TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ --------------------------
NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH
TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG
TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI, 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ --------------------------
NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH
TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG
TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH
HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN
Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Tích phân trạng thái và các hàm
nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển” đã được hoàn thành.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh đã trực tiếp hướng dẫn tận tình chỉ bảo cho em trong suốt quá trình
xây dựng và hoàn thành đề tài này.
Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ vật lí lý
thuyết, các thầy cô trong khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua.
Cảm ơn tất cả bạn bè, những người đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá
trình nghiên cứu để hoàn thiện khoá luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Ngọc Ánh
LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu trên cơ sở những kiến thức đã học. Đặc biệt là sự hướng dẫn tận
tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh
Trong khi nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em có tham khảo các
tài liệu có liên quan ghi trong mục tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu của đề tài “Tích phân
trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển” không
trùng lặp với kết quả của bất cứ đề tài nào khác.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Ngọc Ánh
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài .................................................................. 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................ 2
4. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 2
CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ ... 3
1.1 Khái niệm cơ bản .................................................................................. 3
1.2 Phương pháp Gipxơ .............................................................................. 6
1.3 Định lí Liuvin........................................................................................ 7
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ........................................................................... 12
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI .............................................. 13
2.1 Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt ................................................ 13
2.2 Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi ..................................... 16
CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT
ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN .................................... 19
3.1. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái ................ 19
3.2. Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng ............... 21
3.3. Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí thực .................... 25
3.4. Một số bài tập ứng dụng ...................................................................... 30
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................... 35
KẾT LUẬN ................................................................................................. 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 37
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí lý thuyết là một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các
thuyết vật lí. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lí, các nhà khoa học vật lí
xây dựng các thuyết vật lí.Thuyết vật lí là sự hiểu biết tổng quát nhất của con
người trong một lĩnh vực , một phạm vi vật lí nhất định. Dựa trên một mô
hình vật lí tưởng tượng, các nhà vật lí lý thuyết bằng phương pháp suy
diễn, phương pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống các quy tắc,
các định luật, các nguyên lý vật lí dùng làm cơ sở để giải thích các hiện
tượng, các sự kiện vật lí và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động
hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Để biết được cấu tạo của các phân tử tạo nên
vật chất qua đó giải thích được những tính chất của chúng liên quan đến sự
chuyển động của các phân tử, chúng ta phải nghiên cứu các trạng thái khác
nhau của vật chất. Muốn nghiên cứu được chúng ta phải xuất phát từ việc
nghiên cứu các trạng thái đơn giản đến các trạng thái phức tạp hơn
Trong quá trình tìm hiểu em thấy rằng vật lí thống kê là một trong những
học phần quan trọng của vật lí lý thuyết. Vật lí thống kê nghiên cứu các hệ
nhiều hạt cân bằng cũng như không cân bằng. Vật lí thống kê áp dụng các
phương pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến hệ chứa một số
rất lớn những phần tử, vì thế hệ có số bậc tự do cao đến mức không thể giải
chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử. Hơn nữa trong hệ nhiều hạt tồn tại
một quy luật khách quan là quy luật tính thống kê. Vì vậy khi khảo sát hệ
nhiều hạt ta phải dùng lý thuyết xác suất và phương pháp thống kê. Trong vật
lí thống kê cổ điển, tích phân trạng thái đóng vai trò đặc biệt quan trọng bởi
vì khi xác định được tích phân trạng thái của hệ ta có thể tìm được một loạt
các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí đó. Vật lí thống kê đã đặt cơ sở lý
1
thuyết cho các quy luật nhiệt động lực học. Nhiệt động lực học thống kê
không những cho phép tính toán các đại lượng nhiệt động mà còn giúp chúng
ta thiết lập được mối liên hệ giữa các trạng thái phân tử với đặc tính vĩ mô của
hệ và cho phép ta tính được các hàm nhiệt động của các hệ khác nhau. Và
xuất phát từ đó nên em chọn đề tài “ Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt
động trong vật lí thống kê cổ điển” là đề tài nghiên cứu
2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài
Nắm được các khái niệm cơ bản của vật lí thống kê
Nghiên cứu tích phân trạng thái từ đó tìm hàm nhiệt động để thấy mối
quan hệ giữa chúng
Vận dụng để giải một số bài tập dựa vào tích phân trạng thái
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tích phân trạng thái trong vật lí thống kê cổ điển
Các hàm nhiệt động tìm được từ tích phân trạng thái
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu vật lí lý thuyết. Đọc và tra cứu tài liệu
Sử dụng thống kê cổ điển và phương pháp toán trong vật lí
2
CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ
1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1. Quy luật tính thống kê
Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa đặc tính vĩ mô của hệ mà ta
khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu
thành hệ. Do sự phức tạp và chuyển động không ngừng của trạng thái vi mô mà ta phải sử dụng phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất. 1 3
Trong hệ nhiều hạt xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê.
Quy luật tính thống kê là quy luật khách quan của hệ nhiều hạt vì tính cách
của hệ nhiều hạt tại thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái
lúc trước. Ví dụ như một hệ khí ( bao gồm một số lớn phân tử), hoặc một
thanh kim loại ( bao gồm một số rất lớn các electron).
1.1.2. Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô. Xác suất nhiệt động
Trạng thái vi mô: là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là
các toạ độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa đối với thế giới vi mô ở đó ta xét các phân tử ( các hạt) riêng lẻ. 3
,
Trạng thái vĩ mô: là trạng thái được xác định bởi các thông số đo được
,T p V của khối khí là
trong các thí nghiệm vĩ mô thông thường. Ví dụ như
những thông số vĩ mô.
Mỗi trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một số rất lớn các trạng
thái vi mô. Các trạng thái vi mô này biến đổi liên tục theo thời gian.
Xác suất nhiệt động WT : các trạng thái vi mô khác nhau tương ứng với
các số lượng khác nhau các trạng thái vi mô, một trạng thái vĩ mô sẽ là càng
bền nếu như số trạng thái vi mô tương ứng với nó mà hệ có thể thực hiện
3
được là càng lớn. Xác suất nhiệt động WT của một trạng thái vĩ mô nhất định
của hệ là số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó.
1.1.3. Không gian pha
Không gian pha là một không gian quy ước nhiều chiều, các toạ độ của
không gian pha chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ ( tức là các toạ độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ). 2 3
Có hai loại không gian pha:
Không gian : đối với 1 hạt có 3 bậc tự do ta đưa vào không gian 𝜇 6
chiều có sáu toạ độ.
Không gian K : đối với n hạt mỗi hạt có f bậc tự do, không gian đó
có 2 fN chiều.
Các yếu tố cơ bản của không gian pha:
Điểm pha ( điểm trong không gian pha ): trạng thái của hệ được xác
định bởi giá trị của tất cả các toạ độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu
thành nên hệ và được biểu diễn trong không gian pha bằng một điểm, gọi là
điểm pha, và đó là yếu tố đơn giản nhất của không gian pha.
Quỹ đạo pha: khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ “
chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha, đồng thời
mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác định
nào đó của hệ. Dựa vào quỹ đạo pha ta biết được sự biến đổi trạng thái vi mô
của hệ. Đối với mối điểm của không gian pha, chỉ có một quỹ đạo pha đi qua.
Mặt năng lượng ( siêu diện năng lượng ): đối với một hệ cô lập thì năng
,
,...
... = const
E E q q
1
2
p p , 1
2
lượng toàn phần là không đổi . Điều kiện đó
như là một phương trình liên hệ tất cả các thông số vi mô của trạng thái và
trong không gian nó là phương trình của một mặt nào đó. Mặt đó gọi là siêu
4
2
fN
1
diện năng lượng hay là mặt năng lượng trong không gian pha, có
chiều.
,
...
dq
,
...
dp
dp dp , 1
2
fN
fN
dX dq dq 2 .
dX dX dX
1
q
p
Thể tính pha: tích của các vi phân toạ độ pha
1.1.4. Cách mô tả thống kê nhiều hạt. Xác suất trạng thái
Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt:
Trong không gian pha K , trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê
được biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này gọi là điểm biểu diễn pha
của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập
hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt là tập hợp pha. 3
Xác suất trạng thái:
Giả sử có n hệ trong tập hợp thống kê, các hệ này đều bình đẳng như
(
,
...
t ...
f q q 1
2
p p , 1
2
nhau. Gọi ) , dX là một yếu tố thể tích bao quanh một
điểm pha ở thời điểm t .
Trong tập hợp thống kê, tại thời điểm t cũng có một số hệ có điểm biểu
diễn pha dX . Gọi dn là số lượng các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu
dn
dX
diễn pha dX
Xác suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha
d
W
dX
X t dX , )
(
dn n
n
(
rơi vào trong thể tích nguyên tố dX sẽ là:
, )X t
Trong đó được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố
d
W
X t dX , )
1.
( ) X
(
thống kê và nó thoả mãn điều kiện chuẩn hoá
5
(
, t)X
Ý nghĩa của hàm phân bố thống kê: biết hàm phân bố ta có thể tìm
F X theo công thức:
F
F X d
) W
(
F X (
X t dX , )
.
) (
X
X
được trung bình thống kê của một đại lượng vật lí bất kì
1.2. Phương pháp Gipxơ
Ta đã biết rằng, mọi thông số vĩ mô bất kỳ F đều là hàm của các thông
số vi mô, vì vậy, trong trường hợp tổng quát, nó biến thiên liên tục với thời
gian. Tuy nhiên, trong bất kỳ một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không
phải là giá trị tức thời của các đại lượng vật lí mà là đo các trị trung bình theo
thời gian. Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất
t
t
F
,
...
t dt , )
F q ( 1
q ,... 3
N
p 1
p 3
N
1 t
0
chẳng hạn ta cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là trị trung bình của F theo thời gian t 2
Tức là trị trung bình của F được lấy theo các trạng thái vi mô khả hữu
của hệ. Nhưng việc tìm trị trung bình theo thời gian như biểu thức trên trong
trường hợp tổng quát không thể tiến hành được bởi vì ta không biết được sự
phụ thuộc của 6N thông số vi mô vào thời gian tức là ta không thể theo dõi
được tất cả các biến đổi của trạng thái vi mô với thời gian.
Để giải quyết khó khăn đó Gipxơ ( Gibbs) đã đề xuất ra phương pháp nổi
tiếng gọi là phương pháp Gipxơ.
Cơ sở của phương pháp Gipxơ : thay việc khảo sát sự biến đổi (vĩ mô)
của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự
với hệ đã cho gọi là tập hợp thống kê.
Tập hợp thống kê: là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng
và loại hạt như nhau và ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các
trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời, phải đảm bảo rằng mỗi một
6
hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi
dành cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô
dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp, đó là nội dung của cái gọi là giả thiết
écgôđíc. Tuy nhiên có thể thừa nhận một cách gần đúng rằng mọi hệ trong tập
hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong những trạng thái vi mô rất gần giống với
những trạng thái vi mô của các hệ khác; đó là giả thiết chuẩn écgôđíc và các
hệ đó được gọi là các hệ chuẩn écgôđíc.
Giả thiết chuẩn écgôđíc: trị trung bình theo thời gian của một đại lượng
bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê. Như vậy trong phương pháp cơ bản
của vật lý thống kê một vấn đề được đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình
theo tập hợp; muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất hay hàm phân bố
thống kê của hệ. Để giải quyết vấn đề này Gipxơ đã dựa vào cách biểu diễn
hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất.
1.3. Định lí Liuvin
Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha
chuyển từ một thể tích này sang thể tích khác. Giả sử ở một thời điểm nào đó,
dn
1dX trong đó có chứa
dX 1
1
ta tách ra một thể tích điểm biểu diễn pha
của các hệ trong tập hợp thống kê. Sau một khoảng thời gian nào đó số các
2dX ở đó mật độ phân bố là
2
điểm biểu diễn pha đó sẽ chuyển sang thể tích
. Khi đó, hiển nhiên là: 3
dn
dX
dX
1
1
2
2
(1.1)
Đẳng thức (1.1) đưa ta đến ý nghĩ rằng, sự chuyển động của các điểm
biểu diễn pha của các hệ trong không gian pha cũng có thể coi tương tự như
chuyển động của chất lỏng. Vì vậy tạm quên không gian pha và xét phương
trình liên tục (phương trình Ơle) của chất lỏng thông thường.
7
,
,
Ta hãy tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên tố
dx dy dz . Giả sử chất lỏng
thể tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là
chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc toạ độ và sau đó chảy ra qua bề mặt
khác. Khi đó khối lượng của chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích theo
yv dtdxdz
hướng của trục y trong thời gian dt là bằng , trong đó: là khối
yv
lượng riêng của chất lỏng và nói chung nó là hàm của toạ độ và thời gian;
là hình chiếu của vận tốc trên trục Oy . Cũng trong thời gian trên khối lượng
v
y
dy dtdzdx
v
y là
y
y
z
dz
y
dx
dy
x
chất lỏng chảy ra qua bề mặt song song với bề mặt trước và theo hướng trục
yv đều thay đổi trên đoạn dy . Kết
Ở đây ta đã coi rằng các giá trị và
dxdydzdt
yv y
quả là còn dư một khối lượng chất lỏng bằng hiệu hai khối lượng nói trên:
Đối với các trục khác, ta tìm được khối lượng chất lỏng dư ra tổng cộng,
khi nó chảy vào và chảy ra khỏi nguyên tố thể tích theo cả 3 trục:
8
v
y
x
z
dxdydzdt
y
v x
v z
Nhưng khối lượng chất lỏng dư ra đúng bằng độ biến thiên của khối lượng
.dt dxdydz
t
v
y
chất lỏng trong nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt , nghĩa là bằng:
x
z
0
v t
t
v t
t
So sánh 2 biểu thức đó ta rút ra phương trình liên tục đối với chất lỏng:
Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự,
bởi vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của các điểm biểu diễn
K , ta có thể lặp lại các lập luận giống như trên. Muốn vậy, trong không gian
pha với chuyển động của chất lỏng thực. Có nghĩa là, đối với không gian pha
pha ta đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành phần là
,...
...
q q , 1 2
p p , 1
2
và nó chính là vận tốc của các điểm biểu diễn pha. Đối với hệ
fN
k
0
t
k
1
q k q k
p p k
thực có fN bậc tự do, ta được phương trình liên tục tổng quát sau đây:
Trong đó là mật độ phân bố các điểm biểu diễn pha. Thực hiện phép
0
q k
p k
t
k
k
q k
p k
p k p k
q k q k
tính vi phân của tích trong dấu ngoặc ta được:
Tổng của hai số hạng đầu là đạo hàm toàn phần của hàm theo thời gian (
,
,
q p t ), nghĩa là: k
k
coi như là hàm của
9
p k
d t dt
k
q k
q k
p k
0
d dt
k
p k p k
q k q k
Và vì vậy ta có phương trình:
,
p k
q k
H q
H p
k
k
Nếu hệ thực mà ta xét là hệ bảo toàn, áp dụng phương trình Haminton:
0
k
p k p k
q k q k
Ta có:
0
d dt
Và do đó ta tìm được phương trình sau đây:
Hệ thức trên có ý nghĩa vật lí: “ Sự phân bố các hệ trên những trạng thái
là không đổi theo thời gian”.
Tóm lại định lí Liuvin cho biết rằng tập hợp thống kê tương ứng với
trạng thái cân bằng là tập hợp =const trong không gian pha tức là các trạng
thái khả dĩ là đồng xác suất. Điều này hoàn toàn phù hợp với tiên đề cơ bản
của vật lí thống kê.
Kết quả cuối cùng này phát biểu như là nguyên lý về sự bảo toàn thể tích
nguyên tố pha, cụ thể là: khi các hệ ( tức là các điểm biểu diễn pha của các
hệ) chuyển động trong không gian pha các thể tích nguyên tố giữ nguyên
không đổi về độ lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng. Đó chính là định lí
Liuvin.
Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển
động trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị
10
biến dạng. Giá trị căn bản của định lí Liuvin là: nhờ nó ta chứng minh được
giả thiết đã nêu ra nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha
nằm trong thể tích nguyên tố dX là tỉ lệ với dX .
Phương trình Liuvin:
0
còn có thể viết dưới dạng khác. Ta có
d dt
n
Phương trình do
H
0
,
k
q k
p
d t dt
t p
k
k
q k
k
H p k
q k
H q k
t p k
đó ta tìm được:
,H
,H là dấu ngoặc Poátxông. Phương trình này thường được gọi là
t Với
. (1.2) hay
phương trình chuyển động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ đạo
trong việc giải quyết các vấn đề của lý thuyết thống kê về các quá trình không
cân bằng. Người ta còn gọi phương trình (1.2) là phương trình Linvin.
Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động sẽ
không phụ thuộc thời gian. Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ thuộc
0
, X t t
0
,
H . Theo cơ học lý thuyết, một đại lượng không phụ thuộc tường
tường minh vào thời gian. Khi đó ta có: . Kết hợp với (1.2) suy
ra:
minh vào thời gian và ngoặc Poátxông giữa hàm Haminton với đại lượng đó
là bằng 0 thì đại lượng đó được gọi là tích phân chuyển động. Đối với các hệ
bảo toàn, nếu bỏ qua chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ
hệ thì trong các tích phân chuyển động ta chỉ cần chú ý đến năng lượng. Do
X
(1.3) đó đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có: f H X
11
Mặt khác, một tiên đề cơ bản của nhiệt động lực học nói rằng: “ Khi có
cân bằng nhiệt động tất cả các thông số nội của hệ là hàm của các thông số
,...
a a , 1
2
ngoại và năng lượng”. Điều đó chỉ được thoả mãn trong Vật lí thống
kê trong trường hợp nếu như mật độ xác suất pha chỉ phụ thuộc vào năng
lượng và không phụ thuộc vào các tích phân chuyển động khác. Như vậy việc
chấp nhận giả thiết (1.3) là hoàn toàn hợp lí. Hơn nữa, lẽ dĩ nhiên hàm
,...
a a , 1
2
H H X a , )
(
Haminton trong (1.3) phải phụ thuộc cả vào các thông số ngoại mà
viết tắt là: . Tóm lại ta có thể kết luận đối với các hệ cân bằng
,
X
. nhiệt động, hàm phân bố thống kê có dạng: f H X a
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Nội dung chương 1 em trình bày về các khái niệm cơ bản của vật lí
thống kê, phương pháp Gipxơ, định lí Liuvin. Đây là cơ sở để em nghiên cứu
về tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển.
12
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI
2.1. Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt
Bây giờ ta xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều
1C và hệ điều nhiệt
2C có
nhiệt ( tecmôxta). Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát
,N N và được diễn tả bằng các biến số chính tắc
1
2
,X X đồng thời: 3
1
2
N (2.1)
2
1N
các số hạt tương ứng là
Ta có thể coi hệ chung bao gồm hai hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt, hệ
,
chung đó ta có phân bố vi chính tắc:
E H X X
X X , 1
2
1
2
1 E
(2.2)
Trong đó hàm Haminton của hệ chung bao gồm các hàm Haminton của
12U :
cả hai hệ con cộng với năng lượng tương tác
,
,
H X X
H X
H X
U X X
1
2
1
12
1
2
2
(2.3)
Hiển nhiên là hàm phân bố của hệ mà ta xét C1 sẽ bằng:
X
,
1
X X dX 2
1
2
X
2
(2.4)
1X trong trường hợp tổng quát, ta dựa vào ba giả thiết sau đây:
Để tìm
1C và
2C luôn luôn lớn
Một là, ta sẽ coi rằng năng lượng của các hệ
12U rất nhiều. Đối với các hệ có năng lượng cộng
hơn năng lượng tương tác
tính, thì khi N lớn ta có thể bỏ qua năng lượng tương tác, có nghĩa là, trong
U X X 0 ,
12
2
1
biểu thức (2.3) ta đặt:
N
N
thì có tồn tại một giới hạn
N 1
2
Hai là, ta giả thiết khi
13
const (2.5)
E N
3 2
N
1
2
N nên điều kiện (2.5) có thể viết
Bởi vì ta đã quy ước coi rằng
dưới dạng:
E N
. (2.6)
3 2 1X ta sẽ coi rằng:
H X 1
1
E (2.7)
Ba là, khi tìm công thức cho
tức là chỉ xét những trạng thái của hệ mà ở đó năng lượng của hệ rất
nhỏ so với năng lượng toàn phần của hệ điều nhiệt. Hay là biểu thức tìm được
1X sẽ chỉ đúng khi điều kiện (2.6) được thoả mãn.
cho
1X một cách đơn giản, ta làm như sau. Ta chia hệ mà ta muốn
Để tìm
1'X
1"X
1C ra thành
1'C và
1"C . Các hàm phân bố
X
' 1
' 1
X
" 1
" 1
khảo sát và đối với
hai hệ con đó sẽ phụ thuộc vào năng lượng toàn phần của từng hệ con: f H X ' 1 f H X " 1
Năng lượng toàn phần của hệ đẳng nhiệt mà ta khảo sát bằng tổng các
)
H
X
U
H X ( 1
1
H X ' 1
' 1
" 2
" 2
' 12
năng lượng toàn phần của cả hai hệ con và năng lượng tương tác giữa chúng:
1'C và
1"C là đủ lớn thì tương tự như giả thiết thứ nhất
Nếu như các hệ con
12'U giữa hai hệ con là rất nhỏ so với
ở trên, ta có thể coi năng lượng tương tác
1'H và
1"H nghĩa là, ta có thể viết:
H X 1
1
H X ' 1
' 1
H X " 1
" 1
năng lượng toàn phần của các hệ con
Do đó ta có thể coi hai hệ con đó là độc lập với nhau và có thể vận dụng
định lí nhân xác suất, có nghĩa là có:
14
f H
H dx dx
' 1
" 1
1
" 1
f H dx H dx ' 1
" 1
' 1
" , 1
f H
H
' 1
" 1
f H f H ' 1
" 1
. hay là
d
ln
H
d
ln
d
ln
f H
f H
f H
' 1
" 1
' 1
" 1
Từ đó bằng cách lấy lôgarít và sau đó lấy vi phân, ta được:
ln
H
'
dH
dH
ln
'
dH
ln
'
dH
f H
f H
f H
' 1
" 1
' 1
" 1
' 1
' 1
" 1
" 1
hay
1'dH và
1"dH có thể tiến đến không một cách độc lập, ta tìm
Coi rằng
ln
H
'
ln
'
ln
'
f H
f H
f H
' 1
" 1
' 1
" 1
được:
Trong đó β là một hằng số nào đó, bởi vì đạo hàm của một hàm số đối
với các đối số khác nhau chỉ có thể bằng nhau khi chúng là hằng số.
D
exp
H
f H
Lấy tích phân đẳng thức đó ta có:
Hiển nhiên rằng, từ điều kiện khi chuẩn hoá, β phải là số dương. Đặt
, D exp
1
H
exp
với θ>0. (2.8)
f H
H
1
X
exp
Ta có
1
Do đó với và θ là các hằng số.
Thông số θ được gọi là môđun của phân bố chính tắc, còn đại lượng
,
a H X a
exp
1.
được xác định từ điều kiện chuẩn hoá hàm phân bố:
X dX
X
X
,
dX
(2.9)
Từ đó:
15
,
ln
exp
ln
Z
a
,
H X a
X
dX
(2.10)
,
Đại lượng:
Z
a
exp
,
H X a
X
dX
(2.11)
được gọi là tích phân trạng thái (hay tích phân thống kê) và nó đóng một
vai trò đặc biệt quan trọng trong vật lí thống kê, bởi vì, sau này ta sẽ thấy nhờ nó
ta có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí bất kì.
Nếu hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau thì các phép chuyển vị khác nhau
của các hạt đó sẽ không đưa đến một trạng thái vi mô mới nào đó, mặc dù
chúng được biểu diễn bằng các điểm khác nhau của không gian pha. Vì thế
đối với các hệ gồm các hạt đồng nhất như nhau ta cần phải loại trừ tất cả các
điểm của không gian pha tương ứng với các phép chuyển vị khác nhau của
!N phép chuyển vị, nên không gian pha
hạt. Bởi vì N hạt có thể thực hiện
!N lần. Phân bố chính
của hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau phải giảm đi
,
a H x a
tắc sẽ được viết dưới dạng:
X
exp
1 N
!
,
(2.12)
1 !N
Trong nhiều trường hợp , thừa số chỉ ảnh hưởng tới hằng số chuẩn
hoá nên ta chỉ đưa nó vào trong một số trường hợp đặc biệt.
2.2. Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi
Đối với hệ có số hạt thay đổi, trong nhiệt động lực học đã đưa vào thế
,V TN
hoá học được biểu thị qua năng lượng tự do như sau: 3
16
Từ định nghĩa đó của thế hoá học, ta lấy tích phân bất định theo N , ta
,V,T
suy ra:
N
(2.13)
trong đó là một thế nhiệt động mới.
Ở thời điểm nào đó, hệ có số hạt thay đổi chứa một số hạt nhất định.
Nhưng ở thời điểm tiếp sau, số hạt trong hệ sẽ thay đổi. Ta biết rằng một hệ
có một số nhất định N các hạt đồng nhất như nhau sẽ nghiệm đúng phân bố
H
d
W
X
exp
dX
exp
dX
1 N
!
kT
1 N
!
N H kT
chính tắc, cụ thể sự phân bố của hệ đó có dạng:
trong không gian pha 6N chiều.
'N khác ta có phân bố chính tắc:
d
W '
X
'
exp
dX
'
1 N
'!
N H kT
Đối với hệ có số hạt nhất định
Trong không gian pha 6 'N chiều. Tập hợp pha chính tắc tương ứng với hệ
đó sẽ khác đi. Bởi vì trong hệ có số hạt thay đổi số hạt N có thể biến thiên từ 0
đến cho nên những hệ có số hạt nhất định như trên có thể là nhiều vô số.
Tập hợp các hệ khả dĩ tương ứng với một hệ thực có số hạt thay đổi được
N
, X
exp
gọi là tập hợp pha chính tắc lớn hay tập hợp chính tắc lớn. Hàm
1 N
!
N H kT
(2.14)
xác định phân bố phải tìm đối với hệ có số hạt thay đổi. Phân bố đó được
,V T ,
gọi là phân bố chính tắc lớn Gipxơ. Đại lượng trong phân bố được
gọi là thế nhiệt động lớn, thế này được xác định từ điều kiện chuẩn hoá của
phân bố chính tắc lớn (2.14).
17
X ( biến số pha) của các tập hợp chính tắc và lấy tổng theo toàn bộ các tập
Để tìm điều kiện chuẩn hoá ta lấy tích phân (2.14) theo các biến số vi mô
exp
dX
1
hợp chính tắc tạo thành tập hợp chính tắc lớn, nghĩa là:
1 N !
N H kT
0
N
(X)
(2.15)
F N X được xác định theo công thức:
,
Đối với hệ có số hạt thay đổi trị trung bình của một đại lượng bất kì
F
,
exp
dX
F N X
1 N !
N H kT
0
N
X
(2.16)
Bởi vì thế nhiệt động lớn không phụ thuộc vào các biến số pha X và
N
vào số hạt N , cho nên đẳng thức (2.15) có thể viết lại:
exp
exp
exp
dX
1
!
H kT
N
0
kT
1 kT N
X
(2.17)
N
Do đó:
kT
ln
exp
exp
dX
!
H kT
N
0
1 kT N
X
(2.18)
N
Đối với phân bố chính tắc lớn, biểu thức:
Z
exp
exp
dX
!
H kT
N
0
1 kT N
X
(2.19)
đóng vai trò là tích phân trạng thái.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Nội dung chương 2 em trình bày về tích phân trạng thái của hệ đẳng
nhiệt và hệ có số hạt thay đổi từ đó ta làm cơ sở để khảo sát khí thực, khí lí
tưởng và các hàm nhiệt động ở chương tiếp theo.
18
CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT
ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
3.1. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái
Hệ thức cơ bản của nhiệt động lực học thống kê diễn tả mối quan hệ của
năng lượng tự do của hệ với tích phân trạng thái Z : 3
kT
ln
Z
(3.1)
Từ đây chúng ta có thể biểu diễn các thông số nhiệt động và hàm nhiệt
động bất kì của hệ theo tích phân trạng thái Z , điều đó cho phép chúng ta các
định được nhiều tính chất của hệ nhiệt động.
Đầu tiên ta tìm áp suất p được xác định qua năng lượng tự do theo
công thức:
p
V
T
(3.2)
Z
Áp dụng công thức (3.1) ta được:
p
kT
ln V
T
(3.3)
đó là phương trình trạng thái của hệ, bởi vì vế phải của (3.3) phụ thuộc
vào V và T . Ta có thể viết lại phương trình trạng thái (3.3) dưới dạng quen
thuộc hơn bằng cách nhân hai vế của đẳng thức với V :
pV kT
ln ln
Z V
T
(3.4)
Z
2
Từ phương trình Gipxơ- Hemhônxơ ta tìm được nội năng U :
U
T
kT
ln
(ln )
T
kT
.
Z k
Z T kT
T
ln T
lnZ T
V
V
V
(3.5)
Tương tự ta có thể tính được các hàm nhiệt động khác như thế nhiệt
động Gipxơ, entanpi, entrôpi theo tích phân trạng thái:
Biểu thức của thế nhiệt động Gipxơ:
19
pV
Thế nhiệt động Gipxơ: G U TS ( U : nội năng, S : entropi )
F
kT
.ln
Z
Ta có: U TS F ( F : năng lượng tự do )
Z
Z
p
kT
p
kT ln V
ln V
F V
T
T
T
Z
pV kT
V .
ln V
T
Mà ( Z : tích phân trạng thái )
pV kT
1 V
ln ln
Z V
ln V V
T
Vì
G
kT
ln
kT
ln
Z
Z kT
ln ln
Z V
ln ln
Z V
T
T
Vậy biểu thức của thế nhiệt động Gipxơ theo tích phân trạng thái
Biểu thức của entanpi:
:H hàm
Ta có hàm entanpi: H U pV ( trong đó U : nội năng,
Z
F U TS U F TS F T
kT
ln
kT ln T
F T
V
Z T
V Z
Z
Z
2
2
2
kT
ln
ln
kT
U kT
Z kT
Z kT
ln T
ln T
ln T
V
V
V
entanpi)
pV kT
ln ln
Z V
T
Z
Z
2
H kT
kT
ln ln
Z V
ln ln
Z V
ln T
ln T
V
T
V
T
kT T
Mà
Biểu thức của entrôpi:
TdS
dU pdV
Ta có phương trình cơ bản của nhiệt động lực học:
20
TdS
SdT
d TS
SdT dU pdV
d U TS
pdV SdT
d TS
Mà
,
( F : năng lượng tự do) Đặt F U TS
,V T )
dF pdV SdT
F F V T
(1) ( F là hàm của
Lấy vi phân toàn phần của (1) ta có:
dV
dT
dF
F V
F T
T
V
F
kT
ln
Z
(2)
S
F T
V
ln
Z
Z
S
kT T
kT ln T
F T
V
V
V
Z
Z
k Z kT
ln
k
ln
Z
T
ln T
ln T
V
V
So sánh (1) và (2) ta có mà
2
Cuối cùng ta biểu diễn nhiệt dung đẳng tích của hệ theo tích phân trạng thái:
F
kT
ln
Z
C V
F T 2 T
Z
T
T
kT
k Z ln
C V
F T
T
ln T
V
T
V
2
Z
Z
Z
T
kT
k Z ln
kT
k
T
ln T
ln T
ln Z 2 T
ln T
V
V
V
V
T k
2
Z
kT
2
T
C V
ln T
ln Z 2 T
V
V
Ta có: mà
3.2. Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng
Ta có thể áp dụng tích phân trạng thái để có thể tìm ra được các hàm
nhiệt động của khí lí tưởng 2 3
21
1) Để tính tích phân trạng thái Z ta cần biết hàm Haminton H . Đối với
khí lí tưởng, hàm Haminton bằng tổng các năng lượng của các hạt riêng lẻ,
N
nghĩa là:
H
U X k
k
2 p k 1 2 m
(3.6)
kU X biểu thị thế năng của hạt thứ k , mà chúng ta đưa vào xuất
Ở đây
phát từ lập luận sau. Các hạt của khí lí tưởng có thể chuyển động hoàn toàn tuỳ
ý bên trong bình có thể tích V nhưng chúng không có thể ra khỏi giới hạn của
bình. Điều đó tương đương với giả thiết: ở bên trong bình các hạt có thế năng
U
x
0
y
x
V
z
bằng không, ở ngoài bình chúng có thế năng vô cùng lớn.
, )
(
H X a thông qua thế năng
U x y z mà ta có thể biểu thị dưới dạng:
,
,
0
,
,
U x y z đối với X ở bên trong V
(3.7)
Như vậy chúng ta có thể đưa thông số ngoại V vào hàm Haminton
22
,
,
U x y z đối với X ở bên ngoài V
Bởi vì tất cả các hạt là độc lập, chúng ta có thể viết tích phân trạng thái
dX
H
Z
e
X
exp
U
dX
0
k
1 N
!
1 N
!
2 p k m 2
1
k
X
X
dưới dạng:
N
exp
,
Z
U x y z , k
k
k
k
dp dp dp dx dy dz k
k
k
k
k
k
N k
y
z
x
1 N
!
2 p k m 2
1 N
!
1
(3.8)
kZ là tích phân trạng thái đối với một hạt. Xét biểu thức của
kZ một
Với
Z
exp
U
cách chi tiết hơn:
k
k
dp dp dp dx dy dz k
k
k
k
k
k
y
z
x
2 p 1 k m 2
(3.9)
p p p chúng ta viết lại (3.9) dưới
,
,
x
y
z
Do tính độc lập của các hình chiếu
y
x
Z
exp
k
dp k
dp k
x
y
2
2
. exp
2 p k m
2 p k m
dạng:
p
z
exp
dxdydz
dp k
z
.
2
( , U x y z , )
. exp
2 k m
(3.10)
Ta có thể tính được biểu thức này nếu ta chú ý tới trị số của tích phân
2
Poátxông cũng như dạng của thế năng (3.7):
exp
2 m
p m 2
dp
U x
(3.11)
exp
dxdydz
1.
dxdydz V
z ( , y, )
V
Và (3.12)
kZ
3 2 m V
Khi đó (3.13)
Do đó tích phân của toàn bộ hệ là:
23
N
N
Z
V
0
(3.14)
3 2 m
1 N
!
ln
:Z 0
ln 2
ln
m
ln
N V ln
ln
Z
ln ! N
2) Theo công thức (3.1), để tìm năng lượng tự do ta phải tính
0
N 3 2
(3.15)
ln(
N N ln .
N !)
Nhân đẳng thức với và áp dụng công thức Stiếclinh đối với N lớn
N
ln(2
ln
V
ln
N
m )
Ta tìm được biểu thức của năng lượng tự do của khí lí tưởng:
3 2
(3.16)
p
3) Từ đó ta tìm được phương trình trạng thái của khí lí tưởng:
N V V
(3.17)
Đối với một mol khí lí tưởng, phương trình đó cần trùng với phương
NkT V
trình Clapêyrôn- Menđêlêép . Từ đó suy ra môđun của phân bố
chính tắc liên hệ với nhiệt độ tuyệt đối bằng hệ thức:
kT
23
(3.18)
k
1,37.10
J
/
R N
0
Trong đó độ là hằng số Bônxơman.
4) Áp dụng biểu thức của năng lượng tự do (3.16) ta tính entrôpi của khí
lí tưởng:
S
kN V ln
kN T S ln
0
3 2
(3.19)
0S có chứa các số hạng:
kN
ln(2
km
)
kN kN N
ln
3 2
3 2
Ở đây trong hằng số tuỳ ý
24
VC của khí lí tưởng đơn
5) Bây giờ ta có thể tính nội năng và nhiệt dung
U
TS
kT N V
ln
N T (ln
ln 2
km N N
ln
)
3 2
nguyên tử:
T kN V
ln
kN T ln
kN
ln 2
km
kN kN N
ln
3 2
3 2
3 2
kNT
.
3 2
(3.20)
kN
R
C V
3 2
3 2
U T
V
(3.21)
Như vậy trong trường hợp khí lí tưởng, xuất phát từ phân bố chính tắc
chúng ta tìm được các hàm nhiệt động cơ bản và phương trình trạng thái.
3.3. Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí thực
Để có thể xây dựng lý thuyết thống kê về các hạt thực ta cần phải tính
H dX
e
Z
tích phân trạng thái Z : 1
X
(3.22)
H X a gồm động năng của
,
Đối với hệ các hạt tương tác năng lượng
các hạt và thế năng tương tác của chúng:
,
H X a Eđ+Un
(3.23)
Coi rằng năng lượng tương tác của hệ là bằng tổng các năng lượng tương
U
U
U
...
...
U U tt
12
2
N
1
N
13
N
tác cặp đôi riêng lẻ của tất cả các hạt, nghĩa là:
ik
1 2
i k ,
ik 1
i k
(3.24)
Khi đó hàm Haminton của hệ gồm N hạt có dạng:
25
N
N
,
H X a
1 2
k
i k ,
1
ik 1
2 p k 2 m k
(3.25)
2
H X a , ) (
Z
e
dX
exp
p mkT
2
U tt kT
X
X
(
)
dX
Bằng cách lấy tích phân biểu thức (3.22) theo xung lượng ta được:
3
N
2
mkT
...
dx dy dz 1
1
N
(3.26)
U tt kT
... exp
Trong đó tích phân còn lại được lấy theo toạ độ của tất cả các hạt của hệ.
:tZ
Kí hiệu tích phân tương tác là
Z
t
dx dz ... 1
N
1 N V
U tt kT
... exp
(3.27)
Ta có thể viết tích phân trạng thái đối với hệ gồm các hạt tương tác dưới
dạng sau:
Z
0
Z Z t
(3.28)
0Z là tích phân trạng thái của khí lí tưởng.
trong đó
Trong trường hợp tổng quát nhất của sự tương tác, năng lượng tự do của
hệ được biểu thị dưới dạng tổng của hai thành phần:
kT
ln
Z
kT
ln
Z
kT
Z ln t
0 t
0
(3.29)
0 là năng lượng tự do của khí lí tưởng và
t là lượng phụ
trong đó
thêm vào năng lượng tự do do có tương tác. Như vậy, phương trình trạng thái
có thể viết dưới dạng tổng quát:
p
RT V
t V
V
T
(3.30)
Tiếp theo để tìm được các hàm nhiệt động và phương trình trạng thái ta
cần phải tính tích phân tương tác (3.27)
26
Z
exp
dX
t
q
1 N V
X q
r k
r i
i k
exp
dX
q
1 N V
U tt kT kT
X q
dX là nguyên tố thể
X q là phần không gian pha toạ độ và
q
ở đây
tích của không gian đó. Ta viết biểu thức dưới dấu tích phân dưới dạng sau:
exp
exp
exp
U tt kT
ik kT
r ik kT
i k
(3.31)
r ik
ik
r 0, r
Trong các khí loãng, trong đó sẽ tiến đến không. Vì vậy
exp
ikr kT
đại lượng sẽ gần bằng đơn vị và do đó để cho thuận tiện khi
exp
1
f r ik
r ik kT
tính toán, ta đưa vào hàm:
ikr
0
r . Khi đó ta viết lại (3.31)
Hàm này sẽ là một đại lượng nhỏ khi
exp
(1
f
)
...
1
1
ik
f 12
f 13
như sau:
...)
(
...)
...
1 (
U tt kT f 12
f 13
f 14
f f 12 13
f f 12 14
(3.32)
f
o
sẽ là Nhưng đối với khí loãng, khi ik r
f
ikf
r tích các hàm thuộc loại 12 13 f . Thật vậy, để cho 12 13 f
đại lượng nhỏ bậc hai so với
phải làm sao cho khoảng cách khác không thì ta cần ikr giữa các hạt thứ i và thứ k phải so sánh
được với 0r và đồng thời khoảng cách imr giữa các hạt thứ i và thứ m cũng lại
phải so sánh được với 0r , muốn vậy ba phân tử i , k , m phải ở cạnh nhau.
Nhưng vì trong chất khí loãng, khoảng cách trung bình giữa các hạt rất lớn so
27
với 0r nên số những nhóm cặp ba phân tử như vậy là rất ít. Các kết hợp hoặc
các nhóm gồm bốn hoặc nhiều hơn các phân tử phân bố gần nhau lại càng ít
exp
xảy ra hơn. Vì vậy, ta có thể giả thiết rằng:
1
ik
f
U tt kT
(3.33)
f r
ik
Bởi vì các phân tử là như nhau nên ta có thể coi rằng tất cả các
đều bằng nhau. Nếu chú ý đến số các cặp khác nhau của N phân tử, thì thay
2
1
cho tổng số ở vế bên phải ta sẽ có:
exp
1
1
f r ik
f r ik
U tt kT
N N 2
N 2
(3.34)
Z
exp
...
t
dV dV dV 2 N
1
1 N V
U tt kT
X q
2
f r ik
N
1 N V
N 2
1
dV dV ... t
X q
2
N
Z
...
t
f r dV dV dV 1
ik
2
N
1 N V
N 2
(
X q (
))
V
Thay biểu thức (3.34) vào (3.27) ta được:
f r
ik
k , cho nên bằng cách lấy tích phân theo các toạ độ của tất cả các phân tử
Bởi vì chỉ phụ thuộc vào các toạ độ của các phân tử thứ i và thứ
2
N
2
khác trong giới hạn của thể tích V mà ta xét, ta có:
Z
V
1
t
f r dV dV k
ik
i
N
N V 2
(3.35)
Tiếp theo ta chọn vị trí của phân tử thứ i làm gốc toạ độc cầu:
28
ikr như là bán kính r và nguyên tố thể
2
Nếu trong hệ toạ độ đó ta xem
4 r dr , thì chúng ta có thể biến đổi tích phân trong đẳng
kdV như là
tích
4
f r
dV i
2 r dr dV i
thức trên về dạng:
Ở đây ta kí hiệu:
2 4 f r r dr
(3.36)
Bởi vì phân tử thứ i có thể nằm tại một điểm bất kì của thể tích V cho
idV V
nên:
Cuối cùng, đối với tích phân (3.35) ta được:
Z
1
t
2 N V 2
(3.37)
N V
0
Khi mật độ chất khí là nhỏ, nghĩa là thể tích ứng với một phân tử là
thì số hạng thứ hai trong (3.37) có thể cho bằng không. Nói
N V
lớn và
0
thì đối với chất khí thực,
tZ có trị số bằng đơn vị.
N V
khác đi, khi chất khí thực rất loãng, nó có tính chất như là khí lí tưởng, và khi
Từ (3.37) ta tính được năng lượng tự do của khí thực:
kT
ln
Z
kT
lt
2 N V 2
ln 1
(3.38)
N V
Bởi vì là đại lượng nhỏ ta có thể phân tích lôga thành chuỗi và chỉ
giữ lại số hạng phân tích đầu. Bỏ qua các số hạng không đổi trong (3.38) ta
được:
29
kT N V
ln
N V 2
2 2
(3.39)
Từ đó ta tìm được biểu thức của áp suất khí thực:
p
kT
V
2 N N 22 V V
(3.40)
Cuối cùng tính nội năng của khí thực:
kNT .
U
ltU
th
U U lt
tt
3 2
2
1)
trong đó
N N ( 2
N 2
Vì trong chất khí ta có cặp các phân tử tương tác nên ta
2
U
N
tt
2 N tt 2
a 0 V
có:
2
Do đó toàn bộ nội năng của khí thực là:
U
kNT
th
tt
3 2
N 2
(3.41)
3.4. Một số bài tập ứng dụng
Bài 1: Thiết lập phương trình trạng thái của khí lí tưởng đơn nguyên tử
trong đó năng lượng và xung lượng của các hạt khí đó liên hệ với nhau bằng
4cp
hệ thức . 4
Giải
H kT
dX
Z
e
k
X
4
kT
Tích phân trạng thái của hạt khí lí tưởng:
dxdydzdp dp dp
e
H
cp
0 U q
x
y
z
k
Z
X
+ Trong đó ,
30
kT
kT
Z
dp dp dp
2 p dp
4
k
y
x
z
V e 0
V e 0
1 4
1
3 4
p
dp
. d
4cp
1 4
c
c 4.
1 2
1
3 4
kT
.
4
. d
kZ
1 4
. c
c 4.
V e 0
V
1 4
kT
e .
Mà
Z k
3 4
c
0
d
1 n thì: 4
1 kT
V
V
1
Z
e .
.
n
d
k
1
.
3 4
3 4
n n
c
c
o
3 4
V
3 4
Z
.
V
.
k
3 4
3 4
3 4
kT c
c
1 kT
Đặt ,
N
N 3 4
N
Z
Z .
.
.
N k
3 4
.
1 N
!
V N
!
kT c
Tích phân trạng thái của khí lí tưởng có N hạt là:
Z
p
kT
.
kNT V
ln V
T
Vậy phương trình trạng thái của khí lí tưởng có dạng:
Bài 2: Tìm năng lượng tự do F và phương trình trạng thái của khí lí
tưởng đơn nguyên tử tương đối tính. Năng lượng và xung lượng của nó thoả
cp
mãn hệ thức . 4
Giải
Ta có tích phân trạng thái:
31
Z
Z
N k
1 N
!
kT
kT
2 p dp
2 p dp
4
4
kZ
V e 0
V e 0
2
2
p
dp
,
p
c
d c
c
2
3
kT
kT
Z
.
.
V
3 k T
4
2 . d .
3
k
c
d 3 c
4 c
4 3 c
V e 0
V e 0
Mà nên:
2
3
N
3
3
Hàm gamma
Z
3 k T . .
Z
k
8 V 3 c
1 N
!
3 Vk T 3 c
8
Vậy
N
3
3
8
8
kT
ln
N
NkT
ln
F
kT
ln
Z
kT
ln
ln
!
3 Vk T 3 c
3 Vk T 3 c
1 N
!
N
!
Năng lượng tự do:
NN e
ln
N
N
ln
N
ln
!
e .
Sử dụng công thức Stecling . Khi N lớn ta được:
3
3
8
8
F
kNT
ln
NkT
ln
N
ln
e
kNT
1 ln
3 Vk T 3 c
3 Vk T 3 Nc
Vậy năng lượng tự do là:
p
F V
NkT V
T
Phương trình trạng thái:
Bài 3: Tìm năng lượng tự do F và nội năng U của cột khí lí tưởng có
chiều cao h và diện tích đáy ở trong trường trọng lực một chiều có gia tốc g, có nhiệt độ T, nếu biết số hạt khí là N, khối lượng hạt là m. 4
32
Giải:
Z
,
Z Z Mx
B
Đối với khí lí tưởng đặt trong trường lực ta có:
BZ là tích phân thống kê tương ứng với phân bố Bônxơman
N 2
trong đó MxZ là tích phân thống kê tương ứng với phân bố Macxoen
mkT
2
3
MxZ
N N
!
N
N
h
mgz kT
mgh kT
Z
e
dz .
1
e
B
kT mg
0
Ta có:
N
!
Z
Z rồi thay cả vào Z , ta có:
,Mx
B
NN e
N
N
N
N 2
mgh kT
Z
.
mkT
.
1
e
. 2
3
e N
kT mg
F
kT
Z ln .
Mà thay vào
mgh kT
F
ln
e
lnN
N
ln
mkT
N
ln
1
e
ln 2
N 3 2
kT mg
kT N
mgh kT
3 2
F
kNT
ln
mkT
NkT
ln
1
e
2
e N
kT mg
Năng lượng tự do:
U F TS F T
F T
V
Nội năng U :
Mà:
33
mgh kT
3 2
NkT
ln
mkT
NkT
ln
1
e
2
e N
kT mg
F T
3 2
kn
ln
kN
mkT
NkT
.
Nk
ln
NkT
.
ln 2
T e N
kT mg
1 T
1 T
3 2 mgh kT
e .
mgh kT
mgh 2 kT
Nk
e
NkT
.
mgh kT
ln 1
1
e
mgh kT
mghN e .
mgh kT
3 2
kN
ln
mkT
kN
ln
1
e
Nk
.
2
e N
kT mg
5 2
mgh kT
e
T
1
mgh kT
mghN e .
mgh kT
3 2
T
kNT
mk
kNT
ln
e
1
NkT
.
2
e N
5 2
F T
ln
V
mgh kT
kT mg
1
e
mgh kT
3 2
U F T
NkT
ln
mkT
NkT
ln
1
e
2
e N
kT mg
F T
V
mgh kT
mghN e .
mgh kT
3 2
kNT
ln
mkT
kNT
ln
1
e
NkT
2
e N
kT mg
5 2
mgh kT
1
e
NkT
NkT
5 2
5 2
mghN mgh kT
1
1
e
mghN 1 mgh kT
e
Vậy:
34
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Nội dung chương 3 em trình bày về việc dựa vào tích phân trạng thái để
tìm ra các hàm nhiệt động khí thực, khí lí tưởng. Dựa vào những nội dung này
ta có thể vận dụng để giải một số bài tập đơn giản.
35
KẾT LUẬN
Với đề tài “Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí
thống kê cổ điển” em đã trình bày các khái niệm và định luật cơ bản của vật
lí thống kê, nghiên cứu biểu thức tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt và hệ
có số hạt thay đổi dựa vào phân bố chính tắc và phân bố chính tắc lớn và từ
đó nghiên cứu tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động đối với khí thực và
khí lí tưởng.
Khoá luận là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên có đam mê nghiên
cứu chuyên ngành vật lí lý thuyết nói riêng và vật lí nói chung. Tuy nhiên đây
là lần đầu tiên em thực hiện một đề tài nghiên cứu khoa học nên khoá luận
của em không thể tránh khỏi những sai sót, kính mong được sự đóng góp,
giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn.
36
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Quang Báu - Bùi Bằng Đoan – Nguyễn Văn Hùng (1999), Vật lí
thống kê, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Đỗ Trần Cát (2001), Vật lí thống kê, NXB Khoa học và Kĩ thuật.
[3] Vũ Thanh Khiết (2002), Nhiệt động lực học và vật lí thống kê, NXB Đại
Học Quốc Gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Hữu Mình( chủ biên ) – Tạ Duy Lợi – Đỗ Đình Thanh – Lê
Trọng Trường (2003), Bài tập vật lí lý thuyết tập 2, NXB Giáo dục.
37
