CÁC KIẾN THỨC VÀ CÔNG THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC 12

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12 I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

AC BC

A

(KỀ chia HUYỀN) 1. sin  = (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos  =

AC AB

AB BC AB AC



B

C

H

(KỀ chia ĐỐI) 3. tan  = (ĐỐI chia KỀ) 4. cot  =

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) 2. AB2 = BH.BC 3. AC2 = CH.BC





2

2

2

1 AH

1 AB

1 AC

4. AH2 = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6.

a

c







2R

b sin A sin B sin C

A

III. ĐỊNH LÍ CÔSIN 1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC IV. ĐỊNH LÍ SIN

V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC





N

M

AM AN MN AB AC BC

AM AN  MB NC

B

C

a) ; b)

VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1. Tam giác thường:

ah

 b) S = p(p a)(p b)(p c)





1 2

2a

3

a) S = (Công thức Hê-rông)

4

a) Đường cao: h = ; b) S = c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) 2. Tam giác đều cạnh a: a 3 2

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3. Tam giác vuông:

1 2

a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

A

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

1 2

60 o

30 o

B

C

a) S = a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

3

a 3 2

8

5. Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o 2a b) BC = 2AB c) AC = d) S =

ah

1 2

6. Tam giác cân: a) S = (h: đường cao; a: cạnh đáy)

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 1

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

1 2

A

8. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

9. Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2 10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11. Đường tròn: a) C = 2  R (R: bán kính đường tròn) b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn) VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC 1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

N

M

2 3

1 3

G

C

B

P

b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN

a; d



b

2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Hình tứ diện đều: a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy) c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 2. Hình chóp đều: a) Có đáy là đa giác đều b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 3. Đường thẳng d vuông góc với mp(  ):

 d  (  )

 

d     a b  a,b 

a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(  ) Tức là:

a

d

A

   ( ) ( )       ( ) ( )      a ( ) d 

b)  d  (  )

O



d'

)

H



c) Đt d vuông góc với mp(  ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(  ) 4. Góc  giữa đt d và mp( ): d cắt (  ) tại O và Ad

ˆAOH = 

AH (     ) H (

  



F

Nếu thì góc giữa d và ( ) là  hay

)

5. Góc giữa 2 mp(  ) và mp( ):

    ( ) AB (  FM AB;EM AB



E

B



EM (

 

  ),FM ( )

    

M



ˆEMF = 

A

Nếu

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 2

thì góc giữa (  ) và ( ) là  hay 6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ): (hình ở mục 4)

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học Nếu AH  (  ) thì d(A, (  )) = AH (với H (  ))

B. KHỐI ĐA DIỆN

I/ CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH 1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

Bh

1 3

2. Thể tích khối chóp: V = (diện tích đáy là đa giác)

3. Thể tích của khối hộp chữ nhật: VKHCN= a .b.c II/BÀI TẬP:

b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

1. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a . 2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB a) Chứng minh rằng: SH  (ABCD) 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC



b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a. Tính thể tích của lăng trụ

= 600, đường chéo BC’ của

a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ

6. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300. 7. Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp . 9. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = BC = a . Mặt bên SBC tạo với đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC . 10. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a a) Tính thể tích của khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C

11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD), cạnh bên SB = . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình 3a chóp S.ABCD . 12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm cạnh BC . Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a . 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên hình chóp đều bằng

2a

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 3

nhau và bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 14. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 1200, góc BSC là 600, góc CSA là 900. Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC . 15. Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vuông góc nhau từng đôi .Tính thể tích khối tứ diện OABC và diện tích tam giác ABC . 16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Tam giác SAC là tam giác đều . Tính thể tích khối chóp S.ABCD .

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB = a , mặt bên SBC vuông góc với (ABC) , hai mặt bên còn lại cùng tạo với (ABC) góc 450. Chứng minh chân đường cao H của hình chóp là trung điểm BC và tính thể tích khối chóp S.ABC 18. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a . Gọi B’ là

trung điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC .Chứng minh SC vuông góc với mp(AB’C’) và tính thể tích khối chóp S.AB’C’

19. Cho hình chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông tại B cóAB = a , BC = b và SA = c, SA vuông góc với (ABC).Gọi A’và B’ là trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng ( CA’B’) chia khối chóp thành 2 khối đa diện.

a) Tính thể tích hai khối đa diện đó . b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. 20. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 450. Tính thể tích của khối chóp

S.ABCD

C. MẶT CẦU, MẶT NÓN, MẶT TRỤ

3

2

V

PHẦN 1: MẶT CẦU, KHỐI CẦU 1/ Tóm tắt lý thuyết: ( SGK) 2/ Caùc coâng thöùc:

S

R 4

4 R 3

Dieän tích maët caàu: Theå tích khoái caàu:

R 

3/ Các dạng toán thường gặp: Daïng 1: Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu baèng ñònh nghóa - Taäp hôïp nhöõng ñieåm M caùch ñeàu moät ñieåm O coá ñònh laø moät maët caàu taâm O, baùn kính OM - Caùc ñieåm cuøng nhìn ñoaïn AB coá ñònh döôùi moät goùc vuoâng laø maët caàu taâm laø trung ñieåm O cuûa

AB 2

AB, baùn kính .

2

2

- Taäp hôïp nhöõng ñieåm M sao cho toång bình phöông caùc khoaûng caùch töø M tôùi hai ñieåm A, B coá

R



2

k



AB

1 2

ñònh baèng haèng soá k2 laø maët caàu, taâm laø trung ñieåm O cuûa AB, baùn kính

S

Dạng 2: Bài toán 1: Hình chóp S.ABCD… có các cạnh bên bằng nhau ( SA = SB = SC….)

2

SM

 Vẽ SO  đáy (ABC…) , SO là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC…..  Trong mp ( SAO), đường trung trực của SA cắt SO tại I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC….  Bán kính của mặt cầu nói trên là R = ÍS=IA=….. và ta có SM.SA = SI.SO ( vì tam giác SMI và SOA đồng dạng),

R



SI





. SA SO

SA .2

SO

S do đó :

Bài toán 2: Hình chóp S.ABC… có : Cạnh bên SA  đáy (ABC…) và đáy ABC… nội tiếp đường tròn (O) I

2

2

2

2

 Vẽ trục dường tròn ngoại tiếp ABC… đó là đường thẳng d qua O và vuông góc với mp (ABC…), ta có d // SA A  Trong mp(d,SA), đường trung trực của SA cắt d tại I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC…. O  Bán kính của mặt cầu nói trên là :

C R  IA  AO  OI  AO  ( Vi OI  ) SA 4 SA 2 B

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 4

A Bài toán 3: Hình chóp có các đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dưới những góc

O





OA



OD

của AD và bán kính R = www.VIETMATHS.com Kinh Toán học vuông, chẳng hạn tứ diện ABCD có  ABD =  ACD = 900 Lúc đó, mặt cầu ngoại tiếp ABCD tâm O là trung điểm AD 2







OA



OD

 OB    OC  

AD 2 AD 2

Ta có : OA = OB = OC =OD

4/ Bài tập: Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC),  ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. Bài 5: Chöùng minh taùm ñænh cuûa moät hình hoäp chöõ nhaät cuøng naèm treân moät maët caàu. Bài 6: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi B, DA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC).

a) Xaùc ñònh maët caàu qua boán ñænh A, B, C, D. b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính baùn kính maët caàu trong a).

Bài 7: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø töù giaùc ñeàu coù SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy ABCD. SA = AB = a. a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu qua naêm ñieåm S, A, B, C. b) Tính dieän tích maët caàu.

Bài 8: Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc, OA = a, OB = b vaø OC = c. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù ñieän OABC. Bài 9: Cho hình choùp ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy laø. Tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. Bài 10: Cho hình töù dieän ñeàu ABCD caïnh a. Goïi B’, C’, D’ laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, AC, AD. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp cuït B’C’D’.BCD PHẦN 2: MAËT TRUÏ, MAËT NOÙN I/ LÝ THUYẾT A. MAËT TRUÏ

- Ñöôøng thaúng  laø truïc - Khoaûng caùch giöõa  vaø l laø baùn kính

1. Maët truï laø hình troøn xoay sinh bôûi ñöôøng thaúng l khi quay quanh ñöôøng thaúng  song song vôùi l. 2. Hình truï laø hình troøn xoay sinh bôûi khi quay moät hình chöõ nhaät quanh moät ñöôøng trung bình

xqS =2 Rh  ;

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 5

3. Khoái truï laø hình truï cuøng vôùi phaàn beân trong cuûa noù. 4. Caùc coâng thöùc Coâng thöùc tính dieän tích cuûa noù.

= 2 R.(h +R)

S = S + S



TP

xq

2

ñaùy

2

 V= R .h

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

Coâng thöùc tính theå tích

B. MAËT NOÙN

- Ñöôøng thaúng  laø truïc - Giao ñieåm O cuûa l vaø  goïi laø ñænh. - Hai laàn goùc hôïp bôûi l vaø  goïi laø goùc ôû ñænh.

xqS = Rl  ;

S = S + S = R.(l +R)

TP

xq

ñaùy

V=



2 R .h

1. Maët noùn laø hình troøn xoay sinh bôûi ñöôøng thaúng l khi quay quanh ñöôøng thaúng  caét l nhöng khoâng vuoâng goùc vôùi l. 2. Hình noùn laø hình troøn xoay sinh bôûi khi quay moät tam giaùc caân quanh truïc cuûa noù. 3. Khoái noùn laø hình noøn cuøng vôùi phaàn beân trong cuûa noù. 4. Caùc coâng thöùc Coâng thöùc tính dieän tích

1 3

Coâng thöùc tính theå tích

II. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Bài 1: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Bài 2: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. a)Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b)Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. Bài 5: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng  .

 SOA tại O)

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón

Tính: SO = lsin  ( Bài 6: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2  a2. Tính thể tích của hình nón Bài 7: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9  . Tính thể tích của hình nón Bài 8: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nó c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này Bài 9: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 6

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học Bài 10: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 7

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC

2

2

2

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN I. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: 1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:

(

x



x

)



(

y



y

)



(

z



z

)

AB



(

x



x

;

y



y

;

z



z

)

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

A

B

1. = 2. AB AB





 ak 

;

ka

;

ka

 ba





ab ; 2

3

2

3 b

 ka 1

2

3

ab ; 1 





ba . 11

ba . 2 2

ba . 3 3

 a b 

b 1 b



4. 3.

cos(

 ba ),





2

2

2

2

2

2

2

2





.





a 1

a 2

a 3

b 1

b 2

b 3

 ba .  ba .



3

b 3

 a 1 a  1  a   a 

2

2

2

 a





a



a

5. 6.

 ba .







a 1

2

3

ba . 1 1

ba . 2

2

ba . 3 3

2

3

 ba //

  bk

 a



7. 8.

 a

 ba . 

 b

0







0

ba . 1 1

ba . 2 2

ba . 3 3

a b

2

a b 3

a 1 b 1 a

a

a

a

2

3

2

3

9. 10.

;

;

b

b 3

b 2

a 1 b 1

b 3

2

   

   

11.

0

0

a 1 b 1  a 

không đồng phẳng

 a 

 cb . 

   ba ,       đồng phẳng 12. a, b,c cb .  14. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 y

B

B

B

A

B

A

B

A

B

A 1

A 1

A 1

   13. a, b,c 15. M là trung điểm AB  2 17. Véctơ đơn vị:

A

A

A







)1,0,0(

e 1

e );0,0,1( 2

e );0,1,0( 3

x z x x y y z z , , M M , , kx   k   ky k kz   k  2  2             16. G là trọng tâm tam giác ABC x   y   z   x C y C z C , , ,



)0,





Oz

,( yxM

)0,



; xKOyz

),0,( z



 G   18. 19. x B 3 )0,0,( xM z B 3 ; KOy    ),0,0( z Oxz













a

; ,0( ), zyNOxy     (AB AC).AD

S 

ABC

2 a 1

2 2

2 a 3

V 21. ABCD

1 2

1 6

20. y B 3 ; ,0( yNOx    AB AC

V



,

AD

AA '

/

/

/

22.

 AB

1 2  .

ABCD

.

/ DCBA

2/ Mặt cầu :

2

2

2

2.1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c), baùn kính R

S(I,



a





b





c



2R

 x:R)



 y



 z



2

2

2

2

(1)

vôùi

 



0) laø phöông trình maët caàu

2  A B C D

x



y



2 z + 2Ax + 2By + 2Cz





0 (2) (

D

2

2

R 

Ptrình

2    A B C D

2

2

2

Taâm I(-A ; -B ; -C) vaø

(S)

2R



   ax:

  Cho  cz Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp() :

vaø mp() : Ax + By + Cz + D = 0 2.2 Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu    by

2

2

2

2





a







c



R



 d > R : (S)   =   d = R :  tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän)

 x: : Ax

 By

 y 



Cz

  b z 0D 

 (S)   

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 8

 d < R :  caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt

o

2

2

2

(S)

2R



   by

   cz

   ax:

o

d

:

o

(1) vaø (2)

  

  

x y z

x y z

    

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học 2.3. Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu ta 1 ta 2 ta 3

+ Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t,

+ Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm

CÁC DẠNG TOÁN

  AC,AB

a/ Các dạng toán về toạ độ điểm, véctơ. Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc

AB 

DC

A,B,C laø ba ñænh tam giaùc  [

 ] ≠ 0 Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh  Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng  ABCD laø hbh 

 AD ≠ 0

  AC,AB

Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän:

+ Caùch 1: Chöùng minh [ ]. + Caùch 2: Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua 3 ñieåm A, B, C. Theá toïa ñoä D vaøo ptmp ñeå chöùng minh D(P)

Dạng 4: Hình chiếu của một điểm M trên các trục tọa độ và trên các mp tọa độ: Cho điểm M ( x , y , z ). Khi đó:

+ M1 là hình chiếu của điểm M trên trục Ox thì M1 ( x , 0 , 0 ) + M2 là hình chiếu của điểm M trên trục Oy thì M2 ( 0 , y , 0 ) + M3 là hình chiếu của điểm M trên trục Oz thì M3 ( 0 , 0 , z ) + M4 là hình chiếu của điểm M trên mpOxy thì M4 ( x , y , 0 ) + M5 là hình chiếu của điểm M trên mpOxz thì M5 ( x , 0 , z ) + M6 là hình chiếu của điểm M trên mpOyz thì M6 ( 0 , y , z ) Dạng 5:/ Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

  Ta đi chứng minh 2 véctơ AB, AC

2

2

cùng phương

S(I,







b

a





c



2R

 y



 z



+ (1) + Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2 b/ Caùc daïng toaùn về mặt cầu : Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A   2 x:R)

R 

Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB

AB 2

+ Taâm I laø trung ñieåm AB + Baùn kính

ta âm I







B .y

C .z

D

Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp

( S )

A .xI

I

R



d (I,

)  

2

2

I 2





C

A

2

2

x

2 z + 2Ax + 2By + 2Cz





0

Mc

B Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD Caùch 1 : Ptr mc coù daïng

2

2

IB

IA



2

2



IC

IA



2

2

ID

IA



 y  D A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giaûi tìm A, B, C, D     

Caùch 2: I laø taâm maët caàu Giaûi heä pt tìm I, baùn kính R= IA

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 9

Daïng 5: Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α)

2

2

2 z + 2Ax + 2By + 2Cz

0 (2)









y

x

D

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học Mc(S) coù ptr:

vtpt

   IA n

A,B,C  mc(S): theá toïa ñoä caùc ñieåm A,B,C vaøo (2). Theá toaï ñoä taâm m/c I(-A, -B, -C) vaøo pt (α) Giaûi heä phöông trình treân tìm A, B, C, D Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A( mặt tiếp diện)

n

Tieáp dieän () cuûa mc(S) taïi A :  qua A, Daïng 7: Tìm tieáp ñieåm H của mặt phẳng vaø mặt caàu : (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)

ad 

+ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù

+ Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

2

Daïng 8: Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán giöõa m/c S(I ;R) vaø mp():

r



IdR )

,(2



+ baùn kính

n

+ Tìm taâm H ( laø h chieáu cuûa taâm I treân mp())

ad 

ptr(d)

*Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù

 ptr( )

  

*Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt :

BÀI TẬP ÁP DỤNG

A. BAØI TAÄP VEÀ TOAÏ ÑOÄ ÑIEÅM TOAÏ ÑOÄ VEÙCTÔ:

 a = ( 2;1 ; 0 ),

 c = (2 ; 2; -1 ).

1: Cho ba vect¬

 b = ( 1; -1; 2) ,   b + 3 a - 2

 c b) Chøng minh r»ng 3 vt¬

 a ,

 b ,

 c kh«ng ®ång ph¼ng .

a) T×m täa ®é cña vect¬ :

 a = (1; m; 2),

 u = 4  b = (m+1; 2;1 ) ,

 a

 a





2: Cho 3 vect¬

  a x

 

 a

4

, biÕt r»ng: a) b) vµ

 3: T×m täa ®é cña vect¬ x

 c = (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ó 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .      vµ a x 0

   1; 2;1



  0; 2;1



 a



 b

  2a

   vµ b x

 2; 5;3 .



  , 5; 4; 1



 c) 4: Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M:

a) Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz. 5: Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M: a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mÆt ph¼ng Oxy c) Qua Trôc Oy.

6: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn l¹i. 7: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mÆt ph¼ng Oyz t¹i ®iÓm M. b) T×m täa ®é ®iÓm M.

 c

 a









  4;0; 1 ,





2

2

2

2

2

2

a) §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ?  b 8 . Cho ba vect¬ T×m:   3; 2; 1 .

.

;

;

;

)

a





b a )

2       c a b b c c a )

.

;

e

d

2



 a

) 3

) 4 .

    a c b

      a b b c b

 c



5

  

  

  1; 1;1 ,     b c .  

  

    a b c  



 a a )

1; 2;3

 b

 b





 vµ b



 4;3;1 ,

 2;5; 4 ,

  







  6; 0; 3 .

.

     b a ) 9. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a : 10. a) Trªn trôc Oy t×m ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1). b) Trªn mÆt ph¼ng Oxz t×m ®iÓm c¸ch ®Òu ba ®iÓm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1). 11. Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch ABC. c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ó tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d/ T×m to¹ ®é träng, trùc t©m cña ABC. e) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña ABC h¹ tõ ®Ønh A. f) TÝnh c¸c gãc cña ABC. g/ T×m täa ®é t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c ABC . 12. Cho bèn ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 10

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

2

2

2

2

2

2

0

a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét tø diÖn. b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diÖn cña tø diÖn ABCD. c) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A. d/ T×m to¹ ®é träng t©m cña tø diÖn ABCD. e/ X¸c ®Þnh to¹ ®é ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A xuèng mÆt ph¼ng (BCD)

4 2 y z y 

0  03

B. BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:  : x 2 2 z 3: 3

9  0

2  2

 x x

 2 y

 2 x

 2 z

z 

 6

x 

 3

6 y

z 

y 

y 

z 

4 x

x

b)  : S x d)   S 2: a)   S c)   S

  2 y  2 2 y z  3 9 Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ,biÕt :

b) §i qua ®iÓm A(2;1;-3) vµ t©m I(3;-2;-1).

a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. c) §i qua ®iÓm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thuéc 0x. d) Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ A(-1;2;3), B(3;2;-7) Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :

a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0. c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3). Bµi 4: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).





x

     vaø ñöôøng thaúng (d) :

1 0

y

z

 :

a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mp(ABC). b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. c/ ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp diÖn víi mÆt cÇu (S) t¹i A.

y 1

x 1

z  1 1   vôùi caùc maët a/ Vieát phöông trình chính taéc cuûa caùc ñöôøng thaúng laø giao tuyeán cuûa maët phaúng  phaúng toïa ñoä. Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ABCD bieát A , B , C laø giao ñieåm töông öùng cuûa maët phaúng  vôùi caùc truïc toïa ñoä Ox , Oy , Oz, coøn D laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vôùi maët phaúng toïa ñoä Oxy.  b/ Vieát phöông trình maët caàu (S) ñi qua boán ñieåm A , B , C , D. Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa

Baøi 5 : Trong khoâng gian Oxyz cho 

ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa maët caàu (S) vôùi maët phaúng (ACD). Baøi 6: Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho boán ñieåm A ( -2 , 0 ,1) , B ( 0 , 10 , 3 ) , C ( 2 , 0 , -1 ) , D ( 5 , 3 , -1 ).

a/ Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua ba ñieåm A , B , C. b/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm D vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P). c/Vieát phöông trình maët caàu (S) taâm D vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P).

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

 laø veùctô phaùp tuyeán cuûa   n

  1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT   1. Vectô phaùp tuyeán cuûa mp : n ≠ 0 2. Caëp veùctô chæ phöông cuûa mp :

 a

 // b

coù giaù song song vôùi () hoaëc naèm trong ()

 3 Quan heä giöõa vtpt n

 : n

 laø caëp vtcp cuûa ()  a  vaø caëp vtcp a

]

 = [ a

 , b

= (A;B;C):

 , b  , b  4. Pt mp() qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n

A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

 () : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n

= (A; B; C)

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 11

Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn: 1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học







1

x a

y b

z c

5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä

(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0





1

2

1

1

1

° 7. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (1) vaø (2) : caét



//





1

1

1

1

°

 





 C:B:AC:B:A 2 1 A C 1 A C 2 2 A C A C

2 D D 2 D D

1 B B 2 B B

2

2

2

2



    ( )

 ( ) A A B B C C

 0

°

1

2

1

2

1

2

ª







D

Ax o

By o

Cz o

d(M,

)

2

2

2

A



B



C

8.Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0

 n 

2.CAÙC DAÏNG TOAÙN

[ AB , AC ]



(

)

vtpt

 n

quaM trung ñieåm AB   AB

Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C :Qua A ( B hoaëc C). vtpt A Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB :

quaM

Daïng 3: Maët phaúng  qua M vaø  d (hoaëc AB) B

Vì (d) neân vtpt

 

 ....(AB)

 n

  ad

qua M



 ( )

Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0 



 / / neân v tpt n



V ì



 n









 n

/

  a ,a d

d

 

 



Daïng 5: Mp chöùa (d) vaø song song (d/) +Tìm 1 ñieåm M treân (d) + Mp chöùa (d) neân () ñi qua M vaø coù 1 VTPT



, nMN

 n

 

 

Daïng 6 Mp() qua M,N vaø () : mp qua M ( hay N), vtpt

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 12

Daïng 7: Mp() chöùa (d) vaø ñi qua A:

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

)(dM 

d ,

AM

 n



 a

 

 

+ Tìm . + ( ) ñi qua A, vtpt .

 a



)

(

,

,

a a a 1 2 3

 b



)

(

,

,

b b b 2 1 3 laø VTPT cuûa mp(P).

.

  [ , ] a b



 Ta coù Daïng 8: Laäp pt mp(P) chöùa hai ñöôøng thaúng (d) vaø (d/) caét nhau :  Ñt(d) ñi qua ñieåm M(x0 ,y0 , z0 ) vaø coù VTCP  Ñt(d/) coù VTCP  n

 n

  [ , ] a b



laøm VTPT.

 a



(

,

)

a a a 1 2 3

 qn



(

A B C ,

,

)

p



]

.  Laäp pt mp(P) ñi qua ñieåm M(x0 ,y0 , z0 ) vaø nhaän Daïng 9: Laäp pt mp(P) chöùa ñt(d) vaø vuoâng goùc mp(Q) :  Ñt(d) ñi qua ñieåm M(x0 ,y0 , z0 ) vaø coù VTCP ,

p

 n



]

 Ta coù laø VTPT cuûa mp(P).  Mp(Q) coù VTPT    [ , n a n q

  [ , a n q

d

laøm VTPT.  Laäp pt mp(P) ñi qua ñieåm M(x0 ,y0 , z0 ) vaø nhaän

 u

;d

2

1

 ] AB



qua A hay B   Pn [u ; 1d

B2: Ptmp (P): B1: Lấy A d1 ; B d2 ; tìm Dạng 10: Phương trình mp (P) chứa 2 đường thẳng song song d1 và d2   u  

d

 u

 u

,



2

d 1

 Pn

 

Dạng 11: Viết phương trình mp ( P ) đi qua điểm M và song song với 2 đường thẳng chéo nhau d1, d2

  qua M

Ptmp ( P) :

    Daïng12: Cm mp(P) // mp(Q) :  mp(P) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0  mp(Q) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0





C 1 C

A 1   A 2

B 1 B 2

2





 B B C C

D 1 D 2 mp(P)  mp(Q)

 mp(P) // mp(Q)

 . 0

A A 1 2

1

2

1

2

Daïng 13: Cm mp(P)  mp(Q) :







       M 4; 1; 2 , n

a, b,

 M 3;1;1 , n 

1;1;2 

 

 



  1;0; 0

 3; 0;1 

d, c, 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG  Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M vµ cã vtpt n biÕt    M 2;7; 0 , n    M 2;1; 2 , n

 0;1;3 Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña AB biÕt:







;5

A ; 1; 0 , B 1;

, B

;1

3;

a, A(2;1;1), B(2;-1;-1)

1 2

1 2

2 1 ; 3 2

  

  

  

  

  

  

 



M 2;1;5 ,

Oxy

c, c, b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) 1 3

 0



  : 2x y 3 0

 M 1; 2;1 ,

b, a,

  

d, c,

   Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng          

 

 A 1;    ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng   biÕt:   :x 2y z 10 

 (2;1; 2); (3; 2; 1) b



a) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trôc 0x,0z. c) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z.

b) Cïng ph­¬ng víi trôc 0y. c) Cïng ph­¬ng víi trôc 0z.

    M 1;1; 0 ,         : x z 1 0 M 3;6; 5 ,  Bµi 4 Lptr cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;3;2) vµ song song víi cÆp vÐct¬ a Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ : a) Cïng ph­¬ng víi trôc 0x. Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt :

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 13

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

);4,3,2(n

a) (P) ®i qua ®iÓm A(-1;3;-2) vµ nhËn lµm VTPT.

 a

 3; 2;1



  b 

vµ

b) (P) ®i qua ®iÓm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0. Bµi 8: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é. Bµi 9: Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q). Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:  3; 0;1 a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trôc víi 0x. Bµi 11: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .

a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mp (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vôùi c¹nh CD. Bµi 12: ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P)

a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)

Bµi 13: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mp y0z c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P).

III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

x



x



o

(d)

:

 Rt;

y



y



o

z



z



o

ta 1 ta 2 ta 3

    

z-z

x



x

y



y

o

o

0

(d)

:





1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3)

a

a

a

2

3

1

 có véctơ chỉ phương a

=

=

2.Phöông trình chính taéc cuûa (d) với a1, a2, a3  0

2

2

2

d1 : =(a1;a2;a3) và M1 (x1, y1, z1)  d1

=

=

 b =(b1;b2;b3) và M2 (x2, y2, z2)  d2

y-y 1 a 2 y-y b

x-x 1 a 1 x-x b 1

2

3



có véctơ chỉ phương d2 : 3.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng : Cho 2 đường thẳng: z-z 1 a 3 z-z b

2

 ba // dM  1

2

   

 a

 bk



 a

 bk



* d1 d2  * d1 // d2

nghiêmduyn

hât

vônghiêm

   ba //   dM  1     1)( cóI

'





x



'



2 y





* d1 cắt d2  * d1 chéo d2 

x 1 y 1

2

'





z



z 1

ta 1 ta 2 ta 3

2

tb 1 tb 2 tb 3

    )( I     

+ Chuù yù: Toïa ñoä giao ñieåm ( neáu coù) cuûa d1 vaø d2 laø nghieäm cuûa hệ :

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 14

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) :

x



x



o

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

(d)

:

 Rt;

y



y



o

z



z



o

ta 1 ta 2 ta 3

    

Cho và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0

Giải pt: A(x0 +a1t) + B(y0+ a2t) + C(z0 +a3t) +D =0 (1) *. Nếu (1) có 1 nghiệm duy nhất thì (d) cắt (P). *. Nếu (1) vô nghiệm thì (d) // (P) *. Nếu (1) có vô số nghiệm thì (d)  (P)

 a

 nk

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 15

+Đặc biệt: d  P ( )



www.VIETMATHS.com Kinh Toán học 2.CAÙC DAÏNG TOAÙN Daïng 1: Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B : (d) qua A ( hay B) vaø vtcp AB

 a d

  a



Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song (): ( d) qua A vaø

 a d

  n

Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp: (d) qua A vaø

Daïng 4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân  :

( tại điểm A:

)





+Trường hợp d cắt

 n

 na ,[

( là mặt phẳng chứa d và vuông góc

)

( , khi đó

)





 Gọi  ]

 u

 n n ,

 d’ có vec tơ chỉ phương là  [ ] và đi qua điểm A

( : )

+ Trường hợp d //

( )

d

d

 a

'

 a

 Tìm điểm M’ là hình chiếu của M lên mp

q ua

(d )

 d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương

A   vtcp a a

 , a

1

2

d

d

  

 

Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2):

d2]

 da = [ a

 da

+ Tìm Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :  d1, a

)

( và đường thẳng d2 .

+ Viết pt mp() chöùa d1 , và nhận làm vectơ chỉ phương

+ Tìm giao diểm B của

 da

+ Viết ptts của d có vectơ chỉ phương và đi qua B.

Dạng 7: Phương trình đường thẳng d qua M, d cắt d1 và d2

P

quaM  n



  AM u

,



d 1

; A d 1

 

   

B1: Lập phương trình mp (P) qua M và chứa d1; mp(P)

P

d

  quaM  n



  BM u ,

; B d



2

2

 

 

   

B2: Lập phương trình mp (Q) qua M và chứa d2; mp(Q)

d

 

   n n , P  Q

 M d   u   

B3: Viết phương trình d:

  ( theo t, t’) . Tính AB



,d B d 1

2

d

  P )

(

  

t t ,

0

'

A B ,

Dạng 8: viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp ( P) và cắt cả 2 đường thẳng d1, d2 B1: Đưa pt d1, d2 về ptts ; lấy A

B2:



qua  u

  . AB n P A hoac B  n P

d

  

B3 : Ptđt d:

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 16

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 B1: Gọi A là giao điểm của đường thẳng d và d1  toạ độ điểm A ( theo t) Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và d2  toạ độ điểm B ( theo t’) B2 : Do A (P)  t  A( ; ; )

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học Do B (P)  t’  B ( ; ; )

qua  u



A hoac B  AB

d

  

B3: Phương trình đường thẳng d :

Daïng 10: Hình chieáu cuûa ñieåm M

n

ad 

1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp()

  

 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt :  Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø vuoâng goùc mp() : ta coù   Ptr d  Ptr ( )

n 

da

2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d)

  Ptr d  Ptr ( )

 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt :  Vieát phöông trình mp() qua M vaø vuoâng goùc vôùi (d): ta coù   

Daïng 11 : Ñieåm ñoái xöùng a/ Tìm ñieåm M / ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua mp(P) :

x



2

x



x

/

H

M

 Laäp pt ñt (d) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc mp(P).  Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa ñt(d) vaø mp(P) .

M y



2

y



y

/

H

M

M

z



2

z



z

/

H

M

M

    

 A/ ñoái xöùng vôùi A qua (P)  H laø trung ñieåm cuûa MM/ neân :

b/ Tìm ñieåm M / ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua ñt(d) :

x



2

x



x

/

 Laäp pt mp (P) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc ñt(d).  Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa ñt(d) vaø mp(P) .

M y

H y

M y





2

/

H

M

M

z



2

z



z

/

H

M

M

    

 A/ ñoái xöùng vôùi A qua (d)  H laø trung ñieåm cuûa MM/ neân :

(

,

,

)

a a a 1 2 3

Daïng 12 : CM söï song song: a/ Cm ñt(d) // ñt(d/) :



(

,

,

)

b b b 1 2 3

.









(

)

y z , 1

z 1

2

  ñt(d) ñi qua ñieåm M1(x1 , y1 , z1) vaø coù VTCP a    ñt(d/) ñi qua ñieåm M2( x2 , y2 , z2) vaø coù VTCP b   Ta tính M M 1 2  ñt(d) // ñt(d/)

.

x y , 1 :

) : (









(

:

:

y



) : (

z



)

2 b b b 1 2 3

x 2 a a : 1

a 3

x 2

x 1

2

2

y 1

2

z 1

.



(

,

,

)

 a

b/ Cm ñt(d) // mp(P) :

a a a 1 2 3

 ñt(d) ñi qua ñieåm M1(x1 , y1 , z1) vaø coù VTCP



(

A B C ,

,

)

 n

  . a n



0

 mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 coù VTPT .







0

 Ax By Cz D 1

1

1

    

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 17

 ñt(d) // mp(P)

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hîp sau :

(3; 2;3)

 a

lµm VTCP a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)

2 - 6 0

P x ) :

z

- 3



y

:

 R t,

x y

t  22 t 

vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng ( Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã

z



t 21

    

x y

t  22 t 

:

 R t,

ph­¬ng tr×nh:   d

z



t 21

    





2

3

y

z

  . 1 0

vµ (P): Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ :   d

 3 - 4 0

P x ) :



2

y

z

 : P x

x+y+z+1=0. T×m ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (D) Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:  a) ( b) 

:



t



R

Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi



t

t 4

  12 t  9

 R t,

. ®­êng th¼ng (  ) cho bëi :

  2 2 t x     3 t y      3 z  Bµi 8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt: x y

t  1  t R t,  3

x y

:

:

z

 1

t

z

 2

t

    

    

x

1





:

(P): y+4z+17=0 (P): x-y+z+3=0 b)   d a)   d

 2

y 1

z  2  3

. Bµi 9: Cho mp(P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ   d

x

2

y

1

z

1







R

x y

 t 21 t  2

 d

 d

 t



 :1

 :2

 1

 2

 1

z



t 31

    

a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) . b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mp (P) . Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :

x

1 

x y

t 37  t 24 

y

:



 d

 d



 tt,

R

 :1

t 1 29 t  1

2

1

z



t 34



12

z

t 1

    

    

 a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC

kientqk@gmail.com.vn 18

a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). Bµi 11: cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :