Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân ngẫu nhiên Ito và một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên ito

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> VŨ THỊ KHUYÊN<br /> <br /> TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO<br /> VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN<br /> NGẪU NHIÊN ITO<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Hà Nội - 2017<br /> <br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> VŨ THỊ KHUYÊN<br /> <br /> TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO<br /> VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH<br /> PHÂN NGẪU NHIÊN ITO<br /> <br /> Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ<br /> TOÁN HỌC<br /> Mã số: 60 46 01 06<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thịnh<br /> <br /> Hà Nội - 2017<br /> <br /> Lời cảm ơn<br /> <br /> Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học<br /> Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thịnh.<br /> Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Nguyễn Thịnh,<br /> người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn<br /> thành luận văn này.<br /> Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học,<br /> Phòng Đào Tạo, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà<br /> Nội, các thầy cô giáo đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập<br /> và hoàn thành luận văn cao học tại trường.<br /> Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân<br /> đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình<br /> học tập và hoàn thành luận văn.<br /> Hà Nội, tháng 2 năm 2017<br /> Học viên<br /> Vũ Thị Khuyên<br /> <br /> i<br /> <br /> Mục lục<br /> Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1 Tích phân ngẫu nhiên Ito<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1.3<br /> <br /> Tích phân Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1.3.1<br /> <br /> Tích phân Wiener của các hàm số đơn giản . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1.3.2<br /> <br /> Tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản<br /> <br /> 9<br /> <br /> 1.3.3<br /> <br /> Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích . . . . 11<br /> <br /> 1.4<br /> <br /> Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br /> 1.4.1<br /> 1.4.2<br /> <br /> Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . 16<br /> <br /> 1.4.3<br /> 1.5<br /> <br /> Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . 12<br /> Tích phân Ito tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br /> <br /> Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br /> <br /> 2 Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito<br /> <br /> 27<br /> <br /> 2.1<br /> <br /> Phương pháp ồn trắng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> Phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên của K.Ito . . . . . . . 33<br /> <br /> 2.3<br /> <br /> Một phương pháp mở rộng tích phân Ito mới . . . . . . . . . . . . 34<br /> 2.3.1<br /> <br /> Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br /> <br /> 2.3.2<br /> <br /> Tích phân ngẫu nhiên mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br /> <br /> 2.3.3<br /> <br /> Công thức Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . 41<br /> <br /> Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br /> Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br /> <br /> 1<br /> <br /> Mở đầu<br /> Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướng<br /> nghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết xác suất đồng thời cũng được ứng<br /> dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác bên ngoài Toán học như Vật lý (lý<br /> thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ...), Sinh vật (động lực<br /> học dân số ...), Công nghệ (lý thuyết học, ổn định và điều khiển hệ động lực<br /> ngẫu nhiên ...) và đặc biệt trong kinh tế tài chính (định giá quyền lựa chọn trong<br /> thị trường chính khoán ...). Nó trở thành một công cụ tối quan trọng khi cần xử<br /> lý, phân tích và mô hình hóa các hiện tượng có sự can thiệp của nhân tố ngẫu<br /> nhiên. Giải tích ngẫu nhiện hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại<br /> học trong và ngoài nước, nó thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên<br /> cứu và phát triển về nó.<br /> Trong đó vi tích phân ngẫu nhiên Ito là một trong những khái niệm quan trọng<br /> của giải tích ngẫu nhiên. Từ khái niệm đó người ta đã xây nên một lớp các quá<br /> trình ngẫu nhiên Ito.<br /> Luận văn này hệ thống lại một số kết cơ bản về tích phân ngẫu nhiên Ito và<br /> trình bày một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito, đưa ra một số kết quả<br /> mới trong công thức Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên.<br /> Luận văn được chia làm 2 chương cụ thể như sau:<br /> 1. Chương 1: Tích phân ngẫu nhiên Ito. Chương này trình bày một số khái<br /> niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, các kiến thức cơ sở cần cho các<br /> chương tiếp theo; xây dựng định nghĩa tích phân Wiener, một số tính chất<br /> của tích phân Wiener; xây dựng định nghĩa tích phân Ito, một số tính chất<br /> cơ bản của tích phân Ito, công thức Ito.<br /> <br />