Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2009-2010 môn Toán (Vòng 1)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9<br /> <br /> TP PLEIKU<br /> <br /> NĂM HỌC 2009 – 2010<br /> <br /> ----------------------<br /> <br /> MÔN THI : TOÁN<br /> Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC (Vòng 1)<br /> <br /> ĐỀ BÀI :<br /> <br /> Bài 1 : (2 điểm) Chứng minh rằng :<br /> A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn và n > 4.<br /> Bài 2 : ( 3 điểm) Cho biểu thức<br /> 2 x 9<br /> x  3 2 x 1<br /> Q<br /> <br /> <br /> với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9<br /> x 5 x 6<br /> x 2 3 x<br /> a/ Rút gọn Q<br /> b/ Tìm giá trị của x để Q < 1<br /> Bài 3 : ( 3 điểm) Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. Lấy một điểm M trên cung<br /> nhỏ BC ( M ≠ B, M ≠ C). AM cắt BC tại D. Gọi I là một điểm trên đoạn thẳng MA sao<br /> cho MI = MB. Chứng minh rằng :<br /> a/ ΔAIB = ΔCMB<br /> b/ MA = MB + MC<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> =<br /> +<br /> c/<br /> MD MB MC<br /> Bài 4 : ( 2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 20 cm và BC = 30 cm.<br /> Lấy M  BC, N  AB, P  AD, Q  CD sao cho MB = BN = QD = DP.<br /> Hãy xác định vị trí các đỉnh của tứ giác MNPQ để diện tích của tứ giác MNPQ là<br /> lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.<br /> ---------------------------------<br /> <br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9<br /> <br /> TP PLEIKU<br /> <br /> NĂM HỌC 2009 – 2010<br /> <br /> ----------------------<br /> <br /> MÔN THI : TOÁN<br /> ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Bài 1 : (2 điểm)<br /> Ta có 384 = 3.128 và (3; 128) = 1<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Lại có n chẵn và n > 4  n = 2k ( k  N, k > 2)<br />  A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n = 16k4 – 32k3 – 16k2 + 32k<br /> = 16k(k3 – 2k2 – k + 2)<br /> = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1)<br /> Mà k, k – 2, k – 1, k + 1 là 4 số nguyên liên tiếp nên luôn có một số chia hết<br /> cho 2 và một số chia hết cho 4.<br />  k(k – 2)(k – 1)(k + 1)  8<br />  A  16.8 hay A  128<br /> Mặt khác ba trong 4 số nguyên liên tiếp k, k – 2, k – 1, k + 1 phải có một số<br /> chia hết cho 3 nên A  3<br /> mà (3; 128) = 1 nên A  384.<br /> Vậy A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n  384 với mọi n chẵn và n > 4.<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> Bài 2 : ( 3 điểm) a/ (1,5đ) Rút gọn Q<br /> 2 x 9<br /> x  3 2 x 1<br /> Q<br /> <br /> <br /> x 5 x 6<br /> x 2 3 x<br /> <br /> <br /> 2 x 9<br /> <br /> <br /> <br /> x 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2 x 9<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  3 2 x 1<br /> <br /> x 2<br /> x 3<br /> <br /> <br /> <br /> x  3  2 x 1<br /> <br />  <br /> <br /> x 2<br /> <br /> <br /> <br /> x 3<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  1<br /> x  2 <br /> x  1<br /> x  3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> x x 2<br /> x 2<br /> <br /> x 2<br /> <br /> <br /> x  2<br /> x  3<br /> x 3<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> ( x  0, x  4, x  9)<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> (1,5đ) b/ Tìm giá trị của x để Q < 1: Q <br /> <br /> x 1<br /> 4<br /> 1 <br /> 0<br /> x 3<br /> x 3<br />  x 3 x9<br /> <br /> Kết hợp điều kiện trên có Q < 1 khi 0 ≤ x < 9 và x ≠ 4<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> Bài 3 : ( 3 điểm)A<br /> a/ Chứng minh ΔAIB = ΔCMB<br /> Chứng minh ΔBMI đều<br />      <br /> Chứng minh B1  B3 ( B1  B2  B3  B2  600 )<br /> Chứng minh ΔAIB = ΔCMB (c.g.c)<br /> <br /> O<br /> I<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> B<br /> <br /> 3<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> 1 2<br /> <br /> M<br /> <br /> b/ MA = MB + MC<br /> Từ ΔAIB = ΔCMB  IA = CM<br />  MI + IA = MC + MB hay MA = MB + MC<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> =<br /> +<br /> c/<br /> MD MB MC<br /> MB MD<br /> MB.MC<br /> =<br />  MD =<br /> Chứng minh ΔAMC ΔBMD (g.g) <br /> MA MC<br /> MA<br /> MB.MC<br />  MD =<br /> (vì MA = MB + MC )<br /> MB+MC<br /> 1<br /> MC + MB<br /> MC<br /> MB<br /> =<br /> <br /> <br /> <br /> MD<br /> MC.MB MC.MB MC.MB<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> =<br /> +<br /> Hay<br /> MD<br /> MB MC<br /> Bài 4 : ( 2 điểm)<br /> M<br /> Đặt BM = BN = DP = DQ = x<br /> B x<br /> C<br /> Ta có<br /> SMNPQ = SABCD – SMBN – SNAP – SPDQ - SMCQ<br /> N<br /> <br /> A<br /> <br /> P<br /> <br /> Q<br /> <br /> D<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> SMNPQ = 20.30 - x 2 - x 2 - (20  x )(30  x)<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> - (20  x )(30  x)<br /> 2<br /> <br /> SMNPQ = 600 – x2 – (20 – x)(30 – x)<br /> = 600 – x2 – 600 + 50x – x2<br /> = - 2x2 + 50x = -2(x2 – 25x)<br /> = -2(x2 – 25x + 12,52) + 2.12,52<br /> = -2(x – 12,5)2 + 312,5 ≤ 312,5<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br />  SMNPQmax = 312,5 (cm2) khi x - 12,5 = 0 hay x = 12,5 cm<br /> Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất là 312,5 cm2 khi các điểm M, N, P, Q<br /> cách B và D một khoảng bằng 12,5 cm.<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br />