Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải bài toán ngược 3D xác định sự phân bố mật độ của đá móng theo tài liệu dị thường trọng lực

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong phạm vi của bản luận văn, tác giả tiến hành nghiên cứu kết hợp tổ hợp phương pháp bóc lớp dị thường với việc giải bài toán ngược 3D theo phương pháp bình phương tối thiểu Marquart, xây dựng thuật toán và chương trình máy tính xác định sự phân bố mật độ trong đá móng theo tài liệu dị thường trọng lực. Thuật toán và chương trình xây dựng được tính toán thử nghiệm trên các mô hình 3D nhằm nghiên cứu khả năng áp dụng của phương pháp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải bài toán ngược 3D xác định sự phân bố mật độ của đá móng theo tài liệu dị thường trọng lực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGUYỄN KIM DŨNG GIẢI BÀI TOÁN NGƢỢC 3D XÁC ĐỊNH SỰ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ CỦA ĐÁ MÓNG THEO TÀI LIỆU DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGUYỄN KIM DŨNG GIẢI BÀI TOÁN NGƢỢC 3D XÁC ĐỊNH SỰ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ CỦA ĐÁ MÓNG THEO TÀI LIỆU DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC Chuyên ngành: Vật lý địa cầu Mã số: 60.44.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Đỗ Đức Thanh Hà Nội - 2012
MỞ ĐẦU Chƣơng 1 – CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC ĐỐI VỚI CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN 1.1. Những khái niệm cơ bản ..................................................................... 2 1.2. Các biểu thức tích phân tổng quát về đạo hàm của thế trọng lực ...... 3 1.3. Bài toán thuận cho những vật thể có dạng hình học ........................... 6 1.3.1. Hình cẩu hoặc điểm vật chất .................................................... 6 1.3.2. Thanh vật chất nằm ngang, hình trụ tròn nằm ngang ............... 8 1.3.3. Nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang .......................................... 9 1.3.4. Hình hộp vuông góc ............................................................... 11 1.3.5. Lăng trụ thẳng đứng ................................................................. 12 1.3.6. Bậc thẳng đứng ....................................................................... 12 1.3.7. Bậc nghiêng ........................................................................... 15 Chƣơng 2 - PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC CỦA CÁC RANH GIỚI 2D VÀ 3D 2.1. Phƣơng pháp xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích 2D trong miền không gian .............................................................. 18 2.1.1. Xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích trên cơ sở phân chia nó thành các đa giác có tiết diện ngang bất kỳ ...... 18 2.1.2. Trƣờng hợp mật độ dƣ thay đổi tuyến tính theo độ sâu ........... 19 2.1.3. Trƣờng hợp mật độ dƣ thay đổi theo quy luật hàm mũ theo chiều Sâu ................................................................................................. 20 2.1.4. Mật độ dƣ thay đổi theo dạng hàm hypepol ............................ 21 2.1.5. Mật độ dƣ thay đổi theo dạng hàm parabolic........................... 23 2.1.6. Xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích trên cơ sở phân ........................................................................................ 24 2.2. Phƣơng pháp xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới trầm tích 3D trong miền không gian. ............................................................... 25 2.2.1. Cơ sở lý thuyết .......................................................................... 26 2.2.2. Xây dựng chƣơng trình giải bài toán ngƣợc 3D và tính toán thử nghiệm trên mô hình ................................................................. 29 2.3. Các phƣơng pháp xác định độ sâu của bể trầm tích 3D trong miền tần số ............................................................................................. 31 2.3.1. Nâng cao độ chính xác của việc tính dị thƣờng trọng lực trong miền tần số số bằng phƣơng pháp "trƣợt mẫu" (Shift-sampling) ... 32 2.3.2. Xác định dị thƣờng trọng lực của ranh giới 3D trọng lực trong miền tần số ....................................................................................................33
2.3.3. Xây dựng chƣơng trình giải bài toán ngƣợc và tính toán thử nghiệm trên các mô hình................................................................ 36 Chƣơng 3 - MÔ HÌNH HÓA VIỆC GIẢI BẢI TOÁN NGƢỢC XÁC ĐỊNH SỰ PHÂN BỐ MẬT ĐỘ MÓNG KẾT TINH 3.1. Các phƣơng pháp giải bài toán ngƣợc ............................................. 38 3.1.1. Xác định sự phân bố mật độ đá móng theo phƣơng pháp lựa chọn .......................................................................................... 38 3.1.2. Xác định sự phân bố mật độ đá móng theo phƣơng pháp trực tiếp .......................................................................................... 41 3.2. Thuật toán và sơ đồ khối .................................................................. 42 3.2.1. Thuật toán................................................................................. 42 3.2.2. Sơ đồ khối ............................................................................... 43 3.3. Tính toán thử nghiệm trên mô hình .................................................. 44 3.3.1. Mô hình 1 .............................................................................. 45 3.3.2. Mô hình 2 ............................................................................... 50 3.3.3. Mô hình 3 ................................................................................. 54 KẾT LUẬN ........................................................................................... 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 59
Danh mục các hình vẽ Hình 1.1 Xác định thế các đạo hàm của một chất điểm ................................ 4 Hình 1.2 Xác định thế và đạo hàm của các vật thể hai chiều ..................... 6 Hình 1.3 Xác định thế và các đạo hàm của vật thể hình cầu ...................... 7 Hình 1.4 Trƣờng trọng lực của hình cầu ....................................................... 8 Hình 1.5 Tƣờng trọng lực của hình trụ tròn nằm ngang ............................... 9 Hình 1.6 Xác định thế và các đạo hàm của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang ......................................................................................... 10 Hình 1.7 Trƣờng trọng lực của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang ......... 11 Hình 1.8 Bậc thẳng đứng ........................................................................... 13 Hình 1.9 Trƣờng trọng lực trên bậc thẳng đứng ........................................ 15 Hình 1.10 Bậc nghiêng ................................................................................ 15 Hình 2.1 Vật thể hai chiều có tiết diện ngang bất kỳ ................................ 18 Hình 2.2 Xấp xỉ vật thể có tiết diện ngang ................................................ 20 Hình 2.3 Việc phân chia mỗi cạnh đa giác ................................................. 20 Hình 2.4 Ranh giới phân chia mật độ và xấp xỉ nó bằng các lăng trụ ........ 24 Hình 2.5 Mô hình lăng trụ 3 chiều ............................................................. 26 Hình 2.6 Mô hình khối đa diện .................................................................. 28 Hình 2.7 Kết quả xác định độ sâu bể trầm tích trong miền không gian ..... 31 Hình 2.8 Kết quả xác định độ sâu bể trầm tích trong miền tần số ............. 37 Hình 3.1. Sơ đồ khối giải bài toán ngƣợc 3D xác định sự phân bố mật độ của đá móng ..................................................... 43 Hình 3.2 Mô hình sự phân bố mật độ dƣ trong đá móng ........................... 45 Hình 3.3 Địa hình các ranh giới và các thành phần trƣờng tƣơng ứng ...... 46 Hình 3.4 Trƣờng quan sát .......................................................................... 46 Hình 3.5 Tƣơng quan giữa trƣờng phông bậc 3 và các mức nâng trƣờng .. 47 Hình 3.6 Trƣờng phông khu vực ............................................................... 47 Hình 3.7 Trƣờng móng dƣ ........................................................................ 47 Hình 3.8 Trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối .................................................. 48 Hình 3.9 Sai số giữa trƣờng móng dƣ và trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối .. 48 Hình 3.10 Tốc độ hội tụ .............................................................................. 48 Hình 3.11 Kết quả tính toán sự phân bố mật độ dƣ trong đá móng ........... 49 Hình 3.12 Sai số giữa sự phân bố mật độ theo mô hình và tính toán ........ 49 Hình 3.13 Địa hình các ranh giới và các thành phần trƣờng tƣơng ứng .... 50 Hình 3.14 Trƣờng quan sát ......................................................................... 50 Hình 3.15 Tƣơng quan giữa trƣờng phông bậc 3 và các mức nâng trƣờng .. 51 Hình 3.16 Trƣờng phông khu vực ............................................................. 51 Hình 3.17 Trƣờng móng dƣ ....................................................................... 51 Hình 3.18 Trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối ................................................ 52
Hình 3.19 Sai số giữa trƣờng móng dƣ và trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối 52 Hình 3.20 Tốc độ hội tụ .............................................................................. 52 Hình 3.21 Kết quả tính toán sự phân bố mật độ dƣ trong đá móng ........... 53 Hình 3.22 Sai số giữa sự phân bố mật độ theo mô hình và tính toán ......... 53 Hình 3.23 Địa hình các ranh giới và các thành phần trƣờng tƣơng ứng .... 54 Hình 3.24 Trƣờng quan sát ........................................................................ 54 Hình 3.25 Tƣơng quan giữa trƣờng phông bậc 3 và các mức nâng trƣờng .. 55 Hình 3.26 Trƣờng phông khu vực ............................................................... 55 Hình 3.27 Trƣờng móng dƣ ...................................................................... 55 Hình 3.28 Trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối ................................................ 56 Hình 3.29 Sai số giữa trƣờng móng dƣ và trƣờng móng dƣ ở lần lặp cuối 56 Hình 3.30 Tốc độ hội tụ .............................................................................. 56 Hình 3.31 Kết quả tính toán sự phân bố mật độ dƣ trong đá móng ............ 57 Hình 3.32 Sai số giữa sự phân bố mật độ theo mô hình và tính toán ........ 57
MỞ ĐẦU Trƣớc đây, khi nghiên cứu cấu trúc địa chất các nhà địa vật lý chủ yếu tập trung nghiên cứu trong việc xác định độ sâu, hình dạng của các mặt ranh giới nhƣ: Moho, conrat, đáy trầm tích Kainozoi với giả thiết sự phân bố mật độ trong trầm tích và mật độ đá móng là không đổi. Trong những năm gần đây, với việc tìm thấy dầu trong đá móng, việc nghiên cứu sự bất đồng nhất của mật độ cũng nhƣ sự phân bố mật độ của đá móng đã hấp dẫn sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu địa vật lý trong nƣớc. Tuy nhiên, cho tới nay, sự phân bố mật độ của đá móng mới chỉ dừng lại trong việc phân tích định tính hoặc cũng chỉ đƣợc xác định bằng phƣơng pháp tƣơng quan nên độ chính xác vẫn còn nhiều hạn chế. Để góp phần vào việc nghiên cứu này, trong phạm vi của bản luận văn, chúng tôi tiến hành nghiên cứu kết hợp tổ hợp phƣơng pháp bóc lớp dị thƣờng với việc giải bài toán ngƣợc 3D theo phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu Marquart, xây dựng thuật toán và chƣơng trình máy tính xác định sự phân bố mật độ trong đá móng theo tài liệu dị thƣờng trọng lực. Thuật toán và chƣơng trình xây dựng đƣợc tính toán thử nghiệm trên các mô hình 3D nhằm nghiên cứu khả năng áp dụng của phƣơng pháp. Khóa luận này đƣợc chia làm ba chƣơng sau: - Chương 1: Các phƣơng pháp xác định dị thƣờng trọng lực đối với các vật thể có dạng hình học đều đặn. - Chương 2: Phƣơng pháp xác định dị thƣờng trọng lực của các ranh giới 2D và 3D. - Chương 3: Mô hình hóa việc giải bài toán ngƣợc xác định sự phân bố mật độ móng kết tinh 1
Chƣơng 1 CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC ĐỐI VỚI CÁC VẬT THỂ CÓ DẠNG HÌNH HỌC ĐỀU ĐẶN 1.1 Những khái niệm cơ bản. Sau khi tu chỉnh số liệu đo đạc bằng máy trọng lực, ta thành lập bản đồ hoặc đồ thị đạo hàm bậc nhất, hoặc bậc hai của thế trọng lực (dị thƣờng trọng lực nói chung). Giải thích địa chất dị thƣờng trọng lực bao gồm phân tích các quy luật phân bố của nó trên mặt đất (hoặc gần mặt đất) và mối liên hệ để nó giải quyết các nhiệm vụ khác. Giải thích địa chất dị thƣờng trọng lực đƣợc hình thành nhƣ sau: Dựa vào số liệu trọng lực đo đạc và số liệu địa chất, địa vật lý sẵn có, vào kinh nghiệm giải thích trọng lực tại các vùng tƣơng đƣơng, ta có thể đƣa ra những kết luận địa chất về vùng cho trƣớc tƣơng ứng với nhiệm vụ địa chất đề ra. Nhiệm vụ giải thích dị thƣờng trọng lực đƣợc phân loại dƣới hai hình thức: Phân tích định tính và định lƣợng. Khi giải thích định tính cần xác định: - Các yếu tố địa chất chắc chắn ảnh hƣởng lên trƣờng trọng lực cũng nhƣ các trƣờng vật lý khác (nếu nhƣ các phƣơng pháp Địa vật lý khác cũng đƣợc áp dụng). - Vị trí của yếu tố địa chất hoặc vật quặng. - Vùng hoặc khu vực cần phải tiến hành nghiên cứu tỉ mỉ hơn. - Điểm hoặc vùng nhỏ tại đó tại đó có thể đặt đƣợc các lỗ khoan hoặc đào hầm lò. - Khả năng và điều kiện để phân tích định lƣợng. Trong trƣờng hợp tổng quát, có bốn yếu tố địa chất chính gây nên dị thƣờng trọng lực: - Cấu tạo các lớp trầm tích. - Địa hình mặt nền kết tinh. 2
- Cấu tạo bên trong của nền kết tinh. - Cấu tạo sâu vỏ Trái đất. Khi minh giải định tính ta tiến hành mô tả một cách hệ thống các vùng dị thƣờng và dị thƣờng riêng biệt, chỉ rõ bản chất địa chất dị thƣờng đƣợc mô tả với xác suất lớn nhất, đƣa ra những đề nghị về việc tiến hành những nghiên cứu tiếp theo. Công tác phân tích định lƣợng đƣợc tiến hành khi: - Có lƣợng thông tin đầy đủ hoặc tƣơng đối đầy đủ về địa chất của vùng, do đó có khả năng hình thành mẫu vật lý của môi trƣờng địa chất dùng để phân tích dị thƣờng trọng lực. - Tác dụng của một trong những yếu tố địa chất gây nên dị thƣờng trội hơn. Để đảm bảo yêu cầu này, trong thực tế ngƣời ta sử dụng các phƣơng pháp biến đổi trƣờng. - Các yếu tố địa chất trong vùng tƣơng đối ổn định có thể sử dụng một hoặc tổ hợp phƣơng pháp phân tích chung. - Các số liệu đo đạc có độ chi tiết và chính xác cao. - Cơ sở lý thuyết phân tích tốt. 1.2. Các biểu thức tích phân tổng quát về đạo hàm của thế trọng lực Để thuận tiện cho việc tính toán sau này ngƣời ta viết lại các biểu thức tích phân tổng quát của thế hấp dẫn và các đạo hàm của chúng khi giải các bài toán thuận và nghịch. Thế V tại điểm với tọa độ x1, y1, z1 đƣợc biểu diễn bằng công thức: V x1 , y1 , z1   G  dm (1.1) r trong đó: r x  x    y  y   z  z  1 2 1 2 1 2 3
O y A(x1,y1,z) r dm(x,y,z) x B z Hình 1.1: Xác định thế các đạo hàm của một chất điểm Từ đó ta có: g  V  k z  z1  dm (1.2) z1 r3 Vxz   2V  3k  x  x1 z  z1  (1.3) z1x1 r3 Vyz   2V  3k   y  y1 z  z1  dm (1.4) z1y1 r3  2V  2V V  2  2  3k   y  y1   x  x1  dm 2 2 (1.5) y1 x1 r3 Trong đó: K : là hệ số hấp dẫn Vxz: Đạo hàm của thế trọng lực theo phƣơng nằm ngang x Vyz: Đạo hàm của thế trọng lực theo phƣơng nằm ngang y  g: Đạo hàm của thế trọng lực theo phƣơng thẳng đứng z Đặt gốc tọa độ tại điểm quan sát A, tức là trong công thức đặt x 1=y1=z1=0 thì ta có: 4
z xz V  k  3 dxdydz (1.6) Vxz  3k  dxdydz (1.7) v r v r5 yz y2  x2 V yz  3k  5 dxdydz (1.8) V  3k  dxdydz (1.9) v r v r5 V zz g   k  3 1 dxdydz (1.10) z1 r Trong thực tế thƣờng gặp các vật thể có dạng kéo dài một hƣớng. Với độ chính xác khá đủ có thể xem các vật thể đó là các vật thể hai chiều. Việc giải bài toán thuận và nghịch đối với bài toán hai chiều đơn giản hơn nhiều so với bài toán ba chiều. Để chuyển từ bài toán ba chiều về bài toán hai chiều thì trong công thức cho vật thể ba chiều ở trên cần cho một biến chạy từ - +. Để làm ví dụ, chúng ta xét trƣờng hợp Vz(  g). Từ công thức ba chiều (1.2) ta có: V zz g   k  3 1 dxdydz z1 v r Cho biến y chạy từ -+, lúc đó ta có: g  V  k  z  z1 dxdydz   (1.11) z1 x  x1 2   y  y1 2  z  z1 2 1/ 2 Trong biểu thức (1.11), biến số y chạy từ -  + còn các biến số (x,y) di chuyển trong giới hạn tiết diện ngang S của vật thể. Nếu đƣa vào biến số mới : y  y1  x  x  1 2  z  z1  tg 2 Vz x1 , y1   k   zz   /2 Thì: x  x   z  z    cos ddydz 1 2 2 (1.12) 1 1  /2 z  z1 từ đó: Vz  k  dxdz (1.13) x  x1 2  z  z1 2 Cũng nhƣ trong trƣờng hợp ba chiều, nếu đặt điểm quan sát tại gốc tọa độ tức cho x1=y1=0 thì: 5
z Vz  2k  dxdz (1.14) x  x  1 2  z  z1  2 Có thể viết lại (1.14) trong hệ tọa độ cực.  x  rco s  Từ hình (1.2) ta có:  y  r sin  dS  dxdy  rdr  Lúc đó (1.14) có dạng:  Vz 0,0  2k   sin ddr (1.15)  Trên cơ sở các bài toán tổng quát trên chúng ta xét các bài toán cụ thể: Hình 1.2: Xác định thế và đạo hàm của vật thể hai chiều 1.3 . Bài toán thuận cho những vật thể có dạng hình học 1.3.1. Hình cầu hoặc điểm vật chất Trong thực tế, thƣờng gặp các vật thể địa chất tƣơng đối có dạng đẳng thƣớc, kích thƣớc ngang của chúng theo các hƣớng cùng một bậc. Khi tính toán tác dụng trọng lực của các vật thể này, ngƣời ta thƣờng xem chúng có dạng hình cầu hoặc là điểm vật chất. Các vật thể địa chất này thƣờng rất khác nhau: các vật quặng dạng ổ, dạng bƣớu, các vòm mối, các lỗ hổng cáctơ… Khảo sát vật thể hình cầu tâm C nằm trong mặt phẳng xoz với các tọa độ xc= x, yc=y, zc= h (hình 1.3). Khối lƣợng của toàn bộ hình cầu là M, nằm tại tâm hình cầu. Vì thế ta không phải tính các tính phân khối trên. 6
Hình 1.3: Xác định thế và các đạo hàm của vật thể hình cầu Tại gốc tọa độ:  kMh xh g  Vz   3  (1.16) Vxz  3kM (1.17)  r  r3 x2 2h 2  x 2 V  3kM 5 (1.18) Vzz  kM (1.19) r r5 Vyz  Vxy  0 (1.20) r  x 2  h2 (1.21) Để thuận tiện cho việc tính toán ta biến đổi các công thức này khác đi. Đặt tâm hình cầu dƣới gốc tọa độ (0,0,h), chỉ cần thay đổi dấu của x mà thôi, tức là:  kMh xh g   3  (1.22) Vxz  3kM (1.23)  r  r3 x2 2h 2  x 2 V  3kM 5 (1.24) Vzz  kM (1.25) r r5 Vyz  Vxy  0 (1.26) r  x 2  h2 (1.27) 7
Hình 1.4: Trƣờng trọng lực của hình cầu 1.3.2. Thanh vật chất nằm ngang, hình trụ tròn nằm ngang Các vật thể địa chất dạng này là các cấu tạo dài (các nếp uốn), dạng thấu kính, các mạch quặng, các vỉa quặng… Hình trụ tròn nằm ngang, nằm dọc theo tâm của hình trụ. Nếu một đơn vị độ dài của thanh có khối lƣợng là m thì tƣơng ứng với hình trụ ta có: =R2 với  là khối lƣợng một đơn vị dài. Trong trƣờng hợp thành phần vật chất nằm ngang ta có thể tính đƣợc giá trị Vz trực tiếp từ công thức (1.14) mà không cần lấy tích phân, tức là: h g 0,0  Vz 0,0  2k (1.28) x  h 2 2 2 Từ đó tìm đƣợc: h Vxz 0,0  4k (1.29) x 2  h 2 2 h2  x2 V 0,0  Vzz 0,0  2k 2 (1.30) x  h 2 2 Vxy 0,0  Vyz 0,0  0 (1.31) Để thuận tiện ta viết lại công thức khi đặt gốc tọa độ trên trục của hình trụ, còn x là các tọa độ của điểm quan sát. Muốn vậy ta chỉ cần thay đổi x bởi –x trong các công thức trên là đƣợc: 8
g x,0  Vz x,0  2k h (1.32) x  h2 2 h Vz x,0  4k (1.33) x 2  h 2 2 h2  x2 V x,0  Vzz x,0  2k 2 (1.34) x  h 2 2 Hình 1.5: Trƣờng trọng lực của hình trụ tròn nằm ngang 1.3.3. Nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang Các dạng vật thể này có biên độ bé, các vùng vót nhọn, các lớp nằm ngang có độ dày bé… Giả sử rằng mặt phẳng vật chất nằm ngang có mật độ  nằm tại độ sâu h so với mặt đất, có đƣờng biên song song với trục y, tọa độ ngang của đƣờng biên là đƣờng x (hình 1.7). Sử dụng công thức tổng quát (1.14) cho trƣờng hợp này =dz, z=h, ta lấy tích phân theo x từ x đến +, kết quả thu đƣợc:  x g x   Vz 0  2kh  dx  2k   arctan  (1.35) x h 2 2 2 h 9
Hình 1.6: Xác định thế và các đạo hàm của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang Từ đó, ngƣời ta tính đƣợc hàm bậc hai của thế trọng lực là: xdx 1 h Vzx 0  4kh   2 kh  2 kh (1.36) x 2  h 2 2 x2  h2 x2  h2 Tƣơng tự: 0  2kh  x  h dx  2kh 2 2 x Vzx (1.37) x  h  2 2 2 x 2  h2 Để thuận tiện cho việc tính toán sau này, ta đặt gốc tọa độ tại điểm chiếu của cạnh bên trên trục x, còn lấy là tọa độ của điểm quan sát. Trong trƣờng hợp này ta chỉ cần thay đổi dấu của x trong các công thức (1.34), (1.35), (1.36) là đƣợc.  x g x   Vz x   2k   arctan  (1.38) 2 h Vxz x   2kh h (1.39) x  h2 2 Vzz x   2kh x (1.40) x  h2 2 10
Hình 1.7: Trƣờng trọng lực của nửa mặt phẳng vật chất nằm ngang 1.3.4. Hình hộp vuông góc Nhiều vật thể địa chất gần đúng có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng những khối bị giới hạn bởi những mặt phẳng, các cấu tạo địa lũy, địa hào, các khối quặng riêng biệt, những vật thể có thể đƣợc xem là các dạng hình hộp vuông góc. Tính toán tác dụng trọng lực do hình hộp vuông góc gây ra đƣợc dùng để nghiên cứu các vật thể khác thƣờng gặp trong thực tế nhƣ bậc thẳng đứng, lớp thẳng đứng. Các công thức trọng lực của hình hộp vuông góc còn đƣợc sử dụng để tính toán hiệu ứng trọng lực do các vật thể ba chiều có hình dạng bất kỳ gây ra. Giả sử có hình hộp vuông góc bị giới hạn bởi các mặt: x  x1 ; x  x2 ; y  y1 ; y  y2 ; z  z1 ; z  z2 . Đặt gốc tọa độ tại điểm tính toán. Xuất phát từ các công thức (1.7), (1.8) ta đƣợc: zr Vz 0,0,0  g 0,0,0   z x ln  y  r   y ln x  r   zarct g x2 y 2 z 2 x1 y1 z1 (1.41) xy Vzx 0,0,0  k ln  y  r  xx yy zz 2 2 2 1 1 1 (1.42) xz Vzz 0,0,0  k  arct g x2 y 2 z 2 x1 y1 z1 (1.43) yr  yz xz  zr V 0,0,0  k  arct g  arct g  xx yy zz nx  r   zarct g 2 2 2 x2 y2 h2 x1 y1h1 (1.44)  xr yr  xy 1 1 1 Trong đó: 11
r  x2  y2  z 2 Với hình hộp kéo dài ra vô cùng theo trục y, thì từ các công thức, cho y chạy từ -   +, ta thu đƣợc:  x2  z 2 x2  z 2  x   x  Vz 0,0  k  x1 ln 12 22  x2 ln 22 22  2 z2  arct g 1   2 z1  arct g 2  arct g 1   x  x1  z1 x2  z1  z2   z1 z2   (1.45) Vxz 0,0  2k ln x 2 1  z 22 x12  z12  x  z12 x22  z 22  2 (1.46) 1  x z z x  Vzz 0,0  2k  arct g 2  arct g 2  arct g 1  arct g 1  (1.47)  z2 x1 x1 x2  1.3.5. Lăng trụ thẳng đứng Lăng trụ thẳng đứng là vật bị giới hạn bởi hai mặt phẳng thẳng đứng song song với nhau và một mặt phẳng nằm ngang. Trong trƣờng hợp này ta xem z2=, z1=h. Với điều kiện này chúng ta thấy rằng g = , hơn nữa cho độ dày lớp bằng 2d thì: x2  x  d ; x1  x  d Chuyển gốc tọa độ về tạo hình chiếu của trọng điểm trên của lớp trên mặt đất (thay đổi dấu của x). Từ công thức (1.41), chúng ta thu đƣợc các kết quả sau đây: 0,0  k ln x  d   h2 2 Vxz (1.48) x  d  2  h2 2dh Vzz 0,0  karct g (1.49) x2  d 2  h2 1.3.6. Bậc thẳng đứng Trong lý thuyết phân tích các dị thƣờng trọng lực, ngƣời ta hiểu bậc thẳng đứng là vật thể hai chiều bị giới hạn bởi hai mặt phẳng song song vô hạn và một mặt thẳng đứng. Tiết diện ngang của của vật thể này có dạng dải vuông góc vô cùng, có các cạnh song song với trục x và trục z. 12
Từ (hình 1.8a và 1.8b) ta thấy rằng bậc thẳng đứng tƣơng tự nhƣ mặt phẳng vật chất nằm ngang nhƣng nó tổng quát và phức tạp hơn. Hình 1.8 a, 1.8 b: Bậc thẳng đứng Theo định nghĩa trên, ngƣời ta sử dụng mật độ dƣ của các bậc thẳng đứng là khác không còn toàn bộ không gian là bằng không. Nhƣng nếu phần không gian dƣới bậc có mật độ dƣ khác không thì dị thƣờng trọng lực gây ra vẫn không thay đổi. Trong thực tế các vật địa chất dạng này là các cấu tạo tiếp xúc với vòm muối hoặc là các khối xâm nhập với các vùng đất đá vây quanh. Có thể nói rằng bậc thẳng đứng là một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết và thực tế khi phân tích dị thƣờng trọng lực. Gọi h là tọa độ ngang của đƣờng biên của bậc, h1 và h2 là độ sâu đến các mép giới hạn trên và dƣới của bậc. Để tính hiệu ứng trọng lực trong trƣờng hợp này, ngƣời ta lấy tích phân các công thức tổng quát (1.6), (1.7), (1.8), (1.9) theo các biến x, y, z, sau đó thay cận tích phân y=, x đến  và z từ h1 đến h2. Cụ thể là: zr Vz 0,0,0  k x ln  y  r   y ln x  r   zarct g x2 y2 h2 x1 y1h1 (1.50) xy Vxz 0,0,0  k ln  y  r  xx yy hh 2 2 2 1 1 1 (1.51) xy Vzz 0,0,0  karct g x2 y2 h2 x1 y1h1 (1.52) zr  yz xz  V 0,0,0  k  arct g  arct g  xx yy hh 2 2 2 (1.53)  xr yr  1 1 1 13
Trong đó: r  x2  y2  z 2 Trƣớc hết cho y1=-, y2=+ ta có:   Vz 0,0  g 0,0  k  x ln x 2  z 2   2 zarct g x  x2 h2 (1.54)   x1h1 z Vxx 0,0  k ln x 2  z 2  xx hh 2 2 1 1 (1.55) z Vz 0,0  2karct g x2 h2 x1h1 (1.56) x Các công thức trên biểu thị tác dụng trọng lực của hình hộp chạy dài vô cùng theo trục y với tiết diện ngang là hình chữ nhật có các cạnh bằng (x1, x2) và (h1, h2). Để tính đƣợc hiệu ứng trọng lực của bậc thẳng đứng, trong các công thức trên thay x1=x, x2=. Kết quả chúng ta thu đƣợc:   Vz 0,0  g  z  2arct g  x ln x 2  z 2  hh  x 2 (1.57)  z  1 Vxz 0,0  k ln x 2  z 2  hh 2 1 (1.58) z Vzz 0,0  2karct g h2 h (1.59) x Dịch chuyển gốc tọa độ về điểm nằm trên biên của bậc thẳng đứng (điểm x, 0) và thay cận lấy tích phân, ta có:  x x x 2  h22  Vz 0,0  g 0,0  k   h2  h1   2h2 arct g  2h1arct g  x ln 2   h2 h1 x  h12  (1.60) x 2  h22 Vz x,0  k ln (1.61) x 2  h12  h h  Vzz x,0  k  arct g 2  arct g 1  (1.62)  x x 14