Khóa luận tốt nghiệp: Vai trò của tham số tự do và tính hội tụ của sơ đồ vòng lặp trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hyđro

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn:

TS. NGUYỄN VĂN HOA

Sinh viên thực hiện:

MAI THỊ ĐẮC KHUÊ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

THÁNG 4/2010

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn khóa luận này – thầy đã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích và đóng góp những kinh nghiệm quý

báu để em thực hiện khóa luận.

Em xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý

kiến quý báu cho khóa luận này.

Em xin chân thành cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã tận tình giúp đỡ em

trong suốt quá trình làm.

Em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm nay và cụ thể là qua những kết quả khóa luận này đã phần nào thể hiện.

Em xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 cũng như các bạn

khác và những người thân đã giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận.

Trong quá trình thực hiện đề tài không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót, em

rất mong nhận được sự góp ý tận tình của quý thầy cô.

Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe và thành công!

Sinh viên thực hiện

Mai Thị Đắc Khuê

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ 1

MỤC LỤC ..................................................................................................... 2

MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 4

1 Tình hình nghiên cứu ........................................................................ 4

2 Lí do chọn đề tài ............................................................................... 4

3 Mục tiêu của đề tài............................................................................ 6

4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được ...................... 6

5 Cấu trúc của luận văn....................................................................... 7

NỘI DUNG.................................................................................................... 9

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO ......................................................................................................... 9

1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro................................ 9

1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro ................................ 9

1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro .................................................... 11

1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro ....................................................... 12

1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro ......................... 13

1.2.1 Toán tử động năng .......................................................................... 14

1.2.2 Toán tử thế năng ............................................................................. 15

1.2.3 Toán tử hamilton............................................................................. 16

1.3

Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính............................................. 17

Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO............... 19

Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn............................................................... 19 2.1

2.2

Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử.............................................. 22

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 2

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

2.2.1 Tính bổ chính bậc một..................................................................... 22

2.2.2 Tính bổ chính bậc hai...................................................................... 22

2.3 Nhận xét ......................................................................................... 35

Chương 3 VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO ..... 36

3.1

Vai trò của tham số tự do trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro .......................................................... 36

3.2

Sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến phân .................................................................................... 36

3.3 Nhận xét ......................................................................................... 40

Chương 4 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO ........................................ 42

Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp.................................................... 42 4.1

Thiết lập sơ đồ vòng lặp.................................................................. 42 4.2

4.3

Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro ứng với k=4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp ....................................................... 44

4.4 Nhận xét ............................................................................................... 46

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ....................................... 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48

PHỤ LỤC..................................................................................................... 48

Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều.................................................. 48

Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn ........... 51

Phụ lục 3 Toán tử thế năng .......................................................................... 53

Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của ˆH .................................................... 58

Phụ lục 5 Chương trình viết bằng Fortran ..................................................... 61

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 3

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

MỞ ĐẦU

1 Tình hình nghiên cứu

Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn.

Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu.

Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc

trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,…

Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:

 Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông

thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán.

 Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ.

Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển

không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 4

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

2 Lí do chọn đề tài

Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn

giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng.

Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…

Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị

nào của trường ngoài nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn.

Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp áp dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều

chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh.

Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 5

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai số mong muốn thì dừng lại. Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần tìm ứng với sai số đã chọn.

Nội dung bài khóa luận này sẽ trình hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ

vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

3 Mục tiêu của đề tài

Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một

công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:



Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm… Kết hợp phương pháp toán tử, lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.



Tìm hiểu vai trò của thông số biến phân được đưa vào trong toán tử sinh, hủy cũng như khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến đó.

 Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho những bài toán có phức tạp hơn.

4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được

Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài

toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện khóa luận này.

Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 6

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

Dự kiến kết quả đạt được:

 Tính bổ chính bậc hai cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử.



Thấy được vai trò của tham số tự do đưa vào trong toán tử sinh hủy trong việc tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Dùng lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi tính tới bổ chính bậc hai.



Tính toán bằng số trên máy tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp. Qua đó thấy được sự hội tụ và tính ưu thế của hướng tiếp cận này so với hướng tiếp cận lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân bằng phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

5 Cấu trúc của luận văn

Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận

văn gồm 3 phần chính:

 Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc.

 Phần nội dung: gồm 4 chương

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ

HYDRO

Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng…

Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro và dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính.

Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 7

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn.

Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử.

Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO

Vai trò của thông số biến phân trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro.

Khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến phân.

Chương 4: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

Nêu mục đích của sơ đồ lặp.

Thiết lập sơ đồ vòng lặp.

Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

Nhận xét kết quả thu được.

 Phần kết luận: tóm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát

triển sắp tới của đề tài.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 8

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

NỘI DUNG

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN

NGUYÊN TỬ HYDRO

1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro[2], [4], [6]

1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro

ˆ H



2  

U r ( )

Thế năng của một hạt khối lượng mo chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r). Do đó hamilton của hạt có dạng:

  2 O m

(1.1)

Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ

r 1

r 2

phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học

)

U r ( 1

r 2

giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác rút về

bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực



.e m m p  m m

U(r). Trong trường hợp nguyên tử hydro với mp, mn tương ứng là

em

m e

khối lượng của proton và electron. Vì nên . Nếu bỏ qua kích

thước của proton, nguyên tử hydro sẽ được coi như gồm hạt electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên.

Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt

U r ( )

 

nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là:

Ze r

(CGS) (1.2)

Trong đó:

Ze là điện tích của hạt nhân.

U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với

nguyên tử hydro phương trình Schrodinger là phương trình dừng.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 9

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng:

  

 E U r ( )





 

2 em 

(1.3)

   



  ,

  r

1 2 r   r

  r

1 2 r

  

  

Trong tọa độ cầu, toán tử  có dạng





sin





  ,

 1    sin

  

1 2 sin

 2   

  

  

    

sin





1 2 r

 1    sin

  

1 2 sin

 2   

  

  

(1.4)

Thay vào ta được:

(

)









 E U r ( )





 

  ,

2 em 

1 2 r

   r

1 2 r

(1.5)

 

 

ˆL 

(

)







 E U r ( )



Do ta viết lại như sau:



 

em 2 

1 2 r

   r

ˆ 2 L 2 2  r

(1.6)

2ˆL và ˆ

gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không zL với ˆH .

ˆ H

 



U r ( )

(

)



Trong trường hợp này ˆH có dạng:

 2 

1 2 r

   r

ˆ 2 L m r 2 e

ˆ ˆ 2 HL

ˆ ˆ 2 L H

(1.7)

 ; 0

 (1.8)

ˆ ˆ 2 HL Z

ˆ ˆ 2 L H Z

Ta thấy

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 10

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

,  nên giao hoán với các toán

Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc

tử lấy vi phân theo r.

Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình

2ˆL và hình chiếu mômen ˆ

ZL . Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta viết nghiệm của phương trình dưới dạng

phương mômen



r ( ,

  , )



R r Y ( ).

  ( , )

l m ,

nlm

(1.9)





l l (



Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng

nlR r của ( )

ˆ LY lm

Y lm

ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm

  : , )

nlm r ( ,

 1





R r

 ( ) 0

hàm sóng

m 2 e 2 

d 1 2 r dr

dR dr

Ze r

  l l 2 r

  

  

 2 m e

  

  

(1.10)

1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro

Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của

 

nguyên tử hydro

E n

4 me Z 2 2  n 2

(CGS) (1.11)

m e  

Trong hệ không thứ nguyên thì:

 

E n

Z 22 n

(1.12)

 

13, 6

Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực.

E 1

Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất . Khi n càng tăng

nE liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n  thì

nE  .

thì các mức

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

 

3, 4

 

1,5

;...

E 2

eV E ; 3

Một số mức năng lượng kích thích:



 Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên

2 4 m Z e 22 

kết, bắt đầu ứng với năng lượng và kết thúc ứng với năng lượng 0.

 Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l có thể có những



giá trị l = 0, 1, 2,... , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng

 l l

1  

(1.13)





riêng

  R r Y



nlm

gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.  Ba số nguyên n,    , , l, m duy nhất xác định một hàm     ,

    l ,

1,..., 1, 0,1,...,



1l  giá trị của m. Lượng tử số m 2

Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị



. Tất cả có 

zL m 

xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z

 1

Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng En là

l 2



   1





(1.14)

Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản 1E không suy biến, mức kích

2E suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai

3E suy biến bậc 9...

thích thứ nhất

22 n .

Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng

1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro







  r , ,

  R r Y

   ,

nl m





Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hydro có dạng:

và a o

 me

Zr 2 na o

Với (1.15)

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 12

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

a0: là bán kính Bohr thứ nhất

  của các hệ giống hydro ứng với ,



 nl m r

Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần

các giá trị n=1, 2, 3,…

n l m

   , ,

 nl m r

3 / 2

(

Z a /

)

exp(



/ 2

)



3 / 2

(

Z a /

)



Z r

/ 2

) exp(



Z r

/ 2

)

1 0 0

1 2 2



0 2 0

3 / 2

(

Z a /

)

(

Z r a /

) exp(



Z r

/ 2

) cos



4 2



3 / 2

0 2 1

1



(

Z a /

)

(

Zr a /

) exp(



/ 2

 ) sin exp(



 ) i



3/ 2

(

)

 (1 2



2 2 Z r



Z a / 0

a / 3 0

2 a / 27 ) exp( 0

a / 3 ) 0

2 1

1 3 3



3/ 2

(

)



 Zr a

) exp(





Z a / 0

a / 6 )( 0

/ 3 ) cos 0

2 2  27

3 0 0

0 3 1

1



(

3/ 2 )



)exp(



 e  i

Z a / 0

a Zr a / 6 )( 0 0

a /3 )sin 0

2 27



3 / 2

(

Z a /

)

(

2 Z r

) exp(



/ 3 )(3 cos



 1)

2 0

3 1

81 6



0 3 2

1

3/ 2



(

)

(

2 2 Z r

) exp(



/ 3 ) sin cos

 

 e  i

Z a / 0

2 0



3 2

3 / 2

2

(

Z a /

)

(

2 Z r

) exp(



/ 3

) sin

 e  2 i

2 0

162



3 2

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 13

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro[12]

Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrodinger viết cho nguyên

tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:



 Δψ( ) r



 ( ) r





 ( )  E r

 2 m

Ze  4 0

(1.16)

,m e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số điện

Trong đó

tích.

a x , 0



Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt

a z với

a y 0

a 0

 4 0

, là bán kính Bohr. Khi đó phương



 ψ( ) r





 ( ) r

trình (1.17) có dạng không thứ nguyên:

1 2

Z r

  

  

(1.17)

2  . Ta có thể viết

0 /ma

0a và

Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là

dưới dạng tường minh như sau:

ˆ  H x y z , ) ( ,



x y z ( , , )

ˆ H

 





(1.18)

1 2

  x

  y

  z



  

  

Với: (1.19)

Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:

 a 







  a 







  2

 1    

   

   

   

   

(1.20)

 

x y z , ,

với , trong đó  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau.

  , a a 

  

   

Dễ dàng thấy rằng (1.21)

(Phụ lục1trang 51)

Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta viết lại các thành phần trong hamilton ˆH trong biểu thức (1.19) qua biểu diễn các toán tử sinh huỷ này.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 14

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ TH

 





1.2.1 Toán tử động năng



 x

 y

 z

  2   

  

  

(1.22)







 a









 a







 

  2

   







Từ (1.20) ta có:



 a



 a





 a 

 a





 1 2

   a a  

Suy ra (1.23)









  

  

 

  2

2 

 2 

Ta thay (1.23) vào (1.22) ta được

ˆ TH

 

 a



 

1 2

 

   a a  



(1.24)









1 4

  

  





 2



 A 

 a



 A 

 a



 N

   a a  



Đặt (1.25)

Thay (1.25) vào (1.24), ta được:

ˆ TH







 

ˆ N 

ˆ A 



 1 2  

 

ˆ   A   

 

1 4



(1.26)

 

x y z , ,

với

1.2.2 Toán tử thế năng

Với số hạng liên quan đến tương tác Coulomb thì các toán tử sinh huỷ sẽ nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể sử dụng trong tính toán. Dùng phép biến đổi laplace ta có thể viết thành phần





t x (



)

ˆ H

 

thế năng dưới dạng:







(1.27)

(Phụ lục 2 trang 51)



 

Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:



ˆ U H n k ,

ˆ   0 S 

ˆ ' S 













(1.28)

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 15

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

 0ˆ xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử

 0ˆ xS khi tác dụng

với:

 i m 2





lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.





ˆ   0 S x

m ˆ m m  N x x

ˆ ˆ  i i A A x x

2 i  x 2

 

  1 m !

1  1 2

 1 m

 x

1  i !

   1 ˆ ˆ ˆ  i m i m i 2   A N A x x x x x 2   ! i m !

 1   

  1  i    i l

  i m  , 1    l i

   

'ˆ xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử

'ˆ xS khi tác dụng lên

(1.29)

 m l









ˆ ' S x

ˆ ˆ l m m l  N A x x x x

l ˆ l l  A x x

i ˆ  i i  A x x



 

  1 m l ! !

  1 l !

  1 i !

1  1 2

 , 1

 1 l

 1

 x

   ml

vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.

 i l

 i m

  i l m







 i l  x

ˆ ˆ  i l A A x x

ˆ ˆ  i m i m  A N x x x x

ˆ ˆ ˆ l   i l m i m   A N A x x x x x



  1 i l ! !

  1 i m ! !

  1 i l m ! ! !

 , 1 i m

  , 1  i l    l i

  i l m , , 1     l i

   

(1.30)

(Phụ lục 3 trang 53)

1.2.3 Toán tử hamilton

ˆ  H H



ˆ H





ˆ H





ˆ '  S 

   ˆ 0  S 



ˆ  N  

1    1 2    4

1 ˆ ˆ      A A       4

 







Thay (1.26), (1.28) vào biểu thức ˆ , ta được:







ˆ ˆ ˆ       0 0 0 S S S z y x

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ         0 0 0 0 ' '  S S S S S S y z x z y x



ˆ  N  

1    1 2    4

1 ˆ ˆ      A A       4

 





ˆ ˆ ˆ ˆ     0 0 ' '  S S S S S S z y z x

ˆ ˆ   0 ' x y

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ     0 0 ' ' ' '  S S S S S S x y z z x y

ˆ ˆ ˆ ' ' ' S S S x y z



(1.31)

Toán tử hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai

ˆ ˆ ˆ H H V





thành phần: (1.32)

Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử

0H trong bài toán không nhiễu loạn, với:



 hamilton 

ˆ H



  1)

)

 

ˆ N 

ˆ ˆ (0) S S S y

(0) x

(0) z





1 4

Z 

1 ˆ ( t





x y z , ,

(1.33)

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 16

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán





ˆ ˆ ˆ ' 0 ' x y z

ˆ ˆ ˆ ' ' 0 x y z

ˆ ˆ ˆ 0 ' 0 x y z

ˆ ˆ ˆ ' 0 0 x y z

 tử nhiễu loạn V , với:

ˆ V



 a 













Z 

1      a    4 

  

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ' ' 0 0 ' ' ' ' S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S x y z x y z x y z 1 t 2



Dùng các toán tử

và qua quá trình tính toán ta tính được

ˆ ˆ ˆ ˆ, a a A A N ,



ˆ n H k

các yếu tố ma trận của ˆH :

nkH



2i-1

1/2

ˆ S



{1+







i 2





)]

m m k  

k ( 

2   2

(0) , n k  



 [

 ) 

(-1) m!

1 (i!)

m=1

i=1





(1.34)



2i-1





, n k  

1/2





i 2





)]

(



m i 2 ) }

2i 2  

k ( 

k 



 [

 ) 

(-1) (i!)

(-1) m!

i=1

m=1

 1 2





 

k 

2 





(1.35)



 

 0 S



k 

1/ 2

k (2 )!   i i 2 )!( !) k 2 

1  (1 2 ) 

k  2

k   (1 2 ) 

2l-1



1/2



 

)]



l 2 )

m 

ˆ ' S 

m  

k ( 

 2



n , k  

(-1) m!

(-1) l!

 { m=0

l=1

l  l [  ( k   





1/2    )]



i i  

m m k  

k ( 

 2



 [

n , k  

(-1) i!

i=1

m=0

l-1 2



1/2



 

)]

m (k -2l) [

  l 2

1/2   )]

}

i i  

m  

k ( 



  2 2 l



 ( k 

n , k  

(-1) i!

m (-1) m! m (-1) m!

 =1 l (-1) l   l!

i=1

m=0

 [ 

l=1



1 1+2   (1.36)

Suy ra

(Phụ lục 4 trang 58)

min(

)

, k n  

k 

  n 

k  . 



( 1)   i

(

)!(





k 

n 

1/ 2 (2 )! n    i (2 )! 

  



ˆ n S 

k 2 

1/ 2

1/ 2    n  

(2 )! k  i (2 )! k 

1  (1 2 ) 



k 

n 

    (1 2 )  n  2

k  2

Suy ra

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 17

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính





000

 H

000



000



(0) E 0

 



 N 2

 1 000

1 4





x y z , ,



000

ˆ ˆ ˆ 0 0 S S S y x

0 z





Z 

1/ 2

000 1 2



 (1 2 ) 







x y z , ,









(0) E 0



3 4

Z 

1 2



t 

  

  

 t   

   





  

  2 d









 2

 d

Do tính chất đối xứng x y z nên biểu thức năng lượng bậc không trở thành:

(0) 0

3 4

t  2

Z 

3 2

1  2

 0   (1 2 )  2







Ta đã đặt

(0) E 0

3 4

 

Suy ra (1.37)

  

  





0.56588424210451677

3 4

16  9

(0) dE 0  d

Z  

(0)





Vì mức là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng:

0E ta được:

16  9

Thay vào

 



-0.42441318157838759

(0) E 0

4  3

. (1.38)

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 18

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Chương 2

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN

TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[6], [10]

Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nó có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,… Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải

được một cách chính xác. Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung lý thuyết nhiễu loạn như sau:

Xét phương trình Schrodinger:

ˆ H x ( )

  

x ( )

(2.1)

ta tách toán tử hamilton của bài toán thành hai thành phần:

ˆ ˆ  H H ˆ V  (2.2)

Trong đó:

ˆH là toán tử hamilton có nghiệm riêng chính xác

Thành phần

(2.3) ˆ H   n n

ˆV phải “nhỏ” so với

thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Thành phần ˆV còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý ˆH ,

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 19

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

ˆ V

ˆ H

. Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của

n và

n là nghiệm gần đúng bậc zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của ˆV thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và

phương trình (2.1). Lúc này chúng ta xem

dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của .

Ta giả thiết rằng các trị riêng của ˆH là không suy biến và có phổ gián

n của

đoạn, hệ hàm riêng ˆH là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng

n , . Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển

n 

0,1, 2,...

với



theo các hàm riêng của ˆH như sau:

x ( ) k

   ( ) x



(2.4)



Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái n như sau:



x ( )



x ( )

 n

 k

 

k  0  k n )

(

(2.5)



Thay vào phương trình (2.1) ta có:





 k n



 k n

(2.6) ˆ H (  x ( )  x ( )  x ( )  x ( ) C k  k E n C k  k  ˆ   V )  n        n    

*( ) n x

Nhân hai vế của (2.6) với rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta





x ( )



x ( )



x ( )

*  n

ˆ x H ( )( 0

C k

 k

*   n

x E ( ) n

C k

 k





 k n



 k n

 ˆ   V )  n 

   n 

  

được:

hay

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 20

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa





ˆ     x V ( )

x ( )

*  n

ˆ *      x H x ( ) ( ) x V x ( ) ( ) 0 n

* n

ˆ x H ( ) 0

C k

* n

C k

 k





 k n

 0,

 k n



x E ( )



x ( ).

*   n

*   x ( ) n n n

x E ( ) n

C k

 k





 k n





 V





C V k





0 (

 k n

)

 k



Ta có: (2.7)

 ta có:

*( ), j x



Bây giờ làm tương tự như trên cho





 k n



 k n

 x ( )  x ( ) x ( )  x ( )  j ˆ x H ( )( 0 C k  k   j x E ( ) n C k  k  ˆ   V )  n        n    



x ( )



x ( )

ˆ * *       ( x V x ( ) ( ) j j

ˆ x H x ( ) ( ) 0

* j

ˆ x H ( ) 0

C k

* j

C k

 k



  0, k n k

ˆ     x V ( )  0, k

 k n



x E ( )

x ( )



x ( ).

*     n n j

* j

x E ( ) n

C k

 k



 0, k

 k n



Hay:









C H j

C V k

E C n





0 (

 k n

)

 k

Ta có: (2.8)



Ta viết (2.7) và (2.8) lại như sau:







E n

C V k

   k



 k n



n

(2.9)

(

E H C



)







C V k

    k 0  k n

(2.10) , 



ˆ x H ( )

x dx ( )

 k



 



Với ký hiệu các yếu tố ma trận:



ˆ x V ( )

x dx ( )

 k



 

(2.11)

trình Schrodinger (2.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng Hệ phương trình đại số (2.9) - (2.10) có thể xem tương đương với phương nE

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 21

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

n x ( )

jC , nghĩa là tìm được hàm sóng

và các hệ số qua công thức (2.5). Ta

có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân



(0)

s ( )

tích theo tham số nhiễu loạn như sau:





E n

 s E

 1



(0)

s ( )

(2.12)





s 







 1

(0)

(2.13)

C là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn

E n

s ( )



 là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Thay

E n

Ở đây ta ký hiệu

(0)

(2.12) và (2.13) vào (2.10), (2.11) sau đó đồng nhất hai vế theo bậc s ta được:

(1)

E   0 , H C , nn









(



)

V (0)

jn 

E n



s ( )

(

 1)

s 

2 :

;





E n

 V C nk k

 0 k  k n



s ( )

(



(

 s t

)

t ( )







(



)

 V C jk

(0)



1 

1  s    1  t

E n

 0 k  k n

    

    

(2.14)

Giá trị riêng và hàm sóng ở gần đúng (s) bất kỳ:





( ) s E n

 ( ) t E n



(2.15)

Phương trình (2.14) và (2.15) gọi là sơ đồ Rayleigh-Schrodinger cho lý thuyết

nhiễu loạn dừng (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn).

2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử[11]

2.2.1 Tính bổ chính bậc một

E



000



(2.16)

ˆ V

(1) 0

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 22

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Do thế nhiễu ˆV không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma

trận trên đường chéo chính của ˆV bằng 0.

2.2.2 Tính bổ chính bậc hai

Xét ở bổ chính bậc hai (s=2) thì từ (2.14) ta được hiệu chính cấp hai cho

mức năng lượng của hệ là:





(2) E n

kn H

V V  nk (0) E n

 k 0  k n

. (2.17)



Hiệu chính cấp hai cho mức năng lượng cơ bản sẽ là một đại lương âm phụ thuộc vào đặc tính của nhiễu loạn. Như vậy, với độ chính xác đến các số hạng có độ bé cấp hai, năng lượng của hệ suy ra từ (2.14), (2.15), (2.17), được



(0)  E E n

V  (0) E n

 0 k  k n

tính bằng: (2.18)

Trong bài toán tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, gọi



k=kx +ky +kz thì biểu thức (2.17) được viết lại như sau:

000 ˆ V

k k k x y





(2) E 0





(0) 000

(0) k k k x y z

, k k y x  k 0

(2.19)

Ta tính các yếu tố ma trận của ˆV , thấy rằng 000

ˆ V

k k k  x y z

000

nếu k lẻ.

ˆ V

200

ˆ V 000 020

ˆ V 000 002

000

ˆ V

400

ˆ V 000 040

ˆ V 000 004



(2)   E 0



(0) E 000

(0) E 200

(0) E 000

(0) E 020

(0) E 000

(0) E 002

(0) E 000

(0) E 400

(0) E 000

(0) E 040

(0) E 000

(0) E 004

          

    



ˆ V 000 220

ˆ V 000 202

ˆ V 000 022

ˆ V 000 600

ˆ V 000 060

ˆ V 000 006



(0) (0)  E E 000 220

(0) (0)  E E 000 202

(0) (0)  E E 000 022

(0) (0)  E E 000 600

(0) (0)  E E 000 060

(0) (0)  E E 000 006

          



ˆ V 000 420

ˆ V 000 402

ˆ V 000 240

ˆ V 000 204

ˆ V 000 042

ˆ V 000 024





(0) E 000

(0) E 420

(0) E 000

(0) E 402

(0) E 000

(0) E 240

(0) E 000

(0) E 204

(0) E 000

(0) E 042

(0) E 000

(0) E 024



ˆ V 000 222

 ...



(0) (0)  E E 000 222

    

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 23

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Do tính chất đối xứng ta được:

ˆ V

000

200

000

220

400

ˆ V







(2) E 0



(0) 400

(0) 200

(0) 000

(0) 220

(0) 000

          

      (0)   000    

bac 2

bac

(2.20)

ˆ V

600

000

420

000

ˆ V

222



...



(0) E 00 6

(0) 000

(0) 420

(0) 000

(0) 222

    

      6 bac

 Các yếu tố ma trận của ˆV



ˆ S

' x

(0) y

(0) z













1  2

000

ˆ V

200

 





 

 



2 4

Z 

 

1 2

5 2

 (1 2 ) 

 d

 





2 4

2  

 Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 2 theo k



ˆ S

' x

(0) y

(0) z













3  2

000

ˆ V

400

 

2 3



 d

 



Z 

 6  10

Z 

7 2

1 2



ˆ S

' x

(0) z

' y









t 

 (1 2 )  3  2

000

ˆ V

220

 

 d .

 



 2 2 

 

Z 

7 2

1 2

  1 2

 



ˆ S

(0) z

(0) y

' x

 Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 4 theo k







5  2

000

ˆ V

600

 



2 5 2



 d .





Z 

 5  14

Z 

9 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

(0) z









5  2

000

ˆ V

420

 



 d





2 6  

 3  14

Z 

9 2

1 2

  1 2

 



ˆ S

' x

' y

' z













5  2

000

ˆ V

222

 



 d .





 

 2  14

Z 

9 2

1 2

  1 2

 

 Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 6 theo k  

 Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 8 theo k

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 24

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ S

ˆ ' S x

(0) y

ˆ (0) S z













7  2

000

ˆ V

800

 

70 2



 d .

 



Z 

 

11 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

(0) z











7  2

000

ˆ V

620

 

 d

 



2 2 2 

 

Z 

11 2

1 2

  1 2

 



ˆ S

' x

' y

(0) z









7  2

000

ˆ V

440

 

 d

 



6 2  

 

Z 

11 2

1 2

  1 2

 



ˆ S

' x

' y

' z













7  2

000

ˆ V

422

 

 d

 



4 3  

Z  6  36

Z 

11 2

1 2

  1 2

 



ˆ S

' x

(0) y

(0) z













9  2

010

000

ˆ V

1000

 



 2

 d





3 7 88

2 63 

 

Z 

13 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

(0) z









9  2

000

ˆ V

820

 



 2

 d



 2



Z 

2 35 

35 

13 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

(0) z









9  2

000

ˆ V

640

 



 2

 d





2 6.5 

 

Z 

13 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

' z













9  2

000

ˆ V

622

 



 2

 d





4 5 

 5  44

Z 

13 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

' z















9  2

000

ˆ V

442

 





6 2. 2 

3 2 88

 

Z 

13 2

1 2

  1 2

 

 Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 10 theo k

 Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 12 theo k

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 25

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ S

ˆ ' S x

(0) y

ˆ (0) S z













11  2

012

000

ˆ V

1200

 

 2

 d

 



231 208

2 231 

 

Z 

15 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ ' S x

ˆ ' S y

ˆ (0) S z













11  2

000

ˆ V

840

 

 d

 

 2

  2



70.6 

105 

208

Z 

04 1 2

15  (1 2 )  2



ˆ S

' x

' y

' z













11  2

000

ˆ V

822

 

 2

 d

 



2 70 

70 208

 

Z 

15 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

' z













11  2

010

000

ˆ V

1020

 

 2

 d

 



2 63.2 

3 14 208

 

Z 

15 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

(0) z









11  2

000

ˆ V

660

 

 2

dt .





Z 

 5 104

 

Z 

15 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

' z













11  2

000

ˆ V

642

 

 2

 d

 



4 15 

15 104

 

Z 

15 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

' z













6 6

 2

11  2

000

ˆ V

444

 



Z 

3 6 208

 

Z 

15 2

1 2

  1 2

 



ˆ S

' x

(0) y

(0) z













2 42042

13  2

014

000

ˆ V

1400

 



 2

 d





858 480

Z 



 

17 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

' z













13  2

000

ˆ V

662

 



 2

 d





20 2 

 2  48

Z 

17 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

' z













13  2

000

ˆ V

842

 

 2

 d







70.6.2 

210 

480

Z 

17 2

1 2

 (1 2 ) 

 Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 14 theo k

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 26

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ S

' x

' y

(0) z









2 70.5

13  2

000

ˆ V

860

 



 2

 d









17 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

(0) z









13  2

000

ˆ V

644

 



 2

 d







Z 

12 5 

5 

17 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

' z













13  2

010

000

ˆ V

1022

 



 2

 d







Z 

4 63 

7 

17 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

(0) z













13  2

010

000

ˆ V

1040

 



 2

 d







Z 

2 63.6 

160



17 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

(0) z













13  2

012

000

ˆ V

1220

 



 2

 d







Z 

2 231.2 

462 

480

17 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

(0) y

(0) z













15  2

016

000

ˆ V

1600

 

 2

 d

 



3 1430 2176

Z 

16! 

 

19 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

ˆ ' S x

' y

(0) z













15  2

014

000

ˆ V

1420

 

 2

 d

 





Z 

14! 2!  7!

858 2 

1088

1 2

19 2

 (1 2 ) 



ˆ S

ˆ ' S x

' y

ˆ (0) S z













15  2

231.6

012

000

ˆ V

1240

 

 d

 



  2

Z 

12! 4!  6!2!

 

1088

1 2

19 2

 (1 2 ) 



ˆ S

ˆ ' S x

' y

ˆ ' S z













15  2

231

012

000

ˆ V

1222

 

 2

 d

 



Z 

12!2!2!  6!

 

544

19 2

1 2

 (1 2 ) 



ˆ S

' x

' y

' z















15  2

010

000

ˆ V

1060

 



Z 

10!6! 2  5!3!

3 7.5 544

 

19 2

1 2

  1 2

 

 Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 16 theo k

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 27

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ S

ˆ ' S x

' y

ˆ ' S z













010

000

ˆ V

1042

 



15    2 

Z 

10!4!2! 2 

5!2!

3 7.6.2   1088

1 2

19 2

  1 2

 



ˆ S

ˆ ' S x

' y

' z













000

ˆ V

880

 



Z 

15    8!8! 2 2   4!4!

35 1088

 

1 2

19 2

  1 2

 



ˆ S

ˆ ' S x

' y

ˆ ' S z













000

ˆ V

862

 



15   2 

Z 

8!6!2! 2  4!3!

 70.5.2  1088

1 2

19 2

  1 2

 



ˆ S

ˆ ' S x

' y

ˆ ' S z













000

ˆ V

844

 



Z 

15   8!4!4! 2 2   4!2!2!

3 70 1088

 

1 2

19 2

  1 2

 



ˆ S

ˆ ' S x

' y

ˆ ' S z













000

ˆ V

664

 



15   2 

Z 

6!6!4! 2  3!3!2!

5 6 544

 

1 2

19 2

  1 2

 

 Các yếu tố ma trận của (0) n n nE

x y z

(0)

n n nE

x y z



200

(0)



200

ˆ H

200



200





(0) 200

 

ˆ N 



 1 200





1 4

 

x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z x y 1 2



2  



 

 2



7 4

7     d 4

Z 

19 15

 

7 2

 1 2 1  2

 (1 2 ) 

(0)

 Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 2 theo k

n n nE

x y z



400

(0) x

(0) z

(0)



400

ˆ H

400



400





(0) 400

 

ˆ N 





 1 400



1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



2 



 

 2





11 4

11    d 4

Z 

1321 1260

 

4     3 2

 1 12 1  2

 (1 2 ) 



220

(0) x

(0) z

(0)



220

ˆ H

220



220





(0) 220

 

ˆ N 





 1 220



1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2





193







 2







11/ 2



2 2  (1 2 )  1/ 2  (1 2 ) 



11   d 4

11 4

Z 

210



 Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 4 theo k

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 28

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

(0)

n n nE

x y z



600

(0) x

(0) z

(0)



600

ˆ H

600



600





(0) 600

 

ˆ N 





 1 600



1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 1 30



6  











2   1/ 2

 15/ 2



15 4

4    (1 2 ) 



15   d 4

 2 

95353 120120

 



420

(0) x

(0) z

(0)



420

ˆ H

420



420





(0) 420

 

ˆ N 



 1 420





1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 12

2  6 ).(1 2 ) 













15 4

15   d 4

2  

95353 120120

 

15/ 2

4    1  2

 .(1 2 ) 



222

(0) x

(0) z

(0)



222

ˆ H

222



222





(0) 222

 

ˆ N 





 1 222



1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2









 2





15/ 2



15 4

2 3 (1 2 )   1/ 2  (1 2 ) 



15   d 4

Z 

14737 20020

 

(0)

 Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 6 theo k

n n nE

x y z



800

(0) z

(0) x

(0)



800

ˆ H

800



800





(0) 800

 

ˆ N 





 1 800



1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



2 

8  



 



15/ 2

1/ 2



19 4

4 1+56 +420 +560 +70    (1 2 )



19    d 4

2  

t 5931721 7001280

 



620

(0) z

(0) x

(0)



620

ˆ H

620



620





(0) 620

 

ˆ N 





 1 620



1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 30

2 

4 



2  20 ).(1 2 )

6 















19 4

19   d 4

 2 

t 8805289 12252240

 

19/ 2

90 1  2

 .(1 2 ) 



422

(0) x

(0) z

(0)



422

ˆ H

422



422





(0) 422

 

ˆ N 



 1 422





1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 12

4   

2 2  6 ).(1 2 )





 





19 4

19    d 4

2  

8038847 12252240

 

19/ 2

1  2

 .(1 2 ) 

 Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 8 theo k

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 29

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



440

(0) x

(0) z

(0)



440

ˆ H

440



440





(0) 440

 

ˆ N 



 1 440





1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



  

4 2 6 )



 





19 4

19    d 4

1314641 1884960

2  

19/ 2

 (1 12 1  2

 .(1 2 ) 

(0)

n n nE

x y z



1000

(0) x

(0) z

(0)



1000

ˆ H

1000



1000





(0) 1000

 

ˆ N 



 1 1000





1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 1 90

2 



1260

3150

8 



252

10 











 1/ 2

 23/ 2



23 4

4  

6 4200    (1 2 )

23   d 4

97817443 124156032

2  

 



820

(0) x

(0) z

(0)



820

ˆ H

820



820





(0) 820

 

ˆ N 





 1 820



1 4





x y z , ,



ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 2

 (1 56

2 



8  70 )(1 2



2 

)









 d







 23/ 2



23 4

4  420 1/ 2 

6   560  (1 2 ) 

12400173241 1862340480

t 23 4





640

(0) z

(0)



640

ˆ H

640



640





(0) 640

 

ˆ N 





 1 640



1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) (0) S S S x y 1 2



 (1 30

2 



4 



4    6 )



6 







 2







23 4

t 23   d 4

65992533 103463360

 

Z 

20 ).(1 12 23 2

 (1 2 ) 

1  2



622

(0) x

(0) z

(0)



622

ˆ H

622



622





(0) 622

 

ˆ N 



 1 622





1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 30

2 











 d







90 1/ 2

6  23/ 2



23 4

 

4 2 2  20 )(1 2 )   (1 2 ) 

23 4

281330527 465585120

2  

 



442

(0) x

(0) z

(0)



442

ˆ H

442



442





(0) 442

 

ˆ N 





 1 442



1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



4 2

 (1 12

  

6 ) .(1 2



2 

)

t Z







 d









23 4

551803019 931170240

 2 

 

23/ 2

1  2

 .(1 2 ) 

(0)

 Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 10 theo k

n n nE

x y z



1200

(0)



1200

ˆ H

1200



1200



(0) E 1200

 

ˆ N 2 



  1 1200





1 4

Z 

 

x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z y x 1 2



 1 132

2 



2970

4 

8 

 16632

10 



924

2 



 





 18480 1/2 

6  34650  27/2  (1 2 ) 

27    d 4

64164881316 8653299200

27 4

2  

 Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 12 theo k

 

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 30

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



444

(0) x

(0) z

(0)



444

ˆ H

444



444





(0) 444

 

ˆ N 





 1 444



1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



  

4 3 )







 d









27 4

54255501 100196096

2  

 

27 / 2

 (1 12 1  2

 .(1 2 ) 



642

(0)



642

ˆ H

642



642





(0) 642

 

ˆ N 2 





 1 642



1 4

 

x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S y z x 1 2



 (1 30

4 6   



4   

2  6 )(1 2 ) 





 





27 4

27    d 4

2618546951 4759314560

 2 

 

27/2

20 )(1 12 1  2

 .(1 2 ) 



660

(0) x

( 0) z

( 0)



660

ˆ H

660



660

ˆ N





( 0) 660

 





 1 660





1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ ( 0) S S S y 1 2



 (1 30



4 





6 2 )







 d









27 4

13970291109 23796572800

2  

 

27 / 2

2  1  2

 .(1 2 ) 



840

(0)



840

ˆ H

840



840





(0) 840

 

ˆ N 2 



 1 840





1 4



 

x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S y z x 1 2



 2

 (1 56

2 



420



6  560 )(1 12



4    6 )





 





27 4

27    d 4

11329720657 19037258240



27/2

4  1  2

 .(1 2 ) 



822

(0) x

(0) z

(0)



822

ˆ H

822



822

ˆ N





(0) 822

 







 1 822



1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 56

2 



4 



560

6 

 )(1 2



2 2 )







 d









27 4

5389528059 9518629120

2  

 

27 / 2

420 1  2

 .(1 2 ) 



1020

(0)



1020

ˆ H

1020



1020





(0) E 1020

 

ˆ N 2 





 1 1020



1 4

 

x y z , ,



ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z y x 1 2



 (1 90

2 

 1260

4 



6 



3150

8 



2  252 )(1 2 )

10 





 





27 4

27    d 4

29784110163 47593145600

 2 

27/2

4200 1  2

 .(1 2 ) 

(0)

 

n n nE

x y z

 Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 14 theo k

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 31

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



1400

(0)



1400

ˆ H

1400



1400





(0) 1400

 

ˆ N 



 1 1400





1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z x y 1 2



 1 82

2 



6006

4 



60060

6 

10 



84084

12 



3432

14 



 



8 210210  252252   31/ 2 1/ 2  (1 2 )  

31 4

2  



 

954451 104814 148912819200

31 4

 



1022

(0) x

(0) z

(0)



1022

ˆ H

1022



1022





(0) 1022

 

ˆ N 





 1 1022



1 4





x y z , ,



ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 90

2 



1260

4 



6 



3150

8 



252

10 

t 2 2  )(1 2 )









 d



31 4

2  

31/ 2

4200 1  2

 .(1 2 ) 







1336250281443 22003200 248436

31 4

Z  



1040

(0) z

(0) x

(0)



1040

ˆ H

1040



1040





(0) 1040

 

ˆ N 





 1 1040



1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



t 2

 (1 90

2 



1260

4 



4200



3150

8 



252

10 

 )(1 12

4   

)







 d



31 4

2  

31/ 2

6  1  2

 .(1 2 ) 

Z 







83797862560571 49061732019200 1

31 4





1220

(0) z

(0) x

(0)



1220

ˆ H

1220



1220





(0) 1220

 

ˆ N 





 1 1220



1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 132

2 



2970

4 



18480

34650

8 



16632

10 



12 

2  )(1 2 ) 

6 

t 924







 d



31 4

 2 

31/ 2

 1  2

 .(1 2 ) 







80459053 28803 13551066547200

31 4

Z  



644

(0) x

(0) z

(0)



644

ˆ H

644



644

ˆ N





(0) 644

 





 1 644





1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 30

2 



20 )(1 12

6 



  

4 2 6 )







 d









31 4

503222614465 993744880128

2  

 

31/ 2

4  1  2

 .(1 2 ) 



662

(0) x

(0) z

(0)



662

ˆ H

662



662





(0) 662

 

ˆ N 



 1 662





1 4

Z 





x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 30

2 



4 



6 2 20 ) (1 2







2 2 )







 d









31 4

6379165669237 24843622003200

 2 

 

31/ 2

90 1  2

 .(1 2 ) 

 d

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 32

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



842

(0) x

(0) z

(0)



842

ˆ H

842



842





(0) 842

 

ˆ N 





 1 842



1 4





x y z , ,



ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 56

2 



420

4 



560



70 )(1 12



8 

4   

 )(1 2

2 

)







 d



31 4

2  

31/ 2

6  1  2

 .(1 2 ) 









245352803741 473211847680

31 4





860

(0) x

(0) z

(0)



860

ˆ H

860



860





(0) 860

 

ˆ N 





 1 860



1 4





x y z , ,



ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 56

2 



420

4 



560



70 )(1 30



8 

2 



4 



6 

)







 d



31 4

2  

31/ 2

6  1  2

 .(1 2 ) 









1093669431691 1987489760256

31 4



(0)

n n nE

x y z



1600

(0)



1600

ˆ H

1600



1600



(0) E 1600

 

ˆ N 2 



  1 1600





Z 

1 4  

x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z y x 1 2



t 10 

 1 240

2 

 10920

4 

 160160

6 



 168168

12 



411840

14 

 12870

16 



 

 Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 16 theo k



8 20180   900900 1/2 35/2  (1 2 )  

35 4

2  



 

1212644958676777 1895759463628800

35 4

 



1420

(0)



1420

ˆ H

1420



1420





(0) E 1420

 

ˆ N 2 





 1 1420



1 4  

x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z y x 1 2



t 10 

 (1 182

2 



6006

4 



60060

6 



84084

12 



14 





 

2  3432 )(1 2 )  d



35 4

210210 1/2 

8   252252 23/2  (1 2 ) 

 2 



5 3   4

57608158371683 101558542694400

 



1240

(0)



1240

ˆ H

1240



1240





(0) E 1240

 

ˆ N 2 





 1 1240



1 4

 

x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z x y 1 2

 (1 132

2 



2970

4 



18480

6 



t 12   924 ).(1 12



8 



10 

4    6 )



 

 d

   2

35 4

Z 

16632 35 2

34650 1  2

 (1 2 ) 



 

048573231103 1414 2640522110054400

 

35 4

 d

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 33

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



1222

(0)



1222

ˆ H

1222



1222





(0) E 1222

 

ˆ N 2 



 1 1222





1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S y z x 1 2



t 924

 2

 (1 132

2 



2970

4 



18480

16632

10 



12 

2 2  )(1 2 )





 

 1/ 2

 35/ 2



6  

8 34650    (1 2 )

35 4





 

40742261 6761001 1320261055027200

35 4

 



1060

(0)



1060

ˆ H

1060



1060





(0) E 1060

 

ˆ N 





 1 1060



1 4

 

x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S y x z 1 2



t 2

 (1 90

2 



1260

4 



4200

6 

8 



252

10 

 ).(1 30

6 4    20 )





 

 d



35 4

2  

35/2

3150 1  2

 .(1 2 ) 



 

72490711 02959 13897484789760

35 4

Z  



1042

(0)



1042

ˆ H

1042



1042





(0) E 1042

 

ˆ N 2 





 1 1042



1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z x y 1 2



t 2

 (1 90

2 



1260

4 



4200

6 

8 



252

10 

 ).(1 12

4   

2  6 ).(1 2 ) 





 

 d



35 4

 2 

35/ 2

3150 1  2

 .(1 2 ) 



 

651282 340298999 1320261055027200

35 4

Z  



880

(0) x

(0) z

(0)



880

ˆ H

880



880





(0) 880

 

ˆ N 





 1 880



1 4





x y z , ,



ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 56

2 



4 



560

6 



8 2  70 )







 d



35 4

2  

35/ 2

 .(1 2 ) 

420 1  2









70078152027853 135411390259200

35 4





862

(0)



862

ˆ H

862



862





(0) 862

 

ˆ N 



 1 862





1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S y z x 1 2



 (1 56

2 



420

4 



560

6 

2 



4 

2  20 ).(1 2 )

6 



t 



8 









 d



35 4

 2 

35/ 2

70 ).(1 30 1  2

 .(1 2 ) 







213802182259759 7018342400 44008

35 4

Z  

 d

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 34

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



844

(0) z

(0) x

(0)



844

ˆ H

844



844





(0) 844

 

ˆ N 





 1 844



1 4





x y z , ,



ˆ ˆ ˆ (0) S S S y 1 2



 (1 56

2 



420

4 

6 



70 ).(1 12



8 

  



t 4 2 6 )







 d



35 4

2  

35/ 2

560 1  2

 .(1 2 ) 









84432151660319 176034807336960

35 4





664

(0) x

(0)



664

ˆ H

664



664





(0) 664

 

ˆ N 



 1 664





1 4





x y z , ,

Z 

ˆ ˆ ˆ (0) (0) S S S z y 1 2



6 2

 (1 30

2 



20 ) .(1 12





4    6 )







 d



35 4

2  

35/ 2

4  1  2

 .(1 2 ) 







34900487521241 73347836390400

35 4

 





16  9

Thay vào ta tính được bổ chính bậc hai ứng với các trường hợp k





khác nhau ta được:

16  9

Bảng 2.1 Bổ chính bậc hai ứng với các trường hợp k khác nhau khi

(2)

E



E

 

E

Tổng k

0E

0 ( 0) 0

( 2) 0

-0.42441318157838759

-0.034703451862221735

-0.45911663344060933

-0.00000000000000000 2

-0.049416529636782768

-0.47382971121517036

-0.056813370780071474

-0.48122655235845906

-0.061569668570646253

-0.48598285014903384

-0.064712943020249048

-0.48912612459863665

-0.066913184271357377

-0.49132636584974497

-0.067797019939176342

-0.49221020151756393 16

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 35

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Khóa luận tốt nghiệp

2.3 Nhận xét

Giá trị của bổ chính năng lượng bậc hai tăng khi k tăng, nhưng hội tụ về

-0.5.

Như vậy, bằng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn, ta tính được mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa tính bổ chính

-0.42441318157838759

(0) E  0

là , khá gần với kết quả thu được của bài toán

chính xác

0E = - 0.5 .

Khi bài toán có xét thêm bổ chính bậc hai thì giá trị của mức năng lượng

cơ bản trong phương pháp toán tử tiến gần đến giá trị mức năng lượng cơ bản trong bài toán chính xác. Điều này chứng tỏ chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ và có thể tính chính xác đến bậc tùy ý. Nếu tiếp tục thêm vào các giá trị bổ chính bậc cao hơn, ta sẽ thu được giá trị mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử chính bằng giá trị thu được trong bài toán giải chính xác. Tuy nhiên ta thấy khi tính theo lý thuyết nhiễu loạn thì tốc độ hội tụ về -0.5 là chậm.

Dựa trên kết quả thu được về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro cho phép ta khẳng định tính đúng đắn của phương pháp toán tử. Đây chính là cơ sở bước đầu giúp chúng ta tin tưởng phương pháp toán tử để áp dụng cho những bài toán phức tạp hơn.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 36

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Chương 3

VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO

3.1 Vai trò của tham số tự do trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro



 







 a







  2

 1    

   

   

   

   

ta định nghĩa Trong biểu thức  a

các toán tử sinh, hủy theo tham số tự do . Trong hai biểu thức trên thì  là

0 thu được từ phương trình

tham số đưa vào để nghiệm của có ˆ H   n n

(0)



giá trị gần đúng với trường hợp hệ không nhiễu loạn. Ta xác định  từ điều kiện cực tiểu hóa năng lượng tại mức cơ bản (dựa trên nguyên lý biến phân):

nE   

(3.1)

Tiêu chí để chọn giá trị ω theo phương pháp toán tử đã được thảo luận trong một số công trình[14] và đã chỉ ra rằng phương trình (3.1) cho ta kết quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau. Khi đó,

tham số tự do  được gọi là thông số biến phân.

3.2 Sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến phân

(0)

Trong bài toán nguyên tử hydro, bằng phương pháp toán tử, chúng ta tìm

n n nE

x y z

được sự phụ thuộc của bổ chính năng lượng bậc hai vào thông số biến phân  khi tính tới tổng k=4,6,8,10,12,14,16. Thay các yếu tố ma trận của ˆV và

vào công thức (2.20) ta được sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên

0E vào  như sau:

tử hydro tính đến bổ chính bậc hai

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 37

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Khóa luận tốt nghiệp



 

E 0

(0) E 0

(2) E 0

ω +

2 4

2ω 3 π

ω 5 π

 3 -  

  





ω - 2

3 4

ω π

ω) -

ω -

ω) -

ω -

7 4

3 ( ω - 4

11 4

 3 -   2 π

   19 ω 15 

2 π

193 ω 210 

  

  

  

  

6ω 10 π

2ω 14 π

 3 -  

  

  

  

ω) -

ω -

ω) -

ω -

3 ( ω - 4

11 4

3 ( ω - 4

15 4

2 π

1321 ω 1260 

2 π

14737 ω 20020 

  

  

  

  

3ω 14 π

5ω 14 π

  

  

  

2   



...

ω)-

ω-

ω) -

ω-

3 ( ω- 4

15 4

3 ( ω- 4

15 4

2 π

95353 ω 120120 π

2 π

22291 ω 24024 π

  

  

  

  

0E tương ứng. Dưới đây là đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử

Ứng với mỗi giá trị  khác nhau ta thu được giá trị của

0E vào .

hydro khi chưa có bổ chính và có bổ chính bậc hai

Xét  có giá trị nằm trong khoảng [0.005,3.5], ta thu được các đồ thị như sau:

Đồ thị 3.1 Sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi

chưa tính bổ chính vào thông số biến phân 

Đồ thị 3.1 cho thấy điểm cực tiểu trong phạm vi sai số trong Maple 13.0 có giá trị là =-0.56 và E0= -0.425.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 38

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Đồ thị 3.2 Sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi

tính bổ chính ứng với trường hợp tổng k=4 vào thông số biến phân 

Đồ thị 3.2 cho thấy điểm cực tiểu trong phạm vi sai số trong Maple 13.0 có giá trị là =-0.578 và E0= -0.459.

Như vậy giá trị  thu được khi chưa tính tới bổ chính chưa phải là giá trị

tối ưu để E0 hội tụ về -0.5.

Khi  càng gần với điểm cực tiểu thì năng lượng sẽ càng tiến gần hơn về

-0.5. Do đó để năng lượng mức cơ bản của nguyên tử hydro hội tụ về giá trị -

0.5 tốt hơn chúng ta có thể điều chỉnh giá trị của . Xuất phát từ ý tưởng làm

cho  tiến gần tới điểm cực tiểu, em làm như sau: khi tính tới bổ chính bậc hai ứng với các trường hợp khác nhau của k em thu được biểu thức thể hiện sự

phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản vào . Dựa trên nguyên lý biến phân,

em sẽ tiến hành cực tiểu hóa để thu được giá trị . Sau đó, thay giá trị  vừa tìm được vào biểu thức tính năng lượng (tới bổ chính và tổng k đang xét). Quá trình lặp lại như vậy cho đến khi giá tri sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai số mong muốn thì dừng lại. Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần tìm ứng với sai số đã chọn.

0E là mức thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa

Vì mức năng lượng

năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến phân . Từ đó ta



(

 

)

 0

E 0

(0) E 0

( 2) E 0

d  d

xác định được giá trị của  như sau:

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 39

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Sử dụng phần mềm Maple 13.0 giải phương trình trên. Khi giải phương trình ta chỉ thu được một nghiệm thực, còn các nghiệm còn lại đều là nghiệm phức.

Ta chọn  ứng với trường hợp thực.

0E ta có được mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô trong

Thay vào

hệ không thứ nguyên ứng với các trường hợp khác nhau của k là:

Bảng 3.1 Bảng giá trị của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro ứng với các trường hợp tổng k=2,4,6,8,10,12,14,16

(2)

E



E

 

E



0E

0 (0) 0

( 2) 0

Tổng k

-0.42441318157838756

-9.7446487365589020E-22

2 0.5658842422

-0.034890694934422141

-0.45919305670815147

0.5843202394 4

-0.049752351462787974

-0.47396730311299750

0.5906080600 6

-0.057224704922558199

-0.48139536844151848

0.5932618313 8

-0.062026565713761798

-0.48617054929444285

0.5947467309 10

-0.065197566192105873

-0.48932533071091144

0.5956144618 12

-0.067415924374882971

-0.49153309757611557

0.5961681801 14

-0.068306441224705725

-0.49241971015353611

0.5963698558 16

3.3 Nhận xét

Qua hai bảng trên ta thấy, sự hội tụ của mức năng lượng cơ bản của

nguyên tử hydro phụ thuộc vào việc lấy tổng chỉ số k.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 40

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Từ bảng (2.1) và (3.1) ta thấy  thu được khi lấy cực tiểu hóa năng lượng khi đã bổ sung thêm bổ chính bậc hai lớn hơn so với giá trị  khi chỉ

lấy cực tiểu hóa năng lượng khi chưa có bổ chính. Nếu chúng ta tiếp tục tăng

tổng chỉ số k sau đó cực tiểu hóa thì giá trị  thu được làm cho năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi tính theo hướng này sẽ tiến về giá trị -0.5. Tuy nhiên quá trình tính như vậy gặp khó khăn vì phải tính nhiều số hạng, tốn thời gian và dễ gây nhầm lẫn cho người tính. Ngày nay do có xuất hiện các máy tính điện tử, nên phương pháp giải bằng số chiếm vị trí quan trọng rất lớn trong bài toán cơ học lượng tử. Nhưng liệu rằng kết quả có hội tụ tốt hơn hay không. Câu hỏi này sẽ được trả lời khi qua chương 4.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 41

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Chương 4

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH

CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA

NGUYÊN TỬ HYDRO

4.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp

Khi lấy tổng chỉ số k nhỏ, không cần tính đến các bổ chính bậc cao trong

sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, vẫn thu được giá trị năng lượng cơ bản tiến về gần -0.5 bằng cách bổ chính E0 thu được theo một sơ đồ vòng lặp. 4.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp[10]

Để tìm nghiệm của phương trình (1.1), không mất tính tổng quát ta có thể



giả thiết hàm sóng cho trạng thái n như sau:



x ( )



x ( )

 n

 k

 

k  0  k n )

(

(4.1)



Thay vào phương trình (1.1) ta có:





 k n



 k n

(4.2) ˆ H (  x ( )  x ( )  E x ( )  x ( ) C k  k C k  k  ˆ   V )  n        n    

*( ) n x



Nhân hai vế của (4.2) với rồi tích phân theo toàn miền biến số x, suy ra



 V





C V k





0 (

 k n

)

 k

(4.3)

*( ), j x



Bây giờ làm tương tự như trên cho  j  , suy ra n









C H j

C V k

E C n





0 (

 k n

)

 k

(4.4)



Viết (4.3) và (4.4) lại như sau:







E n

C V k

   k



 k n

(4.5) ,

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 42

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



(

E H C



)





n



C V k

    k 0  k n

(4.6) ,



ˆ x H ( )

x dx ( )



ˆ x V ( )

x dx ( )

 k



 

với ký hiệu các yếu tố ma trận:

Schrodinger (1.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng

n x ( )

jC , nghĩa là tìm được hàm sóng

Hệ phương trình đại số (4.5) - (4.6) có thể xem tương đương với phương trình nE và các qua công thức (4.1). Ta có sơ đồ hệ số

lặp như sau:

Nhập E0



(





E H C V )jj

C V k

 

k k

 

0 0

E0= 3 2  4 





E 0

C V 0 k

 



Sai số

Hình 3.1 Sơ đồ thuật giải vòng lặp

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 43

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

4.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

ứng với k = 4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp

Xây dựng chương trình tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro ứng với k=4, k=6, k=8 theo sơ đồ vòng lặp bằng ngôn ngữ lập trình Fortran. Ta thu được bảng giá trị

Bảng 4.1 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro ứng với

k = 4, k = 6, k=8 theo sơ đồ vòng lặp với sai số 10-8

k=4

Delta E E n

-0.09882629464362785 -0.47720546076987910 0

-0.09005402393450034 -0.46843319006075160 1

-0.09076437559362446 -0.46914354171987570 2

-0.09070641062877764 -0.46908557675502890 3

-0.09071112976056416 -0.46909029588681540 4

-0.09071074825738174 -0.46908991438363300 5

-0.09071076875766340 6 -0.46908993488391460

k=6

Delta E E n

-0.10151805176457380 -0.47989721789082500 0

-0.09090099819765718 -0.46928016432390840 1

-0.09187724579715541 -0.47025641192340660 2

-0.09178632601312876 -0.47016549213938000 3

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 44

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

-0.09179479855295016 -0.47017396467920140 4

-0.09179399747148706 -0.47017316359773830 5

-0.09179407414825140 -0.47017324027450260 6

-0.09179407226355152 7 -0.47017323838980270

k=8

Delta E E n

-0.12363865970634800 -0.50201782583259920 0

-0.10561452793589680 -0.48399369406214800 1

-0.10781803279054470 -0.48619719891679590 2

-0.10754220451129390 -0.48592137063754520 3

-0.10757662987859680 -0.48595579600484800 4

-0.10757233211268750 -0.48595149823893870 5

-0.10757286791361710 -0.48595203403986840 6

-0.10757280465897840 -0.48595197078522970 7

-0.10757281210069560 8 -0.48595197822694690

k=10

Delta E E n

-0.12414974273577710 -0.50252890886202840 0

-0.10555462792625330 -0.48393379405250450 1

-0.10783709169757730 -0.48621625782382860 2

-0.10754926103617220 -0.48592842716242350 3

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 45

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

-0.10758543611194200 -0.48596460223819330 4

-0.10758088702021010 -0.48596005314646130 5

-0.10758145656315670 -0.48596062268940790 6

-0.10758138536981380 -0.48596055149606500 7

-0.10758139661085890 -0.48596056273711010 8

-0.10758139286384350 9 -0.48596055899009470

4.4 Nhận xét

Giá trị bổ chính năng lượng cơ bản hội tụ về một giá trị. Tốc độ hội tụ

phụ thuộc vào việc lấy tổng chỉ số k.

Bổ chính năng lượng cơ bản ứng với k=4 tính theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn sau 6 vòng lặp là -0.46908993488391460 – lớn hơn khi tính theo hướng ở chương 3 tính đến bậc 4 là -0.45919305670815147. Khi tính tới tổng k =8 theo cách đã nêu ở chương 3 thì chúng ta thu được giá trị tính năng lượng ở mức cơ bản của nguyên tử hydro là -0.48139536844151848 trong khi dùng sơ đồ vòng lặp ứng với tổng k=8 sau 8 vòng lặp chúng ta thu được giá trị ổn định của năng lượng ở mức cơ bản của nguyên tử hydro là -0.48595197822694690.

Kết quả tính toán cho thấy giá trị năng lượng sẽ hội tụ khi k tăng.

Như vậy, khi sử dụng sơ đồ vòng lặp làm việc trên máy tính thì tốc độ

hội tụ sẽ tốt hơn và ít nhầm lẫn hơn lý thuyết nhiễu loạn.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 46

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI

Sau khi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Vai trò của tham số tự do và tính hội tụ của sơ đồ vòng lặp trong việc ứng dụng phương pháp toán tỬ cho bài toán nguyên tử hydro”, ngoài việc tiếp cận thêm một phương pháp mới trong việc giải bài toán của cơ học lượng tử và chỉ ra cách giải quyết hạn chế của lý thuyết nhiễu loạn, luận văn còn đưa ra một phương pháp vòng lặp tính toán bằng số trên máy tính. Phương pháp vòng lặp cho phép giảm bớt

khối lượng tính toán. Chúng tôi cũng đã thực hiện được mục tiêu đề ra trong phần đầu khóa luận.

Vì khả năng lập trình của tác giả còn hạn chế, nên trong chương trình tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro chỉ chạy đến tổng k=10.

Do đó hướng phát triển của tiếp theo của đề tài là tháo gỡ hạn chế của chương trình, chạy đến tổng k lớn hơn. Khi đó kết quả thu được chắc chắn sẽ tiến về gần giá trị chính xác hơn nữa.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 47

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Đức Châu, Sử dụng Maple trong toán sơ cấp và toán cao cấp,

NXB Khoa học và kĩ thuật

[2] Hoàng Dũng (1999), Nhập môn cơ học lượng tử, NXB Giáo Dục,

Trang 172-227, 312-327.

[3] Phạm Huy Điển, Tính toán và lập trình và giảng dạy toán học trên

Maple, NXB Hà Nội 2002.

[4] Thái Khắc Định, Tạ Hưng Quý, Vật lý nguyên tử và hạt nhân, NXB

Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 2007.

[5] Võ Văn Hoàng, Ngôn ngữ lập trình Fortran, NXB Giáo Dục.

[6] Đặng Quang Khang, Cơ học lượng tử, NXB Khoa học và Kĩ thuật

1996, Trang 210-226, 227-235, 262-268.

[7] Nguyễn Khắc Nhạp, Cơ học lượng tử, Đại học Sư Phạm Thành phố

Hồ Chí Minh, 2002.

[8] Phan Văn Tân, Ngôn ngữ lập trình Fortran 90, NXB Đại Học Quốc

Gia Hà Nội.

[9] Lê Thái Thanh, Giáo trình Phương pháp tính, NXB Giáo Dục, Trang

15-30, 91-98.

[10] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho exiton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kì, Luận án thạc sĩ, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hô Chí Minh.

[11] Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc (2009), Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro trong từ trường theo phương pháp toán tử, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh.

[12] Nguyễn Đức Thanh Tuyền (2009), Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro trong điện trường theo phương pháp toán tử, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh.

[13] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh. Cơ học lượng tử. Đại học Sư phạm

Hà Nội, 1996, Trang 164-170.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 48

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

[14] Hoang Quoc Khanh, Le Van Hoang, Komarov L. I. (1997), Convergence of the operator method and the free constant choice problem, Proc. Acad.Sci. Belarus, Phys.Math. ser.3, p.71-75.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 49

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

PHỤ LỤC

Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều[10]

1 Một số công thức toán tử thông dụng

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ AB C ,



ˆ ˆ ˆ ABC CAB ABC ACB ACB CAB A B C















 

 

 

ˆ ˆ ˆ  A C B 

 

 

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ A BC ,



ˆ ˆ ˆ  ABC BCA ABC BAC BAC BCA











ˆ ˆ  A B C B A C

 

 

 

  .

 

 

ˆ A



ˆ A

ˆ e B e = B+ A,B +

ˆ ˆ A, A,B +

+...

 

 

 

ˆ ˆ ˆ  A, A, A,B 

 

 

ˆ tA

ˆ ˆtA e Be



Chứng minh:

  t

ˆ tA



ˆ tA



ˆ tA





ˆ ˆ tA Ae Be

ˆ ˆ tA e BAe





ˆ ˆ, A B e

Xét hàm , đạo hàm theo t ta được:c

 

 

df dt

  t

ˆ tA



Tiếp tục tính tương tự ta có đạo hàm bậc k của như sau:



,...

ˆ ˆ ˆ  A A B 

 

 

 

 ˆ ˆ A A ,  

  

  

  

k d f k dt

trong đó giao hoán tử lấy k lần.

t  ta có:

  t





,...

Mặt khác, khai triển Taylor hàm tại điểm 0

  t



ˆ ˆ ˆ  A A B 

 

 

 

 ˆ ˆ A A ,  

  

  

  

t k

k d f k dt



  

  



t 0

t  ta có công thức cần chứng minh.

Cho giá trị

2 Các giao hoán tử thông dụng:

a a ˆ ˆ,

  

 



2ˆ ˆ a a ,





ˆ ˆ a a ,

ˆ a



ˆ a



 

 

 ˆ ˆ ˆ a a a , 

 

 

 



ˆ a



ˆ a

 ˆ ˆ a a ,



ˆ ˆ ˆ a a a ,

  2

ˆ a



2



 

 

 

 

  

  



SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 50

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



 ˆ ˆ ˆ a a a ,



ˆ ˆ a a ,





ˆ a

  ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a ,



 

 

 

 



 ˆ ˆ ˆ a a a ,



 ˆ ˆ a a ,

ˆ ˆ  a a

 ˆ ˆ a a ,

 

ˆ a



 

 

 

 



(

ˆ a

2 ) ,

 ˆ ˆ a a



(

ˆ a

2 ) ,

ˆ a

ˆ ˆ  a a

(

ˆ a

2 ) ,

ˆ a

  2

ˆ a





2

 

 

 

 



 ˆ ˆ ˆ a a a ,



2 ˆ ˆ a a ,

ˆ ˆ  a a

2 ˆ ˆ a a ,



ˆ a



 

 

 

 

 

 



ˆ a



 ˆ a

ˆ a

 ˆ ˆ   a a 2



  ˆ ˆ ˆ a aa 2

 

2(2

 ˆ ˆ a a





  1) 0,1



   

  

   

   ˆ ˆ ˆ  a a a a    

  



3 Toán tử sinh-hủy:



ˆ a





;

ˆ a





Toán tử sinh, hủy một chiều được định nghĩa như sau:

 2

1 

d dx

 2

1 

d dx

  

  

  

  

a a  ˆ ˆ,

. (A1.1)

 

  



ˆ ˆ aa











3.1 Giao hoán tử

 2

1 

d dx

1 

d dx

 2

1 1  2  

d dx

  

     

  

  

  

Ta có

 ˆ ˆ a a











 2

1 

d dx

1 

d dx

 2

1 1  2  

d dx

  

     

  

  

  



ˆ ˆ a a ,

ˆ ˆ aa



 ˆ ˆ a a



và

 

  

 2

2 



từ đây suy ra .



n n





ˆ a

(A1.2) 3.2 Chứng minh ˆ ˆa a n

n  công thức trên





Từ định nghĩa ta suy ra với trường hợp

a a

  0

0 0

 a a n





(



 ta sẽ chứng



. Giả sử ta có ˆ ˆ đúng: ˆ ˆ 0



n n

. minh ˆ ˆa a n

 1



 ˆ ˆ a a n



ˆ a

ˆ ˆ aa

ˆ a

  ˆ ˆ ˆ a a a













ˆ a



1 .



  ˆ ˆ 1  a a

Thật vậy:

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 51

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



 ˆ ˆ a a n



ˆ a

 ˆ ˆ a a







 ˆ a n





 1



n 1





ˆ a



n n



 1

(



1)!

a n



n n

Từ đây ta có

 1



ˆ a n



ˆ ˆ aa

ˆ a





 ˆ ˆ a a









 1

  ˆ ˆ ˆ a a a



1 n

 1



ˆ a





  1

 ˆ ˆ a a n









  ˆ ˆ ˆ a a a



1 n

1 n 1 n



  1

(



  1

n n



1 .

1 n 1 n 1 n

1 n

3.3 Chứng minh ˆ (A1.3)

 a n





Ta thấy rằng mỗi toán tử hủy có tác dụng “hủy” (giảm) đi một bậc của vector trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử hủy tác dụng lên vector trạng thái thì sẽ hủy đi bấy nhiêu bậc của nó.

 1



 ˆ a n





ˆ a





3.4 Chứng minh ˆ













 1 !

   

   

Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc của vector trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử sinh tác dụng lên vector trạng thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nó.

ˆ n a j



j n j

  1

 j

n j ,

 1

 ˆ j a n







 j

n j ,

 1

3.5 Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ+a,a



ˆ n a j



j a n ˆ

4 Nhận xét

Từ các tính chất (3.3, 3.4, 3.5) ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng một toán tử chứa cùng số toán tử sinh và toán tử hủy lên một vector trạng thái, thì sẽ không làm vector này thay đổi bậc, và ta gọi các toán tử như thế là toán tử

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 52

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

“trung hòa”; ngược lại nếu toán tử chứa số toán tử sinh – hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc của vector trạng thái. Đây là một tính chất rất quan trọng trong các tính toán đại số khi sử dụng biểu diễn toán tử và cũng chính là yếu tố để ta tiến hành việc tách toán tử Hamilton của hệ thành hai thành phần: trung hòa và nhiễu loạn.

Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn[10]

 Dạng chuẩn (normal) của một biểu thức toán tử được định nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu thức, toán tử sinh luôn về phía bên trái của biểu thức.

ˆa trái

phải. ˆa

 Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng hơn rất nhiều.

) thì

 )

)

Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0(

b   , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng

lợi dụng tính chất ˆ 0( và ˆ 0(

thái còn lại qua biểu thức chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng.

1 Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa:

Trường hợp này ta chỉ cần áp dụng các tính chất của giao hoán tử trên là

có thể đưa về dạng chuẩn.

 a a 2ˆ ˆ

2

Ví dụ: Đưa toán tử về dạng chuẩn ta thực hiện như sau:

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 53

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



 ˆ ˆ ˆ ˆ aa aa



ˆ a



 2 ˆ ˆ a a



  ˆ ˆ a a



 ˆ ˆ a a

ˆ ˆ aa 



 ˆ ˆ ˆ a aa   1   1

 ˆ ˆ a a



 

2 3

 ˆ ˆ ˆ  a a a

   ˆ ˆ ˆ ˆ  a a a a 1       1 1   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    a a a aa a 1 2    ˆ ˆ ˆ a a a 1



 

2 3

  ˆ ˆ ˆ ˆ  a a a a



ˆ a







 

2 4

 ˆ ˆ a a



ˆ a





Các phép biến đổi trên thường được áp dụng khi các biểu thức toán tử có dạng như các đa thức.

2 Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh, hủy:

Đối với dạng hàm e mũ thì khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khó khăn. Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn

 

ˆ a

 ˆ t a



sẽ có bậc lũy thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi khác như dưới đây.

Ví dụ:

ˆ,a a và số 1 tạo

a a ˆ ˆ, 

  

Vì ta có hệ thức giao hoán nên từ đây các toán tử ˆ



ˆ a

t a ˆ ( )

( )

 ˆ t a



thành một đại số kín. Như vậy ta có thể viết:



g t a h t ˆ ( ) e



  F t

( ),

( )

. (A2.1)

t g t h t theo các bước sau: ( ),

và tiến hành tìm các hàm số

 

ˆ a



 ˆ t a



Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A2.1) theo biến số t ta có:

ˆ a







     ˆ t a F t

    ˆ g t aF t

    h t F t

 ˆ a e



. (A2.2) 

 1F

 ta có:

 F t

  t

  F t F

  t





h t ( )



ˆ g t a ( )



ˆ t a ( )



Định nghĩa hàm nghịch đảo của là sao cho

  t

(A2.3)

 1F

  t



ˆ t a ( )



ˆ t a ( )

ˆ a

ˆ   a



ˆ ae



Nhân hai vế (A2.2) cho và thu gọn các số hạng ta được:

  ˆ t a

  g t e

  h t '

(A2.4)

Bước hai: Sử dụng công thức quen thuộc (phụ lục 1):

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 54

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

ˆ A



ˆ A

ˆ e B e = B+ A,B +

ˆ ˆ A, A,B +

+...

 

 

 

ˆ ˆ ˆ  A, A, A,B 

 

 



ˆ t a ( )



ˆ t a ( )

ˆ ae

ˆ   a

  

...

ˆ a

cùng với hệ thức giao hoán của ˆ ˆ,a a ta có:

  t

 ˆ ˆ a a , 

 



ˆ a

ˆ   a







Thay vào (A2.4), ta có:



 





  ˆ t a '   ˆ t a

     ˆ t f g t a '     ˆ g t a h t

  h t '   g t '

  t

(A2.5)

Bước ba: Đồng nhất hai vế của (A2.5) và chọn điều kiện biên





  t    g t '   g t '

1,   t

  h t '

    

Đồng nhất hai vế, ta có hệ phương trình:

c 1 c

, ,

  t   t 2





  h t

c t 1

c 3

  t f   g t t 2

      

Giải hệ này ta có:

Dựa vào biểu thức (A2.1), ta có điều kiện khi t = 0 thì:

f(t) = g(t) = h(t)= 0.

 

ˆ a

 ˆ t a



Suy ra: c1= c2 = c3 = 0.



ˆ a

ˆ ta

/ 2

 ˆ t a



Như vậy dạng chuẩn của là:



ˆ ta e e

. (A2.6)

Phụ lục 3 Toán tử thế năng[12]





t x (



)

 

ˆ U H







2tx

e

Ta xét riêng thành phần hàm  xS :

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 55

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Khóa luận tốt nghiệp



 a





  x

 a



 2 x

Từ biểu thức (A1.1) ta có





 2 x



 2

 a



 a





 a



 

1 2

   a a x



 A x

  A x



 N

















 2 x



 A

(

 A



 N



 x

 1 )



Suy ra:



 xS



e 

(A3.1)

, 2

Tiếp theo ta đưa toán tử trên về dạng chuẩn theo các bước sau:

ˆ xN

Bước 1: Chứng minh ba toán tử  tạo thành một đại số kín 1 ˆ ˆ A A ,

ˆ ˆ A N , 2

ˆ N

  1 x A ,



ˆ ˆ  A A , x x

 

  ,  

  1 ,   

  

bằng cách kiểm tra các giao hoán tử sau:

Từ biểu thức (A1.2) và (A1.2) ta có:

 ˆ ˆ a a x

 x

 2



   A A x x

2   a a x

 2   a a x





 a





    a a a x x

    a a a x







 a

   A A , x x







  



      A A , x x



  a a x



  a a x



      a a a a x x x





 



  

  







ˆ N x

 1

 ˆ ˆ N N x

 1

ˆ N





ˆ ˆ  A A , x x

 ˆ N  2 2

 1  1   1

 

 

ˆ ˆ A N , 2

 ˆ N ,  ˆ N  1 ˆ ˆ a a x

4 ˆ A x

 

 1 

ˆ N



 1x ,

ˆ  A x

4 ˆ  A x

 

 

Tương tự ta có





 N

 1

   A A  x



 N

   A A  x

 1

)

  x

ˆ N





 ( x

)

 A

  A x



  1





 2 x

 ( x

 S



Bước 2: Do các toán tử là đại số kín nên ta có thể viết (A3.1) dưới dạng:

(A3.2)



)

 x

 ( x

t  2 x



 0

với là các hàm số cần tìm với điều kiện biên





  x

 x

(A3.3)

Bước 3: Xây dựng hệ phương trình cho các hàm số cần tìm. Lấy đạo

x :

hàm hai vế của (A3.2) theo

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 56

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

 1

   ˆ2 A A N   x x x

ˆ N 2 x

  A x

 A x



  1







  x

  x e

  g x e

  h e x





ˆ ˆ ˆ2    A A N x x x

 

  1

ˆ N 2 x

  A x

 A x

  A x

 A x



  1

     A e x x 

  1



  x



' g

f e

  h e x



' h

f e

  g x e

   x

ˆ2 N x

   x

ˆ   h A e x x



f   1

(A3.4)

 1



ˆ2 N

  x



 A



 A

 x





  1

  x

Tiếp theo ta nhân hai vế với toán tử nghịch đảo



ˆ N 2 x

  A x

 A x

  A x



  1



  1



  x





  g x e

  h e x

  h  e x

  g  x e

 e



 1

   ˆ2   A A N x x x

    f  A e x x



ta được:

ˆ N 2 x

 A x

  A x



  1



  1



  x

  h e x

  h  e x

   g x e

 e



' g

f e

  g x e

   x

ˆ2 N x



 1

ˆ N 2 x

 A x

  A x





  1



  x

   h e x

  g  x e

 e

  g x e



' h

   x

  A x



  x





 e



 1

   ˆ2   A A N x x x

f e     '  A g  x x

   x

ˆ N 2 x

  1     h Ae x x 





 1

ˆ N 2 x

  A x

  1   1





  x



' h

f e

  g x e

    g  x Ae x

 e

   x

 S 

(A3.5)

  

   AB C ,















 

 

  

   A BC ,



       ABC BC A ABC B AC B AC BC A











 

                A C B ABC C AB ABC ACB ACB C AB A B C              A B C B A C  

 

 

 

 t A

Ta có



t A  e Be

  t

 t A



 t A



 t A



   t A Ae Be

   t A e B Ae





 , A B e

 

 

Xét hàm , đạo hàm theo ta được:

 t A



Tương tự ta có đạo hàm bậc k của f(t) như sau:



,...

k d f k

    A A B , 

 

 

 

   A A , 

 

 

 

, trong đó giao hoán tử lấy k lần.





,...

  t



    A A B , 

 

 

 

   A A , 

 

 

 

t k

k d f k dt

t k



  

  



Mặc khác, khai triển Taylor hàm f(t) tại điểm t0=0 ta có:

  A e Be

 A  

 B



  A B ,



...

 

    A A B , 

 

 

 

Khi t=1 thì

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 57

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

  A e Be

 A  

 B



  A B ,



...

 

 

    A A B , 

 

 

 





  x

ˆ  A x

  x

ˆ  A x

ˆ N





ˆ N



  x

ˆ  A x



 1



   1

ˆ N



ˆ N



  x



  1



  1



  x

Sử dụng công thức tổng quát ta có:



ˆ A e x





  x

ˆ  A x

  x

ˆ  A x





ˆ N



ˆ A e x

ˆ A x

  x

ˆ  A x

ˆ A x 

   1

(A3.6)



ˆ N 2



ˆ N 2

1 4



ˆ ˆ   A A x x

  x

ˆ   A g x

  x

ˆ  A x



Thay (A3.6) vào (A3.5) ta được:

  

   1 

' h

 4 e



 f

ˆ N 2



  x

ˆ A x

  x

   x

ˆ  A x

  

  x    1

 

 

  

 







' h 4

 4 e



ˆ2 N x

  x

     f x

  x

ˆ  A x

 ˆ ˆ  A A A x x



  x

' h





' h 2

 4 e



   4 e



   1   x

ˆ A x

  x

ˆ N 2 x

 1

g 4 

  x 

(A3.7)

 4





  f

  1

Đồng nhất hệ số trước các toán tử giống nhau ta có hệ phương trình



  x



  x

 

(A3.8)

    e

 4



'2 h

  f

 

(A3.9)



  x

(A3.10)

Bước 4: Giải hệ phương trình (A3.8), (A3.9), (A3.10) với các điều kiện

(A3.3) ta được:



 



    1 2



  x

 x  1 2  x







 



Thay (A3.10) vào (A3.9)



 ln 1 2



  x

 x

 1 2

 x

 



 

Tương tự ta có



  x

 x  1 2  x

  1 2



 x

và

Thay các kết quả vừa tìm được vào (A3.2) ta được

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 58

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ2 N



  x

ˆ  A x

ˆ A x



  1

 S





ˆ  A x

ˆ A x



ˆ2 N





 x



  1 ln 1 2

 x  1 2  x

1 2





ˆ  A x

ˆ A x



 ln(1 2

)

 x

ˆ N



  ln 1 2



 x

 x  1 2  x

1 2





ˆ  A x

ˆ A x

ˆ N



  ln 1 2



 x

 x  1 2  x



ˆ S



1  1 2

 x

xS theo chuỗi Taylor ta được:



;





 ln 1 2



 x

 x

 x

 x  1 2  x





ˆ S





Đặt: , khai triển 

i i  x

ˆ  A x

ˆ m m  N x x

l  x

ˆ l A x



  1 i !

  1 m !

  1 l !

1  1 2

 1

 x

 1   

  1      

   

 i m 2



(A3.11)

m ˆ m m  N x x

2 i  x 2

 

  1 m !

 m 1

   1 ˆ ˆ ˆ  i m i m i 2   A N A x x x x x 2   ! i m !

 m l

 i l









   ˆ S x ˆ ˆ  i i A A x x 1  1 2  x 1  i !  1   

l ˆ l l  A x x

i ˆ  i i  A x x

 i l  x



 

  1  i    i l   1 l !

 i m  1 ,    l i   1 i !

  1 m l ! !

  1 i l ! !

m l

 , 1

 1

  , 1  i l    l i

 i m

  i l m





(A3.12)     ˆ ˆ l m m l  N A x x x x ˆ ˆ  i l A A x x



  1 i m ! !

  1 i l m ! ! !

 1 i m ,

  i l m , ,  1    l i

 ˆ ˆ  i m i m  A N x x x x ˆ ˆ ˆ  i l m i m l    A N A x x x x x

   

ˆ S



ˆ S



ˆ S

 0 x

' x

Ta viết (A3.12) dưới dạng:

 0ˆ xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử

 0ˆ xS khi tác dụng

với

 i m 2



lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.





ˆ   0 S x

m ˆ m m  N x x

ˆ ˆ  i i A A x x

i 2  x 2

 

  1 m !

1  1 2

 1 m

 x

1  i !

   1 ˆ ˆ ˆ  i m i m i 2   A N A x x x x x 2   ! i m !

 1   

  1  i    i l

  i m , 1     l i

   

'ˆ xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử

'ˆ xS khi tác dụng lên

(A3.13)

vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 59

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

 m l









ˆ ' S x

l  ˆ l m m  N A x x x x

l ˆ l l  A x x

i ˆ  i i  A x x



 

  1 m l ! !

  1 l !

  1 i !

1  1 2

 , 1

 1

 x

   ml

 i l

 i m

  i l m







 i l  x

ˆ ˆ  i l A A x x

ˆ ˆ  i m i m  A N x x x x

ˆ ˆ ˆ  i l m i m l    A N A x x x x x



  1 i l ! !

  1 i m ! !

  1 i l m ! ! !

 1 i m ,

  , 1  i l    l i

  i l m , , 1     l i

   

(A3.14)



ˆ ˆ ˆ S S S y x

x y z , ,

 

Tương tự đối với ˆ , ta được:



ˆ ' S 

S S . Ta thay ˆ ˆ,y  ˆ ˆ   0  S S 

S S S vào biểu thức ˆ , S 



với



 



ˆ U H n k ,

ˆ   0 S 

ˆ ' S 













Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:

Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của ˆH [12]



ˆ n H k

nkH

1 Tính ˆ lA k







ˆ A k 

2  a k  

k 



 1



 2 1 l



2 l  a 









l 2

ˆ l A k  

k 













l 2

Từ tính chất của toán tử huỷ ta có:

2 Tính ˆ

xN k



 ˆ ˆ a a  





l 2





l 2

ˆ N k  

k 



 l k 2 



l 2

là toán tử trung hoà nên Do ˆ N

3 Tính ˆ

 iA k  



l 2

 2  a 





l 2





l 2





l 2



i 2

ˆ  iA k  

k 

 





 1 

Tương tự, từ tính chất của toán tử huỷ nên ta có:

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 60

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



4 Tính

  0 n S  

k 

ˆ   0 n kS ,  

2.l-1

 

1/2 )] .[

  2 l



  l i 2 2



1/2 )] k 

ˆ ˆ ˆ  i l A A k   

 (k 

 [ (k  



2.l-1



 

1/2 )] .[

  2 l





  l i 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ  i m l A N A k   

1/2 )] (k 

m l 2 ) k 

 (k 

 [ (k  





2i-1

1/2

ˆ S



{1+







i 2





)]

m m k  

k ( 

2   2

(0) , n k  



 [

 ) 

(-1) m!

1 (i!)

m=1

i=1







2i-1





, n k  

1/2





i 2





)]

(



m i 2 ) }

2i 2  

k ( 

k 



 [

 ) 

(-1) (i!)

(-1) m!

i=1

m=1

 1 2





 

Suy ra:

5 Tính



ˆ n kS

' n S k   

,  







ˆ ' S 

{ n 

m  

ˆ m N 

l ˆ l l  A  



(-1) l!

i (-1) ˆ  i  A   i!





l ˆ l l  A  

m  

ˆ m N 



l=1 (-1) l!

(-1) m! m=1 i (-1) ˆ  i  A   i!

l=1 i (-1) ˆ  i  A   i!

i=1 (-1) m!

i=1

l=1

m=1

i=1





}

ˆ  A 

m  

ˆ m N 

l ˆ l l  A k   



i (-1) i   i!

(-1) m!

(-1) l!

i=1

m=1

1 1+2

 

l=1  i l



 { n 

ˆ m N 

m  

n 

i ˆ  i  A  

l ˆ l l  A k   



(-1) i!

(-1) m!

(-1) l!

m=0

l=1

i=1

ˆ m  N k    

sohang



}

i ˆ  i  A  

l ˆ l l  A k   

ˆ m N 

m  



(-1) i!

(-1) l!

1 1+2

m=0

i=1

 

l=1  i l

(-1)   n  m!  sohang



 2 1 l



  )



l 2

n 

ˆ m m  N  

l ˆ l l  A k   

n 

ˆ m m  N  

k 



(-1) m!

(-1) l!

(-1) m!

l (-1) l   l!

m=0

l=1

m=0

l=1

 

  ( k   

1/ 2   



 2 1 l

  )



m  l 2 )

m  

l  

k ( 

, n k  



 ( 1) m !

l  ( 1) l !

 0

 1

     

1/ 2   

Xét số hạng 1:

Xét số hạng thứ 2:

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 61

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Khóa luận tốt nghiệp

i 2





i 2

ˆ ˆ ˆ  i m A N k   

(k 

m k 

k 

 1 

   

1/2  )    



i 2



  )



i 2

n 

ˆ m m  N k   

ˆ m m  N  

m k 

k 



i (-1) ˆ  i  A   i!

m (-1) m!

i (-1) ˆ  i  A   i!

m (-1) m!

i=1

m=0

i=1

m=0

  1

  (k   

1/2   





n 

ˆ m m N  



i (-1) ˆ  i  A   i!

m (-1) m!

l (-1) ˆ l l  A k    l!

i=1

m=0

l=1  l i



 2 1 l

i 2



  )



m l 2 )

  2 l

n 

m  

k ( 

, n k  

  2 2 l



i (-1) ˆ  i  A   i!

(-1) m!

l (-1) l   l!

i=1

m=0

  ( k      0

1/ 2   

  ( k      0

1/2  )    

l=1  l i

Xét số hạng 3:

2l-1





 



m  l 2 )

ˆ ' S 

m  

1/2 k )] ( 

 2



n , k  

(-1) m!

(-1) l!

 { m=0

l=1

l  l [  ( k   







1/2    )]

 2 i



n , k  

i (-1) i   i!

i=1

m=0

2l-1



1/2



 

  2 l

1/2   )]

}

m  

  2 2 l



 ( k 

n , k  

i (-1) i   i!

m (-1) m! m (-1) m!

i=1

m=0

 m m [ k ( k     =1 l (-1)  l [  ( k   l! 

l=1

m )] (k -2l) [  

1 1+2

 

Vậy:

Phụ lục 5 Chương trình viết bằng Fortran

Phương trình (4.5), (4.6) đưa đến việc giải hệ phương trình thuần nhất tuyến tính, hệ số là các Vjk, hệ số tự do là các Hjj để tìm các hệ số hàm sóng Cj.

 Viết code hàm con Hjj

FUNCTION H(K1,K2,K3) !HAM CON H(K1,K2,K3)

EXTERNAL FF2, SIMPSON

REAL*8 E,F,SAISO,PI,OMEGA

PARAMETER(PI=3.14159265358979323846)

PARAMETER(OMEGA=1.0)

INTEGER K1,K2,K3

E=0.00001

F=300

SAISO=0.00001

H=(0.75+(K1+K2+K3)/2)*OMEGA-

SQRT(2OMEGA/PI)SIMPSON(FF2,E,F,SAISO,K1/2,K2/2,K3/2,K1/2,K2/2,K3/2)

END FUNCTION

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 62

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

 Viết code tính tích phân theo phương pháp Simpson

! Hàm con tính tích phân bằng pp Simpson

FUNCTION SIMPSON(FF,A,B,EPS,M1,M2,M3)

EXTERNAL FF

REAL*8 A,B,EPS,H

REAL*8 I1,I2,So,S1,S2

INTEGER M1,M2,M3

INTEGER N,K,M

So=FF(A,M1,M2,M3)+FF(B,M1,M2,M3)

H=(B-A)/2.0

S1=FF(A+H,M1,M2,M3)

S2=0

N=2

I2=H(So+4S1+2*S2)/3.0

10 I1=I2

S2=S1+S2

H=H/2.0

S1=0

M=N

DO K=1,N

S1=S1+FF(A+(2K-1)H,M1,M2,M3)

END DO

N=2*M

I2=H(So+4S1+2*S2)/3.0

IF(ABS(I1-I2).GT.EPS) THEN

GOTO 10

ELSE SIMPSON=I2

END IF

END FUNCTION

 Viết code hàm con Vjk

!Ham con Vjk

FUNCTION V(K1,K2,K3,N1,N2,N3)

INTEGER K1,K2,K3,N1,N2,N3

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 63

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

REAL*8 E,F,SAISO,PI,OMEGA

PARAMETER(PI=3.14159265358979323846)

PARAMETER(OMEGA=1.0)

EXTERNAL FF2,FF1

E=0.00001

Eo= 0.75-2/(PI**0.5)

F=300

SAISO=0.00001

V=-SQRT(2OMEGA/PI)SIMPSON(FF2,E,F,SAISO,K1/2,K2/2,K3/2,N1/2,N2/2,N3/2)- OMEGA*FF1(K1,K2,K3,N1,N2,N3)/4

END FUNCTION

 Viết code hàm con FF1

FUNCTION FF1(K1,K2,K3,N1,N2,N3)

INTEGER K1,K2,K3,N1,N2,N3

IF(ABS(K1-N1)==2.AND.(K2-N2==0).AND.(K3-N3==0))THEN FF1=F1(K1,N1)

ELSE IF(ABS(K2-N2)==2.AND.(K1-N1==0).AND.(K3-N3==0))THEN

FF1=F1(K2,N2)

ELSE IF(ABS(K3-N3)==2.AND.(K2-N2==0).AND.(K1-N1==0))THEN

FF1=F1(K3,N3)

ELSE

FF1=0.0*F1(K1,N1)

END IF

 Viết code hàm con tính giai thừa

FUNCTION FACT(M) !Hàm con tính giai thừa

INTEGER M,t,Temp,FACT

IF(M==0) THEN FACT=1

ELSE

Temp=1

DO t=0,M-1

Temp=Temp*(t+1)

END DO

FACT=Temp

END IF

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 64

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

END FUNCTION

 Viết code hàm con F1(k,n)

FUNCTION F1(K,N) !Hàm con thành phần động năng của Vjk

IF(K>N) THEN

F1=(FACT(K)/FACT(N))**0.5

ELSE IF (K
F1=(FACT(N)/FACT(K))**0.5

END IF

END FUNCTION

END FUNCTION

 Viết code hàm con FF2

FUNCTION FF2(X,K1,K2,K3,N1,N2,N3) !Hàm con thành phần thế năng của Vjk

REAL8 X

INTEGER K1,K2,K3,N1,N2,N3

FF2=(F(X,K1,N1)F(X,K2,N2)*F(X,K3,N3))/(X**0.5(1+2X)**1.5)

CONTAINS

FUNCTION FACT(M) !Hàm con giai thừa

INTEGER M,t,Temp,FACT

IF(M==0) THEN

FACT=1

ELSE

Temp=1

DO t=0,M-1

Temp=Temp(t+1)

END DO

FACT=Temp

END IF

END FUNCTION

 Viết code hàm con F(h,k,n)

FUNCTION F(H,K,N)

INTEGER i

REAL8 Fo,F,H

Fo=0

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 65

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

IF(N==K)THEN

!Code S(0)

n,k

DO i=0,MIN(K,N)

Fo=Fo+(FACT(2K)H**(2i))/(FACT(2K-2i)FACT(i)FACT(i)(1+2*H)**(2*K))

END DO

ELSE

!Code S’

n,k

DO i=0,MIN(N,K)

Fo=Fo+(-1)**(K+N-2i)((FACT(2K)/FACT(2I))**0.5)

((FACT(2N)/FACT(2*I))**0.5)*H**(K+N-2i)/(FACT(K-i)FACT(N-i)(1+2H)**(K+N))

END DO

END IF

F=Fo

END FUNCTION

END FUNCTION

 Viết code giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss cải tiến ứng

với k=6

Viết chương trình tính các hệ số của hệ phương trình (3.6) và xuất kết quả dưới dạng 1 ma trận A(n,n+1) bằng phương pháp Gauss cải tiến.

Viết chương trình giải hệ phương trình (3.6) bằng cách đưa ma trận A(n,n+1) về ma trận đơn vị. Nghiệm của hệ tương ứng là các giá trị nằm ở cột thứ (n+1)

PROGRAM GaussTest

IMPLICIT NONE ! Xóa tất cả mặc định sẵn

INTEGER, PARAMETER :: N=6 ! Giải hệ 6 phương trình

REAL8 A(N,1:N+1),E,A1,B1,C1,D1,E1,F1,DELTAE,Eo,PI

INTEGER I, J

PI=3.14159265358979323846

OPEN(11,FILE='D:\baocao\cacHjj.dat',STATUS='OLD') ! mở file cacHjj.dat

READ (11,12) A1,B1,C1,D1,F1,E1

! Đọc các Hjj

12 FORMAT (6F21.17)

OPEN(10,FILE='D:\baocao\heso.dat',STATUS='OLD') !Mở file heso.dat

READ (10,12) ((A(i,J),J=1,N+1),I=1,N) !Đọc các hệ số

CALL Gauss( A ) ! Gọi đến thủ tục Gauss

!In ra màn hình "Nghiem cua he phuong trinh the hien o cot cuoi:"

DO I =1,N

PRINT, A(I,n+1)

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 66

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

END DO

DELTAE=3A(1,7)a1+3A(2,7)B1+3A(3,7)C1+A(4,7)D1+3A(5,7)F1+6A(6,7)E1

PRINT,'Eo=',Eo

PRINT,'DELTAE=',DELTAE

E=-4/(3PI)+DELTAE

PRINT,'E=',E

CONTAINS

SUBROUTINE Gauss( A ) ! Hàm thủ tục chuyển về ma trận đơn vị

REAL8 A(N,1:N+1)

REAL8 PivElt, TarElt

INTEGER PivRow, TarRow

DO PivRow = 1, N

PivElt = A( PivRow, PivRow )

A( PivRow, 1:N+1 ) = A( PivRow, 1:N+1 ) / PivElt

DO TarRow = 1, N

IF (TarRow /= PivRow) THEN

TarElt = A( TarRow, PivRow )

A( TarRow, 1:N+1 ) = A( TarRow, 1:N+1 )- A( PivRow, 1:N+1 ) TarElt

END IF

END DO

END DO

END SUBROUTINE Gauss

END PROGRAM GaussTest

SVTT: Mai Thị Đắc Khuê

Trang 67