Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phạm vi của luận văn này là hệ thống lại một số kết quả đã có và tìm hiểu thêm các tính chất của tích phân ngẫu nhiên, xem xét một số ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên, khái quát lại những kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên và trên cơ sở đó bước đầu tìm hiểu về tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale

Mục lục Lời nói đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Không gian Lp và tính đo được . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes . . . . . . 8 1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc . . . . . . . . . 9 1.4 Điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng . . . . . . . 13 1.6 Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Kỳ vọng có điều kiện và tính chất . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện . . . . . 17 1.7.2 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện . . . . . . 17 1.8 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Tích phân ngẫu nhiên đối với L2 -Martingale 26 2.1 Các tập hợp và quá trình dự đoán được . . . . . . . . . . 28 2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Độ đo trên các tập hợp dự đoán được . . . . . . . . . . . 32 2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân . . . . 42 3 Công thức Ito 47 3.1 Quá trình biến phân bậc hai và các tính chất . . . . . . . 47 3.1.1 Định nghĩa và đặc trưng của biến phân bậc hai . 48 3.1.2 Tính chất của biến phân bậc hai đối với L2 -Martingale 51 i
3.1.3 Định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Công thức Ito một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Ứng dụng của công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.1 Đặc trưng của chuyển động Brown . . . . . . . . 59 3.3.2 Quá trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.3 Một họ Martingale sinh ra bởi M . . . . . . . . . 65 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN TÍNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN TÍNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2011
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của luận văn này tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn trong quá trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên , ĐHQG Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập tại khoa. Đồng thời, tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các bạn bè trong lớp Cao học toán khoá 2007-2009 cũng như các đồng nghiệp ,người thân và gia đình đã động viên giúp đỡ trong quá trình làm luận văn. Hà nội, ngày 10 tháng 3 năm 2011 Học viên Nguyễn Văn Tính
LỜI NÓI ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết xác suất - thống kê hiện đại, nó có ứng dụng rộng rãi ở tất cả các lĩnh vực khác nhau như trong công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng khoán, bảo hiểm, dự báo rủi ro, trong nông nghiệp.Và hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu và phát triển về nó. Trong đó tích phân ngẫu nhiên là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích ngẫu nhiên. Từ khái niệm đó người ta đã xây dựng nên một loại tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale,mở rộng tích phân Ito, chúng rất có ý nghĩa về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Do đó đã được các nhà toán học và các nhà kinh tế nghiên cứu và phát triển. Phạm vi của luận văn này là hệ thống lại một số kết quả đã có và tìm hiểu thêm các tính chất của tích phân ngẫu nhiên, xem xét một số ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên, khái quát lại những kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên và trên cơ sở đó bước đầu tìm hiểu về tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale Luận văn được chia làm 3 chương cụ thể như sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở cần cho các chương tiếp theo.Trọng tâm là: Martingale, martingale liên tục, martingale liên tục phải, martingale địa phương, martingale liên tục phải địa phương Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên. Nghiên cứu các tập hợp và quá trình dự đoán được, khoảng thời gian ngẫu nhiên, độ đo trên các tập dự đoán được, mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân địa phương Chương 3: Công thức Ito. Tìm hiểu về biến phân bậc hai và tính chất của biến phân bậc hai, công thức Ito và ứng dụng của công thức Ito 5
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự chỉ bảo của thầy cô và sự góp ý xây dựng của bạn bè cũng như đồng nghiệp . Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 10 tháng 3 năm 2011 Học viên Nguyễn Văn Tính 6
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Lp và tính đo được Giả sử (S, Σ) là một không gian đo được, gồm một tập hợp S khác rỗng và một σ- trường Σ các tập con của S. Một hàm X : S → Rd gọi là Σ- đo được nếu X −1 (A) ∈ Σ với mọi tập Borel A trong Rd , ở đây X −1 kí hiệu là nghịch ảnh. Một định nghĩa giữ nguyên tương tự đối với hàm X :S→R ¯ = [−∞, ∞] .Ta sử dụng 00 X ∈ Σ00 có nghĩa là " X là Σ- đo được " và 00 X ∈ bΣ00 có nghĩa ” X bị chặn và Σ đo được ". Nếu ΓPlà một họ con của Σ, một hàm X : S → Rd gọi là Γ- đơn giản nếu X = nk=1 ck 1Λk với ck là hằng số trong Rd , tập hợp Λk ∈ Γ, và n ∈ N. Một hàm như vậy gọi là Σ-đo được. Ngược lại bất kỳ hàm Σ- đo được là một giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm Σ-đơn giản Ví dụ : Một hàm Σ-đo được X : S → R là giới hạn theo từng điểm của một dãy {X n } của hàm Σ-đơn giản xác định bởi: n n2 n X k X = 1{k2−n 6X
Giả sử v là một độ đo dương trên (S, Σ). Một tập hợp trong Σ của v-độ đo không gọi là một v- tập hợp có độ đo không .Với p ∈ [1, ∞), Lp (S, Σ, v) biểu thị không gian vectơ của hàm Σ- đo được X : S → R mà   p1 Z ||X||p ≡  |X(s)|p v(ds) S là hữu hạn .Nếu các hàm là bằng nhau v - hầu khắp nơi, thì Lp (S, Σ, v) là một không gian Banach với chuẩn ||.||p . Trong trường hợp p = 2 , nó cũng làR một không gian Hilbert với tích trong (., .) xác định bởi (X, Y ) = S X(s)Y (s)v(ds) với X và Y trong L2 (S, Σ, v). Bất cứ khi nào ta xem những không gian theo cách này, nó sẽ được ẩn mà ta đang xác định các hàm là bằng nhau v-hầu khắp nơi . 1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes Cho một hàm giá trị thực g trên R+ , biến phân của g trên [0, t] xác định bởi: ! Xn−1 |g|t ≡ sup |g(tk+1 ) − g(tk )| k=0 là sự phân hoạch của [0, t] bởi 0 = t0 < t1 < ... < tn = t. Biến phân |g|t tăng theo t . Nếu |g|t < ∞, g gọi là biến phân bị chặn trên [0, t]. Nếu điều này đúng với mọi t trong R+ , g gọi là có biến phân bị chặn địa phương trên R+ ; và nếu supt∈R+ |g|t < ∞ thì g là biến phân bị chặn trên R+ . Một hàm liên tục là biến phân bị chặn địa phương trên R+ nếu và chỉ nếu nó là hiệu của hai hàm tăng liên tục. Một hàm g có biến phân bị chặn địa phương trên R+ cảm sinh một độ đo có dấu µ trên σ- trường B, trong đó µ((a, b]) = g(b) − g(a) với a < b trong R+ và µ({0}) = 0. Độ đo µ là duy nhất xác định bởi những khoảng ở trên (a, b] cùng với {0} sinh ra B. Nó là độ đo dương trên (a, b] nếu g tăng và không có các 8
nguyên tử nếu g liên tục. Biến phân |µ| của µ là độ đo liên kết với biến phân |g|. Nếu f ∈ L1 ([0, t], Bt , |µ|), thì tích phân Lebesgue-Stieltjes của f đối với g trên [0, t] xác định bởi Z Z f (s)dg(s) ≡ f dµ [0,t] [0,t] ∞ X k k k+1 = lim µ s ∈ [0, t] : n 6 f (s) < n n→∞ 2n 2 2 k=0 −∞ X (k + 1) k k+1 + µ s ∈ [0, t] : n 6 f (s) < n 2n 2 2 k=−1 R R và | [0,t] f (s)dg(s)| 6 [0,t] |f |d|µ|. Nếu tích phân cuối hữu hạn đối R với mọi t ∈ [0, T ] và g liên tục, thì [0,t] f (s)dg(s) là một hàm liên tục Rt của t ∈ [0, T ] và ta biểu thị nó bởi 0 f (s)dg(s). Nếu f là hàm liên tục trên [0, t], thì tích phân Riemann- Stieltjes của f đối với g trên [0, t] xác định và bằng với tích phân Lebesgue-Stieltjes ,nghĩa là Z Nn X f (s)dg(s) = lim f (snk )(g(tnk ) − g(tnk−1 )), (1.1) n→∞ k=1 [0,t] đối với bất kỳ dãy các phân hoạch 0 = tn0 < tn1 < . . . < tnNn = t của [0, t] trong đó snk ∈ [tnk−1 , tnk ] và maxN k=1 |tk − tk−1 | → 0 khi n → ∞. Nếu g n Rt liên tục, thì 0 f (s)dg(s) cũng xác định bởi (1.1) khi f liên tục phải trên [0, t] với giới hạn trái hữu hạn trên (0, t] hoặc liên tục trái trên (0, t] với giới hạn phải hữu hạn trên [0, t) 1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc Cho(Ω,F, P ) ,là một không gian xác suất. Điều này có nghĩa là (Ω,F) là một không gian đo được và P là một độ đo xác suất trên (Ω,F) ,sao cho mỗi tập con của một P -tập hợp có độ đo không trong F là trong F. Kí hiệu ω biểu thị một phần tử sinh của Ω .Đối với hàm Y :Ω 7−→ Rd , ¯ (hoặc R),và ¯ Y −1 (A) ={ω:Y (ω)∈ A} thì một tập A trong Rd (hoặc R), 9
cũng viết như {Y ∈ A}. R Ta viết Lp đối với Lp (Ω,F, P ). Với X∈ L1 , E(X) ≡ Ω X dP biểu thị kỳ vọng R của X .Khi mở rộng ký hiệu đối với Λ ∈ F , E(X,Λ) biểu thị Λ X dP và khi Λ là dạng của {Y ∈ A} ,điều này thì được viết như E(X;Y ∈ A) .Một hàm F- đo được X: Ω 7−→ Rd được gọi là biến ngẫu nhiên nếu d = 1 hoặc một véc tơ ngẫu nhiên nếu d ≥ 2 .Cho một tập hợp chỉ số tùy ý Γ và hàm tùy ý Xα từ Ω tới Rd hoặc R, ¯ σ-trường σ{Xα ,α ∈ Γ} là σ- trường nhỏ nhất của tập hợp con của Ω sao cho Xα là đo được đối với nó cho mỗi α ∈ Γ.Điều này được gọi là σ- trường sinh bởi tập hợp {Xα ,α ∈ Γ} . Nếu G là một σ- trường con của F , bổ sung G˜ của G là σ- trường nhỏ nhất chứa G và tất cả các P- tập hợp có độ đo không trong F. Lọc là một họ {Ft ,t ∈ R+ } của σ- trường con của F sao cho Fs ⊂ Ft với mọi s < t trong R+ . Nếu thoả mãn hai điều kiện sau ,thì {Ft , t ∈ R+ } gọi là một lọc tiêu V chuẩn : (i) Ft = Ft+ ≡ s>t ,với mọi t; (ii) F0 chứa tất cả P- tập hợp có độ đo không trong F 1.4 Điều kiện hội tụ Ta xem lại một vài khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất dưới đây. Giả định rằng với các tính chất cơ bản của sự hội tụ trong Lp , theo xác suất ,và hội tụ hầu chắc chắn , cũng như tính khả tích đều và hội tụ theo phân phối . Định nghĩa 1.4.1. Biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ theo xác xuất tới biến ngẫu nhiên X nếu với ε > 0 bất kỳ . lim P [|Xn − X| > ε] → 0 n→∞ Định nghĩa 1.4.2. Dãy biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho Xn (ω) → X(ω) với ω∈ /A 10
Định nghĩa 1.4.3. Dãy biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p (0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên X nếu E|Xn − X|p → 0, (n → ∞) Mệnh đề 1.4.4. Cho p ∈ [1, ∞) và {Xn } là một dãy biến ngẫu nhiên trong Lp hội tụ theo xác suất hoặc hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X. Khi đó ba phát biểu dưới đây là tương đương (i) {Xn } hội tụ đến X trong Lp . (ii) {|Xn |p } là khả tích đều . (iii) limn→∞ E(|Xn |p ) = E(|X|p ). 1.5 Quá trình ngẫu nhiên Cho một không gian xác suất (Ω,F, P ) và một không gian trạng thái đo được {E,E} , một quá trình ngẫu nhiên là một họ (Xt )t≥0 sao cho Xt là một biến ngẫu nhiên có giá trị trong E cho mỗi thời điểm t ≥ 0 .Chính thức hơn, một ánh xạ X:(R+ ×Ω,B+ ⊗F) −→ (R, B) , ở đây B+ là tập Borel của không gian thời gian R+ . 1.5.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.5.1. . Quá trình (Xt )t≥0 được cho là đo được nếu ánh xạ (R+ ×Ω,B+ ⊗F) −→ (R) :(t,ω ) −→ Xt (ω) là đo được trên (R+ ×Ω) đối với σ- trường B(R+ )⊗F . Liên kết với một quá trình là một lọc , một chuỗi tăng của σ - đại số ,nghĩa là. Fs ⊂ Ft nếu 0 6 s 6 t < ∞ Xác định F∞ bởi _ [ F∞ = Ft = σ( Ft ) t≥0 t≥0 11
Nếu (Xt )t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên,thì lọc tự nhiên của (Xt )t≥0 được cho bởi FtX = σ(Xs : s 6 t). Quá trình (Xt )t≥0 được cho là (Ft )t≥0 thích nghi, nếu Xt là Ft đo được đối với mỗi t ≥ 0. Quá trình (Xt )t≥0 rõ ràng là thích nghi đối với lọc tự nhiên. Định nghĩa 1.5.2. . Một quá trình đo được dần dần nếu cho mỗi t hạn chế của t với thời gian khoảng [0, t] là đo được đối với B[0,t]⊗Ft , ở đây B[0,t] là σ-đại số Borel của các tập con của [0, t] Định nghĩa 1.5.3. Một quá trình (Xt )t≥0 được cho là bị chặn nếu có tồn tại một hằng số K ,sao cho đối với tất cả ω và t≥ 0, thì |Xt (ω)| < K Định nghĩa 1.5.4. Cho (Xt )t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F.P ), và cho X’ = (Xt0 )t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F, P ) .Thì X và X 0 có cùng phân bố hữu hạn chiều nếu với mọi n, 06 t1
biệt được nếu P (Xα = Yα với mọi α ∈ Γ ) = 1. Hai tập hợp mà bản sao của mỗi tập khác nhau không cần phải phân biệt rõ ràng. Tuy nhiên nếu X và Y là mỗi bản sao khác nhau và Γ là đếm được hoặc X và Y là quá trình liên tục phải (hoặc trái), thì chúng không phân biệt được. Đối với tất cả mục đích thực hành quá trình không phân biệt được nên được coi là giống nhau. Đối với trường hợp cá biệt, nếu trong định nghĩa của quá trình liên tục ta chỉ cần đòi hỏi rằng hầu hết mọi quỹ đạo liên tục, như vậy một quá trình sẽ không phân biệt được từ một với tất cả quỹ đạo liên tục. Thực vậy ta sẽ thường chứng minh rằng trên phần bù của một P - tập hợp có độ đo không có một bản sao liên tục của một quá trình đã cho. Điều đó tầm thường để định nghĩa bản sao trên tập hợp có độ đo không để làm cho nó liên tục trên tất cả Ω. Như vậy một bản sao là duy nhất về tính không thể phân biệt được. Tương tự như vậy để điều chỉnh cho đúng nếu ta thay thế liên tục bởi liên tục phải ở trên. Từ bây giờ quá trình có nghĩa là một quá trình một chiều với I = R+ trừ trường hợp quy định 1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng 1.5.2.1 Quá trình Poisson Một quá trình N = {Nt , t ∈ R+ } là một quá trình Poisson với tham số α > 0 nếu nó có những tính chất sau đây: (i) N0 = 0 (ii) với 0 6 s < t < ∞, Nt − Ns là một biến ngẫu nhiên Poisson với trung bình là α(t − s) có nghĩa là Nt − Ns lấy giá trị trong N0 sao cho (αt)n e−αt P (Nt − Ns = n) = n! với mọi n ∈ N0 (iii) với 0 6 t0 < t1 < ... < tl < ∞, {Nt0 ; Ntk − Ntk−1 , k = 1, . . . , l} là một họ các biến ngẫu nhiên độc lập 13
Nhận xét: Mọi quá trình Poisson đều có bản sao với quỹ đạo liên tục phải. Ta sẽ chỉ sử dụng bản sao này. Hầu chắc chắn quỹ đạo của một quá trình Poisson là các hằng số trừ tại các bước nhẩy. Các bước nhẩy này có độ lớn là 1. Số các bước nhẩy này là hữu hạn trong mỗi khoảng thời gian bị chặn. Nhưng sẽ là vô hạn trong [0; ∞). Lượng thời gian giữa các bước nhẩy liên tiếp là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối mũ với tham số α. Nhưng nếu Tn là thời gian giữa các bước nhẩy nts và (n + 1)st thì P (Tn > t) = e−αt với mỗi t . Đối với một quá trình Poisson N , thì tồn tại một bộ lọc tiêu chuẩn{Ft } xác định bởi Ft = σ{Ns , 0 6 s 6 t} với t ∈ R+ , vì bộ lọc chứa các tập P - không của F trong Ft ta có Ft = Ft+ . 1.5.2.2 Chuyển động Brown Một quá trình B = {Bt , t ∈ R+ } đươc gọi là một chuyển động Brown trong R nếu nó có tính chất sau đây: (i) với 0 6 s < t < ∞, Bt − Bs là một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình không và phương sai t − s ; (ii) với 0 6 t0 < t1 < ... < tl < ∞, {Bt0 ; Btk − Btk−1 , k = 1, . . . , l} là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập. (iii) B là quá trình liên tục,tức là hầu hết các quỹ đạo của B là hàm liên tục Một chuyển động Brown trong Rd là một bộ d- quá trình một chiều B = {Bt = (Bt1 , Bt2 , . . . , Btd ), t ∈ R+ } Trong đó mỗi B i = {Bti , t ∈ R+ }, i = 1, 2, . . . , d là một chuyển động Brown trong R và các B i là độc lập với nhau . Ta sẽ ki hiệu P x và E x là xác suất và kỳ vọng của một chuyển động Brown B sao cho B0 = x hầu chắc chắn 14
Nhật xét : Từ tính chất (i) ta suy ra rằng mỗi thành phần độc lập của B phân phối của Bt - Bs chỉ phụ thuộc vào phân phối của t − s .Tính chất này được gọi là tính chất thuần nhất theo thời gian hay là tính dừng .Hơn nữa, nếu B0 = x hầu chắc chắn, thì xác suất chuyển là Z x − 12 d Pt (x, A) ≡ P (Bt ∈ A) = (2πt) exp(−|x − y|2 /2t)dy A với mọi t > 0 ,x ∈ Rd .và tập Borel A trong Rd .Do đó Pt (x0 + x, x0 + A) = Pt (x, A) với mọi x0 ∈ Rd Tính chất (ii) ở trên gọi là tính chất có số gia độc lập. Tính chất này vẫn đúng cho chuyển động Brown d-chiều. Mọi chuyển Brown đều có một bản sao liên tục .Ta sẽ sử dụng bản sao này. Chuyển động Brown có lọc tự nhiên xác định bởi: Ft = σ{Bs , 0 6 s 6 t} với mỗi t. Mội tính chất cơ bản của chuyển động Brown là tính chất Markov mạnh. Tính chất này nói lên điều sau đây: Cho trước diễn biến của một chuyển động Brown B tới một thời điểm dừng hữu hạn τ , thì dáng điệu của B sau đó chỉ phụ thuộc vào τ và vào trạng thái Bτ của B tại thời điểm τ . Nói chính xác nếu f : Rd → R là một hàm đo được Borel và τ là một thời điểm dừng thì E(1{τ
một lọc tiêu chuẩn để Ft = Ft+ , thì điều kiện trên τ là tương đương với {τ < t} ∈ Ft với mỗi t . Kết hợp với một thời điểm dừng τ là σ-trường Fτ . Điều này bao gồm tất cả tập A trong F∞ ≡ ∨t∈R+ Ft , thỏa mãn A ∩ {τ 6 t} ∈ Ft với mọi t ∈ R+ Định lý 1.6.1. τ là một thời điểm dừng đối với Ft+ nếu và chỉ nếu với mọi t ∈ R+ ,biến cố {τ < t} là Ft -đo được Chứng minh. Cho τ là một Ft+ thời điểm dừng thì với mọi t ∈ R+ biến cố {τ < t} là Ft -đo được. Do đó 1/n < t ta có 1 τ 6t− ∈ F(t−1/n)+ ⊂ Ft n như vậy ∞ [ 1 {τ < t} = τ 6t− ∈ F(t−1/n)+ ∈ Ft n=1 n Để chứng minh chiều ngược lại nếu t ∈ [0, ∞) ta có {τ < t} ∈ Ft thì với mỗi t 1 τ
1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện Định nghĩa 1.7.1. Cho một không gian xác suất (Ω,F, P ) và cho A ∈ F với P (A) > 0 .Xác định Q(B) = P (B|A) = PP(AB) (A) , với mọi B ∈ F , Q(B) là một độ đo xác xuất trên (Ω,F). Nếu X là một biến ngẫu nhiên ,ta xác định kỳ vọng có điều kiện của X đối với A là Z E(X|A) = XdQ A Định nghĩa 1.7.2. Giả sử (Ω,F, P ) là không gian xác suất,G là σ-đại số con của F ,X là biến ngẫu nhiên khả tích .Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với G đã cho là biến ngẫu nhiên M thỏa mãn các điều kiện sau: (i) M là G- đo được (ii) M thỏa mãn đẳng thức Z Z M dP = XdP, A ∈ G A A M còn được ký hiệu là E(X|G) Định nghĩa 1.7.3. Giả sử (Ω,F.P ) là không gian xác suất X là biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho với xác suất một min{E(X + |G), E(X − |G)} < ∞ Khi đó ta nói X có kỳ vọng có điều kiện đối với σ- trường G, và gọi E(X|G) = E(X + |G) − E(X − |G) là kỳ vọng có điêu kiện của X đối với G 1.7.2 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện Sau đây là các tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện . Các đẩng thức hay bất dẳng thức trong các tính chất sau được hiểu là đúng hầu chắc chắn 17
1.Nếu C là hằng số thì E(C|G) = C 2.Nếu X 6 Y thì E(X|G) 6 E(Y |G) 3.Nếu a, b là các hằng số thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) 4.|E(X|G)| 6 E(|X||G) 5. Nếu X và G độc lập thì E(X|G) = EX 6.E[E(X|G)] = EX 7.Nếu G1 ⊂ G2 thì E[E(X|G2 )|G1 ] = E[E(X|G1 )|G2 ] = E(X|G1 ) 8.Nếu Y là G - đo được và E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ thì E(XY |G) = Y E(X|G) 9. Nếu G0 = {∅, Ω}(σ- trường tầm thường) thì E(X|G0 ) = EX 1.8 Martingale Định nghĩa 1.8.1. Cho X = {Xt , Ft , t ≥ 0} là một quá trình khả tích thì X là một (i) Martingale nếu E(Xt |Fs ) = Xs hầu chắc chắn với mọi 06s6t < ∞ (ii) Martingale trên nếu E(Xt |Fs ) 6 Xs hầu chắc chắn với mọi 06s6t Xs hầu chắc chắn với mọi 06s6t
Định nghĩa 1.8.3. Một quá trình X = {Xt , Ft , t ≥ 0} được cho là một Lp bị chặn nếu (supt )t≥0 E(|Xt |p ) < ∞ Định nghĩa 1.8.4. Một quá trình X = {Xt , Ft , t ≥ 0} được cho là khả tích đều nếu và chỉ nếu (supt )t≥0 E(|Xt |1|Xt |>N ) −→ 0 khi N → ∞. Với p ∈ [1, ∞), M được gọi là một Lp - martingale nếu nó là một martingale và Mt ∈ Lp đối với t. Nếu supt∈R+ E(|Mt |p ) < ∞, ta nói M là Lp - bị chặn . Tính chất martingale thì được bảo toàn bởi Lp - giới hạn khi F0 là hoàn toàn đầy đủ. Một cách chính xác hơn nữa ta có điều sau đây Mệnh đề 1.8.5. Giả sử {Xn } hội tụ trong Lp tới X ∈ Lp đối với p ∈ [1.∞) .Thì với bất kỳ σ - trường con G của F,{E(Xn |G)} hội tụ trong Lp đến E(X|G) Chứng minh. Điều này được chứng minh bởi bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện thoả mãn E(|E(Xn |G) − E(X|G)|p ) 6 E(E(|Xn − X|p |G)) = E(|Xn − X|p Mệnh đề 1.8.6. Cho p ∈ [1, ∞). Giả sử {Mtn , Ft , t ∈ R+ } là một Lp - martingale đối với mỗi n ∈ N, và đối với mỗi t, Mtn hội tụ trong Lp tới Mt khi n → ∞ .Nếu F0 là đầy đủ ,thì {Mt , Ft , t ∈ R+ } là một Lp - martingale Chứng minh. Theo định nghĩa của martingale cố định s < t trong R+ .Với mọi n Msn = E(Mtn |Fs ) (1.2) Vế bên trái ở trên hội tụ trong Lp tới Ms bởi giả thiết và bởi mệnh đề 1.8.5, vế bên phải hội tụ tới E(Mt |Fs ) trong Lp .Do đó Ms = E(Mt |Fs ) hầu chắc chắn Nếu F0 là đầy đủ thì Ms ∈ Fs và khi đó hầu chắc chắn ở trên có thể bỏ đi. 19