LUẬN VĂN:ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS VÀ ỨNG DỤNG

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

409
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

trình bày Định lý Weierstrass về xấp xỉ hàm liên tục bằng đa thức với độ chính xác tùy ý. Chứng minh định lý này được dựa trên định lý xấp xỉ bằng toán tử tích phân sử dụng đa thức Bernstein cho hàm không tuần hoàn và tổng Fejer cho hàm tuần hoàn. Chương

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LUẬN VĂN:ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS VÀ ỨNG DỤNG

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN ********* HÀ DUY NGHĨA Đ NH LÝ CHU N B WEIERSTRASS VÀ NG D NG TI U LU N LÝ THUY T KỲ D Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
i BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN ********* HÀ DUY NGHĨA Đ NH LÝ CHU N B WEIERSTRASS VÀ NG D NG CAO H C TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đ i s và lý thuy t s TI U LU N LÝ THUY T KỲ D Ngư i hư ng d n khoa h c TS. NGUY N CÔNG TRÌNH Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
ii M CL C Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii L im đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1 Đ nh lý chu n b Weierstrass 2 1.1 Đa th c Weierstrass ....................... 2 1.2 Đ nh lý chu n b Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 2 ng D ng 9 2.1 Khai tri n Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Phép tham s hóa đư ng cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 L IM ĐU C u trúc tôpô c a đư ng cong ph ng là m t chuyên đ toán h c đư c nhi u nhà toán h c quan tâm nghiên c u và có nhi u k t qu hay, c th là nó th hi n trong nhi u tài li u như cu n Plane Algebraic Curves c a tác gi Brieskorn, cu n Introduction to algebraic curves c a tác gi Griffiths ... Đ i v i b n thân tôi là h c viên cao h c, tôi ch n đ tài ti u lu n" Đ nh lý chu n b Weierstrass và ng d ng " nh m tìm hi u sâu hơn v v n đ tham s hóa c a đư ng cong cũng như s phân tích c a đư ng cong t ng quát thành các đư ng cong b t kh quy,.. nh m đ k t thúc b môn Lý thuy t kỳ d . Ti u lu n g m 2 chương cùng v i ph n m đ u và k t lu n. Chương 1: Nói v đ nh lý chu n b Weierstrass, các đ nh lý chia đa th c và m i liên h gi a chúng. Chương 2: Là ph n ng d ng c a đ nh lý chu n b cho vi c ch ng minh m t đư ng cong t ng quát nào đó đ u có th tham s hóa đư c. M c dù b n thân đã r t c g ng trong h c t p, nghiên c u và đư c s hư ng d n nhi t tình c a th y giáo hư ng d n, nhưng do năng l c c a b n thân và th i gian còn h n ch nên ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót. Tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ ti u lu n đư c hoàn thi n hơn. Cu i cùng tôi xin chân thành c m ơn TS Lê Công Trình ngư i đã t n tình giúp đ , cùng t p th l p cao h c toán khoá 11 t o đi u ki n cho tôi hoàn thành ti u lu n này. Quy Nhơn, tháng 5 năm 2010 Hà Duy nghĩa
2 Chương 1 Đ NH LÝ CHU N B WEIERSTRASS Trong chương này ph n 1.1 Đa th c Weierstrass đư c trình bày theo tài li u [2],ph n 1.2 Đ nh lý chu n b Weierstrass trình bày theo tài li u[1]. 1.1 Đa th c Weierstrass G i C {x}, (C {x, y }) tương ng là vành các hàm ch nh hình trên lân c n c a 0 ∈ C(0; 0) ∈ C2 nghĩa là ∞ m C {x} = {Các chu i lũy th a h i t có d ng f = m=0 am x } ∞ mn C {x, y } = {Các chu i lũy th a h i t có d ngf = m,n=0 amn x y } trong đó m i chu i lũy th a có th có bán kính h i t khác nhau. Đ nh nghĩa 1.1.1. Đa th c w ∈ C {x, y } g i là đa th c Weierstrass theo bi n y (y −t ng quát) n u w = y d + a1 (x).y d−1 + ... + ad (x). (1.1) trong đó aj (x) ∈ C {x}, aj (0) = 0, (j = 1, ..., d). Nh n xét: Gi s f ∈ C {x, y } khác đơn v và f (0, y ) không đ ng nh t 0, ta có th vi t: f (0, y ) = by d + b1 y d−1 + ... trong đó b = 0, d ≥ 1. T th c t , ph n t không c af (0, y ) là ph n t cô l p, nên ta gi s r ng trong mi n |y | < ε. f (0, y ) không ch a ph n t không ngay c y = 0. Do đó ta gi s trong đư ng tròn |y | = ε có |f (0, y )| ≥ c > 0. Do đó, v i m i ρ đ nh , ρ > 0, |x| < ρ và |y | = ε ta suy ra f (x, y ) ≥ c/2 > 0.
3 B đ 1.1.2. V i nh ng đi u ki n như trên và v i |x| < ρ thì f (x, y ) và m t hàm theo y có s các không đi m như nhau trên mi n |y | < ε. Ch ng minh. B đ này suy tr c ti p t nguyên lý argument trong gi i tích ph c. Do v y v i m i x c đ nh (|x| < ε) gi s yν (x)(ν = 1, ..d) là d không đi m c af (x, y ) = 0, ta xây d ng đa th c: d − y0 (x)) w(x, y ) = ν =1 (y = y d + .. + a1 (x)y d−1 + .. + ad (x) trong đó: d a1 (x) = − µ=1 yµ (x) d a2 (x) = − 1
4 di n c a 1 fy (x, y ) yk δk (x) = dy. 2πi f.(x, y ) |y |=ε 1.2 Đ nh lý chu n b Weierstrass B đ 1.2.1 (Special division theorem ,[1] p.340). G i pk (t, y ) ∈ C{y1 , .., yk }[t] là đa th c k −t ng quát, t c là k yi tk−i pk (t, y ) = tk + i=1 Khi đó m i f (t, z, y ) ∈ C{t, y, z } t n t i q ∈ C{t, z, y } và đa th c r(t, y, z ) = k Ai (z, y ).tk−i b c k − 1 trên C{z, y } sao cho i=1 f = q.pk + r. Ch ng minh. Phép ch ng minh chia làm 3 bư c: Bư c 1 :Ch ng minh trư ng h p pk = t − xi t c là ta ph i ch ng minh v i m i ∈ C{t, z, x1 , ..., xk } luôn t n t i Q ∈ C{t, z, x} và R ∈ C{z, x} sao cho F = Q(t − xi ) + R. Th t v y, n u đ t R(z, x) := F (xi , z, x) thì t − xi chia h t chu i F − R = F (t, z, x) − F (xi , z, x), hay F = Q(t − xi ) + R. Bư c 2: Ch ng minh cho trư ng h p Pk = (t − x1 )(t − x2 )...(t − xk ), t c là ta ph i ch ng minh v i m i F ∈ C(t, z, x1 ...xk ) t n t i Q ∈ C {t, z, x} và m t đa th c R ∈ C{z, x}[t] b c < k sao cho F = Q(t − x1 )(t − x2 )...(t − xk ) + R trong đó Q, R duy nh t. Th t v y, theo bư c 1 ta có: = Q1 (t − x1 ) + R1 . (Q1 ∈ C{t, z, x}, R1 ∈ C{x, z }) F = Q2 (t − x2 ) + R2 . (Q2 ∈ C{t, z, x}, R2 ∈ C{x, z }) Q1 . . . Qk−1 = Qk (t − xk ) + Rk . (Qk ∈ C{t, z, x}, Rk ∈ C{x, z })
5 thay th l n lư tQk−i (i = 1, ..., k − 2) vào Q1 ta đư c: F = Qk (t−x1 )(t−x2 )...(t−xk )+R1 +(t−x1 )R2 +...+(t−x1 )(t−x2 )+...+(t−xk−1 )Rk do đó v i Q := Qk , R = R1 +(t − x1 )R2 + ... +(t − x1 )(t − x2 )+ ... +(t − xk−1 )Rk ta có: F = Q.(t − x1 )...(t − xk ) + R. S duy nh t c a Q và R s đư c trình bày trong ph n ch ng minh sau. Bư c 3. G i δi (x) là hàm đ i x ng th n c a các ph n t x1 , ..., xk , ta th yi = δi (x) vào bi u th c Pk (t, y ) = tk + y1 tk−1 + ... + yk = (t − x1 )(t − x2 )...(t − xk ). Ti p theo đ t: F (t, z, x) = f (t, z, δ1 (x), ..., δk (x)) khi đó ta có th chia f (t, z, y ) b i m t đa th c t ng quát như bư c 2 t c là : f (t, z, x) = Q(t, z, x)(t − x1 )...(t − xk ) + R(t, z, x) v i Q và R luôn đ i x ng trư c s hoán v c a x1 , ..., xk . Ngoài ra, theo đ nh lý cơ b n c a hàm đ i x ng, có m t hàm ch nh hình q (t, z, y ) ∈ C{t, z, y } và đa th c r(t, z, y ) theo t có b c nh hơn k và h s thu c vào C{x, y } sao cho: q (t, z, δ1 (x), ..., δk (x)) = Q(t, z, x) và r(t, z, δ1 (x), ..., δk (x)) = R(t, z, x) t đó suy ra: F (t, z, x) = f (t, z, δ1 (x), ..., δk (x)) = q (t, z, δ1 (x), ..., δk (x))(tk + δ1 (x)tk−1 + ... + δk (x)) + r(t, z, δ1 (x), ..., δk (x)). M t khác ta bi t phép th δ : C −→ C là toàn ánh nên ta suy ra f = q.pk + r.
6 Đ nh lý 1.2.2 (Division theorem,[1], p.339). G i f, g ∈ C{t, z } và g i g là t−t ng quát b c k khi đó ∃q ∈ C{t, z } và đa th c r ∈ C{z }[t] b c ≤ k − 1 sao cho k qi (z )k k−i , qi (z ) ∈ C{z } r(t, z ) = i=1 v i f = q.g + r q, r là xác đ nh duy nh t .(Đ nh lý này thư ng đư c g i là công th c Weierstrass) Ch ng minh. Đ nh lý này đư c ch ng minh t B đ trên. G i g là t− t ng quát c p k, và g i f ∈ C{t, z }, theo B đ 1.2.1 ta có th vi t g và f dư i d ng g = g (t, y, z ).pk + r(t, z, y ) f = q (t, z, y ).pk + r(t, z, y ) Trong đó r, r là nh ng đa th c b c k − 1 v i h s trong C{z, y }. Do đó ta có th thay th y = y (z ) sao cho r(t, z, y (z )) ≡ 0 t đó suy ra : g (t, z ) = q (t, z, y (t)).pk v i (q (0, 0, 0) = 0) f (t, z ) = q (t, z, y (z )).pk + r(t, z, y (z )) = q .q −1 .g + r. Như v y n u gán q (t, z ) = q (t, z, y (z )).q −1 g (t, z, y (z )) và r(t, z ) := r(t, z, y (z )) thì ta có bi u di n f = q.g + r . Bây gi ta ch ng minh q, r là duy nh t, th t v y gi s f = q1 .g + r1 = q2 .g + r2 suy ra r1 − r2 = (q2 − q1 ).g M t khác các k không đi m c a g (t, z ) ch a trong lân c n c a 0 ∈ C v i z đ nh , và đa th c r1 (t, z ) − r2 (t, z ) có b c ≤ k − 1 và có ít nh t k không đi m nên r1 (t, z ) − r2 (t, z ) = 0 suy ra r1 = r2 và q1 = q2 . Đ nh lý 1.2.3 (Weierstrass preparation theorem,[1],p.338). G i g (t, z ) = g (t, z1 , ..., zn ) là chu i lũy th a h i t t C{t, z1 , ..., zn } và g i g là t−t ng quát c p k . Khi đó t n t i u(t, z ) ∈ C{t, z } và ci (z ) ∈ C{z } sao cho g (t, z ) = (tk + c1 (z )tk−1 + ... + ck (z )).u(t, z )
7 v i ci (0) = 0 và u(0, 0) = 0 và ci , u là duy nh t. Ch ng minh. G i g ∈ C(t, z ) là t ng quát c p k, nghĩa là g (t, 0) là chu i lũy th a có d ng g (t, 0) = c.f k + ...+ (s h ng cao hơn theo t) v i c = 0,theo B đ 1.2.1 ta phân tích: g (t, z ) = q (t, z, y )(tk + y1 tk−1 + ... + yk ) + r(t, z, y ) (1.2) v i đa th c r(t, z, y ) = A1 (z, y )tk−1 + ... + Ak (z, y ) và q ∈ C{t, z, y } M c đích c a chúng ta là thay th h s t ng quát yi c a pk b i hàm ch nh hình yi (z ) sao cho s h ng dư r trong(1.2) là tri t tiêu, đ làm đư c đi u này trư c h t ta ph i ch ng t đư c:  0 n ui>j  ∂Ai  (0; 0) =  (1.3) ∂yi  −c n u i = j  Th t v y, n u ta cho y = z = 0 trong (1.2) và so sánh h s c a t0 , ..., tk ta đư c: Ai (0; 0) = 0 và q (0; 0; 0) = c. Do v y (1.3) th a mãn. N u 2 v c a (1.2) khác nhau và ph thu c vào yj thì v i y = z = 0 ta có: ∂q ∂A1 ∂Ak (t, 0, 0)tk q (t, 0, 0)tk−j + (0, 0)tk−1 + ... + 0= (0, 0) ∂yj ∂y5 ∂yj ∂Ak−1 ∂Ak so sánh h s c a t0 , t1 , ..., t( k − 1) ta suy ra ∂yj (0, 0) = 0, ∂yj (0, 0) = ∂Aj 0,... ∂Akj (0, 0) = 0 và = −q (0, 0, 0) = −c. V y (1.3) đư c ch ng ∂yj (0, 0) +1 ∂y minh. ∂Aj là ma tr n tam giác trên v i đ nh th c (−c)k = 0, Ngoài ra ma tr n ∂yj nên t phương trình Ai (z, y, (t).., yk (z )) = 0, i = 1, k và k t h p v i gi thi t c a đ nh lý ta k t lu n r ng t n t i yj ∈ C{z } v i yj = 0 sao cho Ai (z, y1 (z ), ..., yk (z ) = 0), i = 1, .., k N u chúng ta th y = y (t) vào phương trình (1.2) và u(t, z ) = q (t, z, y (z )) ta đư c g (t, z ) = (tk + y1 (z )tk−1 + ... + yk (z ))u(t, z )trong đó u(0, 0) = 0, đi u này ch ng t r ng g là tích c a đa th c Weierstrass và đa th c u.
8 Ti p theo ta ch ng minh u và đa th c Weierstrass pk là duy nh t G i g (t, z ) = u(tk + c1 tk−1 + ... + ck ) = u(tk + c1 tk−1 + ... + ck ) và g i U = V × W là lân c n c a 0 ∈ C × Cn v i u và u không tri t tiêu trên lân c n này. T nghi m c a đa th c không ph thu c vào các h s nên t t c các k không đi m c a hai đa th c pk = tk + c1 (t)tk−1 + ... + ck (z ) . pk = tk + c1 (t)tk−1 + ... + ck (z ) n m trong V v i z đ nh thu c Cn . T u = 0, nên các không đi m c a g (t, z ) n m trong V , nghĩa là hai đa th c trên có các không đi m trùng nhau. Do đó v i z đ nh thì ci (z ) = ci (z ) đi u này kéo theo ci = ci và do đó u = u, hay pk , u là duy nh t.
9 Chương 2 NG D NG N i dung c a chương này là gi i thi u v phép khai tri n Puiseux và áp d ng Đ nh lý chu n b Weierstrass (Đ nh lý 1.2.3 ) đ ch ng minh s t n t i c a phép tham s hóa m t đa th c Weierstrass kh quy. 2.1 Khai tri n Puiseux Đ nh nghĩa 2.1.1. Khai tri n d ng: m0 m1 m2 y = t0 x n0 + t1 x n0 n1 + t2 x n0 n1 n2 + ... trong đó (mi , ni ) = 1, ∀i = 0, 1, .. đư c g i là khai tri n Puiseux c a f trong lân c n c a đi m (0, 0), các c p (mi , ni ) g i là c p s Puiseux c a f. M nh đ 2.1.2. Gi s f ∈ C[x, y ], y − t ng quát c p t, gi s p0 p1 y = x q0 (t0 + x q0 q1 (t1 ...)) là m t khai tri n Puiseux c a f trong lân c n c a (0; 0) khi đó ho c là y có m t s h u h n ph n t , ho c là t p các s nguyên {qi }i=0,1 th a đi u ki n ∃i ∈ N∗ , ∀i ≥ i0 . 2.2 Phép tham s hóa đư ng cong Đ nh lý 2.2.1. Gi s f là đa th c b t kh quy và y − t ng quát c p m khi đó t n t i lân c n c a (0, 0) sao cho trong lân c n này f có m t phép tham s hóa dư i d ng  = tm x   = y (t) ∈ C(t) y  
10 Ch ng minh. Theo Đ nh lý 1.2.3, t n t i duy nh t u ∈ C∗ {x, y }, g ∈ C{x}[y ] sao cho f = u.g , v i g = y m + am−1 (x)y m−1 + ... + a1 (x)y + a0 (x) và b t kh quy trong C{x}[y ]. Theo thu t toán Puiseux-Newtơn, t n t i nghi m c a phương trình f (x, y ) = 1 1 0 dư i d ng y = y (x N ) ∈ C{x N }. 1 Đ t t = x N ⇔ x = tN , khi đó f (tN , y (t)) = 0, đi u này suy ra ta ph i 1 ch ng t N = m. Th t v y, đ ý r ng y = y (x N ) là m t nghi mc a phương 1 trình f (x, y ) = 0 thì yj = y (ζ j x N ), j = 0, ..., N − 1 là các nghi m c a phương 1 trình f (x, y ) = 0. Do đó y = y (ζ j x N ), j = 1, ..., N là các nghi m c a phương trình g (x, y ) = 0 suy ra N 1 y − y (ζ i x N ) ∈ C{x}[y ] h(x, y ) = j =1 là ư c c a g (x, y ). ⇒ ∃u ∈ C∗ {x}[y ] : g = u .h . ⇒ f = u.g = u.u .h M t khác t tính duy nh t c a Đ nh lý 1.2.3 ta suy ra g = h do đó: N 1 y − y (ζ i x N ) ∈ C{x}[y ] ⇒g= . j =0 ⇒ m = N. H qu 2.2.2. Xét f ∈ C{x, y } là đa th c b t kh quy, m = mult0 (V (f ))(Quy ư c f là y − t ng quát c p m), khi đó x = 0 không ph i là ti p tuy n c a đư ng cong V (f ) t i (O(0, 0)). Ch ng minh. Th t v y m t phép tham s hóa c a x = 0 là  =0 x   =t y   ⇒ f (x(t), y (t)) = f (0, t) ⇒ Int0 (V (f ), x = 0) = ordt f (0, t) = m Suy ra x = 0 không là ti p tuy n c a đư ng cong V (f ).
11 TÀI LI U THAM KH O [1] Brieskorn, Plane Algebraic Curves. [2] Griffiths P.A, Introduction to algebraic curves AMS, 1989.