SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 - 2013
(ĐỀ CHÍNH THỨC) Khoá ngày 04 - 07 - 2012
Môn : TOÁN (CHUYÊN)
Họ tên : ........................ Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
SBD: ............................
Đề thi gồm có 01 trang
Câu 1: (2,0 điểm) Cho phương trình: 2
x 2x 4a 0
(x là ẩn số). Giả sử hai nghiệm
1 2
x ,x
của phương trình là số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác.
a) Tìm các giá trị của a để diện tích của tam giác vuông bằng
1
3
(đơn vị diện tích).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2
1 2
4
A x x
x x
.
Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: 2
1 1
x3 x
.
Câu 3: (1,5 điểm) Cho các số thực
a,b,c
thoả mãn:
ab bc ca 2
.
Chứng minh: 4 4 4
4
a b c
3
.
Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp trong đường tròn (O).
Trên cung BC không chứa A, lấy điểm M tuỳ ý (M khác C). P là điểm trên cạnh BC
sao cho
BAM PAC
. Trên các tia AB, AC lấy lần lượt các điểm E, F sao cho BE =
CF = BC.
a) Chứng minh:
ABP AMC
và
MC.AB MB.AC MA.BC
.
b) Chứng minh:
MB.AE MC.AF
MA MB MC
BC
.
c) Xác định vị trí điểm N trên đường tròn (O) để tổng NA + NB + NC lớn nhất.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số nguyên a, b, c, d và số nguyên dương p. Chứng minh
rằng nếu
2 2 2 2
a b c d, a b c d
chia hết cho p thì 4 4 4 4
a b c d 4abcd
cũng chia hết cho p. HẾT
Trang 1
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013
Khóa ngày 04 - 07 - 2012
Môn: TOÁN (CHUYÊN)
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu
phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rõ ràng.
* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những
bước giải sau có liên quan.
* Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0.25 điểm. Đối với điểm
thành phần là 0.5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0.25 điểm.
* Học sinh không vẽ hình đối với Câu 4 thì cho điểm 0 đối với Câu 4. Trường hợp học
sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì cho điểm 0 ở ý đó.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm
của từng câu.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.
Câu
Nội dung
Điểm
1 2,0 điểm
1a
Điều kiện để hai nghiệm
1 2
x ,x
của phương trỡnh là số đo hai cạnh
gúc vuụng của tam giỏc là 1 2
1 2
' 0
x x 0
x x 0
0,25
1 4a 0
1
4a 0 0 a
4
2 0
0,25
Vỡ
1 2
x ,x
là số đo hai cạnh gúc vuụng nờn diện tớch tam giỏc là
1 2
1 1
x x
2 3
0,25
1 1
.4a
2 3
1
a (tho¶ m·n)
6
0,25
Lưu ý: học sinh không tìm điều kiện phương trình có hai nghiệm dương mà kết
quả đúng cho 0,5 điểm.
1b
Ta cú: 1 2 1 2
4 1
A x x 4a
x x a
0,25
1 3
4a
4a 4a
0,25
Trang 2
Với
1
0 a
4
, ta cú: 1 3
4a 2 vµ 3
4a 4a
A 5
0,25
1
4a 1
4a
A 5 a thom·n
41
a4
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi
1
a
4
0,25
2
2,0điểm
ĐK:
3 x 3vµ x 0
0,25
Đặt 2
y 3 x , (y 0)
0,25
Ta cú hệ phương trỡnh
2 2
1 1
1
x y
x y 3
0,25
2
2
x y xy
(x y) 2xy 3
x y xy
x y 2 x y 3 0
0,25
x y 1
xy 1
x y 3
(v« nghiÖm)
xy 3
0,25
1 5
x2
(tho¶m·n)
1 5
y
x y 1 2
xy 1 1 5
x2(lo¹i)
1 5
y2
0,5
Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất
1 5
x
2
0,25
3 1,5điểm
Trang 3
Ta cú 4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a , a,b,c
24 4 22 24 2 2
3 3( , , ,)
ba b c a aab b cc c 0,5
và
2
2 2 2 2 2 2
3 a b b c c a ab bc ca , a,b,c
0,5
2
4 4 4
1 4
a b c ab bc ca
3 3
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
2
a b c
3
ab bc ca 2
0,25
4 3,5 điểm
Hỡnh vẽ
0,25
4a
Ta có:
ABP AMC
(cùng chắn cung AC)
BAM PAC BAP MAC
Nên:
ABP AMC
0,25
0,25
Suy ra: AB BP
MC.AB MA.BP
MA MC
(1) 0,25
Mặt khỏc:
BMA BCA
,
BAM PAC
ABM APC
0,25
MB MA
MB.AC MA.PC
PC AC
(2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra:
MC.AB MB.AC MA.BC
0,25
4b
Từ kết quả câu a) ta có:
AC AB
MA MB. MC.
BC BC
0,25
Do đú: AC AB
MA MB MC MB. 1 MC 1
BC BC
=
AC BC AB BC
MB. MC.
BC BC
0,25
E
F
A
B C
M
P
Trang 4
=
AC CE AB BF
MB. MC.
BC BC
MB.AE MC.AF
BC
0,25
4c
Xét trường hợp N thuộc cung BC không chứa A
- Nếu N khác C theo kết quả câu b) ta có
NB.AE NC.AF
NA NB NC
BC
(3)
- Nếu N trùng C, ta thấy (3) vẫn đúng.
Mặt khác
2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
2(NB.AF) NC.AE NB .AF NC .AE
NB.AE NC.AF NB NC AE AF BC .EF (4)
Từ (3) và (4) suy ra
NA NB NC EF
.
0,25
0,25
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
NB.AF=NC.AE
hay
NBC AEF
0,25
Xột trường hợp N thuộc cung BC chứa A, lấy N' đối xứng với N qua
BC, khi đú N' thuộc cung BC khụng chứa A, N'A < NA, N'B = NB,
N'C = NC. Áp dụng trường hợp trờn ta cú:
NA + NB + NC < N'A + N'B + N'C
EF.
Vậy trong mọi trường hợp thỡ NA + NB + NC cú giỏ trị lớn nhất là
EF, đạt được khi
NBC AEF
.
0,25
5
1,0 điểm
Xột
f(x) (x a)(x b)(x c)(x d)
0,25
Ta biểu diễn f(x) dưới dạng:
4 3 2
f(x) x Ax Bx Cx abcd
Với :
A a b c d
chia hết cho p. 0,25
Ta cú:
0 f(a) f(b) f(c) f(d)
4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2
a b c d A(a b c d ) B(a b c d )
C(a b c d) 4abcd
0,25
Suy ra:
4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2
a b c d 4abcd A(a b c d ) B(a b c d )
C(a b c d)
Vỡ A,
2 2 2 2
a b c d, a b c d
chia hết cho p nờn
4 4 4 4
a b c d 4abcd
chia hết cho p.
0,25