bức xạ lại kết hợp (ví dụ như đồng pha với xung dò ban đầu).
Điểm khác biệt trong kỹ thuật mới là xung được làm chậm để tái hiện
lại tại vị trí BEC cách đó khoảng 1,6 mm. "Thủ đoạn đánh lừa" ở đây là hàm
sóng của lưỡng cực spin thực ra là một sự chồng chập của các nguyên tử
trong trạng thái cơ bản và trong trạng thái kích thích spin. Nhờ có nguyên lý
bảo toàn xung lượng mà các nguyên tử ở trạng thái kích thích spin sẽ di
chuyển khỏi BCE ban đầu khi nguyên tử hấp thụ photon từ xung laser, trong
khi nguyên tử ở trạng thái cơ bản thì đứng yên tại vị trí đó.
Nội dung thông tin của xung đầu dò đã được "in dấu" trên dao động
quay tròn các lưỡng cực của nguyên tử BEC đầu tiên (trên). Trong thí
nghiệm mới này xung cản trở được làm để xuất hiện BEC thứ 2 cách xa
khoảng 160 µm (dưới) .
13
Một điểm sáng tạo là nhóm ở Harvard đã quyết định đợi cho đến khi
nguyên tử kích thích spin đi đến vị trí ngưng tụ thứ hai trước khi tác dụng lại
các laser điều khiển. Và họ nhận ra rằng tập hợp các nguyên tử tách biệt một
cách vật lý này sau đó có thể phát xạ lại ánh sáng ban đầu. Xung ánh sáng
được khôi phục này lan truyền một cách chậm rãi khỏi vị trí BEC thứ hai
trước khi đạt vận tốc 300000 km/s như vốn có của ánh sáng.
Vì hai vị trí BEC được tạo ra hoàn toàn độc lập, nên ta có thể hy vọng
sự gửi đi các bó sóng từ vị trí đầu tiên đến một vị trí xa lạ BEC thứ hai. Thực
tế không hẳn là hàm sóng ở trạng thái cơ bản có một thành phần trên cả hai
vị trí BEC trong cùng một thời điểm để có thể tổ hợp với thành phần bị kích
thích spin khi nó đến vị trí thứ hai.
Thí nghiệm là một minh chứng hùng hồn của việc không phân biệt
lượng tử. "Bằng cách thao tác cho vật chất sao chép lại nguyên bản ánh
sáng ban đầu, chúng ta có thể sử dụng trong việc xử lý thông tin quang" -
14
Hau phát biểu. Bà phát biểu trên Physics Web rằng thí nghiệm này có thể sẽ
đưa đến kỹ thuật xử lý thông tin quang trong viễn thông quang và mạng
thông tin lượng tử. Một ứng dụng khác có thể là cảm biến quay siêu nhạy
hoặc detetor trọng trường.
Ngoài vài ứng dụng đã kể trên thì còn rất nhiều ứng dụng khác nữa và
khả năng tiềm tàng của BEC còn rất lớn và đang tiếp tục được khám phá.
1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein
có liên quan đến khóa luận
1.3.1. Thống kê Bose – Einstein
Trong mục này chúng ta cần chỉ ra rằng khi nhiệt độ xuống thấp hơn
nhiệt độ Tc nào đó thì xuất hiện một số hạt nằm ở cùng một mức năng lượng
thấp nhất hay còn gọi là cùng trạng thái lượng tử.
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử :
(1.1)
Trong đó gk là độ suy biến.
Nếu hệ gồm các hoạt động tương tác thì ta có
∞ 𝐸𝑘 = ∑ 𝑛𝑙𝜀𝑙 . 𝑙=0
(1.2)
Ở đây là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, là số chưa đầy tức
là số có cùng năng lượng .
Số hạt trong hệ có thể nhận các giá trị từ với xác suất khác nhau.
Độ suy biến trong (1.1) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác
nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị đó chính là số mới vì
15
số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê
cố điển thay thế cho phân số chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân số
chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.
1
Phân bố chính tắc lượng tử có dạng
∞ 𝑙=0
𝑁!
𝑒𝑥𝑝{𝛺 + 𝜇𝑁 − ∑ 𝑛𝑙𝜀𝑙 }𝑔𝑘.
𝑊(𝑛0, 𝑛1, … ) = (1.3)
Trong đó , là thế nhiệt động lớn, là thế hóa.
Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.3) là vì có kể đến tính
đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt cuả các trạng thái mà ta thu
được do hoán vị các hạt.
Ta kí hiệu
. (1.4)
Khi đó (1.3) được viết lại như sau:
. (1.5)
Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.5) như sau
Một là vế phải của (1.5) có thể coi là hàm của các nên ta có thể đón
nhận công thức đó như là xác suất để cho có hạt nằm trên mức hạt
nằm trên mức , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do dó nhờ công thức này
ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng
16
. (1.6)
Hai là đại lượng xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện
các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ bonson và hệ
fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì
các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì
khi đó hàn sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc dổi dấu nhĩa là diễn tả
cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta
có
.
(1.7)
Trong phân số Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng . Do đó số tổng cộng các trạng
thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng chia
cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho
Khi đó
, (1.8)
thay giá trị của vào (1.4) ta được (1.7). Để tính trị trung bình của các số
chưa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho
dại lượng trong công thức (1.5) chỉ số , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như
không phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thể hóa học .
Và cuối phép tính ta cho .
17
Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như
sau
, (1.9)
với , (1.10)
nghĩa là . (1.11)
Khi đó đạo hàm của theo dựa vào (1.10) và (1.11)
. (1.12)
Nếu trong biểu thức (1.12) ta đặt thì theo (1.6) vế phải của công
thức (1.12) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy tức là ta thu được
. (1.13)
Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ
) và do đó theo (1.9) ta có
, (1.14)
khi đó
18
. (1.15)
Theo (1.13) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình
, (1.16)
ta có (1.16) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thể hóa học
trong công thức (1.16) được xác định từ điều kiện
∞ ∑ 𝑛̅𝑙 = 𝑁 𝑙=0
. (1.17)
Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số
hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ bằng
, (1.18)
trong đó là số các mức năng lượng trong khoảng
Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích V có thể
xem như các sóng dừng Broglie. Vì vậy có thể xác định bằng cách áp
dụng công thức
. (1.19)
Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng p và véctơ sóng k
(1.20) , 𝑃⃗ = ћ𝑘⃗
khi đó (1.19) có thể được viết dưới dạng
. (1.21)
19
𝑝2 2𝑚
suy ra Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vân tốc v≪c thì ɛ=
𝑝2𝑑𝑝 = √2𝑚3ɛdɛ.
Do đó (1.21) có dạng
.
Vì các hạt có thể có xác định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g = 2s+1. Do đó, số các mức
năng lượng trong khoảng là
. (1.22)
Theo (1.18) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng là
. (1.23)
Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau
. (1.24)
Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thể hóa học . Ta xét
một số tính chất tổng quát của thể hóa học đối với khí bose lí tưởng. Đầu
tiên là chúng ta chứng minh rằng
. (1.25)
Thật vậy, số hạt trung bình chỉ có thể là một số dương, trong đó,
theo (1.23), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.23) luân luôn dương
20
(nghĩa là khi , để cho luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của
).
Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng, giảm dần khi nhiệt độ
tăng lên. Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.24) ta có:
(1.26)
Nhưng do (1.24) nên , do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế
phải (1.26) luôn luôn dương với mọi giá trị của , vì vậy . Từ các tính
chất và của hàm ta thấy khi nhiệt độ giảm thì tăng (từ giá
trị âm tăng lên đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ nào
đó sẽ đạt giá trị cực đại bằng không ( ).
Xác định nhiệt độ
Chọn và . Khi đó phương trình
21
Trở thành
. (1.27)
Mà ta đã biết , nên từ (1.27) và , ta được
. (1.28)
Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn như đối với , ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ
ta được . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ có ý
nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0 22 thì thể hóa học tăng tới giá trị , mà nên không thể giản nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0 Với nhiệt độ T . (1.29) 3 So sánh (1.27) và (1.29) ta thấy 2. 𝑁′
𝑁 𝑇
𝑇0 hay = ( ) Vì số hạt toàn phần trong hệ không đổi, nên kết quả trên phải được đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi T < T0thì N <𝑁′chỉ ra rằngsố hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N' có thể phân bố theo các mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.18), tức là: .(1.30) Các hạt N< N’ còn lại cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ. Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0một phần của các hạt khí bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lương không) và các hạt còn lại sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật , hiện tượng mà ta vừa mô tả, trong đó một số hạt khí bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai 23 phần của khi bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose-Einstein. Ở nhiệt độ tuyệt đối T=0 Tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức không. 1.3.2. Toán tử Hamilton Dựa vào hệ tiên đề của cơ học lượng tử ta thấy, để nghiên cứu năng lượng của hệ chúng ta cần phải biết toán tử Hamilton, toán tử Hamilton tương ứng với hàm Hamilton trong cổđiển. Hàm Hamilton là hàm tọa độ suy rộng và thời gian. Qua một số biến đổi ta được các phương trình củaHamilton: 𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑘 𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑘 (1.31) 𝑝𝑘̇ = - , 𝑞𝑘̇ = Cơ học cổ điển bị hạn chế, có những hiện tượng mà không giải thích được bằng lý thuyết cổ điển. Do đó dẫn đến hình thành môn cơ học lượng tử. Trong cơ học lượng tử người ta dùng toán tử để mô tả biến số độnglực. Toán tử Hamilton là toán tử quan trọng vào bậc nhất của cơ học lượng tử. Trong hệ tọa độ Descartes, toán tử Hamilton của một hạt gồm toán tử động năng và hàm lực Hˆ=Kˆ+Uˆ . (1.32) Ở đây toán tử động năng 𝑝̂2
2𝑚 ћ2
2𝑚 𝐾̂= 𝛻2. (1.33) = − Còn hàmlực Û= U(𝑟 , t) phụ thuộc vào tọa độ r và thời gian t, thànhthử ћ2
2𝑚 Ĥ= − 𝛻2 + Û(𝑟 , t). (1.34) Nếu không phụ thuộc vào t, thì Û(𝑟 ) được gọi là thế năng. Trong 24 trường hợp ấy: ћ2
2𝑚 Ĥ= − 𝛻2 + Û(𝑟 ) . (1.35) Trường hợp tổng quát, nết hạt chuyển động trong trường lực phụ thuộc vào vận tốc, gia tốc...,thì: ћ2
2𝑚 Ĥ= − 𝛻2 + Ŵ . (1.36) Ở đây Ŵ là thành phần mô tả cho chuyển động trong trường lực tổng quát. 2) Đối với hệ n hạt thì dạng tổng quát của toán tử Hamiltonlà: 𝑛
𝐻̂ = ∑(−
𝑘=1 + Ŵ 𝛻𝑘 ћ2
2𝑚 (1.37) Trongđó Ŵ là thành phần viết cho trường lực tổng quát nào đó mô tả tương tác của các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian... 1.3.3. Phương trình Gross-Pitaevskii Ở trạng thái ngưng tụ tính chất hạt của vật chất cổ điển không còn thể hiện rõ nữa mà thể hiện chủ yếu của nó là tính chất sóng như tính chất các photon vì vậy các phương trình động học cổ điển không dùng được nữa khi nghiên cứu chuyển đông của nó. Vì vậy nghiên cứu chuyển động của nó ta cần phải dùng những phương trình chuyển động cho cơ học lượng tử. Một trong những phương trình quan trọng kinh điển đó là phương trình Gross- Pitaevskii. Sau đây ta tìm hiểu về nó cho hệ riêng biệt và hệ hai thành phần ngưng tụ. 25 1.3.3.1. Hệ riêng biệt Chúng ta đã biết rằng sự tương tác hiệu dụng giữa hai hạt ở năng lượng thấp là một hằng số trong biểu diễn động lượng . Trong biểu diễn , trong tọa độ, năng lượng tương ứng tới một tương tác tiếp xúc U0δ đó và là bán kính véctơ xác định vị trí của hai hạt. Trong trạng thái ngưng tụ hoàn toàn, tất cả các hạt bose có trạng thái như nhau, hàm sóng của 1 hạt là và do đó chúng ta có thể viết hàm sóng của hệ N hạt như sau: = (1.38) Hàm sóng của một hạt là hàm sóng chuẩn hóa theo cách thông thường (1.39) Hàm Hamiltonian cho hệ N hạt có thể được viết là: (1.40) Với là thế bên ngoài tác dụng lên hạt thứ i. Năng lượng của hệ các hạt có hàm Hamiltonian (1.40) được xác định bằng: d𝑟 . (1.41) Trong đó là số hạng năng lượng tương tác, là năng lượng tương tác của hai hạt với hàm sóng . 26 Xét hệ gồm rất lớn số hạt Boson ở nhiệt độ rất thấp, khi này động năng có thể bỏ qua. Xét hệ không tương tác với bên ngoài ( =0). Năng lượng 𝑁(𝑁−1) 1 tương ứng của hệ là: 2 2 E = 𝑈0 = 𝑉𝑛2𝑈0 . (1.42) Với là mật độ các hạt của hệ. Quy ước đưa vào khái niệm hàm sóng của không gian ngưng tụ định nghĩa bởi: (1.43) . Mật độ các hạt lúc này được cho bởi: (1.44) . Bỏ qua số hạng của bậc , năng lượng của hệ có thể được tìm thấy từ 1 việc thay (1.43) vào (1.41) ta được: 2 ћ2
2𝑚 |∇𝜓(𝑟 )|2 + 𝑉(𝑟 )|𝜓(𝑟 )|2 + 𝐸(𝜓) = ∫ [ 𝑈0|𝜓(𝑟 )|4] 𝑑𝑟 . (1.45) Tìm trạng thái cơ bản của hàm sóng bằng cách cực tiểu hóa năng lượng (1.45) với biến phân độc lập tương ứng của và liên hợp phức của nó với điều kiện là tổng số hạt . (1.46) là không đổi. Ta có phương trình cực tiểu năng lượng Lagrange 27 , (1.47) với thế hóa học là hằng số tùy ý. Phương pháp này là tương đương với việc cực tiểu hóa năng lượng khi cố định . Tương đương với biến phân không của tương ứng tới bằng cách thế (1.45) và (1.46) vào (1.47) ta được: (1.48) Phương trình (1.48) là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian. Xét một hệ khí bose đồng nhất ở trạng thái ngưng tụ có , phương trình Gross-Pitaevskii (1.48) tương ứng là (1.49) Với là thế hóa học từ năng lượng của trạng thái đồng nhất. 1.3.3.2. Hệ hai thành phần 1.3.3.2.1. Phương trìnhGross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian Chúng ta coi hai thành phần BEC của các nguyên tử với khối lượng mj thế năng Vj chỉ số j = 1, 2 chỉ thành phần 1 hoặc thành phần2. Xét một hỗn hợp của hai nguyên tử boson khác nhau. Ta có hàm sóng Hartree hai thành phần, ký hiệu là 1 và hai tương ứng với N1và N2 hạtlà: ′. . . 𝑟𝑁2 𝑁1
′ ) = ∏ 𝜑1
𝑖=1 𝑁2
(𝑟𝑖) ∏ 𝜑2
𝑗=1 (𝑟𝑗′). 𝜓(𝑟1, . . . , 𝑟𝑁1; 𝑟1 (1.50) 28 Ở đây trạng thái 1 được biểu diễn bởi 𝑟𝑖 và trạng thái 2 biểu thị bởi 𝑟𝑗 Các hàm sóng đơn tương ứng là và đối với hệ đồng nhất năng lượng cho bởi phương trình tổng quát 𝑁1(𝑁1−1)𝑔11
2𝑉 𝑁1𝑁2𝑔12
𝑉 𝑁2(𝑁2−1)𝑔22
2𝑉 E= + + (1.51) 1/2𝜑2 Nếu đưa vào hàm sóng ngưng tụ hai thành phần với 1/2𝜑1và ψ2=𝑁2 ψ1=𝑁1 Thì năng lượng tương ứng cho hệ hai thành phần là nhưsau: 𝐸 = ∫( |𝛻𝜓12|2 ћ2
2𝑚1 ћ2
2𝑚2 (1.52) + 1
2 |𝛻𝜓1|2 + 𝑉1|𝜓1|2 +
+ 𝑉2|𝜓2|2
1
𝑔22|𝜓2|4
𝑔11|𝜓1|4 +
2
+ 𝑔12|𝜓1|2|𝜓2 |2). 𝑑𝑟 Tại đó bỏ qua ảnh hưởng của 1/N1 và 1/N2, hai giá trị này nhỏ nếu N1 và N2 lớn. mi là khối lượng của hạt thứ i, Vi là thế năng bên ngoài. Các hằng số g11, g22, g12 = g21 được xác định bởi độ dài tán xạ a11, a22, a12 = a21, với 𝑔𝑖𝑗 = 2𝜋ħ𝑎𝑖𝑗/𝑚𝑖𝑗 , (𝑖, 𝑗 = 1,2) và 𝑚𝑖𝑗 = 𝑚𝑖𝑚𝑗/(𝑚𝑖 + 𝑚𝑗)là khối lượng rút gọn của nguyên tử i và nguyên tử j. Từ (1.51) và (1.52) ta thu được phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc và thời gian như sau: (1.53) iћ = (− ∇2 + 𝑉1 + 𝑔11|𝜓1|2 + 𝑔12|𝜓2|2)𝜓1 𝜕𝜓1
𝜕𝑡
𝜕𝜓2
𝜕𝑡 ћ2
2𝑚1
ћ2
2𝑚2 iћ = (− ∇2 + 𝑉2 + 𝑔22|𝜓2|2 + 𝑔12|𝜓1|2)𝜓2 (1.54) Như vậy, ta đã thu được phương trình Gross-Pitaevskii hai thành phần theo hình thức luận Hamilton. 29 2 > 𝑔11. 𝑔22
𝑔12 Chúng ta giả định rằng các hằng số tương tác thỏa mãn: tức là hai thành phần không thể trộn lẫn. Sự tiến triển của hệ theo thời gian có thể xác định bằng cách giải số các phương trình (1.53) và (1.54) theo phương pháp giải phổ với các điều kiện biên xácđịnh. 1.3.3.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thờigian Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta đặt: (1.55) 𝜓1 = 𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ,
𝜓2 = 𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡/ћ. trongđó ψ10 và ψ20 là hàm sóng ở trạng thái cơ bản của các thànhphần. Thay lần lượt (1.55) vào (1.53) tađược 2 𝑖ћ 𝜕(𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ )
𝜕𝑡 = (− ∇2 + 𝑉1 + 𝑔11|𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ| ћ2
2𝑚1 + 𝑔12|𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡/ћ|2)𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ 2 𝑖ћ 𝜕(𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡/ћ )
𝜕𝑡 = (− ∇2 + 𝑉2 + 𝑔22|𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡/ћ| ћ2
2𝑚2 + 𝑔12|𝜓10(𝑟)𝑒−𝑖𝜇1𝑡/ћ|2)𝜓20(𝑟)𝑒−𝑖𝜇2𝑡/ћ Thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian thuđược (1.56) − ∇2𝜓1 − 𝜇1𝜓1 + 𝑉1𝜓1 + 𝑔11|𝜓1|2𝜓1 + 𝑔12|𝜓1|2𝜓2 = 0, ћ2
2𝑚1 − .(1.57) ∇2𝜓2 − 𝜇2𝜓2 + 𝑉2𝜓2 + 𝑔22|𝜓2|2𝜓2 + 𝑔12|𝜓2|2𝜓1 = 0 ћ2
2𝑚2 30 Phương trình (1.56) và (1.57) được gọi là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. Như vậy thế tương tác trong lý thuyết Gross-Pitaevskii có dạng (1.58) Sử dụng chiều dài tương quan (1.59) Và mật độ của hạt thứ là và đưa vào đại lượng không thứ nguyên (1.60) Thì ta có (1.61) Do đó Thay biểu thức của vào biểu thức trên ta được 31 (1.62) Ta có: (1.63) Thay (1.62) và (1.63) vào (1.56) ta được: (1.64) Ta có (1.65) Thay biểu thức của vào biểu thức trên ta được (1.66) Ta có (1.67) Thay (1.66) và (1.67) vào (1.57) ta được (1.68) 32 Lưu ý ở đây ta chỉ xét hệ trong trạng thái cân bằng pha nên áp suất của 2 thành phần bằng nhau, tức là , Trong đó 1.4. Sơ lược về phương pháp gần đúng Parabol kép Để hiểu về phép gần đúng parabol kép ta đi xét ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần. Thế tương tác trong phương trình Gross-Pitaevskii theo (1.68) có dạng . (1.69) Bằng cách đưa vào các đại lượng không thứ nguyên như ở (1.60), thế tương tác (1.69) có thể được viết dưới dạng . (1.70) Ở gần mặt phân cách tham số trật tự giảm dần từ 1 nên ta đặt (1.71) với là số thực và nhỏ. Thay (1.70) vào (1.71) ta được Khai triển giữ đến gần đúng bậc 2 ta được (1.72) Trong đó là thế gần đúng trong parabol kép 33 Ta có đồ thị của hai thế và như sau Đường màu xanh là đồ thị của thế , đường màu đỏ là đồ thị của thế . Ta thấy có hai cực tiểu như hình vẽ và khi thay vào phương trình Gross-Pitaevskii thì ta không giải trực tiếp được phương trình. Do đó ta thay thế là hai parabol ghép với nhau và được gọi là parabol kép. Khi thay thế vào phương trình Gross-Pitaevskii ta có thể giải được phương trình. 34 CHƯƠNG 2. SUẤT CĂNG MẶT NGOÀI 2.1 Trạng thái cơ bản của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng Với sự có mặt của hai tường cứng tai và . Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng DPA để tìm trạng thái cơ bản của hệ. Giả sử rằng mặt phân cách của hệ nằm tại vị trí , khi đó điều kiện biên cho các thành phần có dạng như sau Với (2.1) Với (2.2) Ta khai triển tham số trật tự quanh giá trị được chuẩn hóa theo
mật độ khối tức là khi khi và và là . Cần chú ý rằng
Với
các số thực, nhỏ và ta đã bỏ qua thừa số pha trong các khi triển này. • Ở miền ( là vị trí biên) ta đặt (2.3) Thay vào (1.65) và (1.71) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b
ta được hệ phương trình (2.4) ta được phương Thay (2.3) vào (2.4) và đặt
trình Gross-Pitaevskii trong PDA 35 (2.5) • Ở miền ta đặt (2.6) Thay vào (1.65) và (1.71) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b
ta được hệ phương trình (2.7) Do đó (2.8) Trong miền nghiệm của hệ phương trình (2.5) có dạng (2.9) Trong miền nghiệm của hệ phương trình (2.8) có dạng (2.10) Với là các hằng số tích phân. Trong DPA, yêu cầu là hàm sóng và đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải
liên tục tại và , (2.11) và . Thay (2.9), (2.10) vào (2.11) ta được 36 , , (2.12) . Hình 2.1 biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự theo tại Đường màu đỏ và màu xanh ứng với thành phần 1 và thành phần 2 37 2.2 Suất căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng 2.2.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài Trước tiên ta xét khái niệm sức căng mặt ngoài của chất lỏng. Ta tưởng tượng tách riêng được một phần tử A nào đó trong khối chất lỏng và nghiên cứu tác dụng của tất cả các phần tử khác lên nó. Ta hãy vẽ một hình cầu bán kính r có tâm là tâm phân tử A. Ta chỉ cần nghiên cứu tất cả các phân tử có tâm nằm trong hình cầu bán kính r lên phân tử A. Khoảng cách r gọi là bán kính tác dụng phân tử . Phân tử A nằm trong lòng khối chất lỏng nên lực hút giữa các phân tử trong hình cầu tác dụng của phân tử A lên phân tử A hướng theo mọi phía và tính trung bình thì chúng cân bằng nhau (hình 3.1), do đó lực tương tác tổng hợp của các phân tử chất lỏng lên phân tử A bằng 0 Hình 2.1 Đối với phân tử nằm gần mặt thoáng thì lại khác. Ta hãy xét phân tử B (hình 3.1) nằm cách mặt thoáng một khoảng nhỏ hơn r. Một phần của hình cầu bán kính r nằm ngoài khối chất lỏng. 38 Giả sử phần trên của khối chất lỏng là thể khí, ( ví dụ hơi của chất lỏng đó). Vì số phân tử ở pha hơi nằm trong hình cầu tác dụng của phân tử B là ít lên tác dụng của chúng lên B là rất nhỏ ta không cần chú ý tới. Ta chỉ cần chú ý tới tác dụng của các phân tử thuộc khối chất lỏng nằm trong hình cầu. Rõ ràng là các lực hỗ trợ tác dụng lên B theo mọi hướng không thể cân bằng nhau và phân tử B chịu tác dụng của một hợp lực hướng vào trong khối lỏng . Độ lớn của lực này càng tăng lên khi phân tử B càng gần mặt giới hạn (mặt thoáng). Tuy nhiên cần chú ý rằng tuy có lực tác dụng lên nhưng phân tử B không chuyển động vào trong lòng chất lỏng mà vẫn thực hiện dao động nhiệt xung quanh vị trí cân bằng đó. Đó là vì khi phân tử B dưới tác dụng của lực tiến theo hướng đi vào trong lòng chất lỏng để lại gần các phân tử khác hơn thì sẽ xuất hiện lực đẩy chống lại lực . Đối với các phân tử khcs nằm trong lớp mặt ngoài có chiều dày cũng chịu tác dụng của những lực hướng vào trong khối chất lỏng tương tự như phân tử B. Hình ảnh chuyển động nhiệt của các phân tử nằm ở lớp mặt ngoài cũng như đối với các phân tử ở trong lòng chất lỏng nghĩa là dao động hỗn loạn chung quanh các vị trí cân bằng một thời gian nào đó và sau đó do sự tương tác với các phân tử chung quanh thỉnh thoảng lại thay đổi vị trí cân bằng. Nói cách khác nếu bỏ qua dao động nhiệt thì tuy chịu tác dụng của lự nhưng phân tử nằm ở lớp ngoài vẫn được coi như nằm tại vị trí cân bằng. Ta biết, hợp lực vuông góc với mặt thoáng chất lỏng không dịch chuyển phân tử B theo phương vuông góc cũng như phương nằm ngang đối với mặ thoáng. Bây giờ, chúng ta chú ý đến các thành phần theo phương nằm ngang (tức theo phương tiếp tuyến với mặt thoáng) của lực tương tác của phân tử chất lỏng lên phân tử B. Dĩ nhiên các thành phần này của lực theo hai 39 chiều ngược nhau phải có độ lớn bằng nhau = (hình 3.1) vì vậy chúng cân bằng nhau. Khác với trường hợp của lực đac nhận xét ở trên, độ lớn của lực hoặc sẽ càng giảm khi phân tử B càng đến gần mặt giới hạn (mặt thoáng). Nếu giả sử vì một lý do nào đó một phía của phân tử B không có chất lỏng nữa thì dưới tác dụng của lực thành phần theo phương tiếp tuyến với mặt thoáng ( hoặc ) phân tử B sẽ chuyển động ngang. Ta tưởng tượng các phân tử nằm trong lớp mặt ngoài tạo thành một đoạn cong nguyên tố thì tổng hợp tất cả các lực thành phần lên phân tử này theo phương tiếp tuyến với mặt phân cách và ở về một phía xác định của đoạn cong được gọi là lực căng mặ ngoài kí hiệu là . Vì đủ nhỏ lên có thể coi lực căng mặt ngoài vuông góc với . Vậy rõ ràng dưới tác dụng của lực căng mặt ngoài , lớp mặt ngoài luôn luôn muốn co về diện tích nhỏ nhất. Tính chất này làm cho lớp mặt ngoài của chất lỏng gần giống như một màng căng ( chẳng hạn màng cao su), vì vậy hiện tượng mà ta đang xét được gọi là hiện tượng căng mặt ngoài. Ta cần chú ý sự khác nhau căn bản giữa lớp mặt ngoài chất lỏng với màng cao su. Lớp mặt ngoài khối chất lỏng tăng diện tích là do có những phân tử đi từ trong lòng khối chất lỏng ra mặt ngoài và do đó bề dày của nó không đổi , còn đối với màng cao su thì sự tăng diện tích là nhờ có sự giảm bề dày của màng. Việc di chuyển phân tử trong lòng chất lỏng ra lớp mặt ngoài đòi hỏi phải tiêu thụ một công để thắng lực cản nói trên. Trong trường hợp khối lỏng không trao đổi năng lượng với ngoại vật thì công này được thực hiện do sự giảm động năng của phân tử đó mà thế năng phân tử sẽ tăng lên, tương tự như 40 trường hợp công được thực hiện khi một vật được chuyển động trong trọng trường từ dưới lên trên( động năng của vật giảm, thế năng của vật tăng). Ngược lại khi phân tử đi từ lớp mặt ngoài vào trong lòng chất lỏng, nó sẽ thực hiện một công do sự giảm thế năng của phân tử. Vậy mỗi phân tử ở lớp mặt ngoài khác với phân tử ở trong lòng ở trong lòng khối lỏng là một thế năng phụ. Tổng thế năng phụ của các phân tử ở lớp mặt ngoài được gọi là năng lượng tự do. Năng lượng tự do chính là một phần nội năng của khối lỏng. Khi có nhiều phân tử di chuyển từ trong lòng chất lỏng ra lớp mặt ngoài ( tức diện tích mặt ngoài khối lỏng tăng ) thì năng lượng tự do tăng. Sự tăng năng lượng này hoặc do sự giảm động năng của các phân tử hoặc do công của ngoại vật thực hiện lên chất lỏng hoặc do cả hai nguyên nhân vừa nêu. Ngược lại khi chất lỏng giảm diện tích mặt ngoài, năng lượng tự do giảm đi làm cho chất lỏng hoặc sẽ nóng lên hoặc sẽ sinh công cho ngoại vật hoặc sẽ đồng thời xảy ra cả hai hiện tượng vừa kể. Và người ta định nghĩa: “ Độ tăng năng lượng tự do mặt ngoài trên một đơn vị diện tích là sức căng mặt ngoài” (2.13) Trong đó: là năng lượng tự do mặt ngoài, là diện tích mặt phân cách 2.2.2. Suất căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng Chúng ta xét hệ BEC trong trường hợp số hạt của hệ xác định 41 . (2.14) Năng lượng trên bề mặt ngưng tụ được thiết lập bởi P. Ao và S.T. Chiu [11] . (2.15) Từ đây xác định được sức căng mặt phân các giữa hai ngưng tụ dưới dạng không thứ nguyên (2.16) Trong đó là diện tích mặt phân cách, là áp suất bên trong ngưng tụ Để thuận lợi cho những tính toán về sau công thức (2.16) được viết lại dưới dạng (2.17) và .(2.18) Với , , , . 42 Ta tính được 43 Sử dụng (2.18) chúng ta có thể khảo sát sự phụ thuộc của sức căng mặt ngoài vào các thông số của hệ như hằng số tương tác và tỉ lệ các độ dài đặc trưng . Hình 2.2 biểu diễn sự phụ thuộc của sức căng mặt ngoài khác vào giá trị Kết quả cho thấy khi thì là nhỏ tại nhất.Với Hình 2.2 Sự phụ thuộc của sức căng mặt ngoài vào các giá trị (trong đó ). 44 KẾT LUẬN Khóa luận “Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng” hoàn thành đã thu được các kết quả sau - Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein: xây dựng thống kê Bose- Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đưa ra ngưng tụ Bose-Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đưa ra ngưng tụ Bose-Einstein đối với khí lý tưởng. - Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc thời gian. - Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần trong gần đúng parabol kép. - Tính giá trị của sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần trong trường hợp số hạt không đổi. Do mới làm quen với công việc nghiên cứu nên khi hoàn thành khóa luận em không tránh khỏi những thiếu sót rất mong các thầy, cô và các bạn sinh viên góp ý để em hoàn thiện khóa luận và vốn kiến thức của bản thân. Em chân thành cảm ơn! 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Thái Hoa (1993), Bài giảng cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội 2. [2] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội. [3] Lê Văn (1978), Vật lý phân tử và nhiệt học, NXB Giáo dục, Hà Nội. Tiếng Anh [4] A.L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-particles Systems (McGraw-Hill,Boston,1971). [5] B.V Schaeybroeck, Phys. Rev. A 78, 023624 (2008) [6] B. Van Schaeybroeck and J.O. Indekeu, Phys. Rev. A 91, 013626 (2015) [7] C.J. Pethick, H. Smith (2008), Bose-Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York. [8] I.E. Mazets, Phys. Pev. A 65, 033618 (2002) [9] J.O. Indekeu, C.Y.Lin, N. V. Thu, B. V. Schaeybroeck,T. H. Phat (2015), Static interfacial properties of Bose-Einstein condensate mixtures, Phys. Rev. A 91, 033615. [10] L. Pitaevskii, S. Stringari (2003), Bose-Einstein condensate, Clarendon Press. Oxford, New York. [11] P. Ao and S. T. Chiu, Phys. Rev. A 58, 4836 (1998). [12] R. A. Brarankov, Phys. Rev. A 66, 013612 (2002). [13] N. V. Thu, Physics Letters A 380, 2920–2924 (2016). 46
